章末检测（四） 对数运算与对数函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若logx＝z，则（ ）
A.y7＝xz B.y＝x7z C.y＝7x D.y＝z7x
2.计算log2·log3·log5＝（ ）
A.8 B.6 C.－8 D.－6
3.若f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，则a＝（ ）
A.－1 B.0 C. D.1
4.30.3，3－2，log30.3的大小关系正确的是（ ）
A.3－2＞30.3＞log30.3 B.30.3＞3－2＞log30.3 C.log30.3＞30.3＞3－2 D.30.3＞log30.3＞3－2
5.若函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上为增函数，则函数y＝loga（｜x｜－1）的图象可以是（ ）
6.已知函数f（x）＝ln（－2x）－1，则f（lg 3）＋f＝（ ）
A.－1 B.0 C.2 D.－2
7.某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快.经观察发现，一定量的该种植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该种植物的覆盖面积y（单位：平方米）与经过的时间x（单位：月，x∈N）的关系有三种函数模型y＝pax（p＞0，a＞1），y＝mlogax（m＞0，a＞1）和y＝nxa（n＞0，0＜a＜1）可供选择，则下列说法正确的是（ ）
A.应选y＝pax（p＞0，a＞1） B.应选y＝mlogax（m＞0，a＞1）
C.应选y＝nxa（n＞0，0＜a＜1） D.三种函数模型都可以
8.已知函数f（x）＝若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（ ）
A.（1，6） B.（4，6） C.（2，3） D.（8，12）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.若10a＝4，10b＝25，5c＝4，下列正确的有（ ）
A.a＋b＝2 B.b－a＝1 C.ab＜1 D.－＝
10.若f（x）符合对定义域内的任意的x1，x2，都有f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），且当0＜x＜1时，f（x）＞0，那么称f（x）为“好函数”，则下列函数不是“好函数”的是（ ）
A.f（x）＝2x B.f（x）＝ C.f（x）＝lox D.f（x）＝log2x
11.函数f（x）＝loga｜x－1｜在（0，1）上单调递减，那么（ ）
A.f（x）在（1，＋∞）上单调递增且无最大值 B.f（x）在定义域内是偶函数
C.f（x）的图象关于直线x＝1对称 D. a＝2 024，满足f（x）在（0，1）上单调递减
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.计算：＋log224－log23＝ .
13.已知函数f（x）＝lg（x2－2x－8）的单调递增区间为（a，＋∞），则a＝ .
14.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递减，f（－1）＝0，则不等式f（log3x）＞0的解集为 .
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）解答下列各题：
（1）计算：lg 0.000 1；log2；log3.12（log1515）；
（2）已知log4x＝－，log3（log2y）＝1，求xy的值.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝log2（＋a）.
（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围.
17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝loga（1＋bx）（a＞0且a≠1），且满足f（1）＝1，f（3）＝2.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）从以下两个条件：①g（x）＝f（x）－f（－x）；②g（x）＝f（x）＋f（－x）中选择一个作为函数g（x）的解析式，并判断函数g（x）的奇偶性和单调性（说明理由）.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
18.（本小题满分17分）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈.某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）＝｜log25（x＋1）－a｜＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）.
（1）若a＝，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝loga（3－ax）（a＞0，且a≠1）.
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
章末检测（四） 对数运算与对数函数
1.B 由logx＝z，得xz＝，y＝x7z.故选B.
2.C log2·log3·log5＝log23－2·log35－2·log52－2＝－8log23·log35·log52＝－8，故选C.
3.B 法一 要使函数f（x）有意义，必须满足＞0，解得x＜－或x＞.因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln＝（x＋a）ln，则（x－a）ln＝（x＋a）ln对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞）恒成立，所以a＝0.故选B.
法二 因为f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，故选B.
4.B 因为y＝3x为增函数，所以30.3＞3－2＞0，又因为y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，所以log30.3＜log31＝0，所以30.3＞3－2＞log30.3，故选B.
5.C 因为函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上为增函数，所以a＞1，函数y＝loga（｜x｜－1）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），所以排除A、B，当x＞1时，y＝loga（x－1）为增函数，所以排除D，故选C.
6.D ∵f（－x）＝ln（＋2x）－1＝ln －1＝－ln（－2x）－1，∴f（－x）＋f（x）＝－2，∴f（lg 3）＋f＝f（lg 3）＋f（－lg 3）＝－2.故选D.
7.A 该种植物生长蔓延的速度越来越快，而y＝pax（p＞0，a＞1）的增长速度越来越快，y＝mlogax（m＞0，a＞1）和y＝nxa（n＞0，0＜a＜1）的增长速度越来越慢，故应选择y＝pax（p＞0，a＞1）作为函数模型.故选A.
8.B 画出f（x）的图象如图所示，｜log4x｜＝｜－log4x｜＝，所以不妨设ab＝1，所以abc＝c∈（4，6）.故选B.
9.ACD 若10a＝4，10b＝25，5c＝4，则a＝lg 4，b＝lg 25，c＝log54，所以a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，选项A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg ≠1，选项B错误；由ab≤＝1，当且仅当a＝b时取等号，又a＝lg 4，b＝lg 25，所以等号不成立，即ab＜1，选项C正确；由－＝－＝log410－log45＝log42＝，选项D正确.故选A、C、D.
10.ABD A选项：f（x1）＝，f（x2）＝，f（x1·x2）＝，而f（x1）＋f（x2）＝＋≠，故f（x1）＋f（x2）≠f（x1·x2），故不是“好函数”；B选项：f（x1）＝，f（x2）＝，f（x1·x2）＝，而f（x1）＋f（x2）＝＋≠，故f（x1）＋f（x2）≠f（x1·x2），故不是“好函数”；C选项：f（x1）＝lox1，f（x2）＝lox2，f（x1x2）＝lox1x2＝lox1＋lox2＝f（x1）＋f（x2），因为f（x）＝lox为减函数，当0＜x＜1时，f（x）＝lox＞lo1＝0，符合题意，故f（x）＝lox是“好函数”；D选项：f（x1）＝log2x1，f（x2）＝log2x2，f（x1x2）＝log2x1x2＝log2x1＋log2x2＝f（x1）＋f（x2），因为f（x）＝log2x为增函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log2x＜log21＝0，故不满足要求，故f（x）＝log2x不是“好函数”，故选A、B、D.
11.ACD 由｜x－1｜＞0得，函数y＝loga｜x－1｜的定义域为{x｜x≠1}.设g（x）＝｜x－1｜＝则g（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，且g（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确；因为f（x）＝loga｜x－1｜在（0，1）上单调递减，所以a＞1，所以D正确；由上述分析知f（x）＝loga｜x－1｜在（1，＋∞）上单调递增且无最大值，A正确；又f（－x）＝loga｜－x－1｜＝loga｜x＋1｜≠f（x），所以B错误，故选A、C、D.
12.5 解析：＋log224－log23＝2＋log28＝2＋3＝5.
13.4 解析：由题知x2－2x－8＞0，解得x＞4或x＜－2，所以函数的定义域为{x｜x＞4或x＜－2}，因为函数u＝x2－2x－8在（4，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减，函数y＝lg u在（0，＋∞）上是增函数，所以函数f（x）＝lg（x2－2x－8）的单调递增区间为（4，＋∞），故a＝4.
14. 解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递减，f（－1）＝0，∴f（1）＝f（－1）＝0，则不等式f（log3x）＞0等价为不等式f（｜log3x｜）＞f（1），∴｜log3x｜＜1，即－1＜log3x＜1，可得＜x＜3，即不等式的解集为.
15.解：（1）因为10－4＝0.000 1，所以lg 0.000 1＝－4.
因为2－6＝，所以log2＝－6.
log3.12（log1515）＝log3.121＝0.
（2）因为log4x＝－，所以x＝＝2－3＝.
因为log3（log2y）＝1，所以log2y＝3.
所以y＝23＝8.所以xy＝×8＝1.
16.解：（1）若函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0，
∴log2（1＋a）＝0，∴a＝0.
当a＝0时，f（x）＝－x是R上的奇函数.
∴a＝0.
（2）由已知得函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（0）＝log2（1＋a），最小值是f（1）＝log2（＋a）.
由题设得log2（1＋a）－log2（＋a）≥2，
则log2（1＋a）≥log2（4a＋2）.
∴解得－＜a≤－.
故实数a的取值范围是（－，－］.
17.解：（1）依题意 所以f（x）＝log2（1＋x）.
（2）若选择①，g（x）＝f（x）－f（－x）＝log2（1＋x）－log2（1－x），
由得－1＜x＜1，则函数g（x）的定义域为（－1，1），又g（－x）＝f（－x）－f（x）＝log2（1－x）－log2（1＋x）＝－g（x），故g（x）为奇函数.
g（x）＝log2（1＋x）－log2（1－x）＝log2＝log2，
因为函数y＝log2u是增函数，函数u＝－1－在（－1，1）上单调递增，故g（x）在（－1，1）上单调递增.
若选择②，g（x）＝f（x）＋f（－x）＝log2（1＋x）＋log2（1－x），
由得－1＜x＜1，则函数g（x）的定义域为（－1，1），又g（－x）＝f（－x）＋f（x）＝log2（1－x）＋log2（1＋x）＝g（x），故g（x）为偶函数.
g（x）＝log2（1＋x）＋log2（1－x）＝log2（1－x2），
因为函数y＝log2t是增函数，函数t＝1－x2在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
故g（x）在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
18.解：（1）因为a＝，则f（x）＝｜log25（x＋1）－｜＋2≥2.
当f（x）＝2时，log25（x＋1）－＝0，得x＋1＝2＝5，即x＝4.
所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.
（2）设t＝log25（x＋1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1.
设g（t）＝｜t－a｜＋2a＋1，t∈[0，1]，
则g（t）＝
显然g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增，
则f（x）max＝max{g（0），g（1）}，因为g（0）＝3a＋1，g（1）＝a＋2，则有解得a≤，
又a∈（0，1），故调节参数a应控制在（0，］内.
19.解：（1）∵a＞0且a≠1，设t（x）＝3－ax，则t（x）＝3－ax为减函数，当x∈[0，2]时，t（x）的最小值为3－2a，
∵当x∈[0，2]时，f（x）恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax＞0恒成立.
∴3－2a＞0，∴a＜.
又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1或1＜a＜，
∴实数a的取值范围为（0，1）∪.
（2）由（1）知函数t（x）＝3－ax为减函数.
∵f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴y＝logat在区间[1，2]上单调递增，∴a＞1，
当x∈[1，2]时，t（x）的最小值为3－2a，f（x）的最大值为f（1）＝loga（3－a），
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为1.
2 / 2(共41张PPT)
章末检测（四）
对数运算与对数函数
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若log x ＝ z ，则（ ）
A. y7＝ xz B. y ＝ x7 z
C. y ＝7 x D. y ＝ z7 x
解析： 由log x ＝ z ，得 xz ＝ ， y ＝ x7 z .故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2. 计算log2 ·log3 ·log5 ＝（ ）
A. 8 B. 6
C. －8 D. －6
解析： log2 ·log3 ·log5 ＝log23－2·log35－2·log52－2＝－
8log23·log35·log52＝－8，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3. 若 f （ x ）＝（ x ＋ a ）ln 为偶函数，则 a ＝（ ）
A. －1 B. 0
D. 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 法一 要使函数 f （ x ）有意义，必须满足 ＞0，解
得 x ＜－ 或 x ＞ .因为函数 f （ x ）是偶函数，所以对任意 x ∈
（－∞，－ ）∪（ ，＋∞），都有 f （－ x ）＝ f （ x ），即（－
x ＋ a ）·ln ＝（ x ＋ a ）ln ，则（ x － a ）ln ＝（ x ＋
a ）ln 对任意 x ∈（－∞，－ ）∪（ ，＋∞）恒成立，所以
a ＝0.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
法二 因为 f （ x ）＝（ x ＋ a ）ln 为偶函数， f （－1）＝（ a －
1）ln 3， f （1）＝（ a ＋1）ln ＝－（ a ＋1）ln 3，所以（ a －1）ln
3＝－（ a ＋1）ln 3，解得 a ＝0，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 因为 y ＝3 x 为增函数，所以30.3＞3－2＞0，又因为 y ＝
log3 x 在（0，＋∞）上是增函数，所以log30.3＜log31＝0，所以30.3
＞3－2＞log30.3，故选B.
4. 30.3，3－2，log30.3的大小关系正确的是（ ）
A. 3－2＞30.3＞log30.3 B. 30.3＞3－2＞log30.3
C. log30.3＞30.3＞3－2 D. 30.3＞log30.3＞3－2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5. 若函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）在R上为增函数，则函数 y ＝
log a （｜ x ｜－1）的图象可以是（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 因为函数 f （ x ）＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）在R上为增函
数，所以 a ＞1，函数 y ＝log a （｜ x ｜－1）的定义域为（－∞，－
1）∪（1，＋∞），所以排除A、B，当 x ＞1时， y ＝log a （ x －
1）为增函数，所以排除D，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
6. 已知函数 f （ x ）＝ln（ －2 x ）－1，则 f （lg 3）＋ f ＝（ ）
A. －1 B. 0
C. 2 D. －2
解析： ∵ f （－ x ）＝ln（ ＋2 x ）－1＝ln －
1＝－ln（ －2 x ）－1，∴ f （－ x ）＋ f （ x ）＝－2，∴ f
（lg 3）＋ f ＝ f （lg 3）＋ f （－lg 3）＝－2.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7. 某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快.经观察发现，一
定量的该种植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，
经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该种植物的覆盖面积 y
（单位：平方米）与经过的时间 x （单位：月， x ∈N）的关系有
三种函数模型 y ＝ pax （ p ＞0， a ＞1）， y ＝ m log ax （ m ＞0， a ＞
1）和 y ＝ nxa （ n ＞0，0＜ a ＜1）可供选择，则下列说法正确的是
（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
A. 应选 y ＝ pax （ p ＞0， a ＞1）
B. 应选 y ＝ m log ax （ m ＞0， a ＞1）
C. 应选 y ＝ nxa （ n ＞0，0＜ a ＜1）
D. 三种函数模型都可以
解析： 该种植物生长蔓延的速度越来越快，而 y ＝ pax （ p ＞
0， a ＞1）的增长速度越来越快， y ＝ m log ax （ m ＞0， a ＞1）和 y
＝ nxa （ n ＞0，0＜ a ＜1）的增长速度越来越慢，故应选择 y ＝ pax
（ p ＞0， a ＞1）作为函数模型.故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
8. 已知函数 f （ x ）＝若 a ， b ， c 互不相等，
且 f （ a ）＝ f （ b ）＝ f （ c ），则 abc 的取值范围是（ ）
A. （1，6） B. （4，6）
C. （2，3） D. （8，12）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 画出 f （ x ）的图象如图所示，｜log4 x ｜＝｜－log4 x ｜
＝ ，所以不妨设 ab ＝1，所以 abc ＝ c ∈（4，6）.故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 若10 a ＝4，10 b ＝25，5 c ＝4，下列正确的有（ ）
A. a ＋ b ＝2 B. b － a ＝1
C. ab ＜1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 若10 a ＝4，10 b ＝25，5 c ＝4，则 a ＝lg 4， b ＝lg
25， c ＝log54，所以 a ＋ b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，选项A正确；
b － a ＝lg 25－lg 4＝lg ≠1，选项B错误；由 ab ≤ ＝1，
当且仅当 a ＝ b 时取等号，又 a ＝lg 4， b ＝lg 25，所以等号不成
立，即 ab ＜1，选项C正确；由 － ＝ － ＝log410－log45
＝log42＝ ，选项D正确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10. 若 f （ x ）符合对定义域内的任意的 x1， x2，都有 f （ x1）＋ f
（ x2）＝ f （ x1· x2），且当0＜ x ＜1时， f （ x ）＞0，那么称 f
（ x ）为“好函数”，则下列函数不是“好函数”的是（ ）
A. f （ x ）＝2 x
D. f （ x ）＝log2 x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： A选项： f （ x1）＝ ， f （ x2）＝ ， f
（ x1· x2）＝ ，而 f （ x1）＋ f （ x2）＝ ＋ ≠ ，故
f （ x1）＋ f （ x2）≠ f （ x1· x2），故不是“好函数”；B选项： f
（ x1）＝ ， f （ x2）＝ ， f （ x1· x2）＝ ，而 f
（ x1）＋ f （ x2）＝ ＋ ≠ ，故 f （ x1）＋ f
（ x2）≠ f （ x1· x2），故不是“好函数”；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
C选项： f （ x1）＝lo x1， f （ x2）＝lo x2， f （ x1 x2）＝lo x1 x2＝
lo x1＋lo x2＝ f （ x1）＋ f （ x2），因为 f （ x ）＝lo x 为减函数，
当0＜ x ＜1时， f （ x ）＝lo x ＞lo 1＝0，符合题意，故 f （ x ）＝
lo x 是“好函数”；D选项： f （ x1）＝log2 x1， f （ x2）＝log2 x2， f
（ x1 x2）＝log2 x1 x2＝log2 x1＋log2 x2＝ f （ x1）＋ f （ x2），因为 f （ x ）
＝log2 x 为增函数，当0＜ x ＜1时， f （ x ）＝log2 x ＜log21＝0，故不满
足要求，故 f （ x ）＝log2 x 不是“好函数”，故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
11. 函数 f （ x ）＝log a ｜ x －1｜在（0，1）上单调递减，那么（ ）
A. f （ x ）在（1，＋∞）上单调递增且无最大值
B. f （ x ）在定义域内是偶函数
C. f （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称
D. a ＝2 024，满足 f （ x ）在（0，1）上单调递减
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 由｜ x －1｜＞0得，函数 y ＝log a ｜ x －1｜的定义域
为{ x ｜ x ≠1}.设 g （ x ）＝｜ x －1｜＝则 g
（ x ）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，
且 g （ x ）的图象关于直线 x ＝1对称，所以 f （ x ）的图象关于直
线 x ＝1对称，C正确；因为 f （ x ）＝log a ｜ x －1｜在（0，1）上
单调递减，所以 a ＞1，所以D正确；由上述分析知 f （ x ）＝log
a ｜ x －1｜在（1，＋∞）上单调递增且无最大值，A正确；又 f
（－ x ）＝log a ｜－ x －1｜＝log a ｜ x ＋1｜≠ f （ x ），所以B错
误，故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 计算： ＋log224－log23＝ .
解析： ＋log224－log23＝2＋log28＝2＋3＝5.
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
13. 已知函数 f （ x ）＝lg（ x2－2 x －8）的单调递增区间为（ a ，＋
∞），则 a ＝ .
解析：由题知 x2－2 x －8＞0，解得 x ＞4或 x ＜－2，所以函数的定
义域为{ x ｜ x ＞4或 x ＜－2}，因为函数 u ＝ x2－2 x －8在（4，＋
∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减，函数 y ＝lg u 在
（0，＋∞）上是增函数，所以函数 f （ x ）＝lg（ x2－2 x －8）的
单调递增区间为（4，＋∞），故 a ＝4.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：∵ f （ x ）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调
递减， f （－1）＝0，∴ f （1）＝ f （－1）＝0，则不等式 f （log3
x ）＞0等价为不等式 f （｜log3 x ｜）＞ f （1），∴｜log3 x ｜＜
1，即－1＜log3 x ＜1，可得 ＜ x ＜3，即不等式的解集为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）解答下列各题：
（1）计算：lg 0.000 1；log2 ；log3.12（log1515）；
解：因为10－4＝0.000 1，所以lg 0.000 1＝－4.
因为2－6＝ ，所以log2 ＝－6.
log3.12（log1515）＝log3.121＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）已知log4 x ＝－ ，log3（log2 y ）＝1，求 xy 的值.
解：因为log4 x ＝－ ，所以 x ＝ ＝2－3＝ .
因为log3（log2 y ）＝1，所以log2 y ＝3.
所以 y ＝23＝8.所以 xy ＝ ×8＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
16. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝log2（ ＋ a ）.
（1）若函数 f （ x ）是R上的奇函数，求 a 的值；
解：若函数 f （ x ）是R上的奇函数，则 f （0）＝0，
∴log2（1＋ a ）＝0，∴ a ＝0.
当 a ＝0时， f （ x ）＝－ x 是R上的奇函数.
∴ a ＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若函数 f （ x ）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小
于2，求实数 a 的取值范围.
解：由已知得函数 f （ x ）是减函数，故 f （ x ）在区间
[0，1]上的最大值是 f （0）＝log2（1＋ a ），最小值是 f
（1）＝log2（ ＋ a ）.
由题设得log2（1＋ a ）－log2（ ＋ a ）≥2，
则log2（1＋ a ）≥log2（4 a ＋2）.
∴解得－ ＜ a ≤－ .
故实数 a 的取值范围是（－ ，－ ］.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
17. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝log a （1＋ bx ）（ a ＞0且
a ≠1），且满足 f （1）＝1， f （3）＝2.
（1）求函数 f （ x ）的解析式；
解：依题意
所以 f
（ x ）＝log2（1＋ x ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）从以下两个条件：① g （ x ）＝ f （ x ）－ f （－ x ）；② g
（ x ）＝ f （ x ）＋ f （－ x ）中选择一个作为函数 g （ x ）的
解析式，并判断函数 g （ x ）的奇偶性和单调性（说明理
由）.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解：若选择①， g （ x ）＝ f （ x ）－ f （－ x ）＝log2（1＋ x ）－log2（1－ x ），
由得－1＜ x ＜1，则函数 g （ x ）的定义域
为（－1，1），又 g （－ x ）＝ f （－ x ）－ f （ x ）＝log2（1－ x ）－log2（1＋ x ）＝－ g （ x ），故 g （ x ）为奇函数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
g （ x ）＝log2（1＋ x ）－log2（1－ x ）＝log2 ＝log2 ，
因为函数 y ＝log2 u 是增函数，函数 u ＝－1－ 在（－1，1）上单调递增，故 g （ x ）在（－1，1）上单调递增.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
若选择②， g （ x ）＝ f （ x ）＋ f （－ x ）＝log2（1＋ x ）＋log2（1－ x ），
由得－1＜ x ＜1，则函数 g （ x ）的定义域为（－1，1），
又 g （－ x ）＝ f （－ x ）＋ f （ x ）＝log2（1－ x ）＋log2（1＋ x ）＝ g （ x ），故 g （ x ）为偶函数.
g （ x ）＝log2（1＋ x ）＋log2（1－ x ）＝log2（1－ x2），
因为函数 y ＝log2 t 是增函数，函数 t ＝1－ x2在（－1，
0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
故 g （ x ）在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
18. （本小题满分17分）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为
“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈.某化工
厂每一天中污水污染指数 f （ x ）与时刻 x （时）的函数关系为 f
（ x ）＝｜log25（ x ＋1）－ a ｜＋2 a ＋1， x ∈[0，24]，其中 a 为
污水治理调节参数，且 a ∈（0，1）.
（1）若 a ＝ ，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；
解：因为 a ＝ ，则 f （ x ）＝｜log25（ x ＋1）－ ｜＋2≥2.
当 f （ x ）＝2时，log25（ x ＋1）－ ＝0，得 x ＋1＝2 ＝
5，即 x ＝4.
所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）规定每天中 f （ x ）的最大值作为当天的污水污染指数，要
使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数 a 应控制
在什么范围内？
解：设 t ＝log25（ x ＋1），则当0≤ x ≤24时，0≤ t ≤1.
设 g （ t ）＝｜ t － a ｜＋2 a ＋1， t ∈[0，1]，
则 g （ t ）＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
显然 g （ t ）在[0， a ]上单调递减，在（ a ，1]上单调递
增，则 f （ x ）max＝max{ g （0）， g （1）}，因为 g （0）＝
3 a ＋1， g （1）＝ a ＋2，则有解得
a ≤ ，
又 a ∈（0，1），故调节参数 a 应控制在（0， ］内.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
19. （本小题满分17分）已知函数 f （ x ）＝log a （3－ ax ）（ a ＞0，
且 a ≠1）.
（1）当 x ∈[0，2]时，函数 f （ x ）恒有意义，求实数 a 的取
值范围；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解：∵ a ＞0且 a ≠1，设 t （ x ）＝3－ ax ，则 t （ x ）
＝3－ ax 为减函数，当 x ∈[0，2]时， t （ x ）的最小值为3
－2 a ，∵当 x ∈[0，2]时， f （ x ）恒有意义，即 x ∈[0，2]
时，3－ ax ＞0恒成立.
∴3－2 a ＞0，∴ a ＜ .
又 a ＞0且 a ≠1，∴0＜ a ＜1或1＜ a ＜ ，
∴实数 a 的取值范围为（0，1）∪ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）是否存在这样的实数 a ，使得函数 f （ x ）在区间[1，2]上单
调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出 a 的值；如果
不存在，请说明理由.
解：由（1）知函数 t （ x ）＝3－ ax 为减函数.
∵ f （ x ）在区间[1，2]上单调递减，
∴ y ＝log at 在区间[1，2]上单调递增，∴ a ＞1，
当 x ∈[1，2]时， t （ x ）的最小值为3－2 a ， f （ x ）的最大
值为 f （1）＝log a （3－ a ），
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
∴即
故不存在这样的实数 a ，使得函数 f （ x ）在区间[1，2]上单
调递减，并且最大值为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
谢 谢 观 看！
