5.4.3 正切函数的性质与图象
课时作业
基础练
1.函数y=的定义域为( )
[A](kπ,kπ+],k∈Z
[B](kπ,kπ+],k∈Z
[C](kπ-,kπ+],k∈Z
[D](kπ-,kπ+],k∈Z
【答案】 C
【解析】 由题意1-tan(x-)≥0,得tan(x-)≤1,所以kπ-2.函数y=(-[A](-1,1)
[B](-∞,-1)∪(1,+∞)
[C](-∞,1)
[D](-1,+∞)
【答案】 B
【解析】 当-1,即当x∈(-,0)∪(0,)时,函数y=的值域是(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.
3.函数f(x)=2x·tan x(-1[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)=2x·tan x(-10,故排除D选项;B选项符合题意.故选B.
4.若下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan |x|在x∈(-,)内的大致图象,则由a到d对应的函数关系式应是( )
a b
c d
[A]①②③④ [B]①③④②
[C]③②④① [D]①②④③
【答案】 D
【解析】 由函数图象的特征得,a为函数y=|tan x|的图象,b为函数y=tan x的图象,c为函数y=tan |x|的图象,d为函数y=tan(-x)的图象.故选D.
5.已知函数f(x)=tan(2x-),则下列命题正确的个数为( )
①f(0)=;②f(x)在(,)上单调递增;③(,0)为f(x)的一个对称中心;④f(x)最小正周期为π.
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
【答案】 C
【解析】 已知函数f(x)=tan(2x-),f(0)=tan(-)=-,故①错误;由-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,解得-+6.(多选)下列结论正确的是( )
[A]tan >tan
[B]tan >tan
[C]tan(-)>tan(-)
[D]tan(-)>tan(-)
【答案】 AD
【解析】 对于A,因为0<<<,函数y=tan x在(-,)上单调递增,所以tan >tan ,故A正确;对于B,tan <0tan(-+2π)=tan .又0<<<,函数y=tan x在(-,)上单调递增,所以tan tan(-+3π)=tan(-).又-<-<<,函数y=tan x在(-,)上单调递增,所以tan >tan(-),即tan(-)>tan(-),故D正确.故选AD.
7.(5分)当x∈[0,)∪(,)∪(,2π]时,函数f(x)=|cos x|-|tan x|的零点个数为 .
【答案】 4
【解析】 由f(x)=|cos x|-|tan x|=0,得|cos x|=|tan x|,
作出y=|cos x|,y=|tan x|在x∈[0,)∪(,)∪(,2π]的图象,如图所示,
由图可知,两函数的图象的交点有4个,则曲线f(x)=|cos x|-|tan x|在[0,)∪(,)∪(,2π]上的零点个数为4.
8.(5分)已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则它们的大小关系为 .(用“>”连接)
【答案】 a>c>b
【解析】 因为0<1<<2<3<π,所以tan 1>0,tan 2<0,tan 3<0,由正切函数性质得y=tan x在(,π)上单调递增,所以tan 3>tan 2,故tan 1>tan 3>tan 2,即a>c>b.
9.(14分)已知函数y=f(x),其中f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),y=f(x)的部分图象如下图.
(1)求A,ω,φ的值;
(2)求y=f(x)的单调递增区间.
【解】 (1)根据题给函数图象可知,=-=,即T==,解得ω=2,
所以f(x)=Atan(2x+φ),
因为f(x)过点(0,1)和点(,0),
所以
由于-<φ<,所以<+φ<,
则+φ=π,即φ=,所以A=1,
所以f(x)=tan(2x+).
(2)由kπ-<2x+解得-所以f(x)的单调递增区间为(-,+),k∈Z.
10.(14分)已知x∈[-,],求函数y=+2tan x+1的最值及相应的x的值.
【解】 y=+2tan x+1=+2tan x+1=tan2x+2tan x+2=(tan x+1)2+1.因为x∈[-,],所以tan x∈[-,1],故当tan x=-1,即x=-时,y取得最小值1;当tan x=1,即x=时,
y取得最大值5.
强化练
11.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(,)内的图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|=分段画出函数图象如选项D图所示.故选D.
12.(5分)已知函数f(x)=asin x+btan x-1(a,b∈R),若f(-2)=2 024,则f(2)= .
【答案】 -2 026
【解析】 依题意,f(x)的定义域为{x∈R+kπ,k∈Z},关于原点对称,设g(x)=f(x)+1=
asin x+btan x,则g(-x)=asin(-x)+btan(-x)=-(asin x+btan x)=-g(x),所以g(x)为奇函数,则有g(2)+g(-2)=f(2)+1+f(-2)+1=0,而f(-2)=2 024,所以f(2)=-2 026.
13.(16分)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π,且图象关于点M(-,0)对称.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
【解】 (1)由题意知,函数f(x)的最小正周期为T==π,因为ω>0,所以ω=1,所以f(x)=tan(x+φ).
因为函数y=f(x)的图象关于点M(-,0)对称,
所以-+φ=,k∈Z,即φ=+,k∈Z,
因为0<φ<,所以φ=,故f(x)=tan(x+).令-+kπ(2)由(1)知,f(x)=tan(x+).由-1≤tan(x+)≤,得-+kπ≤x+≤+kπ,k∈Z,
即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以不等式-1≤f(x)≤的解集为{x+kπ≤x≤+kπ,k∈Z}.
拓展练
14.(5分)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)经过点(,-1),图象如图所示,图中阴影部分的面积为6π,则f()= .
【答案】 0
【解析】 由题图可知T×3=6π,即×3=6π,解得ω=,则f(x)=tan(x+φ),依题意,f()=tan(+φ)=-1,由于-<φ<,则-<+φ<,所以+φ=-,即φ=-,所以f(x)=tan(x-).
则f()=tan(-)=tan =tan 337π=0.5.4.3 正切函数的性质与图象
课时作业
基础练
1.函数y=的定义域为( )
[A](kπ,kπ+],k∈Z
[B](kπ,kπ+],k∈Z
[C](kπ-,kπ+],k∈Z
[D](kπ-,kπ+],k∈Z
2.函数y=(-[A](-1,1)
[B](-∞,-1)∪(1,+∞)
[C](-∞,1)
[D](-1,+∞)
3.函数f(x)=2x·tan x(-1[A] [B]
[C] [D]
4.若下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan |x|在x∈(-,)内的大致图象,则由a到d对应的函数关系式应是( )
a b
c d
[A]①②③④ [B]①③④②
[C]③②④① [D]①②④③
5.已知函数f(x)=tan(2x-),则下列命题正确的个数为( )
①f(0)=;②f(x)在(,)上单调递增;③(,0)为f(x)的一个对称中心;④f(x)最小正周期为π.
[A]0 [B]1 [C]2 [D]3
6.(多选)下列结论正确的是( )
[A]tan >tan
[B]tan >tan
[C]tan(-)>tan(-)
[D]tan(-)>tan(-)
7.(5分)当x∈[0,)∪(,)∪(,2π]时,函数f(x)=|cos x|-|tan x|的零点个数为 .
8.(5分)已知a=tan 1,b=tan 2,c=tan 3,则它们的大小关系为 .(用“>”连接)
9.(14分)已知函数y=f(x),其中f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),y=f(x)的部分图象如下图.
(1)求A,ω,φ的值;
(2)求y=f(x)的单调递增区间.
10.(14分)已知x∈[-,],求函数y=+2tan x+1的最值及相应的x的值.
强化练
11.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间(,)内的图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
12.(5分)已知函数f(x)=asin x+btan x-1(a,b∈R),若f(-2)=2 024,则f(2)= .
13.(16分)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π,且图象关于点M(-,0)对称.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
拓展练
14.(5分)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)经过点(,-1),图象如图所示,图中阴影部分的面积为6π,则f()= .
