5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
课时作业
基础练
1.函数f(x)=7sin(x+)是( )
[A]周期为3π的偶函数
[B]周期为2π的奇函数
[C]周期为3π的奇函数
[D]周期为的偶函数
2.函数y=4sin(2x-π)的图象关于( )
[A]x轴对称 [B]原点对称
[C]y轴对称 [D]直线x=对称
3.已知函数y=sin(x++φ)是偶函数,则φ的值可以是( )
[A] [B]-
[C] [D]-
4.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则f()等于( )
[A]1 [B] [C]-1 [D]-
5.函数y=-2xcos x的部分图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
6.关于函数f(x)=sin(x+φ)(x∈R),下列命题正确的是( )
[A]存在φ,使f(x)是偶函数
[B]对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数
[C]存在φ,使f(x)既是奇函数,又是偶函数
[D]对任意的φ,f(x)都不是奇函数
7.(5分)已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=,且f(1)=,则f(2 026)= .
8.(5分)如果函数f(x)=cos(ωx+) (ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω= .
9.(14分)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=cos(+2x)cos(π+x);
(2)f(x)=3sin x+4cos x;
(3)f(x)=+;
(4)f(x)=+.
10.(15分)(1)已知f(x)是周期为π的偶函数,当x∈[0,]时,f(x)=1-sin x,求f(),f(-).
(2)设函数f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,求f(π).
强化练
11.设f(x)是定义域为R,最小正周期为3π的函数,且f(x)=则f(-)+f()等于( )
[A] [B]- [C]1 [D]-1
12.(5分)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(x)是周期为 的周期函数;若当x∈[-2,2]时,f(x)=-x2+1,则当x∈[-6,-2]时,f(x)的解析式为 .
13.(16分)设f(x)=log3.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
拓展练
14.(5分)已知f(n)=sin ,n∈Z,则f(1)+f(2)+…+f(100)= . 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第1课时 周期性与奇偶性
课时作业
基础练
1.函数f(x)=7sin(x+)是( )
[A]周期为3π的偶函数
[B]周期为2π的奇函数
[C]周期为3π的奇函数
[D]周期为的偶函数
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=-7cos x,所以T=3π,f(x)为偶函数.故选A.
2.函数y=4sin(2x-π)的图象关于( )
[A]x轴对称 [B]原点对称
[C]y轴对称 [D]直线x=对称
【答案】 B
【解析】 因为y=4sin(2x-π)=-4sin 2x是奇函数,所以其图象关于原点对称.故选B.
3.已知函数y=sin(x++φ)是偶函数,则φ的值可以是( )
[A] [B]-
[C] [D]-
【答案】 B
【解析】 y=sin(x++φ)为偶函数,则只需+φ=kπ+,k∈Z,从而φ=kπ+,k∈Z,显然当k=-1时,φ=-,满足题意.故选B.
4.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,则f()等于( )
[A]1 [B] [C]-1 [D]-
【答案】 A
【解析】 因为函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π,所以周期T==π,解得ω=2,即f(x)=sin(2x+),所以f()=sin(2×+)=sin(+)=sin =1.故选A.
5.函数y=-2xcos x的部分图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 函数的定义域为R,因为f(-x)=-2(-x)cos(-x)=2xcos x=-f(x),所以此函数为奇函数,图象关于原点对称,故排除A,C;因为当x∈(0,)时,y=-2xcos x<0,故排除B.故选D.
6.关于函数f(x)=sin(x+φ)(x∈R),下列命题正确的是( )
[A]存在φ,使f(x)是偶函数
[B]对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数
[C]存在φ,使f(x)既是奇函数,又是偶函数
[D]对任意的φ,f(x)都不是奇函数
【答案】 A
【解析】 当φ=+kπ,k∈Z时,函数f(x)=sin(x+φ)是偶函数,当φ=kπ,k∈Z时,函数f(x)=sin(x+φ)是奇函数,所以A正确,B,D错误;由分析可知,不存在φ∈R,使函数f(x)=sin(x+φ)既是奇函数,又是偶函数,所以C错误.故选A.
7.(5分)已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=,且f(1)=,则f(2 026)= .
【答案】 2
【解析】 由题意得f(x+6)==f(x),所以f(x)的周期为6,所以f(2 026)=f(6×337+4)=f(4)==2.
8.(5分)如果函数f(x)=cos(ωx+) (ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,则ω= .
【答案】 6
【解析】 因为函数f(x)=cos(ωx+) (ω>0)的相邻两个零点之间的距离为,所以T=2×=,由=,解得ω=6.
9.(14分)判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=cos(+2x)cos(π+x);
(2)f(x)=3sin x+4cos x;
(3)f(x)=+;
(4)f(x)=+.
【解】 (1)f(x)=cos(+2x)cos(π+x)=(-sin 2x)(-cos x)=sin 2xcos x,函数f(x)的定义域为R,因为
x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=sin(-2x)cos(-x)=-sin 2xcos x=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
(2)因为f()=+=,f(-)=-+=,故f(-)≠f()且f(-)≠-f(),所以f(x)为非奇非偶
函数.
(3)因为cos x-1≥0且1-cos x≥0,所以cos x=1,定义域为D={x|x=2kπ,k∈Z},因为 x∈D,都有
-x∈D,且f(x)=0,f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x).所以f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)因为sin =1,sin(-)=-1,所以f()=0,f(-)没有意义,所以f(x)为非奇非偶函数.
10.(15分)(1)已知f(x)是周期为π的偶函数,当x∈[0,]时,f(x)=1-sin x,求f(),f(-).
(2)设函数f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,求f(π).
【解】 (1)因为T=π,且f(x)为偶函数,
所以f()=f(3π+)=f()=1-sin =1-,
f(-)=f(-4π-)=f(-)=f()=1-sin =.
(2)由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的函数.
而f(x)是奇函数,所以f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4.
强化练
11.设f(x)是定义域为R,最小正周期为3π的函数,且f(x)=则f(-)+f()等于( )
[A] [B]- [C]1 [D]-1
【答案】 D
【解析】 由于函数y=f(x)是最小正周期为3π的函数,且f(x)=
所以f(-)+f()=f(-+102π)+f(-99π)=f(-)+f()=cos(-)+sin =cos +
sin(π+)=cos(π-)+sin(π+)=-cos -sin =--=-1.故选D.
12.(5分)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且y=f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(x)是周期为 的周期函数;若当x∈[-2,2]时,f(x)=-x2+1,则当x∈[-6,-2]时,f(x)的解析式为 .
【答案】 4 f(x)=-x2-8x-15
【解析】 由题意得f(-x)=f(x),f(2+x)=f(2-x),所以f(x+4)=f((x+2)+2)=f(2-(x+2))=f(-x)=f(x).故f(x)是以4为周期的周期函数.当x∈[-6,-2]时,x+4∈[-2,2].所以f(x)=f(x+4)=-(x+4)2+1=-x2-8x-15.
13.(16分)设f(x)=log3.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性.
【解】 (1)因为>0,所以-(2)由(1)知定义域关于原点对称,又f(-x)=log3=log3()-1=-log3=-f(x),故该函数为奇函数.
拓展练
14.(5分)已知f(n)=sin ,n∈Z,则f(1)+f(2)+…+f(100)= .
【答案】 1+
【解析】 f(n)是以8为周期的周期函数,因为f(1)+f(2)+…+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(100)=
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=sin +sin +sin +sin π=1+.第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
课时作业
基础练
1.函数f(x)=cos(4x+)的图象的相邻两个对称中心间的距离为( )
[A] [B] [C] [D]π
【答案】 A
【解析】 相邻两个对称中心间的距离是半个周期,即为=×=.故选A.
2.函数f(x)=sin(x-)图象的一条对称轴方程为( )
[A]x= [B]x=
[C]x= [D]x=
【答案】 D
【解析】 法一 f()=sin(-)=-,f()=sin 0=0,f()=sin =,均不是最值,故A,B,C错误;
f()=sin =1,为最大值,可知x=为函数f(x)图象的一条对称轴方程,D正确.故选D.
法二 由x-=+kπ,k∈Z得x=+kπ,k∈Z,当k=0时,x=.故选D.
3.最小正周期为π,且图象关于点(,0)对称的一个函数是( )
[A]y=sin(+) [B]y=sin(2x+)
[C]y=cos(2x-) [D]y=sin(2x-)
【答案】 D
【解析】 对于A,由于函数的最小正周期为π,所以=π,所以w=2,所以A错误;对于B,
f()=sin(2×+)=sin =-≠0,所以B错误;对于C,f()=cos(2×-)=cos π=-1≠0,所以C错误;对于D,f()=sin(2×-)=sin π=0,所以D正确.故选D.
4.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么当|φ|取最小值时,φ的值为( )
[A]± [B] [C]- [D]±
【答案】 D
【解析】 由函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,可得2π+φ=+kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,
k∈Z,当|φ|取最小值时,k=1,即φ=-或k=2,即φ=,故当|φ|取最小值时,φ的值为±.故选D.
5.(多选)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(,0)中心对称,则( )
[A]φ=
[B]f(x)在区间(,)上有两个零点
[C]直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴
[D]f(x)在区间(0,)上单调递增
【答案】 ABD
【解析】 由已知sin(2×+φ)=0,可得+φ=kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,A正确;所以f(x)=
sin(2x+),T==π,-=π,区间(,)是函数的一个周期,而f()=f()=1≠0,因此f(x)在区间(,)上有两个零点,B正确;f()=sin(2×+)=0,C错误;当x∈(0,)时,2x+∈(,),f(x)在此区间上单调递增,D正确.故选ABD.
6.(多选)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)+1(其中ω,φ均为常数,且ω>0,|φ|<π)恰能满足下列4个条件中的3个:①函数f(x)的最小正周期为π;②函数f(x)的图象经过点(0,);③函数f(x)的图象关于点(,1)对称;④函数f(x)的图象关于直线x=-对称.则这3个条件的序号可以是( )
[A]①②③ [B]①②④
[C]①③④ [D]②③④
【答案】 AB
【解析】 若①正确,则=π,解得ω=2;若②正确,则f(0)=cos φ+1=,即cos φ=,又|φ|<π,故φ=±;若③正确,则+φ=+k1π,k1∈Z;若④正确,则-+φ=k2π,k2∈Z.对于A,ω=2,取φ=-,-=,满足条件,此时④不满足条件,正确;对于B,ω=2,取φ=,-+=0,满足条件,此时③不满足条件,正确;对于C,ω=2,+φ-(-+φ)==+k3π,k3∈Z,不成立,错误;对于D,相减得+==
+k3π,k3∈Z,则ω=(+k3),k3∈Z,此时-+φ=-×(+k3)+φ=-(+k3)π+φ=k2π,k2∈Z,整理得7φ=(7k2+2k3)π+π,k2,k3∈Z,而φ=±,故不成立,错误.故选AB.
7.(5分)当x∈[,]时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为 .
【答案】 [,2]
【解析】 因为x∈[,],所以sin x∈[-,1].又y=3-sin x-2cos2x=3-sin x-2(1-sin2x)=2(sin x-
)2+,所以当sin x=时,ymin=;当sin x=-或sin x=1时,ymax=2,即函数的值域为[,2].
8.(5分)设函数f(x)=cos(ωx-)(ω>0),若f(x)≤f()对任意的实数x都成立,则f()= ,ω的最小值为 .
【答案】 1
【解析】 因为f(x)≤f()对任意的实数x都成立,所以当x=时,f(x)取得最大值1,即f()=
cos(-)=1,所以-=2kπ,k∈Z,所以ω=8k+,k∈Z.因为ω>0,所以当k=0时,ω取得最小值.
9.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),若f(x)的图象关于点(-,0)对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x);
(2)求f(x)的单调递增区间.
【解】 (1)依题意T=π,所以ω=2,f(x)=sin(2x+φ),又f(x)的图象关于点(-,0)对称,
所以2×(-)+φ=kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,又|φ|≤,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+).
(2)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
10.(13分)设函数f(x)=sin2x+cos x+a.
(1)若1≤f(x)≤对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若关于x的方程f(x)=0在[-,]上有实数解,求实数a的取值范围.
【解】 (1)由函数f(x)=sin2x+cos x+a=-cos2x+cos x+a+1,
令t=cos x∈[-1,1],可得f(t)=-t2+t+a+1,
因为1≤f(x)≤对一切实数x恒成立,即对任意的t∈[-1,1],1≤f(t)≤恒成立,又由函数f(t)=
-t2+t+a+1的图象开口向下,对称轴为直线t=,当t=时,f(t)max=a+;当t=-1时,f(t)min=a-1,则解得2≤a≤3,所以实数a的取值范围为[2,3].
(2)由x∈[-,],令t=cos x∈[0,1],要使得关于x的方程f(x)=0在[-,]上有实数解,即f(t)=0在
t∈[0,1]上有实数解,即a+1=t2-t在t∈[0,1]上有实数解,令g(t)=t2-t,t∈[0,1],由g(t)=(t-)2-,可知y=g(t)在[0,]上单调递减,在[,1]上单调递增,当t=时,g(t)min=-,当t=0或t=1时,g(t)max=0,则-≤a+1≤0,解得-≤a≤-1,即实数a的取值范围为[-,-1].
强化练
11.(多选)已知函数f(x)=sin(2x-x2),则( )
[A]f(x)是周期函数
[B]f(x)的最小值是-1
[C]f(x)的图象至少有一条对称轴
[D]f(x)在(0,)上单调递增
【答案】 BCD
【解析】 若f(x)是周期函数,则存在非零常数T,使得f(x)=sin(2x-x2)=sin[2(x+T)-(x+T)2]=f(x+T),化简得sin(2x-x2)=sin(2x-x2+2T-2Tx-T2),则2T-2Tx-T2=2kπ,k∈Z或2x-x2+2x-x2+2T-2Tx-T2=
2kπ+π,k∈Z,可知T均与x有关,故非零常数T不存在,A错误;
令t=2x-x2=-(x-1)2+1≤1,则sin t∈[-1,1],故f(x)的最小值是-1,故B正确;
结合B选项的分析可得,f(1-x)=sin[-(1-x-1)2+1]=sin[-(1+x-1)2+1]=f(1+x),故f(x)的图象的对称轴方程为x=1,故C正确;
由B选项的分析易知t=2x-x2在(0,)上单调递增,且t=2x-x2∈(0,-) (0,),故y=sin t 单调递增,由复合函数单调性知f(x)在(0,)上单调递增,故D正确.故选BCD.
12.(多选)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(cos x),则下列结论正确的是( )
[A]f(x)的一个周期为2π
[B]f(x)的最大值为2
[C]f(x)的图象关于直线x=对称
[D]f(x)在区间(0,)上单调递增
【答案】 ACD
【解析】 f(x+2π)=sin[sin(x+2π)]+cos[cos(x+2π)]=sin(sin x)+cos(cos x)=f(x),故f(x)的一个周期为2π,A正确;
由sin x∈[-1,1],cos x∈[-1,1],则sin(sin x)<1,cos(cos x)≤1,故f(x)<2,B错误;
f(-x+π)=sin[sin(-x+π)]+cos[cos(-x+π)]=sin(sin x)+cos(-cos x)=sin(sin x)+cos(cos x)=f(x),故f(x)的图象关于直线x=对称,C正确;
当x∈(0,)时,sin x∈(0,1),且随x增大而增大,故sin(sin x)随x增大而增大,cos x∈(0,1),且随x增大而减小,故cos(cos x)随x增大而增大,故f(x)在区间(0,)上单调递增,D正确.故选ACD.
13.(15分)已知函数f(x)=2sin(2x-),x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间[0,]上有两个零点,求m的取值范围;
(3)若函数h(x)=f(x)-k(x-)(k∈R)有且仅有3个零点,求所有零点之和.
【解】 (1)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).
故函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间[0,]上有两个零点,令g(x)=0,即函数y=f(x)的图象与直线y=m在区间[0,]上有两个交点,令t=2x-,由x∈[0,],得2x-∈[-,],即函数y=sin t的图象与直线y=在区间[-,]上有两个交点,画出函数y=sin t与y=在区间[-,]上的图象如图所示,由图可知∈[,1),m∈[,2).
(3)函数h(x)=f(x)-k(x-)(k∈R)有且仅有3个零点,因为y=k(x-)的图象关于(,0)成中心对称,而f(x)=2sin(2x-)的图象关于(,0)成中心对称,设三个零点分别为x1,x2,x3,则=,x2=,所以所有零点之和为+×2=.
拓展练
14.(多选)设函数f(x)的定义域为R,f(x+π)为奇函数,f(x+2π)为偶函数,当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则下列结论正确的有( )
[A]f()=-1
[B]f(x)在(3π,)上单调递减
[C]点(8π,0)是函数f(x)的一个对称中心
[D]方程f(x)+lg x=0有5个实数解
【答案】 AD
【解析】 因为f(x+π)为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(π,0)成中心对称,因为f(x+2π)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=2π成轴对称.
则f(-x)=-f(x+2π)且f(-x)=f(x+4π),
所以f(x+4π)=-f(x+2π),即f(x+2π)=-f(x),
所以f(x+4π)=f(x),所以4π是函数f(x)的一个周期.
因为当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则可作出函数f(x)部分图象和y=-lg x图象的草图如图所示.
由图可知A,D正确,B,C不正确.故选AD.第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题
课时作业
基础练
1.函数f(x)=cos(4x+)的图象的相邻两个对称中心间的距离为( )
[A] [B] [C] [D]π
2.函数f(x)=sin(x-)图象的一条对称轴方程为( )
[A]x= [B]x=
[C]x= [D]x=
3.最小正周期为π,且图象关于点(,0)对称的一个函数是( )
[A]y=sin(+) [B]y=sin(2x+)
[C]y=cos(2x-) [D]y=sin(2x-)
4.如果函数y=sin(2x+φ)的图象关于直线x=π对称,那么当|φ|取最小值时,φ的值为( )
[A]± [B] [C]- [D]±
5.(多选)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点(,0)中心对称,则( )
[A]φ=
[B]f(x)在区间(,)上有两个零点
[C]直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴
[D]f(x)在区间(0,)上单调递增
6.(多选)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)+1(其中ω,φ均为常数,且ω>0,|φ|<π)恰能满足下列4个条件中的3个:①函数f(x)的最小正周期为π;②函数f(x)的图象经过点(0,);③函数f(x)的图象关于点(,1)对称;④函数f(x)的图象关于直线x=-对称.则这3个条件的序号可以是( )
[A]①②③ [B]①②④
[C]①③④ [D]②③④
7.(5分)当x∈[,]时,函数y=3-sin x-2cos2x的值域为 .
8.(5分)设函数f(x)=cos(ωx-)(ω>0),若f(x)≤f()对任意的实数x都成立,则f()= ,ω的最小值为 .
9.(12分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),若f(x)的图象关于点(-,0)对称,且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x);
(2)求f(x)的单调递增区间.
10.(13分)设函数f(x)=sin2x+cos x+a.
(1)若1≤f(x)≤对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若关于x的方程f(x)=0在[-,]上有实数解,求实数a的取值范围.
强化练
11.(多选)已知函数f(x)=sin(2x-x2),则( )
[A]f(x)是周期函数
[B]f(x)的最小值是-1
[C]f(x)的图象至少有一条对称轴
[D]f(x)在(0,)上单调递增
12.(多选)已知函数f(x)=sin(sin x)+cos(cos x),则下列结论正确的是( )
[A]f(x)的一个周期为2π
[B]f(x)的最大值为2
[C]f(x)的图象关于直线x=对称
[D]f(x)在区间(0,)上单调递增
13.(15分)已知函数f(x)=2sin(2x-),x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间[0,]上有两个零点,求m的取值范围;
(3)若函数h(x)=f(x)-k(x-)(k∈R)有且仅有3个零点,求所有零点之和.
拓展练
14.(多选)设函数f(x)的定义域为R,f(x+π)为奇函数,f(x+2π)为偶函数,当x∈[0,π]时,f(x)=sin x,则下列结论正确的有( )
[A]f()=-1
[B]f(x)在(3π,)上单调递减
[C]点(8π,0)是函数f(x)的一个对称中心
[D]方程f(x)+lg x=0有5个实数解第2课时 单调性与最值
课时作业
基础练
1.函数f(x)=-sin 3x的单调递增区间为( )
[A][+,+](k∈Z)
[B][+,+](k∈Z)
[C][-+,+](k∈Z)
[D][-+,+](k∈Z)
2.下列函数中,最小正周期为π,且在[,]上单调递减的是( )
[A]y=sin(2x+) [B]y=cos(2x+)
[C]y=sin(x+) [D]y=cos(x+)
3.函数y=acos x+b(a<0)的最大值是( )
[A]a+b [B]-|a|+b
[C]|a|+b [D]|a+b|
4.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω的值为( )
[A]3 [B]2 [C] [D]
5.下列不等式中,正确的有( )
①sin 3>sin 4;②cos sin 1.5.
[A]①② [B]①③ [C]②③ [D]③④
6.设函数f(x)=sin(x-),若对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为( )
[A]4 [B]2 [C]1 [D]
7.(5分)函数y=sin x+|sin x|的值域为 .
8.(5分)函数y=cos(sin x)的值域为 .
9.(14分)已知函数f(x)=sin(-2x),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
10.(15分)已知函数f(x)=cos(-2x).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在[-π,π]上的单调递减区间;
(3)求函数f(x)在区间[-,]上的最小值和最大值.
强化练
11.已知定义在R上的偶函数f(x)满足在区间(0,1)内单调递增,若m=cos ,n=cos ,t=cos(-),则f(m),f(n),f(t)的大小关系为( )
[A]f(m)[B]f(m)[C]f(n)[D]f(t)12.对于函数f(x)=下列说法中正确的是( )
[A]该函数的值域是[-1,1]
[B]当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
[C]当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1
[D]当且仅当2kπ+π13.(15分)求下列函数的值域:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=4sin(x+)-cos(x-).
拓展练
14.(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上单调递增,α,β是锐角三角形的两个内角,则( )
[A]f(sin α)>f(cos β)
[B]f(sin α)[C]f(sin β)>f(cos α)
[D]f(sin β)课时作业
基础练
1.函数f(x)=-sin 3x的单调递增区间为( )
[A][+,+](k∈Z)
[B][+,+](k∈Z)
[C][-+,+](k∈Z)
[D][-+,+](k∈Z)
【答案】 B
【解析】 令+2kπ≤3x≤+2kπ(k∈Z),解得+≤x≤+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间是[+,+](k∈Z).故选B.
2.下列函数中,最小正周期为π,且在[,]上单调递减的是( )
[A]y=sin(2x+) [B]y=cos(2x+)
[C]y=sin(x+) [D]y=cos(x+)
【答案】 A
【解析】 对于选项A,y=sin(2x+)=cos 2x,最小正周期为π,当≤x≤时,≤2x≤π,所以y=cos 2x在[,]上单调递减,所以A正确;对于选项B,y=cos(2x+)=-sin 2x,最小正周期是π,在[,]上单调递增,所以B错误;对于选项C,y=sin(x+)=cos x,最小正周期是2π,所以C错误;对于选项D,
y=cos(x+)=-sin x,最小正周期是2π,所以D错误.故选A.
3.函数y=acos x+b(a<0)的最大值是( )
[A]a+b [B]-|a|+b
[C]|a|+b [D]|a+b|
【答案】 C
【解析】 因为a<0,-1≤cos x≤1,所以a≤acos x≤-a,所以a+b≤y≤-a+b=|a|+b,所以函数y=
acos x+b(a<0)的最大值是|a|+b.故选C.
4.若函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减,则ω的值为( )
[A]3 [B]2 [C] [D]
【答案】 C
【解析】 由题意=×=,所以ω=.故选C.
5.下列不等式中,正确的有( )
①sin 3>sin 4;②cos sin 1.5.
[A]①② [B]①③ [C]②③ [D]③④
【答案】 B
【解析】 由于<3<4<,且函数y=sin x在区间[,]上单调递减,则sin 3>sin 4,①正确;由于cos(-)=cos =cos ,0<<<π,且函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减,则cos >
cos =cos(-),②错误;由于0<1<2<π,且函数y=cos x在区间[0,π]上单调递减,则cos 26.设函数f(x)=sin(x-),若对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为( )
[A]4 [B]2 [C]1 [D]
【答案】 B
【解析】 由题意得函数f(x)在x=x1处取得最小值,在x=x2处取得最大值,则|x1-x2|的最小值为相邻两条对称轴间的距离,又最小正周期T==4,故|x1-x2|的最小值为=2.故选B.
7.(5分)函数y=sin x+|sin x|的值域为 .
【答案】 [0,2]
【解析】 当x∈[2kπ,π+2kπ](k∈Z)时,0≤sin x≤1,则y=2sin x,所以y∈[0,2];当x∈[-π+2kπ,2kπ]
(k∈Z)时,-1≤sin x≤0,则y=0.综上所述,函数y=sin x+|sin x|的值域为[0,2].
8.(5分)函数y=cos(sin x)的值域为 .
【答案】 [cos 1,1]
【解析】 令t=sin x,可得-1≤t≤1,则y=cos t,t∈[-1,1].由于y=cos t在[-1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,且cos(-1)=cos 1,则ymax=1,ymin=cos 1,故函数y=cos(sin x)的值域为[cos 1,1].
9.(14分)已知函数f(x)=sin(-2x),x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
【解】 (1)因为函数f(x)=sin(-2x)=-sin(2x-),x∈R,所以函数f(x)的最小正周期T==π,又因为y=-sin x的单调递增区间为[+2kπ,+2kπ],k∈Z,令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[+kπ,+kπ](k∈Z).
(2)当-≤x≤时,-≤-2x≤,所以-≤sin(-2x)≤1,则-≤f(x)≤.当-2x=-,即x=时,f(x)取得最小值-;当-2x=,即x=-时,f(x)取得最大值,所以f(x)在区间[-,]上的最大值为,最小值为-.
10.(15分)已知函数f(x)=cos(-2x).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在[-π,π]上的单调递减区间;
(3)求函数f(x)在区间[-,]上的最小值和最大值.
【解】 (1)由题意知f(x)=cos(-2x)=cos(2x-),令2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
令2kπ≤2x-≤2kπ+π,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,
故f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z),单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).
(2)由(1)可得f(x)的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z),
令k=-1,得f(x)在[-,-]上单调递减;令k=0,得f(x)在[,]上单调递减,
因为x∈[-π,π],所以f(x)在[-π,π]上的单调递减区间是[-,-]和[,].
(3)由题意知f(x)=cos(-2x)=cos(2x-),当x∈[-,]时,-≤2x-≤,
根据y=cos x图象的性质可知,cos(2x-)∈[-,1],所以cos(2x-)∈[-,],
故当2x-=或2x-=-,即x=或x=-时,f(x)min=-;当2x-=0,即x=时,f(x)max=.
强化练
11.已知定义在R上的偶函数f(x)满足在区间(0,1)内单调递增,若m=cos ,n=cos ,t=cos(-),则f(m),f(n),f(t)的大小关系为( )
[A]f(m)[B]f(m)[C]f(n)[D]f(t)【答案】 D
【解析】 因为n=cos =-cos ,t=cos(-)=cos ,由>>,可得012.对于函数f(x)=下列说法中正确的是( )
[A]该函数的值域是[-1,1]
[B]当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
[C]当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1
[D]当且仅当2kπ+π【答案】 D
【解析】 画出函数f(x)的图象如图中实线部分所示,
由图象容易看出,该函数的值域是[-,1],A错误;当且仅当x=2kπ+,k∈Z或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1,B错误;当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-,C错误;当且仅当2kπ+π13.(15分)求下列函数的值域:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=4sin(x+)-cos(x-).
【解】 (1)法一 f(x)==-+,因为-1≤sin x≤1,且sin x≠-,所以-1≤3sin x+2≤5,且3sin x+2≠0,所以≤-或≥,所以-+≤-2或-+≥0,故f(x)=的值域为(-∞,-2]∪[0,+∞).
法二 由y=,得(3y+1)sin x=1-2y,易知y≠-,所以sin x=,则||≤1,解得y≥0或y≤-2,故f(x)=的值域为(-∞,-2]∪[0,+∞).
(2)因为f(x)=4sin(x+)-cos(x-)=4sin(x+)-cos[(x+)-],
所以f(x)=4sin(x+)-sin(x+)=3sin(x+),故f(x)∈[-3,3],
即函数f(x)=4sin(x+)-cos(x-)的值域为[-3,3].
拓展练
14.(多选)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上单调递增,α,β是锐角三角形的两个内角,则( )
[A]f(sin α)>f(cos β)
[B]f(sin α)[C]f(sin β)>f(cos α)
[D]f(sin β)【答案】 AC
【解析】 由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.因为函数f(x)是偶函数且在[-4,-3]上单调递增,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.又α,β是锐角三角形的两个内角,所以α+β>,即>α>-β>0,因为y=sin x在[0,]上单调递增,所以sin α>
sin(-β)=cos β,且sin α∈(0,1),cos β∈(0,1),所以f(sin α)>f(cos β).同理,f(sin β)>f(cos α).故选AC.
