5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 简单的三角恒等变换(一)
课时作业
基础练
1.已知cos =,720°<α<900°,则sin 等于( )
[A]- [B]-
[C] [D]
2.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有( )
[A]c
[C]a3.若tan α=,且α为第一象限角,则sin 等于( )
[A] [B]±
[C] [D]-
4.已知α是锐角,cos α=,则cos(+)等于( )
[A]- [B]+
[C]- [D]-
5.设直角三角形中两锐角分别为A和B,则cos Acos B的取值范围是( )
[A](0,] [B](0,1)
[C][,1) [D][,1)
6.(多选)已知2sin α=1+cos α,则tan 的可能取值为( )
[A] [B]1
[C]2 [D]不存在
7.(5分)将下列各式化成积的形式:
(1)sin(α+)-sin(α-)= ;
(2)sin x+= .
8.(5分)计算:tan 20°+4sin 20°= .
9.(14分)某同学在一次研究性学习中发现,以下四个式子的值都等于同一个常数.
①sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°;
②sin212°+cos242°+sin 12°cos 42°;
③sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°;
④sin2(-10°)+cos220°+sin(-10)°cos 20°.
(1)试从上述四个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
10.(15分)化简:
(1)+;
(2)(3π<α<4π).
强化练
11.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( )
[A]- [B]-
[C] [D]
12.(5分)在△ABC中,cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos Acos Bcos C= .
13.(15分)已知α,β∈(0,),且满足=cos(α+β).
(1)求证:tan β=.
(2)求tan β的最大值,并求当tan β取得最大值时tan(α+β)的值.
拓展练
14.数学里有一种证明方法叫做无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明数学命题的方法.如下图,点C为半圆O上一点,CH⊥AB,垂足为H,记∠COB=θ,则由
tan ∠CAH=可以直接证明的三角函数公式是( )
[A]tan = [B]tan =
[C]tan = [D]tan =5.5.2 简单的三角恒等变换
第1课时 简单的三角恒等变换(一)
课时作业
基础练
1.已知cos =,720°<α<900°,则sin 等于( )
[A]- [B]-
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为720°<α<900°,所以180°<<225°,因为cos =,
所以sin =-=-=-.故选A.
2.设a=cos 6°-sin 6°,b=2sin 13°cos 13°,c=,则有( )
[A]c[C]a【答案】 C
【解析】 a=sin 30°cos 6°-cos 30°sin 6°=sin(30°-6°)=sin 24°,b=2sin 13°cos 13°=sin 26°,
c=sin 25°,因为y=sin x在0°≤x≤90°时单调递增,所以a3.若tan α=,且α为第一象限角,则sin 等于( )
[A] [B]±
[C] [D]-
【答案】 B
【解析】 因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,且是第一或第三象限角.当是
第一象限角时,sin ==;当是第三象限角时,sin =-=-.故sin =±.
故选B.
4.已知α是锐角,cos α=,则cos(+)等于( )
[A]- [B]+
[C]- [D]-
【答案】 D
【解析】 因为α是锐角,所以0<<,因为sin2===,cos2===,所以
sin =,cos =,所以cos(+)=cos cos -sin sin =×-×=-.故选D.
5.设直角三角形中两锐角分别为A和B,则cos Acos B的取值范围是( )
[A](0,] [B](0,1)
[C][,1) [D][,1)
【答案】 A
【解析】 因为直角三角形中两锐角分别为A和B,所以A+B=C=,
则cos Acos B=[cos(A-B)+cos(A+B)]=cos(A-B),再结合A-B∈(-,),可得cos(A-B)∈(0,1],
所以cos(A-B)∈(0,],即cos Acos B∈(0,].故选A.
6.(多选)已知2sin α=1+cos α,则tan 的可能取值为( )
[A] [B]1
[C]2 [D]不存在
【答案】 AD
【解析】 2sin α=4sin cos =1+cos α=2cos2,当cos =0时,tan 不存在,当cos ≠0时,
tan =.故选AD.
7.(5分)将下列各式化成积的形式:
(1)sin(α+)-sin(α-)= ;
(2)sin x+= .
【答案】 (1)cos α
(2)2sin(+)cos(-)
【解析】 (1)sin(α+)-sin(α-)
=2cos ·sin =2cos αsin =cos α.(也可直接展开合并)
(2)sin x+=sin x+sin =2sin ·cos =2sin(+)cos(-).
8.(5分)计算:tan 20°+4sin 20°= .
【答案】
【解析】 原式=+4sin 20°
==
=
==.
9.(14分)某同学在一次研究性学习中发现,以下四个式子的值都等于同一个常数.
①sin210°+cos240°+sin 10°cos 40°;
②sin212°+cos242°+sin 12°cos 42°;
③sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°;
④sin2(-10°)+cos220°+sin(-10)°cos 20°.
(1)试从上述四个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
【解】 (1)选择③,计算如下:
sin230°+cos260°+sin 30°cos 60°=++×=.
(2)三角恒等式:sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=.证明如下:
sin2α+cos2(α+30°)+sin αcos(α+30°)=++sin α(cos α-sin α)=
1-+(cos 2α-sin 2α)+sin 2α-(1-cos 2α)=1-+cos 2α-sin 2α+sin 2α-
+cos 2α=.
10.(15分)化简:
(1)+;
(2)(3π<α<4π).
【解】 (1)法一 原式=+=+==.
法二 原式====.
(2)由3π<α<4π,得<<2π,<<π,<<,则cos >0,cos <0,cos >0,
所以原式====
==2cos .
强化练
11.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( )
[A]- [B]-
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为sin α+sin β=(cos β-cos α),所以2sin cos =×(-2)sin ·sin ,所以tan =.又α∈(0,π),β∈(0,π),所以0<<,所以=,即α-β=.故选D.
12.(5分)在△ABC中,cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos Acos Bcos C= .
【答案】 -1
【解析】 法一 cos 2A+cos 2B+cos 2C
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2[π-(A+B)]-1
=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1
=2cos(A+B)[cos(A-B)+cos(A+B)]-1
=4cos(A+B)cos Acos B-1
=4cos(π-C)cos Acos B-1
=-4cos Acos Bcos C-1,
所以cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos A·cos Bcos C=-1.
法二 取特殊值A=B=C=,
则cos A=cos B=cos C=,cos 2A=cos 2B=cos 2C=-,
所以cos 2A+cos 2B+cos 2C+4cos Acos Bcos C=-×3+4×××=-1.
13.(15分)已知α,β∈(0,),且满足=cos(α+β).
(1)求证:tan β=.
(2)求tan β的最大值,并求当tan β取得最大值时tan(α+β)的值.
(1)【证明】 因为=cos(α+β),
所以=cos αcos β-sin αsin β,
所以sin β=sin αcos αcos β-sin2αsin β,
所以tan β=sin αcos α-sin2αtan β,
所以tan β=.
(2)【解】 由(1)得,tan β===,因为α,β∈(0,),所以tan α∈(0,+∞),
由tan β==≤=,当且仅当tan α=时,等号成立,此时tan β取得最大值.
因为=cos(α+β),所以=cos(α+β),
所以sin[(α+β)-α]=sin αcos(α+β),所以sin(α+β)cos α-sin αcos(α+β)=sin αcos(α+β),
所以sin(α+β)cos α=2sin αcos(α+β),所以tan(α+β)=2tan α=.
拓展练
14.数学里有一种证明方法叫做无字证明,是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明数学命题的方法.如下图,点C为半圆O上一点,CH⊥AB,垂足为H,记∠COB=θ,则由
tan ∠CAH=可以直接证明的三角函数公式是( )
[A]tan = [B]tan =
[C]tan = [D]tan =
【答案】 B
【解析】 由已知∠COB=θ,AO=OC,则∠CAH=,又tan ∠CAH=tan =,sin θ=,
cos θ=,AH=AO+OH=OC+OH,即CH=OC·sin θ,OH=OC·cos θ,所以tan ===
=.故选B.第2课时 简单的三角恒等变换(二)
课时作业
基础练
1.已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x,则f(x)的最小正周期为( )
[A]2π [B]π
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 f(x)=(cos4x-sin4x)-2sin xcos x=cos 2x-sin 2x=cos(2x+),所以f(x)的最小正周期为T==π.故选B.
2.已知sin α+cos α=-,则cos(2α+)的值为( )
[A]- [B]
[C]- [D]
【答案】 A
【解析】 sin α+cos α=2sin(α+)=-,即sin(α+)=-,
则cos(2α+)=cos[2(α+)]=1-2sin2(α+)=1-2×=-.故选A.
3.已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是奇函数,则tan φ等于( )
[A] [B]-
[C] [D]-
【答案】 D
【解析】 f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=2sin(x+φ+),因为函数为奇函数,所以φ+=kπ,k∈Z,
解得φ=-+kπ,k∈Z,所以tan φ=tan(-+kπ)=-tan =-.故选D.
4.函数f(x)=sin x-acos x(x∈R)的图象的一条对称轴方程是x=-,则a的值是( )
[A]1 [B]-1
[C]0 [D]±1
【答案】 A
【解析】 函数f(x)=sin(x+φ)的最大值为,因为函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x=-,所以|f(-)|=|--a|=,解得a=1.故选A.
5.有一块矩形花圃ABCD如图所示,其中AB=10 m,BC=6 m,现引进了新品种需将其扩大成矩形区域EFGH,点A,B,C,D均落在矩形EFGH的边上(不包括顶点),则扩大后的花圃的最大面积为( )
[A]100 m2 [B]128 m2
[C]144 m2 [D]196 m2
【答案】 B
【解析】 设∠DAH=θ,则AH=ADcos θ=6cos θ,HD=ADsin θ=6sin θ;∠GDC=∠DAH=θ,
则DG=DCcos θ=10cos θ,AE=GC=DCsin θ=10sin θ.S=HG·HE=(6sin θ+10cos θ)(6cos θ+
10sin θ)=136cos θsin θ+60=68sin 2θ+60,当2θ=,即θ=时,面积有最大值为128 m2.故选B.
6.某大型商场为迎接新年的到来,在自动扶梯AC(AC>5 m)的C点的上方悬挂竖直高度为
5 m的广告牌DE,如图所示,广告牌底部点E正好为DC的中点,电梯AC的坡度∠CAB=30°.当人在A点时,观测到视角∠DAE的正切值为.当人运动到AC的中点P时,PE等于( )
[A]5 [B]5
[C]5 [D]2
【答案】 B
【解析】 由题意,E为CD的中点,DE=5,得EC=5,当人在A点时,如图所示,
设BC=x,则AB=x,AC=2x,
在△DAB中,tan ∠DAB=,
在△EAB中,tan ∠EAB=,
因为tan ∠DAB=tan(∠DAE+∠EAB)=,
所以=,解得x=或x=5,
因为AC>5,所以x>,则BC=5,则AB=5,
当人运动到AC的中点P时,作PQ⊥BC于点Q,如图所示,
则PQ=AB=,CQ=,
所以EQ=EC+CQ=5+=,
在Rt△PQE中,
PE===5.故选B.
7.(5分)如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于点Q,当△POQ的面积大于时,∠POQ的取值范围为 .
【答案】 (,)
【解析】 设∠POQ=θ(0<θ<),则PQ=sin θ,OQ=cos θ,所以=sin θcos θ=sin 2θ,由sin 2θ>,得sin 2θ>.又2θ∈(0,π),所以<2θ<,则<θ<,所以∠POQ的取值范围为(,).
8.(5分)已知函数f(x)=asin 2x+cos 2x的图象关于(-,0)对称,则a的值为 .
【答案】 1
【解析】 由辅助角公式得f(x)=asin 2x+cos 2x=sin(2x+φ),其中tan φ=,因为f(x)的图象关于(-,0)对称,所以f(-)=·sin(-+φ)=0 -+φ=kπ φ=kπ+,k∈Z,
则tan(kπ+)=1= a=1.
9.(14分)已知函数f(x)=2cos2x+cos(2x-)-1.
(1)求函数y=f(x)的最值;
(2)求方程f(x)=在x∈[0,π]上的解.
【解】 (1)由题意得f(x)=1+cos 2x+cos 2x+sin 2x-1=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),
所以f(x)max=,f(x)min=-.
(2)由(1)可得f(x)=sin(2x+)=,即sin(2x+)=,所以2x+=+2kπ(k∈Z)或2x+=+2kπ
(k∈Z),解得x=-+kπ(k∈Z)或x=+kπ(k∈Z),又x∈[0,π],所以x=或 x=.
10.(15分)已知函数f(x)=sin(+x)sin(-x)+sin xcos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,若f(-)=1,求sin B+sin C 的最大值.
【解】 (1)依题意,f(x)=sin(+x)sin[-(+x)]+sin 2x=sin(+x)cos(+x)+sin 2x=
sin(+2x)+sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),所以函数f(x)的最小正周期为T==π.
(2)由(1)知,f(-)=sin[2(-)+]=sin(A+)=1,
在△ABC中,0sin(-B)=sin B+cos B+sin B=sin B+cos B=sin(B+),显然0强化练
11.(多选)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x+1,则( )
[A]f(x)的最小正周期是π
[B]f(x)的图象关于点(-,1)中心对称
[C]f(x+)是偶函数
[D]f(x)在[-,]上恰有4个零点
【答案】 ABD
【解析】 f(x)=sin 2x+cos 2x+1=2sin(2x+)+1,f(x)的最小正周期是=π,所以A正确;
因为f(-)=2sin(-+)+1=1,所以f(x)的图象关于点(-,1)中心对称,所以B正确;
f(x+)=2sin(2x++)+1=2sin(2x+)+1,令g(x)=f(x+)=2sin(2x+)+1,
则g(-x)=2sin(-2x+)+1=-2sin(2x-)+1≠g(x),所以f(x+)不是偶函数,所以C错误;
由f(x)=2sin(2x+)+1=0,得sin(2x+)=-,所以2x+=-+2kπ,k∈Z或2x+=+2kπ,k∈Z,
得x=-+kπ,k∈Z或x=+kπ,k∈Z,因为x∈[-,],所以x=-,x=,x=,x=,所以f(x)在[-,]上恰有4个零点,所以D正确.故选ABD.
12.(5分)有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它按如图所示的方式截成一块正方形的钢板EFGH,使其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角
x= 来截.
【答案】 或
【解析】 设正方形EFGH的边长为1,则正方形ABCD的边长为BC=BF+CF=CG+CF=
sin x+cos x,由题意可得=,即1+sin 2x=,可得sin 2x=,因为x∈(0,),则2x∈(0,π),所以2x=或2x=,解得x=或x=.
13.(15分) 如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=8,Rt△MPN 的直角顶点P为AD的中点,点M,N分别在边AB,CD上,令∠DPN=θ(≤θ≤).
(1)当tan θ=时,求梯形BCNM的面积S;
(2)求△MPN的周长l的最小值,并求此时角θ的值.
【解】 (1)DN=DPtan θ=4×=2,因为∠DPN=∠PMA=θ,所以tan ∠PMA==,
所以AM=4×=,所以NC=2,MB=,所以S=(2+)×8×=.
(2)由(1)可知,PN=,PM=,
所以MN=4=4=.
所以l=++=4(),sin θ+cos θ=sin(θ+),因为θ+∈[,],
所以sin(θ+)∈[,1].
令sin θ+cos θ=t∈[,],则sin θcos θ=(t2-1),即l==,当t=,即θ=时,
lmin==8(+1).
拓展练
14.已知当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最小值,则等于( )
[A]- [B]
[C] [D]-
【答案】 B
【解析】 f(x)=2sin x-cos x=(sin x-cos x)=sin(x-α),其中cos α=,sin α=,所以当x=θ=2kπ+α-,k∈Z时,函数f(x)取得最小值-,所以sin θ=-cos α=-,cos θ=sin α=,所以tan θ=-2,所以===.故选B.第2课时 简单的三角恒等变换(二)
课时作业
基础练
1.已知函数f(x)=cos4x-2sin xcos x-sin4x,则f(x)的最小正周期为( )
[A]2π [B]π
[C] [D]
2.已知sin α+cos α=-,则cos(2α+)的值为( )
[A]- [B]
[C]- [D]
3.已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是奇函数,则tan φ等于( )
[A] [B]-
[C] [D]-
4.函数f(x)=sin x-acos x(x∈R)的图象的一条对称轴方程是x=-,则a的值是( )
[A]1 [B]-1
[C]0 [D]±1
5.有一块矩形花圃ABCD如图所示,其中AB=10 m,BC=6 m,现引进了新品种需将其扩大成矩形区域EFGH,点A,B,C,D均落在矩形EFGH的边上(不包括顶点),则扩大后的花圃的最大面积为( )
[A]100 m2 [B]128 m2
[C]144 m2 [D]196 m2
6.某大型商场为迎接新年的到来,在自动扶梯AC(AC>5 m)的C点的上方悬挂竖直高度为
5 m的广告牌DE,如图所示,广告牌底部点E正好为DC的中点,电梯AC的坡度∠CAB=30°.当人在A点时,观测到视角∠DAE的正切值为.当人运动到AC的中点P时,PE等于( )
[A]5 [B]5
[C]5 [D]2
7.(5分)如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为,若P为上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于点Q,当△POQ的面积大于时,∠POQ的取值范围为 .
8.(5分)已知函数f(x)=asin 2x+cos 2x的图象关于(-,0)对称,则a的值为 .
9.(14分)已知函数f(x)=2cos2x+cos(2x-)-1.
(1)求函数y=f(x)的最值;
(2)求方程f(x)=在x∈[0,π]上的解.
10.(15分)已知函数f(x)=sin(+x)sin(-x)+sin xcos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)在△ABC中,若f(-)=1,求sin B+sin C 的最大值.
强化练
11.(多选)已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x+1,则( )
[A]f(x)的最小正周期是π
[B]f(x)的图象关于点(-,1)中心对称
[C]f(x+)是偶函数
[D]f(x)在[-,]上恰有4个零点
12.(5分)有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它按如图所示的方式截成一块正方形的钢板EFGH,使其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角
x= 来截.
13.(15分) 如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=8,Rt△MPN 的直角顶点P为AD的中点,点M,N分别在边AB,CD上,令∠DPN=θ(≤θ≤).
(1)当tan θ=时,求梯形BCNM的面积S;
(2)求△MPN的周长l的最小值,并求此时角θ的值.
拓展练
14.已知当x=θ时,函数f(x)=2sin x-cos x取得最小值,则等于( )
[A]- [B]
[C] [D]-