§3 对数函数
3.1 对数函数的概念 3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质
1.对数函数的图象过点M（16，4），则此对数函数的解析式为（ ）
A.y＝log4x B.y＝lox
C.y＝lox D.y＝log2x
2.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数且f（2）＝1，则f（x）＝（ ）
A.log2x B.
C.lox D.2x－2
3.函数y＝2＋log2x（x≥1）的值域为（ ）
A.（2，＋∞） B.（－∞，2）
C.[2，＋∞） D.[3，＋∞）
4.函数f（x）＝1＋log2x和g（x）＝21＋x在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
5.（多选）下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
A.y＝logπx B.y＝lox
C.y＝log4x2 D.y＝log2（x＋1）
6.（多选）函数y＝log（a－2）[（5－a）（x2＋1）]中，实数a的取值可能是（ ）
A. B.3
C.4 D.5
7.函数y＝log2的定义域是 .
8.已知函数y＝log2（x＋2）＋m的图象不过第四象限，则实数m的取值范围为 .
9.函数f（x）＝log2（x2－4x－5）的单调递减区间为 .
10.若函数y＝loga（x＋a）（a＞0，且a≠1）的图象过点（－1，0）.
（1）求a的值；
（2）求函数的定义域.
11.已知函数f（x）＝｜log2x－1｜，若存在实数k，使得关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实根x1，x2，则x1x2的值为（ ）
A.1 B.2
C.4 D.不确定
12.（多选）已知函数f（x）＝｜log2x｜的值域是[0，2]，则其定义域可能是（ ）
A. B.
C. D.
13.如图，已知函数f（x）的图象为折线ACB（含端点A，B），其中A（－4，0），B（4，0），C（0，4），则不等式f（x）＞log2（x＋2）的解集是 .
14.已知函数f（x）＝｜log2x｜，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），证明：ab＜1.
15.若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同形函数”.给出下列四个函数：f1（x）＝2log2（x＋1），f2（x）＝log2（x＋2），f3（x）＝log2x2，f4（x）＝log2（2x），则是“同形函数”的是（ ）
A.f2（x）与f4（x） B.f1（x）与f3（x）
C.f1（x）与f4（x） D.f3（x）与f4（x）
16.若函数f（x）满足对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有＞f（），则称函数f（x）为下凸函数.已知f（x）＝x2＋cx，且f（x）为偶函数.
（1）求c的值，并证明f（x）是下凸函数；
（2）判断g（x）＝log2x是否为下凸函数，并说明理由.
3.1 对数函数的概念
3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质
1.D 设该函数为y＝logax（a＞0，且a≠1），由于对数函数的图象过点M（16，4），所以4＝loga16，得a＝2.所以对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.
2.A 函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数是f（x）＝logax，又f（2）＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f（x）＝log2x.
3.C ∵x≥1，∴log2x≥0，∴y＝2＋log2x≥2.
4.D 因为f（x）＝1＋log2x的图象过点（1，1），而g（x）＝21＋x的图象过点（－1，1），结合图象，知D符合要求.
5.AB 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝logax”的形式，A、B正确.
6.AC 由题意可知，即因此2＜a＜5且a≠3.故选A、C.
7.（－∞，－2）∪（1，＋∞） 解析：要使y＝log2有意义，须＞0，即（x＋2）（x－1）＞0，解得x＞1或x＜－2，即函数y＝log2的定义域是（－∞，－2）∪（1，＋∞）.
8.[－1，＋∞） 解析：由题意，知log22＋m≥0，所以m≥－1.
9.（－∞，－1） 解析：由题意得x2－4x－5＞0，解得x＜－1或x＞5，所以f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（5，＋∞）.令t＝x2－4x－5（x＜－1或x＞5），由二次函数的图象与性质 ，知t＝x2－4x－5的单调递减区间为（－∞，－1）.所以函数f（x）＝log2（x2－4x－5）的单调递减区间为（－∞，－1）.
10.解：（1）将（－1，0）代入y＝loga（x＋a）（a＞0，且a≠1）中，
有0＝loga（－1＋a），
则－1＋a＝1，所以a＝2.
（2）由（1）知y＝log2（x＋2），由x＋2＞0，解得x＞－2，
所以函数的定义域为{x｜x＞－2}.
11.C 由｜log2x－1｜＝k有两个不同的实根x1，x2，可设x1＞x2，则则故x1x2＝2k＋1·2－k＋1＝4，故选C.
12.BC 令｜log2x｜＝2，可得log2x＝2或log2x＝－2，解得x＝4或x＝，所以要满足f（x）的值域为[0，2]，定义域为的子集，且必须包含x＝1以及至少一个边界点，A选项中 ，故错误；D选项中不包含边界点x＝或x＝4，故错误.B、C满足题意.故选B、C.
13.（－2，2） 解析：在同一坐标系中作出函数y＝f（x）和y＝log2（x＋2）的图象如图，易知当x＝2时，f（x）＝log2（x＋2）＝2.又f（x）的定义域为[－4，4]，y＝log2（x＋2）的定义域为（－2，＋∞），所以不等式f（x）＞log2（x＋2）的解集是（－2，2）.
14.证明：作出f（x）＝｜log2x｜的图象，如图所示.
由图可以看出，若0＜a＜b＜1满足f（a）＞f（b），此时有ab＜1成立；若0＜a＜1＜b，则f（a）＝｜log2a｜＝－log2a，f（b）＝｜log2b｜＝log2b，
因为f（a）＞f（b），所以－log2a＞log2b，即log2a＋log2b＜0，log2ab＜0，所以ab＜1；
若1＜a＜b，则f（a）＜f（b）与条件f（a）＞f（b）相矛盾.
综上可知，若0＜a＜b，且f（a）＞f（b），则ab＜1.
15.A ∵f4（x）＝log2（2x）＝1＋log2x，∴f2（x）＝log2（x＋2）的图象沿x轴先向右平移2个单位长度，得到y＝log2x的图象，然后沿着y轴向上平移1个单位长度，得到f4（x）＝log2（2x）＝1＋log2x的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A.
16.解：（1）因为f（x）为偶函数，所以x2－cx＝x2＋cx，因为x∈R，所以cx＝0，所以c＝0，所以f（x）＝x2.
证明如下：
任意取R上两个不相等的实数x1，x2，则－f（）＝－（）2＝＞0，所以f（x）是下凸函数.
（2）g（x）＝log2x不是下凸函数.理由如下：
当x1＝1，x2＝2时，g（x1）＝0，g（x2）＝1，
g（）＝g（）＝log2 ，
因为＝，
g（）＝log2 ＞log2＝，
所以g（）＞，
故g（x）＝log2x不是下凸函数.
2 / 23.1 对数函数的概念 3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解对数函数的概念，了解反函数概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算机工具画出y＝log2x的图象，掌握其性质并会应用 直观想象、数学抽象
某种细胞进行分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……
【问题】 （1）1个这样的细胞分裂x次后得到细胞个数y如何表示？
（2）如果知道一个细胞经过x次分裂后得到了1 024个细胞，该如何求解x的值呢？
知识点一 对数函数的概念
1.对数函数的概念
函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫作对数函数，其中a叫作对数函数的 ，x是自变量.
2.对数函数的基本性质
（1）定义域是（0，＋∞）；
（2）图象过定点（1，0）.
3.特殊的对数函数
常用对数函数 以 为底的对数函数记作
自然对数函数 以 为底的对数函数记作
知识点二 反函数
指数函数y＝ax是对数函数 的反函数.对数函数 也是指数函数y＝ax的反函数，即它们互为 .
提醒 反函数性质的再理解：①互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；②反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.
知识点三 对数函数y＝log2x的图象与性质
函数 y＝log2x
图象
性 质 定义域
值域 R
单调性 在（0，＋∞）上是
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对数函数的定义域为R.（ ）
（2）y＝log2x2与logx3都不是对数函数.（ ）
（3）函数y＝log2x的图象过定点（1，0）.（ ）
（4）函数y＝log2x的图象一定在y轴右侧.（ ）
2.函数y＝log2（x＋2）＋1的定义域为（ ）
A.（－∞，2） B.（－∞，－2）
C.（2，＋∞） D.（－2，＋∞）
3.若对数函数的图象过点P（9，2），则此对数函数的解析式为 .
题型一 对数函数的概念
【例1】 （1）（多选）下列函数中，是对数函数的有（ ）
A.y＝logax（a∈R） B.y＝log8x
C.y＝ln x D.y＝logx（x＋2）
（2）若对数函数f（x）＝logax的图象过点（2，1），则f（8）＝ .
尝试解答
通性通法
判定一个函数是对数函数的依据
【跟踪训练】
1.已知f（x）＝log5x，则f（5）＝（ ）
A.0 B.1
C.5 D.25
2.函数f（x）＝（a2－a＋1）log（a＋1）x是对数函数，则实数a＝ .
题型二 反函数
【例2】 求下列函数的反函数：
（1）y＝5x； （2）y＝；
（3）y＝lox； （4）y＝log7x.
尝试解答
通性通法
反函数的求法
（1）由y＝ax（或y＝logax）解得x＝logay（或x＝ay）；
（2）将x＝logay（或x＝ay）中的x与y互换位置，得y＝logax（或y＝ax）；
（3）由y＝ax（或y＝logax）的值域，写出y＝logax（或y＝ax）的定义域.
【跟踪训练】
1.函数y＝log3x的定义域为（0，＋∞），则其反函数的值域是（ ）
A.（0，＋∞） B.R
C.（－∞，0） D.（0，1）
2.求函数y＝3x－4（x≥2）的反函数.
题型三 函数y＝log2x的图象与性质
【例3】 （1）函数y＝log2｜x＋1｜的大致图象是（ ）
（2）log2（a2＋a＋1）与log2的大小关系为（ ）
A.log2（a2＋a＋1）≥log2
B.log2（a2＋a＋1）＞log2
C.log2（a2＋a＋1）≤log2
D.log2（a2＋a＋1）＜log2
尝试解答
通性通法
解决与y＝log2x图象与性质有关问题的关键
（1）抓住图象变换准确画出相关函数图象；
（2）充分利用其性质去求解.
【跟踪训练】
1.已知函数y＝log2（1－x）的值域为（－∞，0），则其定义域是（ ）
A.（－∞，1） B.
C.（0，1） D.（1，＋∞）
2.已知函数f（x）＝则不等式f（x）≤1的解集为 .
1.下列函数是对数函数的是（ ）
A.y＝loga（2x） B.y＝log22x
C.y＝log2x＋1 D.y＝lg x
2.y＝log2（1－x）的大致图象是（ ）
3.为了得到y＝log2 的图象只需将y＝log2x的图象 .
4.已知函数y＝ax＋b的图象过点（1，4），其反函数的图象过点（2，0），则a＝ ，b＝ .
3.1 对数函数的概念
3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质
【基础知识·重落实】
知识点一
1.logax 底数 3.10 y＝lg x 无理数e y＝ln x
知识点二
y＝logax y＝logax 反函数
知识点三
（0，＋∞） 增函数
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√ （4）√
2.D 由x＋2＞0，得x＞－2.
3.y＝log3x 解析：设对数函数为y＝logax（a＞0，且a≠1），∴2＝loga9，∴a＝3，∴解析式为y＝log3x.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）BC （2）3 解析：（1）形如y＝logax（a＞0，且a≠1）的函数即为对数函数，符合此形式的函数表达式有B、C，其他的均不符合.故选B、C.
（2）依题意知1＝loga2，所以a＝2，所以f（x）＝log2x，故f（8）＝log28＝3.
跟踪训练
1.B f（5）＝log55＝1.
2.1 解析：a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1.
【例2】 解：（1）指数函数y＝5x，它的底数是5，它的反函数是对数函数y＝log5x.
（2）指数函数y＝，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝lox.
（3）对数函数y＝lox，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝.
（4）对数函数y＝log7x，它的底数是7，它的反函数是指数函数y＝7x.
跟踪训练
1.A 反函数的值域为原函数的定义域（0，＋∞）.
2.解：∵y＝3x－4，∴3x＝y＋4，∴x＝log3（y＋4）.
又∵x≥2，∴3x－4≥5，
∴函数y＝3x－4（x≥2）的反函数为y＝log3（x＋4）（x≥5）.
【例3】 （1）B （2）A 解析：（1）y＝log2｜x｜是偶函数，其y轴右侧部分的图象即为y＝log2x的图象，再将y＝log2｜x｜的图象向左平移一个单位长度，即为y＝log2｜x＋1｜的图象，故选B.
（2）∵y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，而a2＋a＋1＝＋≥，∴log2（a2＋a＋1）≥log2.
跟踪训练
1.C ∵函数y＝log2（1－x）的值域为（－∞，0），∴0＜1－x＜1，即－1＜x－1＜0，解得0＜x＜1，∴函数的定义域为（0，1），故选C.
2.{x｜0≤x≤2} 解析：因为函数f（x）＝所以若不等式f（x）≤1，则或解得0≤x≤2，所以原不等式的解集为{x｜0≤x≤2}.
随堂检测
1.D 选项A、B、C中的函数都不具有“y＝logax（a＞0，且a≠1）”的形式，只有D选项符合.
2.C y＝log2（－x）与y＝log2x的图象关于y轴对称，又因为y＝log2（1－x）＝log2[－（x－1）]，故将y＝log2（－x）的图象向右平移一个单位长度，即得y＝log2（1－x）的图象，故选C.
3.向下平移一个单位长度 解析：y＝log2 ＝log2x－1.
4.3 1 解析：由函数y＝ax＋b的图象过点（1，4），得a＋b＝4；由反函数的图象过点（2，0）知，原函数的图象过点（0，2），得a0＋b＝2，因此a＝3，b＝1.
3 / 4(共53张PPT)
3.1 对数函数的概念
3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.通过具体实例，了解对数函数的概念，了解反函
数概念 数学抽象
2.能用描点法或借助计算机工具画出 y ＝log2 x 的图
象，掌握其性质并会应用 直观想象、数学
抽象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某种细胞进行分裂，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……
【问题】 （1）1个这样的细胞分裂 x 次后得到细胞个数 y 如何表
示？
（2）如果知道一个细胞经过 x 次分裂后得到了1 024个细胞，该如何
求解 x 的值呢？
知识点一 对数函数的概念
1. 对数函数的概念
函数 y ＝ （ a ＞0，且 a ≠1）叫作对数函数，其中 a 叫作
对数函数的 ， x 是自变量.
2. 对数函数的基本性质
（1）定义域是（0，＋∞）；
（2）图象过定点（1，0）.
log ax
底数
3. 特殊的对数函数
常用对
数函数 以 为底的对数函数记作
自然对
数函数 以 为底的对数函数记作
10
y ＝lg x
无理数e
y ＝ln x
知识点二 反函数
指数函数 y ＝ ax 是对数函数 的反函数.对数函数
也是指数函数 y ＝ ax 的反函数，即它们互为 .
提醒 反函数性质的再理解：①互为反函数的两个函数图象关于直线
y ＝ x 对称；②反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函
数的定义域.
y ＝log ax
y ＝log
ax
反函数
知识点三 对数函数 y ＝log2 x 的图象与性质
函数 y ＝log2 x
图象
性 质 定义域
值域 R
单调性 在（0，＋∞）上是
（0，＋∞）
增函数
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）对数函数的定义域为R. （ × ）
（2） y ＝log2 x2与log x 3都不是对数函数. （ √ ）
（3）函数 y ＝log2 x 的图象过定点（1，0）. （ √ ）
（4）函数 y ＝log2 x 的图象一定在 y 轴右侧. （ √ ）
×
√
√
√
2. 函数 y ＝log2（ x ＋2）＋1的定义域为（ ）
A. （－∞，2） B. （－∞，－2）
C. （2，＋∞） D. （－2，＋∞）
解析： 由 x ＋2＞0，得 x ＞－2.
3. 若对数函数的图象过点 P （9，2），则此对数函数的解析式为
.
解析：设对数函数为 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1），∴2＝log a 9，
∴ a ＝3，∴解析式为 y ＝log3 x .
y ＝
log3 x
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数函数的概念
【例1】 （1）（多选）下列函数中，是对数函数的有（ BC ）
A. y ＝log ax （ a ∈R） B. y ＝log8 x
C. y ＝ln x D. y ＝log x （ x ＋2）
BC
解析：形如 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）的函数即为对数函数，符合
此形式的函数表达式有B、C，其他的均不符合.故选B、C.
（2）若对数函数 f （ x ）＝log ax 的图象过点（2，1），则 f （8）
＝ .
解析：依题意知1＝log a 2，所以 a ＝2，所以 f （ x ）＝log2 x ，故
f （8）＝log28＝3.
3
通性通法
判定一个函数是对数函数的依据
【跟踪训练】
1. 已知 f （ x ）＝log5 x ，则 f （5）＝（ ）
A. 0 B. 1
C. 5 D. 25
解析： f （5）＝log55＝1.
2. 函数 f （ x ）＝（ a2－ a ＋1）log（ a＋1） x 是对数函数，则实数 a
＝ .
解析： a2－ a ＋1＝1，解得 a ＝0或1.又 a ＋1＞0，且 a ＋1≠1，
∴ a ＝1.
1
题型二 反函数
【例2】 求下列函数的反函数：
（1） y ＝5 x ；
解：指数函数 y ＝5 x ，它的底数是5，它的反函数是对数函数 y
＝log5 x .
（2） y ＝ ；
解：指数函数 y ＝ ，它的底数是 ，它的反函数是对数函数
y ＝lo x .
（3） y ＝lo x ；
解：对数函数 y ＝lo x ，它的底数是 ，它的反函数是指数函
数 y ＝ .
（4） y ＝log7 x .
解：对数函数 y ＝log7 x ，它的底数是7，它的反函数是指数函数
y ＝7 x .
通性通法
反函数的求法
（1）由 y ＝ ax （或 y ＝log ax ）解得 x ＝log ay （或 x ＝ ay ）；
（2）将 x ＝log ay （或 x ＝ ay ）中的 x 与 y 互换位置，得 y ＝log ax （或 y
＝ ax ）；
（3）由 y ＝ ax （或 y ＝log ax ）的值域，写出 y ＝log ax （或 y ＝ ax ）的
定义域.
【跟踪训练】
1. 函数 y ＝log3 x 的定义域为（0，＋∞），则其反函数的值域是（ ）
A. （0，＋∞） B. R
C. （－∞，0） D. （0，1）
解析： 反函数的值域为原函数的定义域（0，＋∞）.
2. 求函数 y ＝3 x －4（ x ≥2）的反函数.
解：∵ y ＝3 x －4，∴3 x ＝ y ＋4，∴ x ＝log3（ y ＋4）.
又∵ x ≥2，∴3 x －4≥5，
∴函数 y ＝3 x －4（ x ≥2）的反函数为 y ＝log3（ x ＋4）（ x ≥5）.
题型三 函数 y ＝log2 x 的图象与性质
【例3】 （1）函数 y ＝log2｜ x ＋1｜的大致图象是（ B ）
B
解析： y ＝log2｜ x ｜是偶函数，其 y 轴右侧部分的图象即为 y ＝log2 x
的图象，再将 y ＝log2｜ x ｜的图象向左平移一个单位长度，即为 y ＝
log2｜ x ＋1｜的图象，故选B.
（2）log2（ a2＋ a ＋1）与log2 的大小关系为（ A ）
解析：∵ y ＝log2 x 在（0，＋∞）上是增函数，而 a2＋ a ＋1＝
＋ ≥ ，∴log2（ a2＋ a ＋1）≥log2 .
A
通性通法
解决与 y ＝log2 x 图象与性质有关问题的关键
（1）抓住图象变换准确画出相关函数图象；
（2）充分利用其性质去求解.
【跟踪训练】
1. 已知函数 y ＝log2（1－ x ）的值域为（－∞，0），则其定义域是
（ ）
A. （－∞，1）
C. （0，1） D. （1，＋∞）
解析： ∵函数 y ＝log2（1－ x ）的值域为（－∞，0），∴0＜1
－ x ＜1，即－1＜ x －1＜0，解得0＜ x ＜1，∴函数的定义域为
（0，1），故选C.
2. 已知函数 f （ x ）＝则不等式 f （ x ）≤1的解集
为 .
解析：因为函数 f （ x ）＝所以若不等式 f （ x ）
≤1，则或解得0≤ x ≤2，所以原不等式的
解集为{ x ｜0≤ x ≤2}.
{ x ｜0≤ x ≤2}
1. 下列函数是对数函数的是（ ）
A. y ＝log a （2 x ） B. y ＝log22 x
C. y ＝log2 x ＋1 D. y ＝lg x
解析： 选项A、B、C中的函数都不具有“ y ＝log ax （ a ＞0，且
a ≠1）”的形式，只有D选项符合.
2. y ＝log2（1－ x ）的大致图象是（ ）
解析： y ＝log2（－ x ）与 y ＝log2 x 的图象关于 y 轴对称，
又因为 y ＝log2（1－ x ）＝log2[－（ x －1）]，故将 y ＝log2
（－ x ）的图象向右平移一个单位长度，即得 y ＝log2（1－ x ）
的图象，故选C.
3. 为了得到 y ＝log2 的图象只需将 y ＝log2 x 的图象
.
解析： y ＝log2 ＝log2 x －1.
4. 已知函数 y ＝ ax ＋ b 的图象过点（1，4），其反函数的图象过点
（2，0），则 a ＝ ， b ＝ .
解析：由函数 y ＝ ax ＋ b 的图象过点（1，4），得 a ＋ b ＝4；由反
函数的图象过点（2，0）知，原函数的图象过点（0，2），得 a0＋
b ＝2，因此 a ＝3， b ＝1.
向下平移一个单
位长度
3
1
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 对数函数的图象过点 M （16，4），则此对数函数的解析式为（ ）
A. y ＝log4 x
D. y ＝log2 x
解析： 设该函数为 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1），由于对数函
数的图象过点 M （16，4），所以4＝log a 16，得 a ＝2.所以对数函
数的解析式为 y ＝log2 x ，故选D.
1
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2. 若函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）的反函数且 f
（2）＝1，则 f （ x ）＝（ ）
A. log2 x
D. 2 x－2
解析： 函数 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）的反函数是 f （ x ）＝log
ax ，又 f （2）＝1，即log a 2＝1，所以 a ＝2.故 f （ x ）＝log2 x .
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3. 函数 y ＝2＋log2 x （ x ≥1）的值域为（ ）
A. （2，＋∞） B. （－∞，2）
C. [2，＋∞） D. [3，＋∞）
解析： ∵ x ≥1，∴log2 x ≥0，∴ y ＝2＋log2 x ≥2.
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4. 函数 f （ x ）＝1＋log2 x 和 g （ x ）＝21＋ x 在同一平面直角坐标系中
的图象大致是（ ）
解析： 因为 f （ x ）＝1＋log2 x 的图象过点（1，1），而 g
（ x ）＝21＋ x 的图象过点（－1，1），结合图象，知D符合要求.
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5. （多选）下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
A. y ＝logπ x
C. y ＝log4 x2 D. y ＝log2（ x ＋1）
解析： 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具
有“ y ＝log ax ”的形式，A、B正确.
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6. （多选）函数 y ＝log（ a－2）[（5－ a ）（ x2＋1）]中，实数 a 的取
值可能是（ ）
B. 3
C. 4 D. 5
解析： 由题意可知，即因此2＜ a ＜5且
a ≠3.故选A、C.
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7. 函数 y ＝log2 的定义域是 .
解析：要使 y ＝log2 有意义，须 ＞0，即（ x ＋2）（ x －1）
＞0，解得 x ＞1或 x ＜－2，即函数 y ＝log2 的定义域是（－∞，
－2）∪（1，＋∞）.
（－∞，－2）∪（1，＋∞）
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8. 已知函数 y ＝log2（ x ＋2）＋ m 的图象不过第四象限，则实数 m 的
取值范围为 .
解析：由题意，知log22＋ m ≥0，所以 m ≥－1.
[－1，＋∞）
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9. 函数 f （ x ）＝log2（ x2－4 x －5）的单调递减区间为
.
解析：由题意得 x2－4 x －5＞0，解得 x ＜－1或 x ＞5，所以 f （ x ）
的定义域为（－∞，－1）∪（5，＋∞）.令 t ＝ x2－4 x －5（ x ＜
－1或 x ＞5），由二次函数的图象与性质 ，知 t ＝ x2－4 x －5的单
调递减区间为（－∞，－1）.所以函数 f （ x ）＝log2（ x2－4 x －
5）的单调递减区间为（－∞，－1）.
（－∞，－
1）
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10. 若函数 y ＝log a （ x ＋ a ）（ a ＞0，且 a ≠1）的图象过点（－1，0）.
（1）求 a 的值；
解：将（－1，0）代入 y ＝log a （ x ＋ a ）（ a ＞0，且
a ≠1）中，
有0＝log a （－1＋ a ），
则－1＋ a ＝1，所以 a ＝2.
（2）求函数的定义域.
解：由（1）知 y ＝log2（ x ＋2），由 x ＋2＞0，解得 x ＞－2，
所以函数的定义域为{ x ｜ x ＞－2}.
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11. 已知函数 f （ x ）＝｜log2 x －1｜，若存在实数 k ，使得关于 x 的方
程 f （ x ）＝ k 有两个不同的实根 x1， x2，则 x1 x2的值为（ ）
A. 1 B. 2
解析： 由｜log2 x －1｜＝ k 有两个不同的实根 x1， x2，可设 x1
＞ x2，则则故 x1 x2＝2 k＋1·2－ k＋1
＝4，故选C.
C. 4 D. 不确定
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12. （多选）已知函数 f （ x ）＝｜log2 x ｜的值域是[0，2]，则其定义
域可能是（ ）
A.
C. D.
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解析： 令｜log2 x ｜＝2，可得log2 x ＝2或log2 x ＝－2，解得 x
＝4或 x ＝ ，所以要满足 f （ x ）的值域为[0，2]，定义域为
的子集，且必须包含 x ＝1以及至少一个边界点，A选项中
，故错误；D选项中 不包
含边界点 x ＝ 或 x ＝4，故错误.B、C满
足题意.故选B、C.
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13. 如图，已知函数 f （ x ）的图象为折线 ACB （含端点 A ， B ），其
中 A （－4，0）， B （4，0）， C （0，4），则不等式 f （ x ）＞
log2（ x ＋2）的解集是 .
（－2，2）
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解析：在同一坐标系中作出函数 y ＝ f （ x ）
和 y ＝log2（ x ＋2）的图象如图，易知当 x ＝2
时， f （ x ）＝log2（ x ＋2）＝2.又 f （ x ）的
定义域为[－4，4]， y ＝log2（ x ＋2）的定义
域为（－2，＋∞），所以不等式 f （ x ）＞
log2（ x ＋2）的解集是（－2，2）.
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14. 已知函数 f （ x ）＝｜log2 x ｜，若0＜ a ＜ b ，且 f （ a ）＞ f
（ b ），证明： ab ＜1.
证明：作出 f （ x ）＝｜log2 x ｜的图象，如图所示.
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由图可以看出，若0＜ a ＜ b ＜1满足 f （ a ）＞ f （ b ），此时有 ab
＜1成立；若0＜ a ＜1＜ b ，则 f （ a ）＝｜log2 a ｜＝－log2 a ， f
（ b ）＝｜log2 b ｜＝log2 b ，
因为 f （ a ）＞ f （ b ），所以－log2 a ＞log2 b ，即log2 a ＋log2 b ＜
0，log2 ab ＜0，所以 ab ＜1；
若1＜ a ＜ b ，则 f （ a ）＜ f （ b ）与条件 f （ a ）＞ f （ b ）
相矛盾.
综上可知，若0＜ a ＜ b ，且 f （ a ）＞ f （ b ），则 ab ＜1.
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15. 若两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“同
形函数”.给出下列四个函数： f1（ x ）＝2log2（ x ＋1）， f2
（ x ）＝log2（ x ＋2）， f3（ x ）＝log2 x2， f4（ x ）＝log2（2
x ），则是“同形函数”的是（ ）
A. f2（ x ）与 f4（ x ） B. f1（ x ）与 f3（ x ）
C. f1（ x ）与 f4（ x ） D. f3（ x ）与 f4（ x ）
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解析： ∵ f4（ x ）＝log2（2 x ）＝1＋log2 x ，∴ f2（ x ）＝log2
（ x ＋2）的图象沿 x 轴先向右平移2个单位长度，得到 y ＝log2 x 的
图象，然后沿着 y 轴向上平移1个单位长度，得到 f4（ x ）＝log2
（2 x ）＝1＋log2 x 的图象，根据“同形函数”的定义，可知选A.
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16. 若函数 f （ x ）满足对于定义域内任意两个不相等的实数 x1， x2，
都有 ＞ f （ ），则称函数 f （ x ）为下凸函
数.已知 f （ x ）＝ x2＋ cx ，且 f （ x ）为偶函数.
（1）求 c 的值，并证明 f （ x ）是下凸函数；
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解：因为 f （ x ）为偶函数，所以 x2－ cx ＝ x2＋ cx ，因
为 x ∈R，所以 cx ＝0，所以 c ＝0，所以 f （ x ）＝ x2.
证明如下：
任意取R上两个不相等的实数 x1， x2，则
－ f （ ）＝ －（ ）2＝ ＞0，所
以 f （ x ）是下凸函数.
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（2）判断 g （ x ）＝log2 x 是否为下凸函数，并说明理由.
解：g （ x ）＝log2 x 不是下凸函数.理由如下：
当 x1＝1， x2＝2时， g （ x1）＝0， g （ x2）＝1，
g （ ）＝ g （ ）＝log2 ，
因为 ＝ ，
g （ ）＝log2 ＞log2 ＝ ，
所以 g （ ）＞ ，
故 g （ x ）＝log2 x 不是下凸函数.
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