第二课时 对数函数图象和性质的应用
题型一 对数型函数的最值与值域
【例1】 求下列函数的值域：
（1）y＝lo（－x2＋2x＋1）；
（2）f（x）＝log2·log2（1≤x≤4）.
尝试解答
通性通法
求对数型函数值域的方法
（1）求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解；
（2）求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数的单调性求解，当函数较为复杂时，可对对数型函数进行换元，把复杂问题简单化.
【跟踪训练】
1.已知函数f（x）＝3lox的定义域为[3，9]，则函数f（x）的值域是 .
2.函数y＝2x－lo（x＋1）在区间[0，1]上的最大值为 ，最小值为 .
题型二 对数型函数的单调性问题
【例2】 （1）已知函数f（x）＝loga（x2＋2x－3），若f（2）＞0，则此函数的单调递增区间是（ ）
A.（－∞，－3）
B.（－∞，－3）∪（1，＋∞）
C.（－∞，－1）
D.（1，＋∞）
（2）已知函数f（x）＝lg（x2－2ax－a）在区间（－∞，－3）上单调递减，求实数a的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）本例（1）中条件变为“f（x）＝lg（x2－2x）”，其他条件不变，试求函数f（x）的单调递增区间.
2.（变条件）本例（2）中条件变为“f（x）＝loga（6－ax）在[0，2]上单调递减”，求a的取值范围.
通性通法
形如y＝logaf（x）（f（x）＞0）的函数的单调性
（1）当a＞1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性一致；
（2）当0＜a＜1时，y＝logaf（x）的单调性在f（x）＞0的前提下与y＝f（x）的单调性相反.
提醒 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则.
【跟踪训练】
若函数f（x）＝loga（x2＋x）（a＞0，且a≠1）在区间内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A.（0，＋∞） B.（2，＋∞）
C.（1，＋∞） D.（，＋∞）
题型三 对数函数性质的综合应用
【例3】 已知f（x）＝log4（4x－1）.
（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）求f（x）在区间上的值域.
尝试解答
通性通法
解决对数函数性质的综合问题的注意点
（1）注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母（或分子）有理化等变形技巧；
（2）解答问题时应注意定义域优先的原则；
（3）由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝ln（ax＋1）＋ln（x－1）的图象经过点（3，3ln 2）.
（1）求a的值，及f（x）的定义域；
（2）求关于x的不等式f（x）≤ln（2x）的解集.
1.函数f（x）＝lg 是（ ）
A.奇函数 B.偶函数
C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数
2.函数f（x）＝lg x2的单调递减区间是（ ）
A.（－∞，0） B.（－∞，1）
C.（1，＋∞） D.（0，＋∞）
3.已知函数f（x）＝log2（1＋2－x），则函数f（x）的值域是（ ）
A.[0，2） B.（0，＋∞）
C.（0，2） D.[0，＋∞）
4.（多选）已知f（x）＝lg（10＋x）＋lg（10－x），则f（x）（ ）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.在（0，10）上单调递增
D.在（0，10）上单调递减
5.已知函数f（x）＝｜lox｜在区间上的值域为[0，1]，则m的取值范围为 .
第二课时 对数函数图象和性质的应用
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）设t＝－x2＋2x＋1，则t＝－（x－1）2＋2.
∵y＝lot在（0，＋∞）上为减函数，且0＜t≤2，y＝lo2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞）.
（2）∵f（x）＝log2·log2＝（log2x－2）·（log2x－1）
＝－，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝，
即x＝＝2时，f（x）取最小值－；
当log2x＝0，即x＝1时，f（x）取得最大值为2，
∴函数f（x）的值域是.
跟踪训练
1.[－6，－3] 解析：∵y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤x≤9时，lo9≤lox≤lo3，即－2≤lox≤－1，∴－6≤3lox≤－3，∴函数f（x）的值域是[－6，－3].
2.3 1 解析：因为y＝2x在[0，1]上单调递增，y＝lo（x＋1）在[0，1]上单调递减，所以y＝f（x）＝2x－lo（x＋1）在[0，1]上单调递增，所以y的最大值为f（1）＝21－lo2＝2－（－1）＝3，最小值为f（0）＝20－lo1＝1－0＝1.
【例2】 （1）D ∵f（2）＝loga5＞0＝loga1，∴a＞1.
由x2＋2x－3＞0得函数f（x）的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋∞）.设u＝x2＋2x－3，则此函数在（1，＋∞）上单调递增.又∵y＝logau（a＞1）在（0，＋∞）上是增函数，∴函数f（x）的单调递增区间是（1，＋∞），故选D.
（2）解：设u（x）＝x2－2ax－a.
∵f（x）在（－∞，－3）上单调递减，
∴u（x）在（－∞，－3）上单调递减，
且u（x）＞0在（－∞，－3）上恒成立.
又u（x）＝（x－a）2－a－a2在（－∞，a）上单调递减.
∴∴a≥－.
∴满足条件的实数a的取值范围是.
母题探究
1.解：由已知，得x2－2x＞0，解得x＞2或x＜0.因为u＝x2－2x在（2，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，而y＝lg u在（0，＋∞）上是增函数，所以y＝lg（x2－2x）的单调递增区间为（2，＋∞）.
2.解：若函数f（x）＝loga（6－ax）在[0，2]上单调递减，则解得1＜a＜3.
故实数a的取值范围为（1，3）.
跟踪训练
A 令M＝x2＋x，当x∈（，＋∞）时，M∈（1，＋∞），恒有f（x）＞0，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝（x＋）2－，所以M的单调递增区间为（－，＋∞）.又x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）.
【例3】 解：（1）由4x－1＞0，解得x＞0，
因此f（x）的定义域为（0，＋∞）.
（2）设0＜x1＜x2，则0＜－1＜－1，
因此log4（－1）＜log4（－1），
即f（x1）＜f（x2），故f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
（3）因为f（x）在区间上单调递增，
又f＝0，f（2）＝log415，
因此f（x）在上的值域为[0，log415].
跟踪训练
解：（1）由题意可得ln（3a＋1）＋ln（3－1）＝3ln 2，
即ln（3a＋1）＝2ln 2，所以3a＋1＝4，解得a＝1，
则f（x）＝ln（x＋1）＋ln（x－1）.
由解得x＞1.
所以f（x）的定义域为（1，＋∞）.
（2）由（1）可得f（x）＝ln（x＋1）＋ln（x－1）＝ln（x2－1），x＞1，
不等式f（x）≤ln（2x）可化为ln（x2－1）≤ln（2x），
因为y＝ln x在（0，＋∞）上是增函数，
所以
解得1＜x≤1＋.
故不等式f（x）≤ln（2x）的解集为{x｜1＜x≤1＋}.
随堂检测
1.A f（x）的定义域为R，f（－x）＋f（x）＝lg ＋lg ＝lg ＝lg 1＝0，∴f（x）为奇函数，故选A.
2.A 函数f（x）＝lg x2，可令t＝x2（x≠0），则y＝lg t，由t＝x2在（－∞，0）上单调递减，（0，＋∞）上单调递增，y＝lg t在（0，＋∞）上是增函数，可得函数f（x）＝lg x2的单调递减区间是（－∞，0）.
3.B f（x）＝log2（1＋2－x），∵1＋2－x＞1，∴log2（1＋2－x）＞0，∴函数f（x）的值域是（0，＋∞），故选B.
4.BD 由得x∈（－10，10），故函数f（x）的定义域为（－10，10），因为 x∈（－10，10）都有－x∈（－10，10），且f（－x）＝lg（10－x）＋lg（10＋x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数.f（x）＝lg（10＋x）＋lg（10－x）＝lg（100－x2），y＝100－x2在（0，10）上单调递减，y＝lg x在（0，10）上单调递增，故函数f（x）在（0，10）上单调递减.
5.[1，2] 解析：
作出f（x）＝｜lox｜的图象（如图），可知f＝f（2）＝1，f（1）＝0，由题意结合图象知：1≤m≤2.
1 / 2(共61张PPT)
第二课时 对数函数图象和性质的应用
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数型函数的最值与值域
【例1】 求下列函数的值域：
（1） y ＝lo （－ x2＋2 x ＋1）；
解：设 t ＝－ x2＋2 x ＋1，则 t ＝－（ x －1）2＋2.
∵ y ＝lo t 在（0，＋∞）上为减函数，
且0＜ t ≤2， y ＝lo 2＝－1，
即函数的值域为[－1，＋∞）.
（2） f （ x ）＝log2 ·log2 （1≤ x ≤4）.
解：∵ f （ x ）＝log2 ·log2 ＝（log2 x －2）·（log2 x －1）＝
－ ，
又∵1≤ x ≤4，∴0≤log2 x ≤2，∴当log2 x ＝ ，
即 x ＝ ＝2 时， f （ x ）取最小值－ ；
当log2 x ＝0，即 x ＝1时， f （ x ）取得最大值为2，
∴函数 f （ x ）的值域是 .
通性通法
求对数型函数值域的方法
（1）求对数型函数的值域，一般需要根据对数函数的单调性及真数
的取值范围求解；
（2）求函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响，并结合函数
的单调性求解，当函数较为复杂时，可对对数型函数进行换
元，把复杂问题简单化.
【跟踪训练】
1. 已知函数 f （ x ）＝3lo x 的定义域为[3，9]，则函数 f （ x ）的值
域是 .
解析：∵ y ＝lo x 在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤ x ≤9时，
lo 9≤lo x ≤lo 3，即－2≤lo x ≤－1，∴－6≤3lo x ≤－
3，∴函数 f （ x ）的值域是[－6，－3].
[－6，－3]
2. 函数 y ＝2 x －lo （ x ＋1）在区间[0，1]上的最大值为 ，最小
值为 .
解析：因为 y ＝2 x 在[0，1]上单调递增， y ＝lo （ x ＋1）在[0，
1]上单调递减，所以 y ＝ f （ x ）＝2 x －lo （ x ＋1）在[0，1]上
单调递增，所以 y 的最大值为 f （1）＝21－lo 2＝2－（－1）＝
3，最小值为 f （0）＝20－lo 1＝1－0＝1.
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题型二 对数型函数的单调性问题
【例2】 （1）已知函数 f （ x ）＝log a （ x2＋2 x －3），若 f （2）＞
0，则此函数的单调递增区间是（ ）
A. （－∞，－3） B. （－∞，－3）∪（1，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （1，＋∞）
解析： ∵ f （2）＝log a 5＞0＝log a 1，∴ a ＞1.
由 x2＋2 x －3＞0得函数 f （ x ）的定义域为（－∞，－3）∪（1，＋
∞）.设 u ＝ x2＋2 x －3，则此函数在（1，＋∞）上单调递增.又∵ y
＝log au （ a ＞1）在（0，＋∞）上是增函数，∴函数 f （ x ）的单调递
增区间是（1，＋∞），故选D.
（2）已知函数 f （ x ）＝lg（ x2－2 ax － a ）在区间（－∞，－3）上
单调递减，求实数 a 的取值范围.
解：设 u （ x ）＝ x2－2 ax － a .
∵ f （ x ）在（－∞，－3）上单调递减，
∴ u （ x ）在（－∞，－3）上单调递减，
且 u （ x ）＞0在（－∞，－3）上恒成立.
又 u （ x ）＝（ x － a ）2－ a － a2在（－∞， a ）上单调递减.
∴∴ a ≥－ .
∴满足条件的实数 a 的取值范围是 .
【母题探究】
1. （变条件）本例（1）中条件变为“ f （ x ）＝lg（ x2－2 x ）”，其
他条件不变，试求函数 f （ x ）的单调递增区间.
解：由已知，得 x2－2 x ＞0，解得 x ＞2或 x ＜0.因为 u ＝ x2－2 x 在
（2，＋∞）上单调递增，在（－∞，0）上单调递减，而 y ＝lg u
在（0，＋∞）上是增函数，所以 y ＝lg（ x2－2 x ）的单调递增区
间为（2，＋∞）.
2. （变条件）本例（2）中条件变为“ f （ x ）＝log a （6－ ax ）在
[0，2]上单调递减”，求 a 的取值范围.
解：若函数 f （ x ）＝log a （6－ ax ）在[0，2]上单调递减，则
解得1＜ a ＜3.
故实数 a 的取值范围为（1，3）.
通性通法
形如 y ＝log af （ x ）（ f （ x ）＞0）的函数的单调性
（1）当 a ＞1时， y ＝log af （ x ）的单调性在 f （ x ）＞0的前提下与 y
＝ f （ x ）的单调性一致；
（2）当0＜ a ＜1时， y ＝log af （ x ）的单调性在 f （ x ）＞0的前提下
与 y ＝ f （ x ）的单调性相反.
提醒 研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数
的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则.
【跟踪训练】
若函数 f （ x ）＝log a （ x2＋ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）在区间
内恒有 f （ x ）＞0，则 f （ x ）的单调递增区间为（ ）
A. （0，＋∞） B. （2，＋∞）
C. （1，＋∞）
解析： 令 M ＝ x2＋ x ，当 x ∈（ ，＋∞）时， M ∈（1，＋
∞），恒有 f （ x ）＞0，所以 a ＞1，所以函数 y ＝log aM 为增函数，又
M ＝（ x ＋ ）2－ ，所以 M 的单调递增区间为（－ ，＋∞）.又 x2
＋ x ＞0，所以 x ＞0或 x ＜－ ，所以函数 f （ x ）的单调递增区间为
（0，＋∞）.
题型三 对数函数性质的综合应用
【例3】 已知 f （ x ）＝log4（4 x －1）.
（1）求 f （ x ）的定义域；
解：由4 x －1＞0，解得 x ＞0，
因此 f （ x ）的定义域为（0，＋∞）.
（2）讨论 f （ x ）的单调性；
解：设0＜ x1＜ x2，则0＜ －1＜ －1，
因此log4（ －1）＜log4（ －1），
即 f （ x1）＜ f （ x2），故 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数.
（3）求 f （ x ）在区间 上的值域.
解：因为 f （ x ）在区间 上单调递增，
又 f ＝0， f （2）＝log415，
因此 f （ x ）在 上的值域为[0，log415].
通性通法
解决对数函数性质的综合问题的注意点
（1）注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母
（或分子）有理化等变形技巧；
（2）解答问题时应注意定义域优先的原则；
（3）由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论.
【跟踪训练】
已知函数 f （ x ）＝ln（ ax ＋1）＋ln（ x －1）的图象经过点（3，
3ln 2）.
（1）求 a 的值，及 f （ x ）的定义域；
解：由题意可得ln（3 a ＋1）＋ln（3－1）＝3ln 2，
即ln（3 a ＋1）＝2ln 2，所以3 a ＋1＝4，解得 a ＝1，
则 f （ x ）＝ln（ x ＋1）＋ln（ x －1）.
由解得 x ＞1.
所以 f （ x ）的定义域为（1，＋∞）.
（2）求关于 x 的不等式 f （ x ）≤ln（2 x ）的解集.
解：由（1）可得 f （ x ）＝ln（ x ＋1）＋ln（ x －1）＝ln（ x2－
1）， x ＞1，
不等式 f （ x ）≤ln（2 x ）可化为ln（ x2－1）≤ln（2 x ），
因为 y ＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数，
所以
解得1＜ x ≤1＋ .
故不等式 f （ x ）≤ln（2 x ）的解集为{ x ｜1＜ x ≤1＋ }.
1. 函数 f （ x ）＝lg 是（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数
解析： f （ x ）的定义域为R， f （－ x ）＋ f （ x ）＝lg
＋lg ＝lg ＝lg 1＝0，∴ f （ x ）为
奇函数，故选A.
2. 函数 f （ x ）＝lg x2的单调递减区间是（ ）
A. （－∞，0） B. （－∞，1）
C. （1，＋∞） D. （0，＋∞）
解析： 函数 f （ x ）＝lg x2，可令 t ＝ x2（ x ≠0），则 y ＝lg t ，
由 t ＝ x2在（－∞，0）上单调递减，（0，＋∞）上单调递增， y
＝lg t 在（0，＋∞）上是增函数，可得函数 f （ x ）＝lg x2的单调递
减区间是（－∞，0）.
3. 已知函数 f （ x ）＝log2（1＋2－ x ），则函数 f （ x ）的值域是（ ）
A. [0，2） B. （0，＋∞）
C. （0，2） D. [0，＋∞）
解析： f （ x ）＝log2（1＋2－ x ），∵1＋2－ x ＞1，∴log2（1＋2
－ x ）＞0，∴函数 f （ x ）的值域是（0，＋∞），故选B.
4. （多选）已知 f （ x ）＝lg（10＋ x ）＋lg（10－ x ），则 f （ x ）
（ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 在（0，10）上单调递增
D. 在（0，10）上单调递减
解析： 由得 x ∈（－10，10），故函数 f （ x ）
的定义域为（－10，10），因为 x ∈（－10，10）都有－ x ∈（－
10，10），且 f （－ x ）＝lg（10－ x ）＋lg（10＋ x ）＝ f （ x ），
故函数 f （ x ）为偶函数. f （ x ）＝lg（10＋ x ）＋lg（10－ x ）＝lg
（100－ x2）， y ＝100－ x2在（0，10）上单调递减， y ＝lg x 在
（0，10）上单调递增，故函数 f （ x ）在（0，10）上单调递减.
5. 已知函数 f （ x ）＝｜lo x ｜在区间 上的值域为[0，1]，
则 m 的取值范围为 .
解析：作出 f （ x ）＝｜lo x ｜的图象（如图），可知 f ＝ f
（2）＝1， f （1）＝0，由题意结合图象知：1≤ m ≤2.
[1，2]
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝log2（3 x ＋1）的值域为（ ）
A. （0，＋∞） B. [0，＋∞）
C. （1，＋∞） D. [1，＋∞）
解析： ∵3 x ＞0，∴3 x ＋1＞1.∴log2（3 x ＋1）＞0.∴函数 f
（ x ）的值域为（0，＋∞）.
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2. 若函数 f （ x ）＝ ax ＋log a （ x ＋1）在[0，1]上的最大值和最小值
之和为 a ，则 a 的值为（ ）
A.
C. 2 D. 4
解析： 当 a ＞1时， a ＋log a 2＋1＝ a ，log a 2＝－1， a ＝ ，与 a
＞1矛盾；当0＜ a ＜1时，1＋ a ＋log a 2＝ a ，log a 2＝－1， a ＝ .
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3. 已知函数 f （ x ）＝log a （2＋ x ）， g （ x ）＝log a （2－ x ），其中
a ＞0且 a ≠1，则函数 F （ x ）＝ f （ x ）＋ g （ x ）， G （ x ）＝ f
（ x ）－ g （ x ）的奇偶性是（ ）
A. F （ x ）是奇函数， G （ x ）是奇函数
B. F （ x ）是偶函数， G （ x ）是奇函数
C. F （ x ）是偶函数， G （ x ）是偶函数
D. F （ x ）是奇函数， G （ x ）是偶函数
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解析： F （ x ）， G （ x ）的定义域为（－2，2）.∵ F （－ x ）
＝log a （2－ x ）＋log a （2＋ x ）＝ F （ x ）， G （－ x ）＝log a （2
－ x ）－log a （2＋ x ）＝－ G （ x ），∴ F （ x ）是偶函数， G
（ x ）是奇函数.
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4. 函数 y ＝lo （－3＋4 x － x2）的单调递增区间是（ ）
A. （－∞，2） B. （2，＋∞）
C. （1，2） D. （2，3）
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解析： 由－3＋4 x － x2＞0，得 x2－4 x ＋3＜0，得1＜ x ＜3.设 t
＝－3＋4 x － x2，其图象的对称轴为 x ＝2.∵函数 y ＝lo t 在（0，
＋∞）上为减函数，∴要求函数 y ＝lo （－3＋4 x － x2）的单调
递增区间，即求函数 t ＝－3＋4 x － x2，1＜ x ＜3的单调递减区间，
∵函数 t ＝－3＋4 x － x2，1＜ x ＜3的单调递减区间是（2，3），
∴函数 y ＝lo （－3＋4 x － x2）的单调递增区间为（2，3），故
选D.
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5. 若点（ a ， b ）在函数 y ＝lg x 的图象上， a ≠1，则下列点也在此图
象上的是（ ）
B. （10 a ，1－ b ）
D. （ a2，2 b ）
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解析： 因为点（ a ， b ）在函数 y ＝lg x 的图象上，所以 b ＝lg
a .当 x ＝ 时，有 y ＝lg ＝－lg a ＝－ b ，所以点（ ， b ）不在此
函数的图象上，A不正确；当 x ＝10 a 时，有 y ＝lg（10 a ）＝1＋lg
a ＝1＋ b ，所以点（10 a ，1－ b ）不在此函数的图象上，B不正
确；当 x ＝ 时，有 y ＝lg ＝1－lg a ＝1－ b ，所以点（ ， b ＋
1）不在此函数的图象上，C不正确；当 x ＝ a2时，有 y ＝lg a2＝2lg
a ＝2 b ，所以点（ a2，2 b ）在此函数的图象上，D正确.
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6. （多选）关于函数 f （ x ）＝lg ，正确的结论是（ ）
A. 函数 f （ x ）的定义域是（0，＋∞）
B. 函数 f （ x ）是奇函数
C. 函数 f （ x ）的最小值为－lg 2
D. 当0＜ x ＜1时，函数 f （ x ）单调递增；当 x ＞1时，函数 f （ x ）单
调递减
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解析： 由 ＞0知函数 f （ x ）的定义域是（0，＋∞），则
函数 f （ x ）是非奇非偶函数，所以A正确，B错误； f （ x ）＝lg
＝－lg ≤－lg 2，即函数 f （ x ）的最大值为－lg 2，所
以C错误；令 y ＝ x ＋ ，当0＜ x ＜1时，该函数单调递减；当 x ＞1
时，该函数单调递增.而函数 y ＝lg x 在（0，＋∞）是增函数，所
以D正确.
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7. 函数 y ＝lo （1－ x2）的单调递减区间是 ；其值域
是 .
解析：函数 y ＝lo （1－ x2）的定义域是（－1，1）.函数 t ＝1－
x2在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且值域是
（0，1），而 y ＝lo t 在（0，＋∞）上是减函数，因此函数 y ＝
lo （1－ x2）的单调递减区间是（－1，0），其值域是（0，＋∞）.
（－1，0）
（0，＋∞）
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8. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数： f （ x ）＝
.
① f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递增；
② f （ x ）的值域为R；
③ f （ x ）为偶函数.
解析： f （ x ）＝ln｜ x ｜＝为偶函数，在（0，＋
∞）上单调递增，且值域为R，满足题中条件.
ln｜ x ｜（答
案不唯一）
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9. 已知定义域为R的偶函数 f （ x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，且
f ＝0，则不等式 f （log4 x ）＜0的解集是 .
解析：由题意可知， f （log4 x ）＜0 － ＜log4 x ＜ ＜ x ＜
＜ x ＜2.
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10. 已知函数 f （ x ）＝lg（ x ＋2）－lg（2－ x ）.
（1）求 f （ x ）的定义域；
解：要使函数 f （ x ）有意义，
则解得－2＜ x ＜2.
故所求函数 f （ x ）的定义域为（－2，2）.
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（2）判断 f （ x ）的奇偶性并予以证明；
解： f （ x ）为奇函数，证明如下：
由（1）知 f （ x ）的定义域（－2，2）关于原点对称，
设任意的 x ∈（－2，2），则－ x ∈（－2，2），
且 f （－ x ）＝lg（－ x ＋2）－lg（2＋ x ）＝－ f （ x ），
故 f （ x ）为奇函数.
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（3）求不等式 f （ x ）＞1的解集.
解：因为 f （ x ）在定义域（－2，2）上是增函数，
所以 f （ x ）＞1 ＞10，解得 x ＞ .
所以不等式 f （ x ）＞1的解集是 .
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11. 设函数 f （ x ）＝ln｜2 x ＋1｜－ln｜2 x －1｜，则 f （ x ）（ ）
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解析： 由得函数 f （ x ）的定义域为
∪ ∪ ，其关于原点对称，因为 f （－ x ）＝
ln｜2（－ x ）＋1｜－ln｜2（－ x ）－1｜＝ln｜2 x －1｜－ln｜2 x
＋1｜＝－ f （ x ），所以函数 f （ x ）为奇函数，排除A、C；当 x
∈ 时， f （ x ）＝ln（2 x ＋1）－ln（1－2 x ），易知函数
f （ x ）单调递增，排除B；当 x ∈ 时， f （ x ）＝ln（－2
x －1）－ln（1－2 x ）＝ln ＝ln（1＋ ），易知函数 f
（ x ）单调递减，故选D.
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12. 设函数 f （ x ）＝则满足不等式 f （ x ）＋ f
（ x － ）＞2的 x 的取值范围是（ ）
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解析： 由已知 f （ x ）是R上的增函数，当 x ＞1时， f （ x ）＞
2，当 x － ＞1，即 x ＞ 时，不等式 f （ x ）＋ f （ x － ）＞2成
立；当1＜ x ≤ 时， f （ x ）＝log2（ x ＋3）＞2， f （ x － ）＝4
（ x － ）－2＝4 x －3＞0，不等式 f （ x ）＋ f （ x － ）＞2成
立；当 x ≤1时， f （ x ）＋ f （ x － ）＝4 x －2＋4（ x － ）－2＞
2，解得 x ＞ ，所以 ＜ x ≤1.综上，满足不等式的 x 的取值范围
为（ ，＋∞）.
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13. 已知函数 f （ x ）＝｜lg x ｜＋2，若实数 a ， b 满足 b ＞ a ＞0，且 f
（ a ）＝ f （ b ），则 a ＋2 b 的取值范围是 .
解析：由 f （ x ）的图象可知，0＜ a ＜1＜ b ，
（3，＋∞）
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又 f （ a ）＝ f （ b ），因此｜lg a ｜＝｜lg b ｜，于是lg a ＝－lg
b ，则 b ＝ ，所以 a ＋2 b ＝ a ＋ ，设 g （ a ）＝ a ＋ （0＜ a ＜
1）.因为 g （ a ）在（0，1）上单调递减，所以 g （ a ）＞ g （1）
＝3，即 a ＋ ＞3，所以 a ＋2 b 的取值范围是（3，＋∞）.
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14. 已知函数 f （ x ）＝log4（ ax2＋2 x ＋3）.
（1）若 f （1）＝1，求 f （ x ）的单调区间；
解：∵ f （1）＝1，∴log4（ a ＋5）＝1，∴ a ＋5＝4，得 a ＝－1，
∴ f （ x ）＝log4（－ x2＋2 x ＋3）.
由－ x2＋2 x ＋3＞0，得－1＜ x ＜3，
即函数 f （ x ）的定义域为（－1，3）.
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令 g （ x ）＝－ x2＋2 x ＋3，
则 g （ x ）在（－1，1）上单调递增，在（1，3）上单调
递减.
又 y ＝log4 x 在（0，＋∞）上是增函数，
∴ f （ x ）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间
是（1，3）.
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（2）是否存在实数 a ，使 f （ x ）的最小值为0？若存在，求出 a
的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在实数 a ，使 f （ x ）的最小值为0，
令 h （ x ）＝ ax2＋2 x ＋3，则 h （ x ）min＝1，
∴解得 a ＝ ，
∴存在实数 a ＝ ，使 f （ x ）的最小值为0.
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15. （多选）已知函数 f （ x ）＝log a （ x ＋1）， g （ x ）＝log a （1－
x ）（ a ＞0，且 a ≠1），则（ ）
A. 函数 f （ x ）＋ g （ x ）的定义域为（－1，1）
B. 函数 f （ x ）＋ g （ x ）的图象关于 y 轴对称
C. 函数 f （ x ）＋ g （ x ）在定义域上有最小值0
D. 函数 f （ x ）－ g （ x ）在区间（0，1）上单调递减
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解析： ∵ f （ x ）＝log a （ x ＋1）， g （ x ）＝log a （1－ x ）
（ a ＞0，且 a ≠1），∴ f （ x ）＋ g （ x ）＝log a （ x ＋1）＋log a
（1－ x ），由 x ＋1＞0且1－ x ＞0得－1＜ x ＜1，故A对；由 f （－
x ）＋ g （－ x ）＝log a （－ x ＋1）＋log a （1＋ x ）＝ f （ x ）＋ g
（ x ），得函数 f （ x ）＋ g （ x ）是偶函数，其图象关于 y 轴对
称，B对；∵－1＜ x ＜1，∴ f （ x ）＋ g （ x ）＝log a （1－ x2），
∵ y ＝1－ x2在[0，1）上单调递减，由复合函数的单调性可知，
当0＜ a ＜1时，函数 f （ x ）＋ g （ x ）在[0，1）上单调递增，有
最小值 f （0）＋ g （0）＝log a （1－0）＝0；
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当 a ＞1时，函数 f （ x ）＋ g （ x ）在[0，1）上单调递减，无最小值，
故C错；∵ f （ x ）－ g （ x ）＝log a （ x ＋1）－log a （1－ x ），当0＜
a ＜1时， f （ x ）＝log a （ x ＋1）在（0，1）上单调递减， g （ x ）＝
log a （1－ x ）在（0，1）上单调递增，函数 f （ x ）－ g （ x ）在（0，
1）上单调递减；当 a ＞1时， f （ x ）＝log a （ x ＋1）在（0，1）上单
调递增， g （ x ）＝log a （1－ x ）在（0，1）上单调递减，函数 f （ x ）
－ g （ x ）在（0，1）上单调递增，D错.故选A、B.
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16. 定义在区间 D 上的函数 f （ x ）满足：若对任意 x1， x2∈ D ，
都有 f ≥ [ f （ x1）＋ f （ x2）]，则称 f （ x ）是 D 上
的上凸函数.
（1）判断函数 y ＝ 是否为上凸函数？为什么？
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解：函数 y ＝ 是上凸函数.理由如下：
设 x1， x2∈[0，＋∞），欲证函数 y ＝ 是上凸函数，
需证 ≥ （ ＋ ），即证 ≥ （ x1
＋ x2＋2 ），即证 x1＋ x2≥2 ，
由不等式知识可得上式显然成立，故函数 y ＝ 是上凸
函数.
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（2）若函数 f （ x ）＝log ax 在（0，＋∞）上是上凸函数，求 a 的
取值范围；
解：由函数 f （ x ）＝log ax 在（0，＋∞）上是上凸函数，
可得对任意 x1， x2∈（0，＋∞），log a ≥ （log
ax1＋log ax2）＝log a .
又 x1＋ x2≥2 ，所以 a ＞1.故 a 的取值范围为（1，
＋∞）.
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（3）在（2）的条件下，当 x ∈（0，1]时，不等式 f （ mx2＋ x ）
≤0恒成立，求实数 m 的取值范围.
解：当 x ∈（0，1]时，不等式 f （ mx2＋ x ）≤0恒成
立，即log a （ mx2＋ x ）≤0，
即0＜ mx2＋ x ≤1恒成立，
可得－ ＜ m ≤ 在 x ∈（0，1]时恒成立.
因为 x ∈（0，1]，
所以 ≥1，－ ∈（－∞，－1]，所以 m ＞－1.
由 ＝ － ，及 ≥1，可得 ≥0，
所以 m ≤0.故实数 m 的取值范围为（－1，0].
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谢 谢 观 看！第二课时 对数函数图象和性质的应用
1.函数f（x）＝log2（3x＋1）的值域为（ ）
A.（0，＋∞） B.[0，＋∞）
C.（1，＋∞） D.[1，＋∞）
2.若函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为（ ）
A. B.
C.2 D.4
3.已知函数f（x）＝loga（2＋x），g（x）＝loga（2－x），其中a＞0且a≠1，则函数F（x）＝f（x）＋g（x），G（x）＝f（x）－g（x）的奇偶性是（ ）
A.F（x）是奇函数，G（x）是奇函数
B.F（x）是偶函数，G（x）是奇函数
C.F（x）是偶函数，G（x）是偶函数
D.F（x）是奇函数，G（x）是偶函数
4.函数y＝lo（－3＋4x－x2）的单调递增区间是（ ）
A.（－∞，2） B.（2，＋∞）
C.（1，2） D.（2，3）
5.若点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上的是（ ）
A.（，b） B.（10a，1－b）
C.（，b＋1） D.（a2，2b）
6.（多选）关于函数f（x）＝lg ，正确的结论是（ ）
A.函数f（x）的定义域是（0，＋∞）
B.函数f（x）是奇函数
C.函数f（x）的最小值为－lg 2
D.当0＜x＜1时，函数f（x）单调递增；当x＞1时，函数f（x）单调递减
7.函数y＝lo（1－x2）的单调递减区间是 ；其值域是 .
8.写出一个同时具有下列性质①②③的函数：f（x）＝ .
①f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增；
②f（x）的值域为R；
③f（x）为偶函数.
9.已知定义域为R的偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，且f＝0，则不等式f（log4x）＜0的解集是 .
10.已知函数f（x）＝lg（x＋2）－lg（2－x）.
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集.
11.设函数f（x）＝ln｜2x＋1｜－ln｜2x－1｜，则f（x）（ ）
A.是偶函数，且在单调递增
B.是奇函数，且在单调递减
C.是偶函数，且在单调递增
D.是奇函数，且在单调递减
12.设函数f（x）＝则满足不等式f（x）＋f（x－）＞2的x的取值范围是（ ）
A.（，＋∞） B.（，1］
C.（1，］ D.（，＋∞）
13.已知函数f（x）＝｜lg x｜＋2，若实数a，b满足b＞a＞0，且f（a）＝f（b），则a＋2b的取值范围是 .
14.已知函数f（x）＝log4（ax2＋2x＋3）.
（1）若f（1）＝1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
15.（多选）已知函数f（x）＝loga（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞0，且a≠1），则（ ）
A.函数f（x）＋g（x）的定义域为（－1，1）
B.函数f（x）＋g（x）的图象关于y轴对称
C.函数f（x）＋g（x）在定义域上有最小值0
D.函数f（x）－g（x）在区间（0，1）上单调递减
16.定义在区间D上的函数f（x）满足：若对任意x1，x2∈D，都有f≥[f（x1）＋f（x2）]，则称f（x）是D上的上凸函数.
（1）判断函数y＝是否为上凸函数？为什么？
（2）若函数f（x）＝logax在（0，＋∞）上是上凸函数，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当x∈（0，1]时，不等式f（mx2＋x）≤0恒成立，求实数m的取值范围.
第二课时 对数函数图象和性质的应用
1.A ∵3x＞0，∴3x＋1＞1.∴log2（3x＋1）＞0.∴函数f（x）的值域为（0，＋∞）.
2.B 当a＞1时，a＋loga2＋1＝a，loga2＝－1，a＝，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，1＋a＋loga2＝a，loga2＝－1，a＝.
3.B F（x），G（x）的定义域为（－2，2）.∵F（－x）＝loga（2－x）＋loga（2＋x）＝F（x），G（－x）＝loga（2－x）－loga（2＋x）＝－G（x），∴F（x）是偶函数，G（x）是奇函数.
4.D 由－3＋4x－x2＞0，得x2－4x＋3＜0，得1＜x＜3.设t＝－3＋4x－x2，其图象的对称轴为x＝2.∵函数y＝lot在（0，＋∞）上为减函数，∴要求函数y＝lo（－3＋4x－x2）的单调递增区间，即求函数t＝－3＋4x－x2，1＜x＜3的单调递减区间，∵函数t＝－3＋4x－x2，1＜x＜3的单调递减区间是（2，3），∴函数y＝lo（－3＋4x－x2）的单调递增区间为（2，3），故选D.
5.D 因为点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，所以b＝lg a.当x＝时，有y＝lg ＝－lg a＝－b，所以点（，b）不在此函数的图象上，A不正确；当x＝10a时，有y＝lg（10a）＝1＋lg a＝1＋b，所以点（10a，1－b）不在此函数的图象上，B不正确；当x＝时，有y＝lg ＝1－lg a＝1－b，所以点（，b＋1）不在此函数的图象上，C不正确；当x＝a2时，有y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点（a2，2b）在此函数的图象上，D正确.
6.AD 由＞0知函数f（x）的定义域是（0，＋∞），则函数f（x）是非奇非偶函数，所以A正确，B错误；f（x）＝lg ＝－lg≤－lg 2，即函数f（x）的最大值为－lg 2，所以C错误；令y＝x＋，当0＜x＜1时，该函数单调递减；当x＞1时，该函数单调递增.而函数y＝lg x在（0，＋∞）是增函数，所以D正确.
7.（－1，0） （0，＋∞） 解析：函数y＝lo（1－x2）的定义域是（－1，1）.函数t＝1－x2在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且值域是（0，1），而y＝lot在（0，＋∞）上是减函数，因此函数y＝lo（1－x2）的单调递减区间是（－1，0），其值域是（0，＋∞）.
8.ln｜x｜（答案不唯一） 解析：f（x）＝ln｜x｜＝为偶函数，在（0，＋∞）上单调递增，且值域为R，满足题中条件.
9. 解析：由题意可知，f（log4x）＜0 －＜log4x＜ ＜x＜ ＜x＜2.
10.解：（1）要使函数f（x）有意义，
则解得－2＜x＜2.
故所求函数f（x）的定义域为（－2，2）.
（2）f（x）为奇函数，证明如下：
由（1）知f（x）的定义域（－2，2）关于原点对称，
设任意的x∈（－2，2），则－x∈（－2，2），
且f（－x）＝lg（－x＋2）－lg（2＋x）＝－f（x），
故f（x）为奇函数.
（3）因为f（x）在定义域（－2，2）上是增函数，
所以f（x）＞1 ＞10，解得x＞.
所以不等式f（x）＞1的解集是.
11.D 由得函数f（x）的定义域为∪∪，其关于原点对称，因为f（－x）＝ln｜2（－x）＋1｜－ln｜2（－x）－1｜＝ln｜2x－1｜－ln｜2x＋1｜＝－f（x），所以函数f（x）为奇函数，排除A、C；当x∈时，f（x）＝ln（2x＋1）－ln（1－2x），易知函数f（x）单调递增，排除B；当x∈时，f（x）＝ln（－2x－1）－ln（1－2x）＝ln＝ln（1＋），易知函数f（x）单调递减，故选D.
12.D 由已知f（x）是R上的增函数，当x＞1时，f（x）＞2，当x－＞1，即x＞时，不等式f（x）＋f（x－）＞2成立；当1＜x≤时，f（x）＝log2（x＋3）＞2，f（x－）＝4（x－）－2＝4x－3＞0，不等式f（x）＋f（x－）＞2成立；当x≤1时，f（x）＋f（x－）＝4x－2＋4（x－）－2＞2，解得x＞，所以＜x≤1.综上，满足不等式的x的取值范围为（，＋∞）.
13.（3，＋∞） 解析：由f（x）的图象可知，0＜a＜1＜b，
又f（a）＝f（b），因此｜lg a｜＝｜lg b｜，于是lg a＝－lg b，则b＝，所以a＋2b＝a＋，设g（a）＝a＋（0＜a＜1）.因为g（a）在（0，1）上单调递减，所以g（a）＞g（1）＝3，即a＋＞3，所以a＋2b的取值范围是（3，＋∞）.
14.解：（1）∵f（1）＝1，∴log4（a＋5）＝1，∴a＋5＝4，得a＝－1，
∴f（x）＝log4（－x2＋2x＋3）.
由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3，
即函数f（x）的定义域为（－1，3）.
令g（x）＝－x2＋2x＋3，
则g（x）在（－1，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减.
又y＝log4x在（0，＋∞）上是增函数，
∴f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，3）.
（2）假设存在实数a，使f（x）的最小值为0，
令h（x）＝ax2＋2x＋3，则h（x）min＝1，
∴解得a＝，
∴存在实数a＝，使f（x）的最小值为0.
15.AB ∵f（x）＝loga（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞0，且a≠1），∴f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga（1－x），由x＋1＞0且1－x＞0得－1＜x＜1，故A对；由f（－x）＋g（－x）＝loga（－x＋1）＋loga（1＋x）＝f（x）＋g（x），得函数f（x）＋g（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，B对；∵－1＜x＜1，∴f（x）＋g（x）＝loga（1－x2），∵y＝1－x2在[0，1）上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0＜a＜1时，函数f（x）＋g（x）在[0，1）上单调递增，有最小值f（0）＋g（0）＝loga（1－0）＝0；当a＞1时，函数f（x）＋g（x）在[0，1）上单调递减，无最小值，故C错；∵f（x）－g（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），当0＜a＜1时，f（x）＝loga（x＋1）在（0，1）上单调递减，g（x）＝loga（1－x）在（0，1）上单调递增，函数f（x）－g（x）在（0，1）上单调递减；当a＞1时，f（x）＝loga（x＋1）在（0，1）上单调递增，g（x）＝loga（1－x）在（0，1）上单调递减，函数f（x）－g（x）在（0，1）上单调递增，D错.故选A、B.
16.解：（1）函数y＝是上凸函数.理由如下：
设x1，x2∈[0，＋∞），欲证函数y＝是上凸函数，需证≥（＋），即证≥（x1＋x2＋2），即证x1＋x2≥2，
由不等式知识可得上式显然成立，故函数y＝是上凸函数.
（2）由函数f（x）＝logax在（0，＋∞）上是上凸函数，
可得对任意x1，x2∈（0，＋∞），loga ≥（logax1＋logax2）＝loga.
又x1＋x2≥2，所以a＞1.
故a的取值范围为（1，＋∞）.
（3）当x∈（0，1]时，不等式f（mx2＋x）≤0恒成立，即loga（mx2＋x）≤0，
即0＜mx2＋x≤1恒成立，
可得－＜m≤在x∈（0，1]时恒成立.
因为x∈（0，1]，
所以≥1，－∈（－∞，－1]，所以m＞－1.
由＝－，及≥1，可得≥0，
所以m≤0.
故实数m的取值范围为（－1，0].
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