2.1 对数的运算性质
1.lg 8＋3lg 5＝（ ）
A.－3 B.－1
C.1 D.3
2.若lg x＝lg a＋2lg b－3lg c，则x＝（ ）
A.a＋2b－3c B.a＋b2－c3
C. D.
3.化简log612－2log6的结果为（ ）
A.6 B.12
C.log6 D.
4.方程log3（x2－10）＝1＋log3x的解是（ ）
A.－2 B.－2或5
C.5 D.3
5.（多选）以下运算错误的是（ ）
A.lg 2×lg 3＝lg 6 B.（lg 2）2＝lg 4
C.lg 2＋lg 3＝lg 5 D.lg 4－lg 2＝lg 2
6.（多选）已知ab＞0，给出下面四个等式，其中不正确的有（ ）
A.lg（ab）＝lg a＋lg b B.lg ＝lg a－lg b
C.lg＝lg D.lg（ab）＝
7.lg ＋lg ＝ .
8.已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，则lg 15＝ ，lg ＝ .（结果保留四位小数）
9.若lg x＋lg y＝2lg（x－2y），则＝ .
10.用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
（1）lg（xyz）；（2）lg ；（3）lg .
11.已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
12.（多选）设f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），对于任意的正实数x，y，都有（ ）
A.f（xy）＝f（x）f（y） B.f（xy）＝f（x）＋f（y）
C.f＝ D.f＝f（x）－f（y）
13.设函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），若f（x1x2…x2 024）＝4，则f（）＋f（）＋…＋f（）＝ .
14.解方程（lg x－lg 3）＝lg 5－lg（x－10）.
15.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v（单位：m/s）和燃料的质量M（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量m（单位：kg）满足ev＝（e为自然对数的底数，ln 3≈1.099）.当燃料质量M为火箭（除燃料外）质量m的两倍时，求火箭的最大速度（单位：m/s）.
2.1 对数的运算性质
1.D lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3（lg 2＋lg 5）＝3.
2.C ∵lg x＝lg a＋2lg b－3lg c＝lg，∴x＝，故选C.
3.C 原式＝log6－log62＝log6＝log6.
4.C 原方程可化为log3（x2－10）＝log3（3x），所以x2－10＝3x，解得x＝－2或x＝5.经检验知x＝5.
5.ABC 根据对数的运算，lg 2＋lg 3＝lg 6从而判断A、C都错误，lg 2＋lg 2＝lg 4，从而判断B错误，lg 4－lg 2＝lg ＝lg 2，从而判断D正确.故选A、B、C.
6.ABD 当a＜0，b＜0时，lg（ab）＝lg（－a）＋lg（－b），lg＝lg（－a）－lg（－b），故A、B错；当ab＞0时，＞0，lg＝lg，故C正确；当ab＝1时，logab10无意义，故D错误.故选A、B、D.
7.1 解析：lg＋lg＝lg＝lg 10＝1.
8.1.176 1 0.826 6 解析：lg 15＝lg ＝lg 30－lg 2＝1＋lg 3－lg 2≈1＋0.477 1－0.301 0＝1.176 1.
lg ＝lg 45＝lg ＝（lg 9＋lg 10－lg 2）＝（2lg 3＋1－lg 2）＝lg 3＋－lg 2≈0.477 1＋0.5－×0.301 0＝0.826 6.
9.4 解析：因为lg x＋lg y＝2lg（x－2y），所以由xy＝（x－2y）2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则＝4.
10.解：（1）lg（xyz）＝lg x＋lg y＋lg z.
（2）lg ＝lg（xy2）－lg z＝lg x＋2lg y－lg z.
（3）lg ＝lg（xy3）－lg ＝lg x＋3lg y－lg z.
11.B 由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则＝（lg a－lg b）2＝（lg a＋lg b）2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.
12.BD 由对数运算法则f（xy）＝loga（xy）＝logax＋logay.所以f（xy）＝f（x）＋f（y）.f＝loga＝logax－logay，所以f＝f（x）－f（y）.
13.8 解析：∵函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），∴f（x1x2…x2 024）＝loga（x1x2…x2 024）＝4.∴f（）＋f（）＋…＋f（）＝loga（…）＝loga（x1x2…x2 024）2＝2loga（x1x2…x2 024）＝2×4＝8.
14.解：由已知得，x＞0且x＞10，则方程变形为lg ＝2lg 5－lg（x－10），即lg ＝lg .
∴＝，即x（x－10）－75＝0，（x－15）（x＋5）＝0，
∴x＝15或x＝－5.又x＞10，∴x＝15是原方程的解.
15.解：因为v＝ln＝2 000·ln，
所以v＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198（m/s）.
故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
2 / 22.1 对数的运算性质
新课程标准解读 核心素养
理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算 数学抽象、数学运算
大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？同学们能否大胆猜想一下对数的运算性质呢？
【问题】 观察下列各式，你能从中猜想出什么结论？
（1）log2（2×4）＝log22＋log24＝3；
（2）log3（3×9）＝log33＋log39＝3；
（3）log2（4×8）＝log24＋log28＝5.
知识点 对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，b∈R，那么：
（1）loga（M·N）＝ ；
（2）loga＝ ；
（3）logaMb＝ .
提醒 （1）性质的逆运算仍然成立；
（2）公式成立的条件是M＞0，N＞0，而不是MN＞0，比如式子log2[（－2）·（－3）]有意义，而log2（－2）与log2（－3）都没有意义；
（3）性质（1）可以推广为：loga（N1·N2·…·Nk）＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk＞0，k∈N＋.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）log2x2＝2log2x.（ ）
（2）loga[（－2）×（－3）]＝loga（－2）＋loga（－3）.（ ）
（3）loga（xy）＝logax·logay.（ ）
2.2log510＋log50.25＝（ ）
A.0 B.1
C.2 D.4
3.计算：（1）lg ＋lg ＝ ；
（2）log345－log35＝ ；
（3）log2（23×45）＝ .
题型一 对数式的运算
【例1】 计算下列各式的值：
（1）log2＋log224－log284；
（2）lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋（lg 2）2.
尝试解答
通性通法
对数式化简与求值的基本原则和方法
（1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行；
（2）两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）.
【跟踪训练】
计算：（1）log3＋lg 25＋lg 4＋＋（－9.8）0；
（2）2log32－log3＋log38－.
题型二 用已知对数式求值
【例2】 用logax，logay，logaz表示下列各式：
（1）loga（x2yz）；（2）loga；（3）loga.
尝试解答
通性通法
用已知对数式求值的关键是充分利用对数运算的性质将要表示的对数式变形.
【跟踪训练】
已知a＝log32，用a来表示log38－2log36为（ ）
A.a－2 B.5a－2
C.3a－（1＋a）2 D.3a－a2－1
题型三 对数方程
【例3】 方程log2（9x－5）＝2＋log2（3x－2）的解为x＝ .
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）本例条件变为“log2（9－2x）＝3－x”，求x的值.
2.（变条件）本例条件变为“＝9”，求x的值.
通性通法
对数方程的类型及一般解法
（1）logaf（x）＝logag（x）：可利用对数性质化为一般方程f（x）＝g（x）＞0求解；
（2）p（logax）2＋qlogax＋r＝0：利用换元法，设t＝logax，化为一元二次方程pt2＋qt＋r＝0求解.
【跟踪训练】
已知log（x＋3）（x2＋3x）＝1，则实数x＝ .
1.计算2log63＋log64＝（ ）
A.2 B.log62
C.log63 D.3
2.若lg x＝1－lg 5，则x＝（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
3.若lg 2＝m，则lg 5＝（ ）
A.m B.
C.1－m D.
4.方程lg（2x＋1）＋lg x＝1的解为 .
5.求下列各式的值：
（1）ln e2；
（2）log3e＋log3 ；
（3）lg 50－lg 5.
2.1 对数的运算性质
【基础知识·重落实】
知识点
（1）logaM＋logaN （2）logaM－logaN （3）blogaM
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）×
2.C 原式＝log5（100×0.25）＝log525＝2.故选C.
3.（1） （2）2 （3）13 解析：（1）lg ＋lg ＝lg（×）＝lg＝lg 1＝.
（2）log345－log35＝log3＝log39＝log332＝2.
（3）log2（23×45）＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋5log222＝3＋5×2＝13.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）法一 原式＝log2＝log2＝－.
法二 原式＝log2＋log2（23×3）－log2（22×3×7）＝log27－log2（25×3）＋3＋log23－1－log23－log27＝－×5－log23＋2＋log23＝－＋2＝－.
（2）原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×（1＋lg 2）＋（lg 2）2
＝2（lg 5＋lg 2）＋lg 5＋lg 2（lg 5＋lg 2）
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
跟踪训练
解：（1）原式＝log3＋lg 52＋lg 22＋＋1＝＋2lg 5＋2lg 2＋＝3＋2（lg 5＋lg 2）＝3＋2lg 10＝3＋2×1＝5.
（2）原式＝2log32－（log325－log332）＋log323－
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
【例2】 解：（1）loga（x2yz）＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz.
（2）loga＝logax2－loga（yz）＝2logax－（logay＋logaz）＝2logax－logay－logaz.
（3）loga＝loga－loga（y2z）＝logax－2logay－logaz.
跟踪训练
A log38－2log36＝3log32－2（log32＋log33）＝3a－2（a＋1）＝a－2.
【例3】 1 解析：原方程可化为log2（9x－5）＝log2[4（3x－2）]，
∴9x－5＝4（3x－2）＞0，3x＞2，∴（3x）2－4×3x＋3＝0，∴（3x－3）（3x－1）＝0，
∵3x＞2，∴3x＝3，即x＝1.
母题探究
1.解：∵log2（9－2x）＝3－x，∴log2（9－2x）＝log223－x，∴9－2x＝23－x，可化简为9－2x＝，
令2x＝t（t＞0），可得9－t＝，化简为t（9－t）＝8，
即t2－9t＋8＝0，∴（t－1）（t－8）＝0，解得t1＝1，t2＝8，
∴2x＝1或8，解得x＝0或3.
2.解：∵＝9，∴＝9，且2x－1＞0，
∴（2x－1）2＝9，∴2x－1＝3（2x－1＝－3舍去），解得x＝2.
跟踪训练
1 解析：由对数的性质，得
解得x＝1，故实数x的值为1.
随堂检测
1.A 2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.
2.B 因为lg x＝1－lg 5，所以lg x＋lg 5＝lg 5x＝1，即5x＝10，解得x＝2.故选B.
3.C lg 5＝lg ＝lg 10－lg 2＝1－m.
4.x＝2 解析：由题得lg[（2x＋1）x]＝1＝lg 10，所以x（2x＋1）＝10，所以2x2＋x－10＝0，解得x＝2或x＝－.经检验，当x＝－时，原方程没有意义，x＝2满足方程.
5.解：（1）ln e2＝2ln e＝2.
（2）log3e＋log3 ＝log3（e·）＝log33＝1.
（3）lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1.
3 / 3(共47张PPT)
2.1 对数的运算性质
新课程标准解读 核心素养
理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算 数学抽象、数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
大家都知道，对数运算可看作指数运算的逆运算，你能从指数与
对数的关系以及指数运算性质中，得出相应对数的运算性质吗？同学
们能否大胆猜想一下对数的运算性质呢？
【问题】 观察下列各式，你能从中猜想出什么结论？
（1）log2（2×4）＝log22＋log24＝3；
（2）log3（3×9）＝log33＋log39＝3；
（3）log2（4×8）＝log24＋log28＝5.
知识点 对数的运算性质
若 a ＞0，且 a ≠1， M ＞0， N ＞0， b ∈R，那么：
（1）log a （ M · N ）＝ ；
（2）log a ＝ ；
log aM ＋log aN
log aM －log aN
（3）log aMb ＝ .
b log aM
提醒 （1）性质的逆运算仍然成立；（2）公式成立的条件是
M ＞0， N ＞0，而不是 MN ＞0，比如式子log2[（－2）·（－
3）]有意义，而log2（－2）与log2（－3）都没有意义；（3）性
质（1）可以推广为：log a （ N1· N2·…· Nk ）＝log aN1＋log aN2
＋…＋log aNk ，其中 Nk ＞0， k ∈N＋.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）log2 x2＝2log2 x . （ × ）
（2）log a [（－2）×（－3）]＝log a （－2）＋log a （－3）.
（ × ）
（3）log a （ xy ）＝log ax ·log ay . （ × ）
2.2log510＋log50.25＝（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
解析： 原式＝log5（100×0.25）＝log525＝2.故选C.
×
×
×
3. 计算：（1）lg ＋lg ＝ ；
解析：lg ＋lg ＝lg（ × ）＝lg ＝lg 1 ＝ .
（2）log345－log35＝ ；
解析：log345－log35＝log3 ＝log39＝log332＝2.
（3）log2（23×45）＝ .
解析：log2（23×45）＝log223＋log245＝3＋5log24＝3＋
5log222＝3＋5×2＝13.
2
13
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数式的运算
【例1】 计算下列各式的值：
（1）log2 ＋log224－ log284；
解：法一 原式＝log2 ＝log2 ＝－ .
法二 原式＝ log2 ＋log2（23×3）－ log2（22×3×7）＝ log27－ log2（25×3）＋3＋log23－1－ log23－ log27＝－ ×5－ log23＋2＋ log23＝－ ＋2＝－ .
（2）lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋（lg 2）2.
解：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×（1＋lg 2）＋（lg 2）2
＝2（lg 5＋lg 2）＋lg 5＋lg 2（lg 5＋lg 2）
＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
通性通法
对数式化简与求值的基本原则和方法
（1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进
行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着
便于真数化简的原则进行；
（2）两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和（差）收成
积（商）的对数；②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两
对数的和（差）.
【跟踪训练】
计算：（1）log3 ＋lg 25＋lg 4＋ ＋（－9.8）0；
解：原式＝log3 ＋lg 52＋lg 22＋ ＋1＝ ＋2lg 5＋2lg 2＋ ＝3＋2（lg 5＋lg 2）＝3＋2lg 10＝3＋2×1＝5.
（2）2log32－log3 ＋log38－ .
解：原式＝2log32－（log325－log332）＋log323－
＝2log32－5log32＋2log33＋3log32－9＝2－9＝－7.
题型二 用已知对数式求值
【例2】 用log ax ，log ay ，log az 表示下列各式：
（1）log a （ x2 yz ）；
解：log a （ x2 yz ）＝log ax2＋log ay ＋log az ＝2log ax ＋log ay ＋log az .
（2）log a ；
解：log a ＝log ax2－log a （ yz ）＝2log ax －（log ay ＋log az ）＝
2log ax －log ay －log az .
（3）log a .
解：log a ＝log a －log a （ y2 z ）＝ log ax －2log ay －log az .
通性通法
用已知对数式求值的关键是充分利用对数运算的性质将要表示的
对数式变形.
【跟踪训练】
已知 a ＝log32，用 a 来表示log38－2log36为（ ）
A. a －2 B. 5 a －2
C. 3 a －（1＋ a ）2 D. 3 a － a2－1
解析： log38－2log36＝3log32－2（log32＋log33）＝3 a －2（ a ＋
1）＝ a －2.
题型三 对数方程
【例3】 方程log2（9 x －5）＝2＋log2（3 x －2）的解为 x ＝ .
解析：原方程可化为log2（9 x －5）＝log2[4（3 x －2）]，
∴9 x －5＝4（3 x －2）＞0，3 x ＞2，∴（3 x ）2－4×3 x ＋3＝0，∴（3 x
－3）（3 x －1）＝0，
∵3 x ＞2，∴3 x ＝3，即 x ＝1.
1
【母题探究】
1. （变条件）本例条件变为“log2（9－2 x ）＝3－ x ”，求 x 的值.
解：∵log2（9－2 x ）＝3－ x ，∴log2（9－2 x ）＝log223－ x ，∴9－2
x ＝23－ x ，可化简为9－2 x ＝ ，
令2 x ＝ t （ t ＞0），可得9－ t ＝ ，化简为 t （9－ t ）＝8，
即 t2－9 t ＋8＝0，∴（ t －1）（ t －8）＝0，解得 t1＝1， t2＝8，
∴2 x ＝1或8，解得 x ＝0或3.
2. （变条件）本例条件变为“ ＝9”，求 x 的值.
解：∵ ＝9，∴ ＝9，且2 x －1＞0，
∴（2 x －1）2＝9，∴2 x －1＝3（2 x －1＝－3舍去），解得 x ＝2.
通性通法
对数方程的类型及一般解法
（1）log af （ x ）＝log ag （ x ）：可利用对数性质化为一般方程 f
（ x ）＝ g （ x ）＞0求解；
（2） p （log ax ）2＋ q log ax ＋ r ＝0：利用换元法，设 t ＝log ax ，化为
一元二次方程 pt2＋ qt ＋ r ＝0求解.
【跟踪训练】
已知log（ x＋3）（ x2＋3 x ）＝1，则实数 x ＝ .
解析：由对数的性质，得
解得 x ＝1，故实数 x 的值为1.
1
1. 计算2log63＋log64＝（ ）
A. 2 B. log62
C. log63 D. 3
解析： 2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.
2. 若lg x ＝1－lg 5，则 x ＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 因为lg x ＝1－lg 5，所以lg x ＋lg 5＝lg 5 x ＝1，即5 x ＝
10，解得 x ＝2.故选B.
3. 若lg 2＝ m ，则lg 5＝（ ）
A. m C. 1－ m
解析： lg 5＝lg ＝lg 10－lg 2＝1－ m .
4. 方程lg（2 x ＋1）＋lg x ＝1的解为 .
解析：由题得lg[（2 x ＋1） x ]＝1＝lg 10，所以 x （2 x ＋1）＝
10，所以2 x2＋ x －10＝0，解得 x ＝2或 x ＝－ .经检验，当 x ＝－
时，原方程没有意义， x ＝2满足方程.
x ＝2
5. 求下列各式的值：
（1）ln e2；
解：ln e2＝2ln e＝2.
（2）log3e＋log3 ；
解：log3e＋log3 ＝log3（e· ）＝log33＝1.
（3）lg 50－lg 5.
解：lg 50－lg 5＝lg ＝lg 10＝1.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. lg 8＋3lg 5＝（ ）
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
解析： lg 8＋3lg 5＝3lg 2＋3lg 5＝3（lg 2＋lg 5）＝3.
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2. 若lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ，则 x ＝（ ）
A. a ＋2 b －3 c B. a ＋ b2－ c3
解析： ∵lg x ＝lg a ＋2lg b －3lg c ＝lg ，∴ x ＝ ，故选C.
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3. 化简 log612－2log6 的结果为（ ）
解析： 原式＝log6 －log62＝log6 ＝log6 .
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4. 方程log3（ x2－10）＝1＋log3 x 的解是（ ）
A. －2 B. －2或5
C. 5 D. 3
解析： 原方程可化为log3（ x2－10）＝log3（3 x ），所以 x2－10
＝3 x ，解得 x ＝－2或 x ＝5.经检验知 x ＝5.
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5. （多选）以下运算错误的是（ ）
A. lg 2×lg 3＝lg 6 B. （lg 2）2＝lg 4
C. lg 2＋lg 3＝lg 5 D. lg 4－lg 2＝lg 2
解析： 根据对数的运算，lg 2＋lg 3＝lg 6从而判断A、C都错
误，lg 2＋lg 2＝lg 4，从而判断B错误，lg 4－lg 2＝lg ＝lg 2，从
而判断D正确.故选A、B、C.
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6. （多选）已知 ab ＞0，给出下面四个等式，其中不正确的有（ ）
A. lg（ ab ）＝lg a ＋lg b
解析： 当 a ＜0， b ＜0时，lg（ ab ）＝lg（－ a ）＋lg（－
b ），lg ＝lg（－ a ）－lg（－ b ），故A、B错；当 ab ＞0时， ＞
0， lg ＝lg ，故C正确；当 ab ＝1时，log ab 10无意义，故D错
误.故选A、B、D.
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7. lg ＋lg ＝ .
解析：lg ＋lg ＝lg ＝lg 10＝1.
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8. 已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，则lg 15＝ ，lg
＝ .（结果保留四位小数）
解析：lg 15＝lg ＝lg 30－lg 2＝1＋lg 3－lg 2≈1＋0.477 1－0.301
0＝1.176 1.
lg ＝ lg 45＝ lg ＝ （lg 9＋lg 10－lg 2）＝ （2lg 3＋1－lg
2）＝lg 3＋ － lg 2≈0.477 1＋0.5－ ×0.301 0＝0.826 6.
1.176 1
0.826 6
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9. 若lg x ＋lg y ＝2lg（ x －2 y ），则 ＝ .
解析：因为lg x ＋lg y ＝2lg（ x －2 y ），所以由
xy ＝（ x －2 y ）2，知 x2－5 xy ＋4 y2＝0，所以 x ＝ y 或 x ＝4 y .又 x
＞0， y ＞0且 x －2 y ＞0，所以舍去 x ＝ y ，故 x ＝4 y ，则 ＝4.
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10. 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式：
（1）lg（ xyz ）；（2）lg ；（3）lg .
解：（1）lg（ xyz ）＝lg x ＋lg y ＋lg z .
（2）lg ＝lg（ xy2）－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z .
（3）lg ＝lg（ xy3）－lg ＝lg x ＋3lg y － lg z .
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11. 已知lg a ，lg b 是方程2 x2－4 x ＋1＝0的两个根，则 ＝（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 由题意得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝ ，则 ＝（lg
a －lg b ）2＝（lg a ＋lg b ）2－4lg a ·lg b ＝22－4× ＝2.
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12. （多选）设 f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1），对于任意的正实
数 x ， y ，都有（ ）
A. f （ xy ）＝ f （ x ） f （ y ）
B. f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ）
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解析： 由对数运算法则 f （ xy ）＝log a （ xy ）＝log ax ＋log
ay .所以 f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ）. f ＝log a ＝log ax －log
ay ，所以 f ＝ f （ x ）－ f （ y ）.
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13. 设函数 f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1），若 f （ x1 x2… x2 024）＝
4，则 f （ ）＋ f （ ）＋…＋ f （ ）＝ .
解析：∵函数 f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1），∴ f （ x1 x2… x
2 024）＝log a （ x1 x2… x2 024）＝4.∴ f （ ）＋ f （ ）＋…＋ f
（ ）＝log a （ … ）＝log a （ x1 x2… x2 024）2＝2log a （ x1 x2… x2 024）＝2×4＝8.
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14. 解方程 （lg x －lg 3）＝lg 5－ lg（ x －10）.
解：由已知得， x ＞0且 x ＞10，则方程变形为lg ＝2lg 5－lg（ x
－10），即lg ＝lg .
∴ ＝ ，即 x （ x －10）－75＝0，（ x －15）（ x ＋5）＝0，
∴ x ＝15或 x ＝－5.又 x ＞10，∴ x ＝15是原方程的解.
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15. 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v （单位：m/s）和
燃料的质量 M （单位：kg），火箭（除燃料外）的质量 m （单
位：kg）满足e v ＝ （e为自然对数的底数，ln
3≈1.099）.当燃料质量 M 为火箭（除燃料外）质量 m 的两倍时，
求火箭的最大速度（单位：m/s）.
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解：因为 v ＝ln ＝2 000·ln ，
所以 v ＝2 000·ln 3≈2 000×1.099＝2 198（m/s）.
故当燃料质量 M 为火箭质量 m 的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s.
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