5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
课时作业
基础练
1.已知函数y=sin(2x+)的图象为C,为了得到函数y=sin(2x-)的图象,只要把C上所有的点( )
[A]向右平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向左平移个单位长度
2.已知将函数f(x)=2sin(2x-)图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标变为原来的,可以得到函数g(x)的图象,则g()等于( )
[A] [B]
[C] [D]1
3.将函数y=f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,
纵坐标不变,得到函数y=cos(2x-)的图象,则f(x)等于( )
[A]cos 4x [B]cos(4x-)
[C]cos(x-) [D]cos(x-)
4.(多选)为得到函数y=2sin(2x+)的图象,只需要将函数y=2sin 2x的图象( )
[A]向左平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
5.(多选)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的可能取值为( )
[A]- [B]
[C] [D]
6.(多选)为了得到函数y=cos(2x-)的图象,只需将y=sin x图象上的所有点( )
[A]先向左平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍
[B]先向左平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的
[C]先将横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
[D]先将横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
7.(5分)将函数y=1+2sin(-3x)的图象向下平移1个单位长度,可得函数 的图象;作出所得图象关于x轴的对称图形,可得函数 的图象;再将所得图象上各点的纵坐标变为原来的,横坐标变为原来的3倍,可得函数 的图象;再将此图象向左平移个单位长度,就可得到函数 的图象.
8.(5分)把函数f(x)=sin(2x+φ)(-≤φ≤)的图象上所有的点向右平移个单位长度后,所得图象与函数g(x)=sin(2x-)的图象重合,则φ= .
9.(13分)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)用“五点法”,列表画出函数f(x)在一个周期上的图象;
(3)函数f(x)的图象经过怎样的变换,可以得到函数g(x)=2cos(x+)(ω>0)的图象.
强化练
10.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的函数图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
11.为了得到函数y=2cos(+)sin(-)-1的图象,需将y=sin x+cos x的图象( )
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
12.(14分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数y=f(x)+g(x)的解析式,并用“五点法”列表,在下面的坐标系中作出该函数在[0,2π]上的图象.
(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π]内恰有两个不同的解α,β.
①求实数m的取值范围;
②证明:cos(α-β)=-1.5.6 函数y=Asin(ωx+φ)
第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
课时作业
基础练
1.已知函数y=sin(2x+)的图象为C,为了得到函数y=sin(2x-)的图象,只要把C上所有的点( )
[A]向右平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向左平移个单位长度
【答案】 A
【解析】 由y=sin(2x+)向右平移个单位长度可得y=sin[2(x-)+]=sin(2x-)的图象.
故选A.
2.已知将函数f(x)=2sin(2x-)图象上所有的点向左平移个单位长度,再把所有点的横坐标变为原来的,可以得到函数g(x)的图象,则g()等于( )
[A] [B]
[C] [D]1
【答案】 A
【解析】 将函数f(x)=2sin(2x-)图象上所有的点向左平移个单位长度,
得到y=2sin[2(x+)-]=2sin 2x的图象,再把所有点的横坐标变为原来的,
得到函数g(x)=2sin(2×2x)=2sin 4x,所以g()=2sin =.故选A.
3.将函数y=f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍,
纵坐标不变,得到函数y=cos(2x-)的图象,则f(x)等于( )
[A]cos 4x [B]cos(4x-)
[C]cos(x-) [D]cos(x-)
【答案】 B
【解析】 由题意可得,将函数y=cos(2x-)的图象横坐标变为原来的,纵坐标不变,
可得y=cos(4x-)的图象,再将其向右平移个单位长度,得到y=cos[4(x-)-]=cos(4x-),即f(x)=cos(4x-)的图象.故选B.
4.(多选)为得到函数y=2sin(2x+)的图象,只需要将函数y=2sin 2x的图象( )
[A]向左平移个单位长度
[B]向左平移个单位长度
[C]向右平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
【答案】 AC
【解析】 由于y=2sin(2x+)=2sin[2(x+)],所以将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到y=2sin(2x+)的图象;又函数y=2sin(2x+)的最小正周期为π,所以将函数
y=2sin 2x的图象向右平移个单位长度,也可得到y=2sin(2x+)的图象.故选AC.
5.(多选)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个奇函数的图象,则φ的可能取值为( )
[A]- [B]
[C] [D]
【答案】 AC
【解析】 由题意将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,所得函数图象的解析式为y=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),因为它是奇函数,所以φ+=kπ,k∈Z,即φ=kπ-,
k∈Z,只有A,C满足题意.故选AC.
6.(多选)为了得到函数y=cos(2x-)的图象,只需将y=sin x图象上的所有点( )
[A]先向左平移个单位长度,再将横坐标伸长到原来的2倍
[B]先向左平移个单位长度,再将横坐标缩短到原来的
[C]先将横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
[D]先将横坐标缩短到原来的,再向左平移个单位长度
【答案】 BD
【解析】 y=cos(2x-)=cos(2x+-)=cos[-(2x+)]=sin(2x+),把y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数y=sin 2x的图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y=sin(2x+)的图象;或者把y=sin x的图象上所有点向左平移个单位长度,得到函数y=sin(x+)的图象,再把得到的曲线上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数y=sin(2x+)的图象.故选BD.
7.(5分)将函数y=1+2sin(-3x)的图象向下平移1个单位长度,可得函数 的图象;作出所得图象关于x轴的对称图形,可得函数 的图象;再将所得图象上各点的纵坐标变为原来的,横坐标变为原来的3倍,可得函数 的图象;再将此图象向左平移个单位长度,就可得到函数 的图象.
【答案】 y=2sin(-3x) y=2sin(3x-) y=sin(x-) y=sin x
【解析】 将函数y=1+2sin(-3x)的图象向下平移1个单位长度,则函数减1可得函数y=2sin(-3x)的图象;关于x轴对称,可得函数 y=-2sin(-3x)=2sin(3x-)的图象;图象上各点的纵坐标变为原来的,横坐标变为原来的3倍,可得函数y=sin(x-)的图象;向左平移个单位长度,可得到函数y=sin(x+-)=sin x的图象.
8.(5分)把函数f(x)=sin(2x+φ)(-≤φ≤)的图象上所有的点向右平移个单位长度后,所得图象与函数g(x)=sin(2x-)的图象重合,则φ= .
【答案】
【解析】 因为函数f(x)=sin(2x+φ)(-≤φ≤)的图象上所有的点向右平移个单位长度后,得到的图象与函数g(x)=sin(2x-)的图象重合,所以函数g(x)=sin(2x-)的图象上所有的点向左平移个单位长度后,得到的图象与函数f(x)=sin(2x+φ)(-≤φ≤)的图象重合,
即g(x+)=sin[2(x+)-]=sin(2x+)=sin(2x+φ),所以φ=+2kπ,k∈Z,因为-≤φ≤,所以φ=.
9.(13分)已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)用“五点法”,列表画出函数f(x)在一个周期上的图象;
(3)函数f(x)的图象经过怎样的变换,可以得到函数g(x)=2cos(x+)(ω>0)的图象.
【解】 (1)由f(x)的最小正周期为π,得=π,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+),
由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.
(2)列表如下:
2x+ 0 π 2π
x -
f(x) 0 2 0 -2 0
描点连线,图象如下.
(3)法一 将函数f(x)=2sin(2x+)图象的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数 y=2sin(x+)的图象,再将函数图象向左平移个单位长度,即可得到函数g(x)=2cos(x+)的图象.
法二 将函数f(x)=2sin(2x+)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2cos(2x+)的图象,再将函数图象的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,即可得到函数g(x)=2cos(x+)的
图象.
强化练
10.把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移1个单位长度,最后向下平移1个单位长度,得到的函数图象是( )
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由题意,y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得函数图象的解析式为y=cos x+1;再向左平移1个单位长度,所得函数图象的解析式为y=cos(x+1)+1;最后向下平移1个单位长度,所得函数图象的解析式为y=cos(x+1),显然点(-1,0)在此函数图象上.故选A.
11.为了得到函数y=2cos(+)sin(-)-1的图象,需将y=sin x+cos x的图象( )
[A]向左平移个单位长度
[B]向右平移个单位长度
[C]向左平移个单位长度
[D]向右平移个单位长度
【答案】 C
【解析】 y=2cos(+)sin(-)-1=2cos(+)sin[-(+)]-1=2cos(+)cos(+)-1=cos(x+),
y=sin x+cos x=sin(x+)的图象y=sin(x++)=cos(x+)的图象.故选C.
12.(14分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数y=f(x)+g(x)的解析式,并用“五点法”列表,在下面的坐标系中作出该函数在[0,2π]上的图象.
(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π]内恰有两个不同的解α,β.
①求实数m的取值范围;
②证明:cos(α-β)=-1.
(1)【解】 先将g(x)=cos x图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),得到函数y=cos x的图象,再将其向右平移个单位长度,得到函数f(x)=cos(x-)=sin x的
图象,所以y=f(x)+g(x)=sin x+cos x=2sin(x+).
列表如下:
x+ π 2π
x 0 2π
y 1 2 0 -2 0 1
描点连线,图象如下.
(2)①【解】 依题意,2sin(x+)=m在区间[0,2π]内恰有两个不同的解α,β,等价于函数y=2sin(x+)在[0,2π]上的图象与直线 y=m有两个交点,由图可知,m的取值范围是
(-2,1)∪(1,2).
②【证明】 因为α,β是方程2sin(x+)=m在区间[0,2π]的两个不同的解,根据函数y=2sin(x+)图象的对称性可知,当1所以cos(α-β)=cos(-2β)=2cos2(-β)-1=2sin2(β+)-1=-1,当-2且sin(β+)=,所以cos(α-β)=cos(-2β)=2cos2(-β)-1=2sin2(β+)-1=-1.
综上,cos(α-β)=-1.第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
课时作业
基础练
1.已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与最低点的距离是5,则A等于( )
[A]1 [B]2
[C]4 [D]8
2.已知函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,当x=时,函数取得最大值2,当x=时,函数取得最小值-2,则该函数的解析式为( )
[A]y=2sin(3x-)
[B]y=2sin(3x+)
[C]y=2sin(+)
[D]y=2sin(-)
3.将函数y=sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位长度,得到的函数的一个对称中心是( )
[A](,0) [B](,0)
[C](,0) [D](,0)
4.函数y=f(x)的部分图象如图所示,则y=f(x)的解析式为( )
[A]f(x)=sin(2x+)+1
[B]f(x)=sin(2x-)+1
[C]f(x)=2sin(2x+)-1
[D]f(x)=sin(2x-)-1
5.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象的一部分如图(1)所示,则图(2)中的函数图象对应的函数是( )
[A]y=f(2x-) [B]y=f(-)
[C]y=f(-1) [D]y=f(2x-1)
6.如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(ωx-φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象,将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,再将所得曲线向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
[A]g(x)=2cos(-)
[B]g(x)=2cos(2x-)
[C]g(x)=2sin 2x
[D]g(x)=2cos 2x
7.(5分)如图所示为函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象,则ω= ,φ= .
8.(5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象,如图所示,图中阴影部分的面积为,则f(0)= .
强化练
9.关于函数y=2sin(2x+φ)(0<φ<π)有如下四个命题:
甲:该函数图象的一个对称中心为(,0);
乙:该函数在(-,)上单调递增;
丙:该函数图象的一条对称轴方程为x=-;丁:该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数.
如果只有一个假命题,则该命题是( )
[A]甲 [B]乙
[C]丙 [D]丁
10.(多选)某摩天轮最高点距离地面高度为60 m,转盘直径为50 m,设置有24个座舱,摩天轮开启前,距地面最近的点为0号座舱,距地面最远的点为12号座舱,座舱逆时针排列且均匀分布,游客甲坐2号舱位,乙坐6号舱位,开启后按逆时针方向匀速旋转,开启后的第8 min这一时刻,游客甲和游客乙首次距离地面高度相同,游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 H m,下列说法正确的是( )
[A]H关于t的函数解析式为H=25sin(t-)+35
[B]开启后第20 min这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同
[C]开启后第10 min游客乙距离地面47.5 m
[D]开启后第10 min至第18 min游客甲和乙运动方向相同(上升或下降)
11.(14分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将该函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,
①求函数g(x)在区间[-,]的值域;
②求满足不等式g(x)≥的解集.第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
课时作业
基础练
1.已知函数f(x)=Asin(x+)(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与最低点的距离是5,则A等于( )
[A]1 [B]2
[C]4 [D]8
【答案】 B
【解析】 函数f(x)=Asin(x+)(A>0)的最小正周期T==6.因为函数f(x)=Asin(x+)(A>0)在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与最低点的距离是5,所以=,
所以A=2.故选B.
2.已知函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,当x=时,函数取得最大值2,当x=时,函数取得最小值-2,则该函数的解析式为( )
[A]y=2sin(3x-)
[B]y=2sin(3x+)
[C]y=2sin(+)
[D]y=2sin(-)
【答案】 B
【解析】 由题意知|A|=2,=-=,因为T=,由选项可知A=2,ω=3,所以此时函数为y=2sin(3x+φ),又因为该函数过点(,2),所以有2=2sin(3×+φ),解得φ=+2kπ,k∈Z,由题可知该函数的解析式为y=2sin(3x+).故选B.
3.将函数y=sin(6x+)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,再向右平移个单位长度,得到的函数的一个对称中心是( )
[A](,0) [B](,0)
[C](,0) [D](,0)
【答案】 A
【解析】 将函数y=sin(6x+)的图象按照条件变换后得到y=sin 2x的图象.令2x=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),当k=1时,x=,则所得函数的一个对称中心是(,0).故选A.
4.函数y=f(x)的部分图象如图所示,则y=f(x)的解析式为( )
[A]f(x)=sin(2x+)+1
[B]f(x)=sin(2x-)+1
[C]f(x)=2sin(2x+)-1
[D]f(x)=sin(2x-)-1
【答案】 A
【解析】 设f(x)=Asin(ωx+φ)+m(ω>0),由题图知,A==1,m==1,T=4×(-)=π,
ω===2,所以sin(2×+φ)+1=0,所以φ+=2kπ-,k∈Z,所以φ=2kπ-,k∈Z,可以取φ=,所以f(x)=sin(2x+)+1.故选A.
5.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象的一部分如图(1)所示,则图(2)中的函数图象对应的函数是( )
[A]y=f(2x-) [B]y=f(-)
[C]y=f(-1) [D]y=f(2x-1)
【答案】 D
【解析】 由题图(1)可知,T=2,所以ω==π,所以f(x)=sin πx,题图(2)可看成由题图(1)向右平移1个单位长度,得f(x-1)的图象,再将所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,得f(2x-1)的图象.故选D.
6.如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(ωx-φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象,将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,再将所得曲线向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )
[A]g(x)=2cos(-)
[B]g(x)=2cos(2x-)
[C]g(x)=2sin 2x
[D]g(x)=2cos 2x
【答案】 D
【解析】 由图象可知A=2,=,则f(x)的一个最低点为(,-2),f(x)的最小正周期为T=,则ω==3,f()=2cos(3×-φ)=-2,即-φ=π+2kπ(k∈Z),所以φ=-2kπ(k∈Z),又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2cos(3x-),将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,得y=2cos(2x-)的图象,再将所得曲线向左平移个单位长度,得y=2cos[2(x+)-]=2cos 2x的图象,
故g(x)=2cos 2x.故选D.
7.(5分)如图所示为函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象,则ω= ,φ= .
【答案】
【解析】 由题图可得f(0)=,即cos φ=,又0<φ<π,所以φ=,由“五点法”可得ω+=,解得ω=.
8.(5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的图象向左平移θ个单位长度得到函数g(x)的图象,如图所示,图中阴影部分的面积为,则f(0)= .
【答案】
【解析】 根据正弦型函数图象的对称性可知,阴影部分的面积等于一个长为2,宽为θ的矩形的面积,所以2θ=,即θ=,由题图可知,函数f(x)的最小正周期T满足T=,则T=π,
又ω>0,所以ω===2,则f(x)=sin(2x+φ),因为f()=sin(2×+φ)=1,所以+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=.所以f(x)=sin(2x+),所以f(0)=sin =.
强化练
9.关于函数y=2sin(2x+φ)(0<φ<π)有如下四个命题:
甲:该函数图象的一个对称中心为(,0);
乙:该函数在(-,)上单调递增;
丙:该函数图象的一条对称轴方程为x=-;丁:该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数.
如果只有一个假命题,则该命题是( )
[A]甲 [B]乙
[C]丙 [D]丁
【答案】 A
【解析】 若甲为假命题,则乙丙丁均为真命题,即函数图象的一条对称轴方程为x=-,
可得-+φ=+kπ(k∈Z),则φ=+kπ(k∈Z),因为0<φ<π,可得φ=,即y=2sin(2x+),当-2sin(2x+),该函数不是奇函数,即丁为假命题,不符合题意;若丁为假命题,则丙为真命题,函数解析式为y=2sin(2x+),则2sin(2×+)=≠0,即甲为假命题,不符合题意.故选A.
10.(多选)某摩天轮最高点距离地面高度为60 m,转盘直径为50 m,设置有24个座舱,摩天轮开启前,距地面最近的点为0号座舱,距地面最远的点为12号座舱,座舱逆时针排列且均匀分布,游客甲坐2号舱位,乙坐6号舱位,开启后按逆时针方向匀速旋转,开启后的第8 min这一时刻,游客甲和游客乙首次距离地面高度相同,游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为 H m,下列说法正确的是( )
[A]H关于t的函数解析式为H=25sin(t-)+35
[B]开启后第20 min这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同
[C]开启后第10 min游客乙距离地面47.5 m
[D]开启后第10 min至第18 min游客甲和乙运动方向相同(上升或下降)
【答案】 BCD
【解析】 设游客甲距离地面的高度H与时间t的函数为H=Asin(ωt+φ)+B,由题意可得,
所以由开启后的第8 min 这一时刻游客甲和游客乙首次距离地面高度相同可知,摩天轮转一周需要24 min,座舱转动的速度约为 rad/min,故ω=,
则H=25sin(t+φ)+35,又当t=10时,游客甲的位置达到摩天轮最高点,
所以60=25sin(×10+φ)+35,即sin(+φ)=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,
不妨取k=0,则φ=-,故H=25sin(t-)+35,A错误;由于摩天轮匀速旋转一周需要24 min,故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时,需经历8+12=20(min),B正确;根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为Y=25sin[(t+4)-]+35=25sint+35,则开启后第 10 min 游客乙距离地面高度为25sin(×10)+35=+35=47.5(m),C正确;对于函数H=25sin(t-)+35,令2kπ+≤t-≤2kπ+,k∈Z,得24k+10≤t≤24k+22,k∈Z,所以函数H=25sin(t-)+35的单调递减区间为[24k+10,24k+22](k∈Z),当k=0时,函数H=25sin(t-)+35的单调递减区间为[10,22],所以开启后第10 min至第18 min游客甲在下降,对于函数Y=25sint+35,令2kπ+≤t≤2kπ+得24k+6≤t≤24k+18,k∈Z,所以函数Y=25sint+35的单调递减区间为[24k+6,24k+18](k∈Z),当k=0时,函数Y=25sint+35的单调递减区间为[6,18],所以开启后第10 min至第18 min游客乙也在下降,即开启后第10 min至第18 min游客甲和乙运动方向相同,D正确.故选BCD.
11.(14分)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将该函数的图象向左平移个单位长度,再将图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,
①求函数g(x)在区间[-,]的值域;
②求满足不等式g(x)≥的解集.
【解】 (1)由题意知A=2,-(-)==T,所以T=π.由T=,可得ω=2.
由2sin(2×+φ)=2,且-<φ<,得φ=-.所以f(x)=2sin(2x-).
(2)①将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,可得y=2sin[2(x+)-]=2sin 2x,再将图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,可得g(x)=2sin x.当x∈[-,]时,
sin x∈[-,1],
所以2sin x∈[-,2].所以函数g(x)在区间[-,]的值域为[-,2].
②由g(x)≥,得sin x≥,所以2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z.
所以不等式g(x)≥的解集为[2kπ+,2kπ+],k∈Z.
