5.1.2 弧度制
课时作业
基础练
1.下列说法错误的是( )
[A]半圆所对的圆心角是π rad
[B]圆周角的大小等于2π
[C]1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
[D]长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
2.将-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是( )
[A]--8π [B]-8π
[C]-10π [D]-10π
3.下列各角中,与-终边相同的角是( )
[A]- [B] [C] [D]
4.若α=-+kπ,k∈Z,则α终边所在象限为( )
[A]第一象限 [B]第一、三象限
[C]第二象限 [D]第二、四象限
5.自行车的大链轮有88齿,小链轮有20齿,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮转过的弧度数是( )
[A] [B] [C] [D]
6.(多选)下列集合表示正确的是( )
[A]终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}
[B]终边在第二象限的角的集合为{α+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}
[C]终边在坐标轴上的角的集合是{α,k∈Z}
[D]终边在直线y=x上的角的集合是{α+2kπ,k∈Z}
7.(5分)一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长,则这段圆弧所对的圆心角为 .
8.(5分)若集合A={x9.(13分)如图,用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
图(1) 图(2)
10.(15分)已知扇形的圆心角为α,半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值;
(2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值.
强化练
11.如图所示的几何图形,设弧AD的长度是l1,弧BC的长度是l2,扇环ABCD的面积为S1,扇形BOC的面积为S2.若=3,则等于( )
[A]3 [B]4 [C]6 [D]8
12.若角α与角x+的终边相同,角β与角x-的终边相同,那么α与β间的关系为( )
[A]α+β=0
[B]α-β=0
[C]α+β=2kπ(k∈Z)
[D]α-β=+2kπ(k∈Z)
13.(15分)如图所示,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.
拓展练
14.(多选)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图,设扇形的面积为S1,其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面为“美观扇面”,下列结论正确的是( )
[A]=
[B]若=,扇形的半径R=3,则S1=2π
[C]若扇面为“美观扇面”,则θ=(3-)π
[D]若扇面为“美观扇面”,半径R=20,则扇形面积为200(3-)π5.1.2 弧度制
课时作业
基础练
1.下列说法错误的是( )
[A]半圆所对的圆心角是π rad
[B]圆周角的大小等于2π
[C]1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
[D]长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【答案】 D
【解析】 由弧度制的定义可知,长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度,则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度,D的说法错误,根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知,A,B,C的说法正确.故选D.
2.将-1 485°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是( )
[A]--8π [B]-8π
[C]-10π [D]-10π
【答案】 D
【解析】 -1 485°=-5×360°+315°,化为α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为-10π.故选D.
3.下列各角中,与-终边相同的角是( )
[A]- [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为--(-)=5π,-(-)=6.5π,-(-)=7.5π,-(-)=8π,所以与-的终边相同.故选D.
4.若α=-+kπ,k∈Z,则α终边所在象限为( )
[A]第一象限 [B]第一、三象限
[C]第二象限 [D]第二、四象限
【答案】 B
【解析】 因为-的终边在第三象限,则反向延长其终边射线经过第一象限,故α=-+kπ,k∈Z的终边在第一、三象限.故选B.
5.自行车的大链轮有88齿,小链轮有20齿,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮转过的弧度数是( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 由题意知,当大链轮逆时针转过一周时,小链轮逆时针转过周,则小链轮转过的弧度数是×2π=.故选B.
6.(多选)下列集合表示正确的是( )
[A]终边在x轴上的角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}
[B]终边在第二象限的角的集合为{α+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}
[C]终边在坐标轴上的角的集合是{α,k∈Z}
[D]终边在直线y=x上的角的集合是{α+2kπ,k∈Z}
【答案】 ABC
【解析】 A,B显然正确;对于C,终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z},终边在y轴上的角的集合为{α+kπ,k∈Z},其并集为{α,k∈Z},故C正确;对于D,终边在直线y=x上的角的集合为{α+2kπ,k∈Z}或{α+2kπ,k∈Z},其并集为{α+kπ,k∈Z},故D不正确.故选ABC.
7.(5分)一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长,则这段圆弧所对的圆心角为 .
【答案】
【解析】 如图,设圆的半径为R,则正方形的边长为R,所以弧长l=R,所以所求圆心角α===.
8.(5分)若集合A={x【答案】 (2kπ,2kπ+),k∈Z (2kπ+,2kπ+),k∈Z (-,-)∪(-,)∪(,)
【解析】 A∩B=(2kπ,2kπ+),k∈Z;A∩C=(2kπ+,2kπ+),k∈Z;分别令k=-1,0,1,可得A∩D=(2kπ-,2kπ+)∩[-10,10]=(-,-)∪(-,)∪(,).
9.(13分)如图,用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
图(1) 图(2)
【解】 (1)以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z),以OB为终边的角为-+2kπ(k∈Z),所以阴影部分内的角的集合为{α+2kπ<α<+2kπ,k∈Z}.
(2)以OA为终边的角为+2kπ(k∈Z),以OB为终边的角为+2kπ(k∈Z).
不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1,左边阴影部分所表示的集合为M2,
则M1={α+2kπ,k∈Z},M2={α+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}.所以阴影部分内的角的集合为M1∪M2={α+2kπ或+2kπ<α<π+2kπ,k∈Z}.
10.(15分)已知扇形的圆心角为α,半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C(C>0),求扇形的最大面积及此时α的值;
(2)若扇形的面积是定值S(S>0),求扇形的最小周长及此时α的值.
【解】 (1)法一 由题意,可得2r+αr=C,即αr=C-2r,则扇形面积S=αr2=(C-2r)r=-r2+Cr=-(r-C)2+C2,故当r=C时,S取得最大值C2,此时α=-2=2.
法二 扇形面积S=(C-2r)·r=(C-2r)·2r≤()2=C2,当且仅当C-2r=2r,即r=C时,等号成立,此时α==2.
(2)由题意,可得αr2=S,即αr=,则扇形周长C=2r+αr=2r+≥4,当且仅当2r=,即r=时,等号成立,故当r=时,C取得最小值4,此时α==2.
强化练
11.如图所示的几何图形,设弧AD的长度是l1,弧BC的长度是l2,扇环ABCD的面积为S1,扇形BOC的面积为S2.若=3,则等于( )
[A]3 [B]4 [C]6 [D]8
【答案】 D
【解析】 设扇环ABCD所对的圆心角为α,可得l1=α·OA,l2=α·OB,因为=3,所以=3,又因为S扇形AOD=l1·OA,S扇形BOC=l2·OB,所以==9,所以=8,即=8.故选D.
12.若角α与角x+的终边相同,角β与角x-的终边相同,那么α与β间的关系为( )
[A]α+β=0
[B]α-β=0
[C]α+β=2kπ(k∈Z)
[D]α-β=+2kπ(k∈Z)
【答案】 D
【解析】 由题意得α=x++2k1π(k1∈Z),β=x-+2k2π(k2∈Z),所以α-β=+2(k1-k2)π(k1∈Z,k2∈Z).因为k1∈Z,k2∈Z,所以k1-k2∈Z,所以α-β=+2kπ(k∈Z),同理可得α+β=2x+2kπ(k∈Z).
故选D.
13.(15分)如图所示,已知一长为 dm,宽为1 dm的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚,翻滚到第四次时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成的角.求点A走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积.
【解】 因为所在的圆的半径是2 dm,圆心角为;所在的圆的半径是1 dm,圆心角为;
所在的圆的半径是 dm,圆心角为.
所以点A走过的路径长是三段圆弧之和,即2×+1×+×=(dm).
三段圆弧所在扇形的总面积是×π×2+××1+××=(dm2).
拓展练
14.(多选)中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成.如图,设扇形的面积为S1,其圆心角为θ,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为时,扇面为“美观扇面”,下列结论正确的是( )
[A]=
[B]若=,扇形的半径R=3,则S1=2π
[C]若扇面为“美观扇面”,则θ=(3-)π
[D]若扇面为“美观扇面”,半径R=20,则扇形面积为200(3-)π
【答案】 ACD
【解析】 对于A,S1,S2所在的扇形的圆心角分别为θ,2π-θ,所以==,故A正确;对于B,若==,则θ=,又R=3,则S1=·θ·R2=××9=3π,故B错误;对于C,若==,所以θ=(3-)π,故C正确;对于D,若==,则θ=(3-)π,又R=20,所以S1=·θ·R2=×
(3-)π×400=200(3-)π,故D正确.故选ACD.
