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浙教版（2024）八上一周一测（十）期中复习（B）
（满分：120分 时间：120分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．12cm
2．（3分）一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ）
A．70° B．50° C．40° D．60°
3．（3分）下列说法正确的个数有（ ）
①有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等；
②垂直于同一条直线的两直线平行；
③三角形的中线把三角形的面积平分；
④等腰三角形高所在的直线是对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（3分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝4∠DAE，那么∠C的度数为（ ）
A．72° B．60° C．75° D．70°
5．（3分）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（ ）
A．高，中线，角平分线
B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线
D．高，角平分线，垂直平分线
6．（3分）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠ACB B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
7．（3分）下列说法中不正确的是（ ）
A．“三边对应相等的两个三角形全等”是基本事实，所以没有逆命题
B．“若a＝b，则﹣2a＝﹣2b”的逆命题是“若﹣2a＝﹣2b，则a＝b”
C．“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”
D．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三角对应相等的两个三角形全等”
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
9．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB＝AC＝5，AD＝3，BC＝CD．则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C．3 D．2
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．1.5 B．2.5 C． D．3
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的周长是 ．
12．（3分）命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是 ，逆命题是 （填“真”或“假”）命题．
13．（3分）若a、b、c为三角形的三边，且a，b满足，则第三边c的取值范围是 ．
14．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是 ．
15．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE＝5，AE＝8，则BE＝ ．
16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD＝16cm，BE＝12cm，点P是斜边AB的中点．有一把直角尺MPN，将它的顶点与点P重合，将此直角尺绕点P旋转，与两条直角边AC和CB分别交于点D和点E．则线段PD和PE的数量关系为 ，线段DE＝ cm．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，连结EC．
（1）求∠ECB的度数；
（2）若CE＝4，求BC长．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状并给出证明．
20．（8分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上．
（1）在网格中，画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（点A与A1，B与B1，C与C1相对应）．
（2）△ABC的面积为 ．
（3）在直线l上找一点P，使得△PBC的周长最小，并标出点P．
21．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规作图
（1）作出AB边上的中线CD；
（2）作出△ABC的角平分线AE；
（3）若AC＝5，BC＝12，求出斜边AB上的高的长度．
22．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若CD＝6，求DF的长．
23．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B'，C'处，且边DB'与DC'在同一直线上，连结AC'．
（1）求证：△ADE是直角三角形；
（2）当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
24．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）AC＝ cm；
（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）八上一周一测（十）期中复习（B）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B B D A C C B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在下列长度的四根木棒中，能与3cm，8cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cm B．5cm C．7cm D．12cm
【思路点拨】首先设第三根木棒长为x cm，根据三角形的三边关系定理可得8﹣3＜x＜8+3，计算出x的取值范围，然后可确定答案．
【解答】解：设第三根木棒长为x cm，由题意得：8﹣3＜x＜8+3，
∴5＜x＜11，
∴C选项7cm符合题意，
故选：C．
2．（3分）一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ）
A．70° B．50° C．40° D．60°
【思路点拨】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为70°．
故选：A．
3．（3分）下列说法正确的个数有（ ）
①有两组边对应相等，一组角对应相等的两个三角形全等；
②垂直于同一条直线的两直线平行；
③三角形的中线把三角形的面积平分；
④等腰三角形高所在的直线是对称轴．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】利用全等三角形的判定方法、平行线的判定方法、三角形的中线的性质及等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①有两组边对应相等，且夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，不符合题意；
②平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故原命题错误，不符合题意；
③三角形的中线把三角形的面积平分，正确，是真命题，符合题意；
④等腰三角形底边上的高所在的直线是对称轴，故原命题错误，不符合题意，
正确的有1个，
故选：A．
4．（3分）如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC＝2∠B，∠B＝4∠DAE，那么∠C的度数为（ ）
A．72° B．60° C．75° D．70°
【思路点拨】设∠DAE＝a°，则∠B＝4a°，∠BAC＝8a°，求出∠C＝180°﹣12a°，求出∠DAC＝4a°，根据∠DAC﹣∠EAC＝∠DAE得出方程4a﹣（12a﹣90）＝a，求出a即可．
【解答】解：设∠DAE＝a°，则∠B＝4a°，∠BAC＝8a°，
即∠C＝180°﹣12a°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠EAC＝90°﹣∠C＝12a°﹣90°，
∵AD是角平分线，∠BAC＝8a°，
∴∠DAC＝4a°，
∵∠DAC﹣∠EAC＝∠DAE，
∴4a﹣（12a﹣90）＝a，
解得：a＝10，
∴∠C＝180°﹣12a°＝60°，
故选：B．
5．（3分）嘉淇剪一个锐角△ABC做折纸游戏，折叠方法如图所示，折痕与BC交于点D，连接AD，则线段AD分别是△ABC的（ ）
A．高，中线，角平分线
B．高，角平分线，中线
C．中线，高，角平分线
D．高，角平分线，垂直平分线
【思路点拨】根据折叠的性质和△ABC的高，角平分线，中线定义即可解决问题．
【解答】解：根据折叠可知：线段AD分别是△ABC的高，角平分线，中线．
故选：B．
6．（3分）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠ACB B．∠A﹣∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C
【思路点拨】利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断△ABC的形状．
【解答】解：A．．因为∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠A+∠B＝∠ACB，
所以∠ACB＝90°，故具备条件A的△ABC是直角三角形；
B．因为∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠A﹣∠B＝∠C，
所以∠A＝90°，故具备条件B的△ABC是直角三角形；
C．因为∠A+∠B+∠ACB＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
所以∠C＝90°，故具备条件C的△ABC是直角三角形；
D．因为∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B＝3∠C，
所以∠A＝∠B≈77.14°，故具备条件D的△ABC不是直角三角形．
故选：D．
7．（3分）下列说法中不正确的是（ ）
A．“三边对应相等的两个三角形全等”是基本事实，所以没有逆命题
B．“若a＝b，则﹣2a＝﹣2b”的逆命题是“若﹣2a＝﹣2b，则a＝b”
C．“两个全等三角形的周长相等”的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”
D．“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“三角对应相等的两个三角形全等”
【思路点拨】根据命题的逆命题的定义进行判断即可．
【解答】解：A、“三边对应相等的两个三角形全等”有逆命题，故A符合题意；
B、C、D中的说法正确，故B、C、D不符合题意．
故选：A．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD+∠CED＝（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
【思路点拨】根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD＝60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED＝115°，即可得到∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°．
【解答】解：∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DFAC＝CF，
又∵CD＝CF，
∴CD＝DF＝CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵∠B＝50°，
∴∠BCD+∠BDC＝130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE＝65°，
∴∠CED＝115°，
∴∠ACD+∠CED＝60°+115°＝175°，
故选：C．
9．（3分）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，AB＝AC＝5，AD＝3，BC＝CD．则点C到AB的距离是（ ）
A． B． C．3 D．2
【思路点拨】在AB上截取AE＝AD＝3，连接CE，过C作CF⊥AB于F点，根据SAS定理得出△ADC≌△AEC，故可得出CE＝CD，再由垂直平分线的性质求出AF的长，根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：在AB上截取AE＝AD＝3，连接CE，过C作CF⊥AB于F点．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC．
在△ADC与△AEC中，
∵，
∴△ADC≌△AEC（SAS），
∴CE＝CD．
∵CD＝CB，
∴CE＝CB．
∵CF⊥BE，
∴CF垂直平分BE．
∵AB＝5，
∴BE＝2，
∴EF＝1，
∴AF＝4，
在Rt△ACF中，
∵CF2＝AC2﹣AF2＝52﹣42＝9，
∴CF＝3．
故选：C．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是（ ）
A．1.5 B．2.5 C． D．3
【思路点拨】连接DE，由勾股定理求出AB＝5，由等腰三角形的性质得出CF＝DF，由线段垂直平分线的性质得出CE＝DE，由SSS证明△ADE≌△ACE，得出∠ADE＝∠ACE＝∠BDE＝90°，设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，在Rt△BDE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：连接DE，如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵AD＝AC＝3，AF⊥CD，
∴DF＝CF，
∴CE＝DE，BD＝AB﹣AD＝2，
在△ADE和△ACE中，
，
∴△ADE≌△ACE（SSS），
∴∠ADE＝∠ACE＝90°，
∴∠BDE＝90°，
设CE＝DE＝x，则BE＝4﹣x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：DE2+BD2＝BE2，
即x2+22＝（4﹣x）2，
解得：x＝1.5；
∴CE＝1.5；
∴BE＝4﹣1.5＝2.5
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的周长是 12cm ．
【思路点拨】根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为2cm，只能为5cm，然后即可求得等腰三角形的周长
【解答】解：∵等腰三角形的两条边长分别为2cm，5cm，
∴由三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为2，只能为5，
∴等腰三角形的周长＝5+5+2＝12cm．
故答案为：12cm．
12．（3分）命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是 如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等 ，逆命题是 假命题 （填“真”或“假”）命题．
【思路点拨】根据逆命题的概念写出逆命题，根据实数的平方的概念判断即可．
【解答】解：命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，
当a2＝b2时，a＝±b，
则逆命题是假命题，
故答案为：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；假命题．
13．（3分）若a、b、c为三角形的三边，且a，b满足，则第三边c的取值范围是 1＜c＜5 ．
【思路点拨】根据非负数的性质列式求出a、b，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求解即可．
【解答】解：由题意得，a2﹣9＝0，b﹣2＝0，
解得a＝3，b＝2，
∵3﹣2＝1，3+2＝5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．
14．（3分）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，AB＝13，则EF的值是 ．
【思路点拨】根据题意和题目中的数据，可以计算大正方形的边长，然后即可计算出小正方形的面积，再根据图形可知EF2的值等于小正方形的面积的2倍，本题得以解决．
【解答】解：∵AE＝5，AB＝13，
∴BE12，
∴小正方形的面积为：132﹣45×12＝49，
由图可得，EF2的值等于小正方形的面积的2倍，
∴EF2的值是49×2＝98，
∴EF的值是7，
故答案为：．
15．（3分）如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE＝5，AE＝8，则BE＝ 6 ．
【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线求出AB长，根据勾股定理求出BE即可．
【解答】解：∵BE⊥AC，
∴∠BEA＝90°，
∵DE＝5，D为AB中点，
∴AB＝2DE＝10，
∵AE＝8，
∴由勾股定理得：BE6，
故答案为：6
16．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD＝16cm，BE＝12cm，点P是斜边AB的中点．有一把直角尺MPN，将它的顶点与点P重合，将此直角尺绕点P旋转，与两条直角边AC和CB分别交于点D和点E．则线段PD和PE的数量关系为 PD＝PE ，线段DE＝ 20 cm．
【思路点拨】连接PC，根据等腰直角三角形的性质，判定△DCP≌△EBP（ASA），即可得出PD＝PE，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接PC，
∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，P为AB的中点，
∴CP⊥AB，CPAB＝BP，∠DCP＝∠B＝45°，
∵∠DPE＝90°，
∴∠DPC＝∠EPB，
在△DCP和△EBP中，，
∴△DCP≌△EBP（ASA），
∴PD＝PE，CD＝BE＝12，
∴CE＝AD＝16，
∴DE20，
故答案为：PD＝PE；20．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个等腰三角形的底边长．
【思路点拨】作出图形，设AD＝DC＝x，BC＝y，然后分两种情况列出方程组求解，再根据三角形的三边关系判断即可得解．
【解答】解：如图所示，设AD＝DC＝x，BC＝y，由题意得，或，
解得或，
当，等腰三角形的三边为8，8，17，显然不符合三角形的三边关系；
当时，等腰三角形的三边为14，14，5，
所以，这个等腰三角形的底边长是5，
综上所述，这个等腰三角形的底边长5．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，连结EC．
（1）求∠ECB的度数；
（2）若CE＝4，求BC长．
【思路点拨】（1）由垂直平分线的性质得到∠ECD＝∠A＝36°，结合等腰三角形的性质求出∠ACB的度数，再用角的和差来计算求解；
（2）由（1）得∠ECD＝36°，结合等腰三角形性质得到∠B的度数，再结合三角形外角性质得到BC＝CE即可求解．
【解答】解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，∠A＝36°，
∴EC＝EA，
∴∠ECD＝∠A＝36°．
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴，
∴∠ECB＝∠ACB﹣∠ACE＝72°﹣36°＝36°；
（2）由（1）得∠ECD＝36°．
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴．
∵∠BEC是△AEC的外角，
∴∠BEC＝36°+36°＝72°，
∴∠BEC＝∠B，
∴BC＝CE＝4．
19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状并给出证明．
【思路点拨】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作DN平分∠ADC；
（2）根据等腰三角形的性质得∠BAD＝∠CAD，再利用AM是△ABC外角∠CAE的平分线可得∠FAD＝90°，则可判断AF∥BC，利用平行线的性质得∠CDF＝∠AFD，加上∠AFD＝∠ADF，所以∠CDF＝∠ADF，然后根据等腰三角形的判定方法可得到△ADF是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如图，DN为所作；
（2）△ADF是等腰直角三角形．
证明：∵AB＝AC，AD是高，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AM是△ABC外角∠CAE的平分线，
∴∠FAD180°＝90°，
∴AF∥BC，
∴∠CDF＝∠AFD，
又∵∠AFD＝∠ADF，
∴∠CDF＝∠ADF，
∴AD＝AF，
∴△ADF是等腰直角三角形．
20．（8分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点在格点（网格线的交点）上．
（1）在网格中，画出与△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（点A与A1，B与B1，C与C1相对应）．
（2）△ABC的面积为 ．
（3）在直线l上找一点P，使得△PBC的周长最小，并标出点P．
【思路点拨】（1）利用轴对称的性质即可画出图形；
（2）利用△ABC所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
（3）连接BC1，交l于P，此时，此时△PBC的周长最小．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）△ABC的面积为3×3，
故答案为：；
（3）如图，连接BC1，交l于P，此时，此时△PBC的周长最小．
21．（8分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，利用直尺和圆规作图
（1）作出AB边上的中线CD；
（2）作出△ABC的角平分线AE；
（3）若AC＝5，BC＝12，求出斜边AB上的高的长度．
【思路点拨】（1）作线段AB的垂直平分线即可解决问题．
（2）利用尺规作∠CAB的角平分线即可．
（3）作CH⊥AB于H，利用面积法求解即可．
【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．
（2）如图，线段AE即为所求．
（3）作CH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°
∴AB13，
∵ AC BC AB CH
∴CH．
22．（10分）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）求证：△CEF是等腰三角形；
（3）若CD＝6，求DF的长．
【思路点拨】（1）根性等边三角形的性质及直角三角形的性质可得答案；
（2）证明△DCE中的三个角均为60°，然后再求得∠F＝30°，从而可得到∠CEF＝30°，故此可得到△CEF为等腰三角形；
（3）先求得CF＝DE，然后由EC＝DC进行求解即可．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝EDC＝60°．
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°．
（2）证明：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF；
∴△CEF为等腰三角形．
（3）解：由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝6．
又∵CE＝CF，
∴CF＝6．
∴DF＝DC+CF＝6+6＝12．
23．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D，E分别在边BC，AC上，连结AD，DE．将△ABD沿AD翻折，将△DCE沿DE翻折，翻折后，点B，C分别落在点B'，C'处，且边DB'与DC'在同一直线上，连结AC'．
（1）求证：△ADE是直角三角形；
（2）当BD为何值时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
【思路点拨】（1）根据折叠的性质可得∠ADB＝∠ADB'，∠CDE＝∠C'DE，再根据平角的性质可得∠ADB+∠ADB'+∠CDE+∠C'DE＝180°，从而推算出∠ADB'+∠C'DE＝90°，最终得到∠ADE＝90°；
（2）根据AD＝DC'和AD＝AC'两种情况展开讨论，当AD＝DC'，设BD＝x可得DC＝4﹣x，根据折叠的性质得AD＝DC＝4﹣x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可得到答案；当AD＝AC'，可得B'是DC'的中点，设BD＝x，DC＝4﹣x，可得，根据折叠的性质得BD＝DB'，建立方程解方程即可得到答案．
【解答】（1）证明：根据题意得∠ADB＝∠ADB'，∠CDE＝∠C'DE，
∵∠ADB+∠ADB'+∠CDE+∠C'DE＝180°，
∴2∠ADB'+2∠C'DE＝180°，
∴∠ADB'+∠C'DE＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴△ADE是直角三角形；
（2）解：当AD＝DC'时，设BD＝x，
得DC＝4﹣x，
∵DC'＝DC，
∴AD＝DC＝4﹣x，
在Rt△ABC中AB2+BD2＝AD2，
∴9+x2＝（4﹣x）2，
∴；
当AD＝AC'时，
∵AB'⊥DC'，
∴B'是DC'的中点，
∵DC'＝DC，
∴，
设BD＝x，则DC＝4﹣x，
∴，
∵BD＝DB'，
∴，
∴，
∴当或时，△ADC′是以AD为腰的等腰三角形．
24．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）AC＝ 3 cm；
（2）若点P恰好在AB的垂直平分线上，求此时t的值；
（3）在运动过程中，当t为何值时，△ACP是以AC为腰的等腰三角形（直接写出结果）？
【思路点拨】（1）由勾股定理直接求出AC的长为3cm；
（2）由线段垂直平分线性质定理，点P的位置有两种情况，由路程，速度，时间三者的关系，勾股定理相关知识求出t的值为秒或秒；
（3）由△ACP是以AC为腰的等腰三角形，分类由勾股定理，等积变换，路程，速度，时间三者的关系，求出t的值为或秒或6秒．
【解答】解：（1）如甲图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
，
又AB＝5cm，BC＝4cm，
∴3，
故答案为3；
（2）点P恰好在AB的垂直平分线上时，
如乙图所示：
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝BE，
①当点P运动到点D时，
∵AB＝5cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度运动，
∴t1秒，
②当点P运动到点E时，设BE＝x，则EC＝4﹣x，
∵AE＝BE，
∴AE＝x，
在Rt△AEC中，由勾股定理得，
AE2＝AC2+EC2
∵AC＝3，AE＝x，EC＝4﹣x，
∴32+（4﹣x）2＝x2，
解得：x，
∴AB+BE，
∴秒，
即点P在AB的垂直平分线上时，运动时间t为秒或秒；
（3）运动过程中，△ACP是等腰三角形，
①当AP＝AC时，如丙图（1）所示：
∵AC＝3，∴AP＝3，
∴t1'＝3秒，
②当CA＝CP时，如丙图（2）所示：
若点P运动到P1时，AC＝P1C，过点C作CH⊥AB
交AB于点H，
∵，
AB＝5cm，BC＝4cm，AC＝3cm，
∴CHcm，
在Rt△AHC中，由勾股定理得，
AHcm，
又∵AP1＝2AHcm，
∴秒，
若点P运动到P2时，AC＝P2C，
∵AC＝3cm，
∴P2C＝3cm，
又∵BP2＝BC﹣P2C，
∴BP2＝1cm，
∴AP+BP2＝5+1＝6cm，
∴t4'＝6秒，
综合所述，△ACP是以AC为腰的等腰三角形时，t为3秒或秒或6秒．
