4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.有一组实验数据，如下表：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则最佳体现这些数据关系的函数模型是（ ）
A.v＝log2t B.v＝2t－2
C.v＝ D.v＝2t－2
2.某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份（ ）
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相同
D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致是（ ）
4.若x∈（0，1），则下列结论正确的是（ ）
A.2x＞＞lg x B.2x＞lg x＞
C.＞2x＞lg x D.lg x＞＞2x
5.（多选）以下四种说法中，正确的是（ ）
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.已知a＞1，则对任意的x＞0，ax＞logax
C.对任意的x＞0，xa＞logax
D.不一定存在x0，当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax
6.下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 .（填序号）
①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg（x－1）；④y＝50.
7.生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应 ；B对应 ；C对应 ；D对应 .
8.工厂生产某种产品的月产量y（万件）与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为 万件.
9.若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，ax，xn，logax的大小关系是 .
10.函数f（x）＝lg x，g（x）＝0.3x－1的图象如图所示.
（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；
（2）以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较.
11.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图象是（ ）
12.（多选）已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ）
A.随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2
B.随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1
C.当x∈（0，＋∞）时，y1增长速度一直快于y3
D.当x∈（0，＋∞）时，y1增长速度有时快于y2
13.如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样.
其中，正确信息的序号是 .
14.我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量.
（1）燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
15.某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%（即这辆车每年减少它的价值的10%），则大约使用 年后，用在该车上的费用（含折旧费）达到14.4万元.
16.我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）存在函数关系，并得到相关数据如下表：
时间t 2 4
高度h 10 25 17
（1）根据上表数据，从函数y1＝kt＋b，y2＝at2＋bt＋c，y3＝abt中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关系；
（2）利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时烟花距地面的高度.
4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.C 当t＝4时，v＝log24＝2，但题表中的v值是7.5，相差很大，排除A；当t＝4时，v＝2t－2＝24－2＝14，与7.5相差太大，排除B；当t＝4时，v＝2t－2＝2×4－2＝6，与7.5相差也太大，排除D.故选C.
2.A 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a（a＞0），乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m×（1＋x）8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×（1＋x）4＝.因为－＝（m＋4a）2－m（m＋8a）＝16a2＞0，所以y1＞y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高.
3.D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），∴y＝f（x）的图象大致为D中图象.
4.A 如图所示，结合y＝2x，y＝及y＝lg x的图象易知，当x∈（0，1）时，2x＞＞lg x，故选A.
5.BD 对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，故A错；对于选项B，因为a＞1，所以结合指数函数及对数函数图象，易知ax＞logax，故B正确；对于选项C，当0＜a＜1时，结合图象易知xa＞logax不恒成立，故C错；对于选项D，当a＞1时，结合图象易知，一定存在x0，使得当x＞x0时，总有ax＞xa＞logax，但若去掉限制条件“a＞1”，则结论不成立，故D正确.故选B、D.
6.①
7.（4） （1） （3） （2） 解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与（3）对应，D容器水高度变化慢，与（2）对应.
8.1.75 解析：由题意有解得∴y＝－2×0.5x＋2，∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75（万件）.
9.ax＞xn＞logax 解析：由于a ＞1，则函数y＝ax为增函数，而xn在n＞0时也是增函数，不过该函数的增长速度要比函数y＝ax的增长速度小，根据函数y＝ax与y＝logax互为反函数，得到它们的图象关于直线y＝x对称，可知当x足够大时， ax，xn，logax的大小关系是ax＞xn＞logax.
10.解：（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lg x.
（2）当0＜x＜x1时，g（x）＞f（x）；当x1＜x＜x2时，f（x）＞g（x）；当x＞x2时，g（x）＞f（x）；当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝g（x）.
11.B v＝f（h）是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.
12.BD 如图，对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，A错误，B、D正确；y1＝x2，y3＝x，由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈（0，1）时，y3大于y1，当x∈（1，＋∞）时，y1大于y3，y3再也追不上y1，y1增长速度有时快于y3，C错误.故选B、D.
13.①②③ 解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误.
14.解：（1）由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入函数关系式可得0＝5log2，解得Q＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位.
（2）将耗氧量Q＝80代入函数关系式，得
v＝5log2＝5log28＝15.
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
15.4 解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4×（1－0.9x）＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.令f（x）＝x－6×0.9x，易得f（x）为增函数，又f（3）＝－1.374＜0，f（4）＝0.063 4＞0，所以函数f（x）在（3，4）上有一个零点.故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元.
16.解：（1）由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2可能满足，故选取该函数.
设h（t）＝at2＋bt＋c，
有
∴h（t）＝－4t2＋20t＋1（t≥0）.
（2）h（t）＝－4t2＋20t＋1
＝－4（t2－5t）＋1＝－4＋26.
∴当烟花冲出后2.5 s时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地面的高度为26 m.
2 / 3§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
新课程标准解读 核心素养
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型 数学抽象
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义 逻辑推理
3.能根据具体问题选择合适的函数模型 数学建模
1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已.他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气.
【问题】 想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发展到75亿只？
知识点 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
给定常数a，b，c，指数函数y＝ax（a＞1）、对数函数y＝logbx（b＞1）、幂函数y＝xc（x＞0，c＞0）都是增函数，而且当x的值趋近于正无穷大时，y的值都是趋近于正无穷大的.
（1）当b＞1，c＞0时，即使b很接近于1，c很接近于0，都有 比 增长快；
（2）当a＞1，c＞0时，即使a很接近于1，c很大，都有 比 增长快；
（3）随着自变量x的增大，y＝ax的函数值增长远远 y＝xc的函数值增长；而y＝xc的函数值增长又远远 y＝logbx的函数值增长；
（4）当底数a＞1时，由于指数函数y＝ax的值增长非常快，人们称这种现象为“ ”.
提醒 三种函数模型的再理解：①当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；②当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
【想一想】
存在一个x0，当x＞x0时，为什么ax＞xn＞logax（a＞1，n＞0）一定成立？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数.（ ）
（2）对任意的x＞0，kx＞logax.（ ）
（3）对任意的x＞0，ax＞logax.（ ）
（4）函数y＝log2x增长的速度越来越慢.（ ）
2.某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用（ ）
A.一次函数模型 B.二次函数模型
C.指数函数模型 D.对数函数模型
3.四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05× 106 3.36× 107 1.07× 109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是 .
题型一 几类函数模型的比较
【例1】 下面对函数f（x）＝lox，g（x）＝与h（x）＝在区间（0，＋∞）上的衰减情况说法正确的是（ ）
A.f（x）衰减速度越来越慢，g（x）衰减速度越来越快，h（x）衰减速度越来越慢
B.f（x）衰减速度越来越快，g（x）衰减速度越来越慢，h（x）衰减速度越来越快
C.f（x）衰减速度越来越慢，g（x）衰减速度越来越慢，h（x）衰减速度越来越慢
D.f（x）衰减速度越来越快，g（x）衰减速度越来越快，h（x）衰减速度越来越快
尝试解答
通性通法
一般地，在（0，＋∞）上，尽管函数y＝ax（0＜a＜1），y＝xn（n＜0），y＝logax（0＜a＜1）都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一个“档次”上.
随着x的增大，函数y＝ax（0＜a＜1）的衰减速度会越来越慢，并且一开始远远大于函数y＝xn（n＜0）的衰减速度，但是它们的函数值始终大于0；而对于函数y＝logax（0＜a＜1），衰减速度也是越来越慢，并且当x＞1时，函数值小于0，会越来越小.
因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜ax＜xn（0＜a＜1，n＜0）.
提醒 由指数函数、对数函数和幂函数的增长与衰减差异可知，总会存在一个x0，使得当x＞x0时，若a＞1，n＞0，则logax＜xn＜ax；若0＜a＜1，n＜0，则logax＜ax＜xn.而当x＜x0时，ax，logax与xn（n≠0）的大小关系不确定.
【跟踪训练】
三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是（ ）
A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3
C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2
题型二 几种函数模型增长的差异
【例2】 如图给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好（ ）
A.指数函数y＝2t
B.对数函数y＝log2t
C.幂函数y＝t3
D.二次函数y＝2t2
尝试解答
通性通法
常见的函数模型及增长特点
（1）线性函数模型：线性函数模型y＝kx＋b（k＞0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变；
（2）指数函数模型：指数函数模型y＝ax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”；
（3）对数函数模型：对数函数模型y＝logax（a＞1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；
（4）幂函数模型：幂函数y＝xn（n＞0）的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
【跟踪训练】
四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x＞1）的函数关系是f1（x）＝x2，f2（x）＝2x，f3（x）＝log2x，f4（x）＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是（ ）
A.f1（x）＝x2 B.f2（x）＝2x
C.f3（x）＝log2x D.f4（x）＝2x
题型三 函数模型的构建
【例3】 某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h（米）与生长时间t（年）的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga（t＋1）来拟合h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度.
t（年） 1 2 3 4 5 6
h（米） 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
尝试解答
通性通法
函数模型构建的一般步骤
（1）收集数据；
（2）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；
（3）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
（4）选择其中的几组数据求出函数模型；
（5）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤（3）；若符合实际，则进入下一步；
（6）用所得函数模型解析实际问题.
【跟踪训练】
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且资金y（单位：万元）随生源利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x， y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
1.下列函数中，随着x的增大，函数值的增长速度最快的是（ ）
A.y＝2 024ln x B.y＝x2 024
C.y＝ D.y＝2 024·2x
2.（多选）在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5个小时的生产情况画出了某种产品的总产量y（单位：kg）与时间x（单位：h）的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是（ ）
A.在前3小时内，每小时的产量逐步增加
B.在前3小时内，每小时的产量逐步减少
C.最后1小时内的产量与第3小时内的产量相同
D.最后2小时内，该车间没有生产该产品
3.已知函数f（x）＝3x，g（x）＝2x，当x∈R时，f（x）与g（x）的大小关系为 .
4.随着我国经济的不断发展，2016年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2024年年底该地区的农民人均年收入为 元.（精确到个位）
（附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59）
4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
【基础知识·重落实】
知识点
（1）y＝xc y＝logbx （2）y＝ax y＝xc （3）大于 大于 （4）指数爆炸
想一想
提示：当a＞1，n＞0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x＞x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数函数，幂函数，对数函数，故一定有ax＞xn＞logax.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）√
2.D
3.y2 解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的.从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数型函数变化.
【典型例题·精研析】
【例1】 C 画出三个函数的图象如图，由图象可知选C.
跟踪训练
C 由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，分析表格中数据可知，y1是幂函数型函数，y2是指数函数型函数，y3是对数函数型函数，故选C.
【例2】 A 由图可知函数在第一象限内单调递增，并且增长速度较快，且图象过点（2，4），（4，16），因此利用指数函数模型拟合较好.
跟踪训练
D 由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.故选D.
【例3】 解：
在坐标轴上标出t（年）与h（米）之间的关系如图所示.
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理.
不妨将（2，1）代入h＝loga（t＋1）中，得1＝loga3，解得a＝3.
故可用函数h＝log3（t＋1）来拟合这个实际问题.
当t＝8时，求得h＝log3（8＋1）＝2，故可预测第8年松树的高度为2米.
跟踪训练
解：
作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象（如图所示）.观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求.
随堂检测
1.D 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着x越来越大，函数y＝2 024·2x的函数值的增长速度最快.故选D.
2.BD 由该车间5个小时某种产品的总产量y（单位：kg） 与时间x（单位：h）的函数图象，得前3小时的产量逐步减少，故A错误，B正确；后2小时均没有生产，故C错误，D正确.
3.f（x）＞g（x） 解析：
在同一平面直角坐标系中画出函数f（x）＝3x，g（x）＝2x的图象，如图所示，由于函数f（x）＝3x的图象在函数g（x）＝2x图象的上方，则f（x）＞g（x）.
4.4 770 解析：设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3 000×1.06x，因为2016年年底到2024年年底经过了8年，故把x＝8代入，即可求得y＝3 000×1.068≈4 770.
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§4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
新课程标准解读 核心素养
1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数
模型 数学抽象
2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义 逻辑推理
3.能根据具体问题选择合适的函数模型 数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧
草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们
占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，
75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降
低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头痛不已.他们采用
各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤
病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气.
【问题】 想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到100年的时间内发
展到75亿只？
知识点 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
给定常数 a ， b ， c ，指数函数 y ＝ ax （ a ＞1）、对数函数 y ＝log bx
（ b ＞1）、幂函数 y ＝ xc （ x ＞0， c ＞0）都是增函数，而且当 x 的值
趋近于正无穷大时， y 的值都是趋近于正无穷大的.
（1）当 b ＞1， c ＞0时，即使 b 很接近于1， c 很接近于0，都有
比 增长快；
（2）当 a ＞1， c ＞0时，即使 a 很接近于1， c 很大，都有
比 增长快；
y ＝
xc
y ＝log bx
y ＝ ax
y ＝ xc
（3）随着自变量 x 的增大， y ＝ ax 的函数值增长远远 y ＝ xc
的函数值增长；而 y ＝ xc 的函数值增长又远远 y ＝log bx
的函数值增长；
大于
大于
（4）当底数 a ＞1时，由于指数函数 y ＝ ax 的值增长非常快，人们称
这种现象为“ ”.
提醒 三种函数模型的再理解：①当描述增长速度变化很快
时，常常选用指数函数模型；②当要求不断增长，但又不会增
长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
【想一想】
存在一个 x0，当 x ＞ x0时，为什么 ax ＞ xn ＞log ax （ a ＞1， n ＞
0）一定成立？
指数爆炸
提示：当 a ＞1， n ＞0时，由 y ＝ ax ， y ＝ xn ， y ＝log ax 的增长
速度，存在 x0，当 x ＞ x0时，三个函数的图象由上到下依次为指
数函数，幂函数，对数函数，故一定有 ax ＞ xn ＞log ax .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）当 x 每增加一个单位时， y 增加或减少的量为定值，则 y 是 x
的一次函数. （ √ ）
（2）对任意的 x ＞0， kx ＞log ax . （ × ）
（3）对任意的 x ＞0， ax ＞log ax . （ × ）
（4）函数 y ＝log2 x 增长的速度越来越慢. （ √ ）
√
×
×
√
2. 某公司为了适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初
期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来
反映该公司调整后利润 y 与产量 x 的关系，则可选用（ ）
A. 一次函数模型 B. 二次函数模型
C. 指数函数模型 D. 对数函数模型
3. 四个变量 y1， y2， y3， y4随变量 x 变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×
106 3.36×
107 1.07×
109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于 x 呈指数型函数变化的变量是 .
y2
解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的.从表格中可以
看出，四个变量 y1， y2， y3， y4均是从2开始变化，变量 y1， y2，
y3， y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度
最快，可知变量 y2关于 x 呈指数型函数变化.
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 几类函数模型的比较
【例1】 下面对函数 f （ x ）＝lo x ， g （ x ）＝ 与 h （ x ）＝
在区间（0，＋∞）上的衰减情况说法正确的是（ ）
A. f （ x ）衰减速度越来越慢， g （ x ）衰减速度越来越快， h （ x ）
衰减速度越来越慢
B. f （ x ）衰减速度越来越快， g （ x ）衰减速度越来越慢， h （ x ）衰
减速度越来越快
C. f （ x ）衰减速度越来越慢， g （ x ）衰减速度越来越慢， h （ x ）衰
减速度越来越慢
D. f （ x ）衰减速度越来越快， g （ x ）衰减速度越来越快， h （ x ）
衰减速度越来越快
解析： 画出三个函数的图象如图，
由图象可知选C.
通性通法
一般地，在（0，＋∞）上，尽管函数 y ＝ ax （0＜ a ＜1）， y ＝
xn （ n ＜0）， y ＝log ax （0＜ a ＜1）都是减函数，但它们的衰减速度
不同，而且不在同一个“档次”上.
随着 x 的增大，函数 y ＝ ax （0＜ a ＜1）的衰减速度会越来越慢，
并且一开始远远大于函数 y ＝ xn （ n ＜0）的衰减速度，但是它们的函
数值始终大于0；而对于函数 y ＝log ax （0＜ a ＜1），衰减速度也是越
来越慢，并且当 x ＞1时，函数值小于0，会越来越小.
因此，总会存在一个 x0，当 x ＞ x0时，就有log ax ＜ ax ＜ xn （0＜ a
＜1， n ＜0）.
提醒 由指数函数、对数函数和幂函数的增长与衰减差异可知，总会
存在一个 x0，使得当 x ＞ x0时，若 a ＞1， n ＞0，则log ax ＜ xn ＜ ax ；若
0＜ a ＜1， n ＜0，则log ax ＜ ax ＜ xn .而当 x ＜ x0时， ax ，log ax 与 xn
（ n ≠0）的大小关系不确定.
【跟踪训练】
三个变量 y1， y2， y3随着变量 x 的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
A. y1， y2， y3 B. y2， y1， y3
C. y3， y2， y1 D. y3， y1， y2
解析： 由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函
数增长最快，对数函数增长最慢，分析表格中数据可知， y1是幂函数
型函数， y2是指数函数型函数， y3是对数函数型函数，故选C.
则与 x 呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是
（ ）
题型二 几种函数模型增长的差异
【例2】 如图给出了红豆生长时间 t （月）与枝数 y （枝）的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好（ ）
A. 指数函数 y ＝2 t B. 对数函数 y ＝log2 t
C. 幂函数 y ＝ t3 D. 二次函数 y ＝2 t2
解析： 由图可知函数在第一象限内单调递增，并且增长速度较
快，且图象过点（2，4），（4，16），因此利用指数函数模型拟合
较好.
通性通法
常见的函数模型及增长特点
（1）线性函数模型：线性函数模型 y ＝ kx ＋ b （ k ＞0）的增长特点是
直线上升，其增长速度不变；
（2）指数函数模型：指数函数模型 y ＝ ax （ a ＞1）的增长特点是随
着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急
剧，形象地称为“指数爆炸”；
（3）对数函数模型：对数函数模型 y ＝log ax （ a ＞1）的增长特点是
随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度
平缓；
（4）幂函数模型：幂函数 y ＝ xn （ n ＞0）的增长速度介于指数增长
和对数增长之间.
【跟踪训练】
四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程 fi （ x ）（ i ＝1，2，
3，4）关于时间 x （ x ＞1）的函数关系是 f1（ x ）＝ x2， f2（ x ）＝2
x ， f3（ x ）＝log2 x ， f4（ x ）＝2 x ，如果它们一直运动下去，最终在
最前面的物体具有的函数关系是（ ）
A. f1（ x ）＝ x2 B. f2（ x ）＝2 x
C. f3（ x ）＝log2 x D. f4（ x ）＝2 x
解析： 由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大.
故选D.
题型三 函数模型的构建
【例3】 某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度
h （米）与生长时间 t （年）的相关数据，选择 h ＝ mt ＋ b 与 h ＝
log a （ t ＋1）来拟合 h 与 t 的关系，你认为哪个符合？并预测第8
年的松树高度.
t （年） 1 2 3 4 5 6
h （米） 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7
解：在坐标轴上标出 t （年）与 h （米）之间的
关系如图所示.
由图象可以看出增长的速度越来越慢，用一次函
数模型拟合不合适，则选用对数函数模型比较合理.
不妨将（2，1）代入 h ＝log a （ t ＋1）中，得1＝log a 3，解得 a ＝3.
故可用函数 h ＝log3（ t ＋1）来拟合这个实际问题.
当 t ＝8时，求得 h ＝log3（8＋1）＝2，故可预测第8年松树的高度为2米.
通性通法
函数模型构建的一般步骤
（1）收集数据；
（2）根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图；
（3）根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
（4）选择其中的几组数据求出函数模型；
（5）将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合
实际，若不符合实际，则返回步骤（3）；若符合实际，则进入
下一步；
（6）用所得函数模型解析实际问题.
【跟踪训练】
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招
生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖
励，且资金 y （单位：万元）随生源利润 x （单位：万元）的增加
而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.
现有三个奖励模型： y ＝0.2 x ， y ＝log5 x ， y ＝1.02 x ，其中哪
个模型符合该校的要求？
解：作出函数 y ＝3， y ＝0.2 x ， y ＝log5 x ， y ＝1.02 x 的图象
（如图所示）.观察图象可知，在区间[5，60]上， y ＝0.2 x ， y
＝1.02 x 的图象都有一部分在直线 y ＝3的上方，只有 y ＝log5 x 的
图象始终在 y ＝3和 y ＝0.2 x 的下方，这说明只有按模型 y ＝log5 x
进行奖励才符合学校的要求.
1. 下列函数中，随着 x 的增大，函数值的增长速度最快的是（ ）
A. y ＝2 024ln x B. y ＝ x2 024
D. y ＝2 024·2 x
解析： 由于指数函数的增长是爆炸式增长，则随着 x 越来越
大，函数 y ＝2 024·2 x 的函数值的增长速度最快.故选D.
2. （多选）在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5
个小时的生产情况画出了某种产品的总产量 y （单位：kg）与时间
x （单位：h）的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判
断是（ ）
A. 在前3小时内，每小时的产量逐步增加
B. 在前3小时内，每小时的产量逐步减少
C. 最后1小时内的产量与第3小时内的产量相同
D. 最后2小时内，该车间没有生产该产品
解析： 由该车间5个小时某种产品的总产量 y （单位：kg） 与
时间 x （单位：h）的函数图象，得前3小时的产量逐步减少，故A
错误，B正确；后2小时均没有生产，故C错误，D正确.
3. 已知函数 f （ x ）＝3 x ， g （ x ）＝2 x ，当 x ∈R时， f （ x ）与 g
（ x ）的大小关系为 .
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数 f （ x ）
＝3 x ， g （ x ）＝2 x 的图象，如图所示，由于函数 f
（ x ）＝3 x 的图象在函数 g （ x ）＝2 x 图象的上
方，则 f （ x ）＞ g （ x ）.
f （ x ）＞ g （ x ）
4. 随着我国经济的不断发展，2016年年底某偏远地区农民人均年收入
为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平
均增长率增长，那么2024年年底该地区的农民人均年收入为
元.（精确到个位）
（附：1.066≈1.42，1.067≈1.50，1.068≈1.59）
解析：设经过 x 年，该地区的农民人均年收入为 y 元，依题意有 y
＝3 000×1.06 x ，因为2016年年底到2024年年底经过了8年，故把 x
＝8代入，即可求得 y ＝3 000×1.068≈4 770.
4 770
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 有一组实验数据，如下表：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
则最佳体现这些数据关系的函数模型是（ ）
A. v ＝log2 t B. v ＝2 t －2
D. v ＝2 t －2
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解析： 当 t ＝4时， v ＝log24＝2，但题表中的 v 值是7.5，相差
很大，排除A；当 t ＝4时， v ＝2 t －2＝24－2＝14，与7.5相差太
大，排除B；当 t ＝4时， v ＝2 t －2＝2×4－2＝6，与7.5相差也太
大，排除D. 故选C.
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2. 某校甲、乙食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增
加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月
增加的百分率相同.已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年
5月份（ ）
A. 甲食堂的营业额较高
B. 乙食堂的营业额较高
C. 甲、乙两食堂的营业额相同
D. 不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
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解析： 设甲、乙两食堂1月份的营业额均为 m ，甲食堂的营业
额每月增加 a （ a ＞0），乙食堂的营业额每月增加的百分率为 x .
由题意，可得 m ＋8 a ＝ m ×（1＋ x ）8，则5月份甲食堂的营业额
y1＝ m ＋4 a ，乙食堂的营业额 y2＝ m ×（1＋ x ）4＝
.因为 － ＝（ m ＋4 a ）2－ m （ m ＋8 a ）＝16
a2＞0，所以 y1＞ y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高.
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3. 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来
的 x 倍，需经过 y 年，则函数 y ＝ f （ x ）的图象大致是（ ）
解析： 设该林区的森林原有蓄积量为 a ，由题意， ax ＝ a （1＋
0.104） y ，故 y ＝log1.104 x （ x ≥1），∴ y ＝ f （ x ）的图象大致为
D中图象.
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4. 若 x ∈（0，1），则下列结论正确的是（ ）
解析： 如图所示，结合 y ＝2 x ， y ＝
及 y ＝lg x 的图象易知，当 x ∈（0，
1）时，2 x ＞ ＞lg x ，故选A.
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5. （多选）以下四种说法中，正确的是（ ）
A. 幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B. 已知 a ＞1，则对任意的 x ＞0， ax ＞log ax
C. 对任意的 x ＞0， xa ＞log ax
D. 不一定存在 x0，当 x ＞ x0时，总有 ax ＞ xa ＞log ax
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解析： 对于选项A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂
指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度
不能比较，故A错；对于选项B，因为 a ＞1，所以结合指数函数及
对数函数图象，易知 ax ＞log ax ，故B正确；对于选项C，当0＜ a ＜
1时，结合图象易知 xa ＞log ax 不恒成立，故C错；对于选项D，当 a
＞1时，结合图象易知，一定存在 x0，使得当 x ＞ x0时，总有 ax ＞ xa
＞log ax ，但若去掉限制条件“ a ＞1”，则结论不成立，故D正确.
故选B、D.
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6. 下列选项是四种生意预期的收益 y 关于时间 x 的函数，从足够长远
的角度看，更为有前途的生意是 .（填序号）
① y ＝10×1.05 x ；② y ＝20＋ x1.5；③ y ＝30＋lg（ x －1）；④ y ＝
50.
①
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7. 生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）
时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹
配的图象，A对应 ；B对应 ；C对应 ；D对
应 .
（4）
（1）
（3）
（2）
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解析：容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对
应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；
C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器
细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器水高度变化快，与（3）
对应，D容器水高度变化慢，与（2）对应.
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8. 工厂生产某种产品的月产量 y （万件）与月份 x 满足关系 y ＝ a ·0.5 x
＋ b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5
万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为 万件.
解析：由题意有解得∴ y ＝－2×0.5 x
＋2，∴3月份产量为 y ＝－2×0.53＋2＝1.75（万件）.
1.75
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9. 若 a ＞1， n ＞0，那么当 x 足够大时， ax ， xn ，log ax 的大小关系
是 .
解析：由于 a ＞1，则函数 y ＝ ax 为增函数，而 xn 在 n ＞0时也是增函数，不过该函数的增长速度要比函数 y ＝ ax 的增长速度小，根据函数 y ＝ ax 与 y ＝log ax 互为反函数，得到它们的图象关于直线 y ＝ x 对称，可知当 x 足够大时， ax ， xn ，log ax 的大小关系是 ax ＞ xn ＞log ax .
ax ＞ xn ＞log ax
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10. 函数 f （ x ）＝lg x ， g （ x ）＝0.3 x －1的图象如图所示.
（1）试根据函数的增长差异指出曲线 C1， C2分别对应的函数；
解：C1对应的函数为 g （ x ）＝0.3 x －1， C2对应的函数为 f （ x ）＝lg x .
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（2）以两图象交点为分界点，对 f （ x ）， g （ x ）的大小进
行比较.
解：当0＜ x ＜ x1时， g （ x ）＞ f （ x ）；当 x1＜ x ＜ x2时， f （ x ）＞ g （ x ）；当 x ＞ x2时， g （ x ）＞ f （ x ）；当 x ＝ x1或 x ＝ x2时， f （ x ）＝ g （ x ）.
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11. 高为 H ，满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一
个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v ，则
函数 v ＝ f （ h ）的大致图象是（ ）
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解析： v ＝ f （ h ）是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后
变小，故选B.
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12. （多选）已知函数 y1＝ x2， y2＝2 x ， y3＝ x ，则下列关于这三个函
数的描述中，正确的是（ ）
A. 随着 x 的逐渐增大， y1增长速度越来越快于 y2
B. 随着 x 的逐渐增大， y2增长速度越来越快于 y1
C. 当 x ∈（0，＋∞）时， y1增长速度一直快于 y3
D. 当 x ∈（0，＋∞）时， y1增长速度有时快于 y2
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解析： 如图，对于 y1＝ x2， y2＝2 x ，从负
无穷开始， y1大于 y2，然后 y2大于 y1，再然后 y1
再次大于 y2，最后 y2大于 y1， y1再也追不上 y2，
故随着 x 的逐渐增大， y2增长速度越来越快于
y1，A错误，B、D正确； y1＝ x2， y3＝ x ，由于
y3＝ x 的增长速度是不变的，当 x ∈（0，1）
时， y3大于 y1，当 x ∈（1，＋∞）时， y1大于
y3， y3再也追不上 y1， y1增长速度有时快于 y3，
C错误.故选B、D.
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13. 如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的
甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关
系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
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①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是
变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后
追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速
度一样.
其中，正确信息的序号是 .
解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函
数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时
间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线
的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误.
①②③
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14. 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的
科学家发现，燕子的飞行速度可以表示为函数 v ＝5log2 ，单位
是m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量.
（1）燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
解：由题知，当燕子静止时，它的速度 v ＝0，代入函
数关系式可得0＝5log2 ，解得 Q ＝10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位.
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（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解：将耗氧量 Q ＝80代入函数关系式，得 v ＝5log2
＝5log28＝15.
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s.
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15. 某人计划购买一辆 A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年
的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年
折旧率约为10%（即这辆车每年减少它的价值的10%），则大约
使用 年后，用在该车上的费用（含折旧费）达到14.4万元.
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解析：设使用 x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题
意可得，14.4×（1－0.9 x ）＋2.4 x ＝14.4，化简得 x －
6×0.9 x ＝0.令 f （ x ）＝ x －6×0.9 x ，易得 f （ x ）为增函
数，又 f （3）＝－1.374＜0， f （4）＝0.063 4＞0，所以函
数 f （ x ）在（3，4）上有一个零点.故大约使用4年后，用在
该车上的费用达到14.4万元.
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16. 我国的烟花名目繁多，花色品种繁杂.其中“菊花”烟花是最壮观
的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂，通过研
究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度 h （单位：m）与时间 t
（单位：s）存在函数关系，并得到相关数据如下表：
时间 t 2 4
高度 h 10 25 17
（1）根据上表数据，从函数 y1＝ kt ＋ b ， y2＝ at2＋ bt ＋ c ， y3＝
abt 中，选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度 h
与时间 t 的变化关系；
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解：由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间
的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只
有 y2可能满足，故选取该函数.
设 h （ t ）＝ at2＋ bt ＋ c ，
有
∴ h （ t ）＝－4 t2＋20 t ＋1（ t ≥0）.
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（2）利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求出此时
烟花距地面的高度.
解： h （ t ）＝－4 t2＋20 t ＋1
＝－4（ t2－5 t ）＋1＝－4 ＋26.
∴当烟花冲出后2.5 s时是爆裂的最佳时刻，此时烟花距地
面的高度为26 m.
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