2.2 换底公式
1.log52·log425＝（ ）
A.－1 B.
C.1 D.2
2.设log89＝a，log35＝b，则lg 2＝（ ）
A. B.
C. D.
3.已知4a＝5b＝10，则＋＝（ ）
A.2 B.3
C.4 D.5
4.化简：（log43＋log83）·（log32＋log92）＝（ ）
A. B.
C.1 D.2
5.（多选）已知a，b均为不等于1的正数，则下列选项中与logab相等的有（ ）
A. B.
C.log D.lobn
6.（多选）设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是（ ）
A.logab·logcb＝logca B.logab·logca＝logcb
C.2lg a＋2lg b＝2lg ab D.2lg ab＝2lg a·2lg b
7.若ln 3＝a，则log9e＝ .
8.log35×log253＝ .
9.设log23·log36·log6m＝log4（2m＋8），则实数m＝ .
10.已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
11.若y＝log56·log67·log78·log89·log910，则（ ）
A.y∈（0，1） B.y∈（1，2）
C.y∈（2，3） D.y∈（3，4）
12.（多选）已知2a＝3，b＝log32，则（ ）
A.a＋b＞2 B.ab＝1
C.3b＋3－b＝ D.＝log912
13.已知（）a＝，log74＝b，则log4948＝ （用含a，b的式子表示）.
14.设a＞0且a≠1，x，y满足logax＋3logxa－logxy＝3，用logax表示logay，并求当x取何值时，logay取得最小值.
15.已知函数f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N＋），定义使f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k）为整数的数k（k∈N＋）叫作企盼数，求在区间[1，2 024]内这样的企盼数的个数.
2.2 换底公式
1.C log52·log425＝·＝·＝1.
2.A 由log89＝a，得log23＝a，所以＝a.又log35＝＝b，所以×＝ab，所以＝ab，所以lg 2＝.
3.A 因为4a＝5b＝10，所以a＝log410，b＝log510，则＝lg 4，＝lg 5，所以＋＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.故选A.
4.B 原式＝＝·＝×××＝.故选B.
5.AD ＝logab，＝logba，lo＝logba，lobn＝logab.故选A、D.
6.BD log24·log164＝2×＝1≠log162＝，因而A错误；logab·logca＝·＝＝logcb，因而B正确；2lg ab＝2lg a＋lg b＝2lg a·2lg b，故D正确，C错误.
7. 解析：因为ln 3＝a，所以log9e＝＝＝.
8. 解析：log35×log253＝log35×lo3＝log35×log53＝×＝.
9.4 解析：左边＝××＝log2m＝log4m2，所以m2＝2m＋8，解得m＝4或m＝－2（负值舍去）.
10.解：∵log23＝a，则＝log32，又∵log37＝b，
∴log4256＝＝＝.
11.B y＝××××＝log510＝1＋log52，因为0＜log52＜1，所以1＜y＜2.故选B.
12.ABD ∵2a＝3，∴a＝log23，∵b＝log32，∴ab＝log23·log32＝1，故B正确；∴a＋b＞2＝2，故A正确；∴3b＋3－b＝2＋＝，故C错误；＝＝＝＋＝log32＋log3＝log32＝＝2log9＝log912，故D正确.
13. 解析：由（）a＝，得a＝log73，又b＝log74，∴log4948＝＝＝＝.
14.解：由换底公式，得logax＋－＝3，
整理，得（logax）2＋3－logay＝3logax，
∴logay＝（logax）2－3logax＋3＝＋.
∴当logax＝，即x＝时，logay取得最小值.
15.解：令g（k）＝f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k），∵f（k）＝log（k＋1）（k＋2）＝，
∴g（k）＝··…·＝＝log2（k＋2）.
要使g（k）成为企盼数，则k＋2＝2n，n∈N＋.
∵k∈[1，2 024]，
∴k＋2∈[3，2 026]，即2n∈[3，2 026].
∵22＝4，…，210＝1 024，211＝2 048，
∴可取n＝2，3，…，10.
因此，在区间[1，2 024]内这样的企盼数共有9个.
1 / 12.2 换底公式
新课程标准解读 核心素养
知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，并能进行简单的化简计算 数学运算
计算器上，只有常用对数键“lg”和自然对数键“ln”，要计算logab必须将它转换成常用对数或自然对数.
【问题】 你知道如何转换吗？
知识点 换底公式
一般地，若a＞0，b＞0，c＞0，且a≠1，c≠1，则logab＝ .这个结论称为对数的换底公式.
提醒 换底公式的推论：lobn＝logab，logab＝.
【想一想】
1.对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
2.你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论loMm＝logNM吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对数log39和log93的意义一样.（ ）
（2）由换底公式可得logab＝.（ ）
（3）log2M＋log3N＝log6（MN）.（ ）
（4）log23·log32＝1.（ ）
2.若log23＝a，则log49＝（ ）
A. B.a
C.2a D.a2
3.已知log34·log48·log8m＝log416，求m的值.
题型一 对数换底公式的应用
【例1】 计算：（1）log29·log34；
（2）.
尝试解答
通性通法
利用换底公式求值的思想与注意点
【跟踪训练】
1.计算（log32＋log23）2－－的值为（ ）
A.log26 B.log36
C.2 D.1
2.若log2x·log34·log59＝8，则x＝（ ）
A.8 B.25
C.16 D.4
题型二 用已知对数式求值
【例2】 已知log189＝a，18b＝5，求log3645.（用a，b表示）
尝试解答
【母题探究】
1.（变设问）若本例条件不变，如何求log1845（用a，b表示）？
2.（变条件）若将本例条件“log189＝a，18b＝5”改为“log94＝a，9b＝5”，则又如何求解呢？
通性通法
求解与对数有关的各种求值问题应注意三点
（1）利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；
（2）两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；
（3）对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题.
【跟踪训练】
设a＝log36，b＝log520，则log215＝（ ）
A. B.
C. D.
题型三 有附加条件的对数式求值问题
【例3】 （1）已知a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，则abc的值为 ；
（2）已知5x＝2y＝（）z，且x，y，z≠0，则＋的值为 .
尝试解答
通性通法
与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质.要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化.
【跟踪训练】
已知实数a，b，c，d满足5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5，则（abcd）2 024＝ .
1.计算：log927＝（ ）
A.2 B.4 C.3 D.
2.设lg 3＝a，lg 5＝b，则log212＝（ ）
A. B.
C. D.
3.已知logab·log3a＝5，则b＝ .
4.log23·log34·log42＝ .
2.2 换底公式
【基础知识·重落实】
知识点
想一想
1.提示：logab＝，logab＝.
2.提示：loMm＝＝＝·＝logNM.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.B log49＝＝＝log23＝a.故选B.
3.解：利用换底公式，得··＝2，
∴lg m＝2lg 3＝lg 9，于是m＝9.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由换底公式可得，
log29·log34＝·＝·＝4.
（2）原式＝×＝lo×lo9
＝×＝×＝－.
跟踪训练
1.C 原式＝（log32）2＋2log32×log23＋（log23）2－（log32）2－（log23）2＝2log32×log23＝2××＝2.
2.B ∵log2x·log34·log59＝··＝××＝8，∴lg x＝2lg 5＝lg 25，∴x＝25.
【例2】 解：因为18b＝5，所以b＝log185.
所以log3645＝＝
＝＝
＝＝
＝.
母题探究
1.解：因为18b＝5，所以log185＝b，所以log1845＝log189＋log185＝a＋b.
2.解：因为9b＝5，所以log95＝b.
所以log3645＝＝
＝＝.
跟踪训练
D ∵a＝log36＝＝，∴log23＝.∵b＝log520＝＝，∴log25＝.∴log215＝log23＋log25＝＋＝.
【例3】 （1）1 （2）2 解析：（1）法一 设ax＝by＝cz＝t，由条件知t＞0且t≠1，则x＝logat，y＝logbt，z＝logct，∴＋＋＝＋＋＝logta＋logtb＋logtc＝logt（abc）＝0，∴abc＝t0＝1.
法二 ∵a，b，c是不等于1的正数，且ax＝by＝cz，∴令ax＝by＝cz＝t＞0，由条件知t≠1，∴x＝，y＝，z＝，∴＋＋＝＋＋＝.∵＋＋＝0，且lg t≠0，∴lg a＋lg b＋lg c＝lg（abc）＝0，∴abc＝1.
（2）令5x＝2y＝（）z＝k，则x＝log5k，y＝log2k，z＝lg k，z＝2lg k，∴＋＝＋＝2lg k（logk5＋logk2）＝2lg k·logk10＝2·log10k·logk10＝2.
跟踪训练
1 解析：将5a＝4，4b＝3，3c＝2，2d＝5转化为对数式，得a＝log54＝，b＝，c＝，d＝，所以（abcd）2 024＝＝12 024＝1.
随堂检测
1.D log927＝＝＝，故选D.
2.C 根据换底公式和对数运算性质得：log212＝＝＝＝＝.
3.243 解析：∵·log3a＝log3b＝5＝log335，∴b＝35＝243.
4.1 解析：由对数的换底公式可得：log23·log34·log42＝··＝1.
3 / 3(共46张PPT)
2.2 换底公式
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
新课程标准解读 核心素养
知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对
数，并能进行简单的化简计算 数学运算
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
计算器上，只有常用对数键“lg”和自然对数键“ln”，要计算
log ab 必须将它转换成常用对数或自然对数.
【问题】 你知道如何转换吗？
知识点 换底公式
一般地，若 a ＞0， b ＞0， c ＞0，且 a ≠1， c ≠1，则log ab
＝ .这个结论称为对数的换底公式.
提醒 换底公式的推论：lo bn ＝ log ab ，log ab ＝ .
1. 对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？
提示：log ab ＝ ，log ab ＝ .
2. 你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论lo Mm ＝
log NM 吗？
提示：lo Mm ＝ ＝ ＝ · ＝ log NM .
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对数log39和log93的意义一样. （ × ）
（2）由换底公式可得log ab ＝ . （ × ）
（3）log2 M ＋log3 N ＝log6（ MN ）. （ × ）
（4）log23·log32＝1. （ √）
×
×
×
√
2. 若log23＝ a ，则log49＝（ ）
B. a
C. 2 a D. a2
解析： log49＝ ＝ ＝log23＝ a .故选B.
3. 已知log34·log48·log8 m ＝log416，求 m 的值.
解：利用换底公式，得 · · ＝2，
∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，于是 m ＝9.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数换底公式的应用
【例1】 计算：（1）log29·log34；
解：由换底公式可得，
log29·log34＝ · ＝ · ＝4.
（2） .
解：原式＝ × ＝lo ×lo 9
＝ × ＝ × ＝－ .
通性通法
利用换底公式求值的思想与注意点
【跟踪训练】
1. 计算（log32＋log23）2－ － 的值为（ ）
A. log26 B. log36
C. 2 D. 1
解析： 原式＝（log32）2＋2log32×log23＋（log23）2－
（log32）2－（log23）2＝2log32×log23＝2× × ＝2.
2. 若log2 x ·log34·log59＝8，则 x ＝（ ）
A. 8 B. 25
C. 16 D. 4
解析： ∵log2 x ·log34·log59＝ · · ＝ × × ＝8，
∴lg x ＝2lg 5＝lg 25，∴ x ＝25.
题型二 用已知对数式求值
【例2】 已知log189＝ a ，18 b ＝5，求log3645.（用 a ， b 表示）
解：因为18 b ＝5，所以 b ＝log185.
所以log3645＝ ＝
＝ ＝
＝ ＝
＝ .
【母题探究】
1. （变设问）若本例条件不变，如何求log1845（用 a ， b 表示）？
解：因为18 b ＝5，所以log185＝ b ，所以log1845＝log189＋log185＝ a
＋ b .
2. （变条件）若将本例条件“log189＝ a ，18 b ＝5”改为“log94＝
a ，9 b ＝5”，则又如何求解呢？
解：因为9 b ＝5，所以log95＝ b .
所以log3645＝ ＝
＝ ＝ .
通性通法
求解与对数有关的各种求值问题应注意三点
（1）利用对数的定义可以将对数式转化为指数式；
（2）两边同时取对数是将指数式化成对数式的常用方法；
（3）对数的换底公式在解题中起着重要的作用，能够将不同底的问
题转化为同底问题，从而使我们能够利用对数的运算性质解题.
【跟踪训练】
设 a ＝log36， b ＝log520，则log215＝（ ）
A.
C. D.
解析： ∵ a ＝log36＝ ＝ ，∴log23＝ .∵ b ＝log520
＝ ＝ ，∴log25＝ .∴log215＝log23＋log25＝ ＋
＝ .
题型三 有附加条件的对数式求值问题
【例3】 （1）已知 a ， b ， c 是不等于1的正数，且 ax ＝ by ＝ cz ，
＋ ＋ ＝0，则 abc 的值为 ；
解析：法一 设 ax ＝ by ＝ cz ＝ t ，由条件知 t ＞0且 t ≠1，则 x ＝log
at ， y ＝log bt ， z ＝log ct ，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝log ta ＋
log tb ＋log tc ＝log t （ abc ）＝0，∴ abc ＝ t0＝1.
1
法二 ∵ a ， b ， c 是不等于1的正数，且 ax ＝ by ＝ cz ，∴令 ax ＝ by ＝
cz ＝ t ＞0，由条件知 t ≠1，∴ x ＝ ， y ＝ ， z ＝ ，∴ ＋ ＋
＝ ＋ ＋ ＝ .∵ ＋ ＋ ＝0，且lg t ≠0，∴lg a ＋
lg b ＋lg c ＝lg（ abc ）＝0，∴ abc ＝1.
（2）已知5 x ＝2 y ＝（ ） z ，且 x ， y ， z ≠0，则 ＋ 的值为 .
解析：令5 x ＝2 y ＝（ ） z ＝ k ，则 x ＝log5 k ， y ＝log2 k ， z
＝lg k ， z ＝2lg k ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝2lg k （log k 5＋log k
2）＝2lg k ·log k 10＝2·log10 k ·log k 10＝2.
2
通性通法
与对数有关的带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件
和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的
运算性质.要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式
的互化.
【跟踪训练】
已知实数 a ， b ， c ， d 满足5 a ＝4，4 b ＝3，3 c ＝2，2 d ＝5，则
（ abcd ）2 024＝ .
解析：将5 a ＝4，4 b ＝3，3 c ＝2，2 d ＝5转化为对数式，得 a ＝log54＝
， b ＝ ， c ＝ ， d ＝ ，所以（ abcd ）2 024＝ ＝12 024＝1.
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1. 计算：log927＝（ ）
A. 2 B. 4
C. 3
解析： log927＝ ＝ ＝ ，故选D.
2. 设lg 3＝ a ，lg 5＝ b ，则log212＝（ ）
A.
C. D.
解析： 根据换底公式和对数运算性质得：log212＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
3. 已知log ab ·log3 a ＝5，则 b ＝
解析：∵ ·log3 a ＝log3 b ＝5＝log335，∴ b ＝35＝243.
4. log23·log34·log42＝ .
解析：由对数的换底公式可得：log23·log34·log42＝ · · ＝1.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. log52·log425＝（ ）
A. －1
C. 1 D. 2
解析： log52·log425＝ · ＝ · ＝1.
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2. 设log89＝ a ，log35＝ b ，则lg 2＝（ ）
A.
C. D.
解析： 由log89＝ a ，得log23＝ a ，所以 ＝ a .又log35＝
＝ b ，所以 × ＝ ab ，所以 ＝ ab ，所以lg 2＝ .
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3. 已知4 a ＝5 b ＝10，则 ＋ ＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析： 因为4 a ＝5 b ＝10，所以 a ＝log410， b ＝log510，则
＝lg 4， ＝lg 5，所以 ＋ ＝lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 25＝lg
100＝2.故选A.
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4. 化简：（log43＋log83）·（log32＋log92）＝（ ）
A.
C. 1 D. 2
解析： 原式＝ ＝（ ＋ ）
＝ × × × ＝ .故选B.
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5. （多选）已知 a ， b 均为不等于1的正数，则下列选项中与log ab 相
等的有（ ）
A.
C. lo D. lo bn
解析： ＝log ab ， ＝log ba ，lo ＝log ba ，lo
bn ＝log ab .故选A、D.
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6. （多选）设 a ， b ， c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立
的是（ ）
A. log ab ·log cb ＝log ca B. log ab ·log ca ＝log cb
C. 2lg a ＋2lg b ＝2lg ab D. 2lg ab ＝2lg a ·2lg b
解析： log24·log164＝2× ＝1≠log162＝ ，因而A错误；log
ab ·log ca ＝ · ＝ ＝log cb ，因而B正确；2lg ab ＝2lg a＋lg b ＝2lg
a ·2lg b ，故D正确，C错误.
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7. 若ln 3＝ a ，则log9e＝ .
解析：因为ln 3＝ a ，所以log9e＝ ＝ ＝ .
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8. log35×log253＝ .
解析：log35×log253＝log35×lo 3＝log35× log53＝ × ＝
.
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9. 设log23·log36·log6 m ＝log4（2 m ＋8），则实数 m ＝ .
解析：左边＝ × × ＝log2 m ＝log4 m2，所以 m2＝2 m ＋8，
解得 m ＝4或 m ＝－2（负值舍去）.
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10. 已知log23＝ a ，log37＝ b ，用 a ， b 表示log4256.
解：∵log23＝ a ，则 ＝log32，又∵log37＝ b ，
∴log4256＝ ＝ ＝ .
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11. 若 y ＝log56·log67·log78·log89·log910，则（ ）
A. y ∈（0，1） B. y ∈（1，2）
C. y ∈（2，3） D. y ∈（3，4）
解析： y ＝ × × × × ＝log510＝1＋log52，因
为0＜log52＜1，所以1＜ y ＜2.故选B.
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12. （多选）已知2 a ＝3， b ＝log32，则（ ）
A. a ＋ b ＞2 B. ab ＝1
解析： ∵2 a ＝3，∴ a ＝log23，∵ b ＝log32，∴ ab ＝log23·log32＝1，故B正确；∴ a ＋ b ＞2 ＝2，故A正确；∴3 b ＋3－ b ＝2＋ ＝ ，故C错误； ＝ ＝ ＝ ＋ ＝log32＋log3 ＝log32 ＝ ＝2log9 ＝log912，故D正确.
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13. 已知（ ） a ＝ ，log74＝ b ，则log4948＝ （用含 a ， b 的式
子表示）.
解析：由（ ） a ＝ ，得 a ＝log73，又 b ＝log74，∴log4948＝
＝ ＝ ＝ .
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14. 设 a ＞0且 a ≠1， x ， y 满足log ax ＋3log xa －log xy ＝3，用log ax 表
示log ay ，并求当 x 取何值时，log ay 取得最小值.
解：由换底公式，得log ax ＋ － ＝3，
整理，得（log ax ）2＋3－log ay ＝3log ax ，
∴log ay ＝（log ax ）2－3log ax ＋3＝（log ax － ）2＋ .
∴当log ax ＝ ，即 x ＝ 时，log ay 取得最小值 .
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解：令 g （ k ）＝ f （1）· f （2）· f （3）·…· f （ k ），∵ f （ k ）＝
log（ k＋1）（ k ＋2）＝ ，
∴ g （ k ）＝ · ·…· ＝ ＝log2（ k ＋2）.
15. 已知函数 f （ n ）＝log（ n＋1）（ n ＋2）（ n ∈N＋），定义使 f
（1）· f （2）· f （3）·…· f （ k ）为整数的数 k （ k ∈N＋）叫作企
盼数，求在区间[1，2 024]内这样的企盼数的个数.
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要使 g （ k ）成为企盼数，则 k ＋2＝2 n ， n ∈N＋.
∵ k ∈[1，2 024]，
∴ k ＋2∈[3，2 026]，即2 n ∈[3，2 026].
∵22＝4，…，210＝1 024，211＝2 048，
∴可取 n ＝2，3，…，10.
因此，在区间[1，2 024]内这样的企盼数共有9个.
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