5.2.2 同角三角函数的基本关系
课时作业
基础练
1.已知α∈(0,π),tan α=-2,则cos α等于( )
[A] [B]
[C]- [D]-
【答案】 D
【解析】 因为tan α==-2,所以sin α=-2cos α,又sin2α+cos2α=+cos2α=9cos2α=1,且α∈(0,π),tan α=-2<0,所以α∈(,π),
所以cos α=-.故选D.
2.已知角θ的终边在直线y=2x上,则的值为( )
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为角θ的终边在直线y=2x上,所以tan θ=2,所以===.故选D.
3.若A是三角形的一个内角,且sin A+cos A=,则这个三角形的形状是( )
[A]锐角三角形 [B]直角三角形
[C]钝角三角形 [D]无法确定
【答案】 C
【解析】 A是三角形的一个内角,所以A∈(0,π),又sin A+cos A=,平方得sin2A+cos2A+
2sin Acos A=,解得2sin Acos A=-<0,故sin A>0,cos A<0.所以A为钝角,即三角形为钝角三角形.故选C.
4.已知tan2α-sin2α=2,则tan2αsin2α的值为( )
[A]3 [B] [C]2 [D]
【答案】 C
【解析】 tan2αsin2α=tan2α(1-cos2α)=tan2α-tan2αcos2α=tan2α-sin2α=2.故选C.
5.已知sin αcos α=-,α∈(0,π),则sin α-cos α等于( )
[A] [B]- [C] [D]-
【答案】 A
【解析】 因为α∈(0,π),所以sin α>0,又sin αcos α=-,所以cos α<0,所以sin α-cos α>0,又
(sin α-cos α)2=sin2α-2sin αcos α+cos2α=1-2×(-) =,所以sin α-cos α=.故选A.
6.(多选)已知角α是锐角,若sin α,cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根,则下列关于实数m,n的判断正确的是( )
[A]m2-2n-1=0 [B]mn>0
[C]m+n+1>0 [D]m2-4n<0
【答案】 AC
【解析】 因为sin α,cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根,所以sin α+cos α=-m,
sin αcos α=n,因为角α是锐角,所以m<0,n>0,则mn<0,故B错误;又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=m2>1,即1+2n=m2,m<-1,所以m2-2n-1=0,故A正确;而m+n+1=m++1=>0,故C正确;因为方程有两个实数根,所以m2-4n≥0,故D错误.故选AC.
7.(5分)化简= .
【答案】
【解析】 原式
=
==.
8.(5分)若α∈(,π),且cos2α-sin α=,则tan α= .
【答案】 -
【解析】 因为cos2α-sin α=,所以4(1-sin2α)-4sin α-1=0,即4sin2α+4sin α-3=0,解得sin α=或sin α=-.因为α∈(,π),所以sin α=,所以cos α=-=-,所以tan α==-.
9.(14分)已知tan α=2.
(1)求的值;
(2)求cos2α+sin αcos α-sin2α的值.
【解】 (1)因为tan α=2,所以===.
(2)因为cos2α+sin αcos α-sin2α==,且tan α=2,所以cos2α+sin αcos α-sin2α==-.
10.(15分)(1)已知θ为第三象限角,化简+.
(2)求证:(1-tan4A)·cos2A+tan2A=1.
(1)【解】 +
=+
=+
=+=.
因为θ为第三象限角,所以sin θ<0,所以原式==-.
(2)【证明】 因为(1-tan4A)·cos2A+tan2A=(1-tan2A)(1+tan2A)·cos2A+tan2A=
(1-tan2A)()·cos2A+tan2A=(1-tan2A)+tan2A=1,所以原式成立.
强化练
11.已知θ是第三象限角,tan θ,cos θ是方程2x2+ax-=0的两根,则a等于( )
[A]2-1 [B]1-2
[C]-2 [D]2-
【答案】 B
【解析】 因为tan θ,cos θ是方程2x2+ax-=0的两根,则由根与系数的关系得
又因为θ是第三象限角,所以θ=π+2kπ(k∈Z),故tan θ+cos θ=
-=-,故a=1-2.故选B.
12.若α,β∈(0,),且4sin2α-sin2β+=0,则当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为( )
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 若α,β∈(0,),且4sin2α-sin2β+=0,则2sin α=,则2sin α+cos β=+
,注意到2+a+b≤2(a+b),其中a,b>0,所以+≤,当且仅当a=b>0时,等号成立,所以2sin α+cos β=+≤=,当且仅当sin2β-=1-sin2β,即sin β=时,等号成立,所以当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为.
故选B.
13.(15分)已知方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ.
(1)求k的值;
(2)求sin θ-cos θ的值.
【解】 (1)由方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ,得sin θ+cos θ=-,sin θ·
cos θ=.
由sin2θ+cos2θ=1及(sin θ+cos θ)2=,得1+2sin θ·cos θ=,所以1+2×=,即9k2-8k-20=0,解得k=2或k=-.当k=2时方程Δ<0,故舍去;当k=-时满足条件.
综上,k=-.
(2)由(1)知sin θ·cos θ=-.所以(sin θ-cos θ)2=sin2θ+cos2θ-2sin θ·cos θ=1+2×=,所以
sin θ-cos θ=±.
拓展练
14.若α,β∈(-,),sin α,sin β为方程4x2+2x-1=0的两个根,则tan αtan β等于( )
[A]- [B]-
[C]- [D]-
【答案】 D
【解析】 因为sin α,sin β是方程4x2+2x-1=0的两根,则sin α+sin β=-<0,sin αsin β=-<0,且α,
β∈(-,),
则cos α>0,cos β>0,可得cos αcos β=
==
==,所以tan αtan β===-.故选D.5.2.2 同角三角函数的基本关系
课时作业
基础练
1.已知α∈(0,π),tan α=-2,则cos α等于( )
[A] [B]
[C]- [D]-
2.已知角θ的终边在直线y=2x上,则的值为( )
[A]- [B]- [C] [D]
3.若A是三角形的一个内角,且sin A+cos A=,则这个三角形的形状是( )
[A]锐角三角形 [B]直角三角形
[C]钝角三角形 [D]无法确定
4.已知tan2α-sin2α=2,则tan2αsin2α的值为( )
[A]3 [B] [C]2 [D]
5.已知sin αcos α=-,α∈(0,π),则sin α-cos α等于( )
[A] [B]- [C] [D]-
6.(多选)已知角α是锐角,若sin α,cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根,则下列关于实数m,n的判断正确的是( )
[A]m2-2n-1=0 [B]mn>0
[C]m+n+1>0 [D]m2-4n<0
7.(5分)化简= .
8.(5分)若α∈(,π),且cos2α-sin α=,则tan α= .
9.(14分)已知tan α=2.
(1)求的值;
(2)求cos2α+sin αcos α-sin2α的值.
10.(15分)(1)已知θ为第三象限角,化简+.
(2)求证:(1-tan4A)·cos2A+tan2A=1.
强化练
11.已知θ是第三象限角,tan θ,cos θ是方程2x2+ax-=0的两根,则a等于( )
[A]2-1 [B]1-2
[C]-2 [D]2-
12.若α,β∈(0,),且4sin2α-sin2β+=0,则当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为( )
[A] [B] [C] [D]
13.(15分)已知方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ.
(1)求k的值;
(2)求sin θ-cos θ的值.
拓展练
14.若α,β∈(-,),sin α,sin β为方程4x2+2x-1=0的两个根,则tan αtan β等于( )
[A]- [B]-
[C]- [D]-
