1.2 利用二分法求方程的近似解
1.已知函数f（x）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为（ ）
A.4，4 B.3，4
C.5，4 D.4，3
2.用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是（ ）
A.｜a－b｜＜0.1 B.｜a－b｜＜0.001
C.｜a－b｜＞0.001 D.｜a－b｜＝0.001
3.用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3＋2x－9的部分函数值数据如表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为（ ）
A.1.6 B.1.7
C.1.8 D.1.9
4.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间（a，b）内，当｜a－b｜＜ε（ε为精确度）时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差最大不超过（ ）
A. B.
C.ε D.2ε
5.（多选）某同学求函数f（x）＝ln x＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：
f（2）≈－1.307 f（3）≈1.099 f（2.5）≈－0.084
f（2.75）≈0.512 f（2.625）≈0.215 f（2.562 5）≈0.066
则方程ln x＋2x－6＝0的近似解（精确到0.1）可取为（ ）
A.2.52 B.2.56 C.2.66 D.2.75
6.（多选）下列关于函数f（x），x∈[a，b]的命题中，不正确的是（ ）
A.若x0∈[a，b]且满足f（x0）＝0，则x0是f（x）的一个零点
B.若x0是f（x） 在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值
C.函数f（x）的零点是方程f（x）＝0的根，但f（x）＝0的根不一定是函数f（x）的零点
D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
7.用二分法求函数y＝f（x）在区间（2，4）上的近似解，验证f（2）·f（4）＜0，给定精确度为0.1，需将区间等分 次.
8.某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解（精确度为0.1）”时，设f（x）＝lg x＋x－2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是 .
9.函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是 .
10.判断函数f（x）＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值.（精确度0.1）
11.若函数f（x）在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0，则（ ）
A.f（x）在上有零点
B.f（x）在上有零点
C.f（x）在上无零点
D.f（x）在上无零点
12.用二分法求函数f（x）＝ln（x＋1）＋x－1在区间（0，1）上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
13.（多选）用二分法求函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝－2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈－0.984，f（1.375）≈－0.260，关于下一步的说法不正确的是（ ）
A.已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B.已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C.没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.437 5）
D.没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.312 5）
14.在一个风雨交加的夜里，某水库闸房（设为A）到防洪指挥部（设为B）的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段的查找，困难很多，每查一个点需要很长时间.
（1）维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查的线路长度缩减一半？
（2）要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，最多要查多少次？
15.已知函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[a，b]，都有＞0，且f（a）·f（b）＜0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]，，，又f＝0，则函数f（x）的零点为 .
16.对于函数f（x），若存在x0，使f（x0）＝x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点，已知f（x）＝x2＋bx＋c.
（1）若f（x）的两个不动点为－3，2，求函数f（x）的零点；
（2）当c＝b2时，函数f（x）没有不动点，求实数b的取值范围.
1.2 利用二分法求方程的近似解
1.D 因为图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；又因为左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的零点个数为3.
2.B 据二分法的步骤知当区间长度｜a－b｜小于精确度ε时，便可结束计算.
3.C 由表格可得，函数f（x）＝x3＋2x－9的零点在区间（1.75，1.812 5）内.结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8.故选C.
4.B 真实零点离近似值x0最远即无限靠近a或b，而b－＝－a＝＜，因此误差最大不超过.
5.AB 由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似解在（2.5，2.562 5）内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选A、B.
6.BCD 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f（x）＝0的根也一定是函数f（x）的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确.
7.5 解析：开区间（2，4）的长度等于2，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，因为用二分法求函数y＝f（x）在区间（2，4）上的近似解，要求精确度为0.1，所以＜0.1，解得n≥5.
8.1.5，1.75，1.875，1.812 5 解析：第一次用二分法计算得区间（1.5，2），第二次得区间（1.75，2），第三次得区间（1.75，1.875），第四次得区间（1.75，1.812 5）.
9.a2＝4b 解析：∵函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f（x）＝x2＋ax＋b图象与x轴相切.∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.
10.解：f（0）＝－1＜0，f（1）＝1＞0，
即f（0）·f（1）＜0，f（x）在（0，1）内有零点，
又f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，
∴f（x）只有一个零点x0∈（0，1）.
取区间（0，1）的中点x1＝0.5，
f（0.5）＝－0.75＜0，
∴f（0.5）·f（1）＜0，即x0∈（0.5，1）.
取区间（0.5，1）的中点x2＝0.75，
f（0.75）＝－0.156 25＜0，
∴f（0.75）·f（1）＜0.
即x0∈（0.75，1）.
取区间（0.75，1）的中点x3＝0.875，
f（0.875）≈0.34＞0.
∴f（0.75）·f（0.875）＜0，
即x0∈（0.75，0.875）.
取区间（0.75，0.875）的中点x4＝0.812 5，
f（0.812 5）≈0.073＞0.
∴f（0.75）·f（0.812 5）＜0，即x0∈（0.75，0.812 5），
而｜0.812 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1.
∴f（x）的零点的近似值可取为0.75.
11.B 由f（a）·f（b）＜0，f（a）·f＞0可知f·f（b）＜0，根据零点存在定理可知f（x）在上有零点.
12.C 开区间（0，1）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为精确度为0.01，所以＜0.01.又n∈N＋，所以n≥7且n∈N＋，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.
13.ABD 由二分法知，方程x3＋x2－2x－2＝0的根在区间（1.375，1.5）内，且｜1.5－1.375｜＝0.125＞0.1，没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.437 5），故选A、B、D.
14.解：（1）如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，假设发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次若发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点E查，依次类推…
（2）每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了.
15. 解析：因为对任意x1，x2∈[a，b]，都有＞0，且f（a）·f（b）＜0，所以f（x）在[a，b]上单调递增，且f（a）＜0，f（b）＞0；
因为a＋1＞a恒成立，所以解得
所以f（x）的零点为＝.
16.解：（1）由题意知f（x）＝x有两根，
即x2＋（b－1）x＋c＝0有两根，分别为－3，2.
∴
∴从而f（x）＝x2＋2x－6.
由f（x）＝0，得x1＝－1－，x2＝－1＋.
故f（x）的零点为－1±.
（2）若c＝，则f（x）＝x2＋bx＋，
又f（x）无不动点，即方程x2＋bx＋＝x无解，
化简得方程x2＋（b－1）x＋＝0无解，
∴Δ＝（b－1）2－b2＜0，即－2b＋1＜0，∴b＞.
故b的取值范围是.
2 / 21.2 利用二分法求方程的近似解
新课程标准解读 核心素养
探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性 数学抽象、直观想象、数学运算
电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”.例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”.参赛者又猜50元，主持人说“低了”.参赛者再猜80元，主持人说“低了”.这样一直猜下去，直到猜中为止.
【问题】 （1）我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？
（2）这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？
知识点一 二分法
1.满足精度ε的近似解
设是方程f（x）＝0的一个解，给定正数ε，若x0满足｜x0－｜＜ε，就称x0是满足精度ε的近似解.
2.二分法
对于一般的函数y＝f（x），x∈[a，b]，若函数y＝f（x）的图象是一条 的曲线，f（a）·f（b） 0，则每次取区间的 ，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
提醒 （1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
知识点二 二分法求函数零点近似值的步骤
提醒 二分法求函数零点近似值口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）所有函数的零点都可以用二分法来求.（ ）
（2）函数f（x）＝｜x｜可以用二分法求其零点.（ ）
（3）精确度ε就是近似值.（ ）
2.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ ）
3.用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈ ，第二次应计算 .
题型一 二分法概念的理解
【例1】 （1）下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是（ ）
（2）用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间（1，3）内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是 .
尝试解答
通性通法
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
【跟踪训练】
在用二分法求函数f（x）零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是（ ）
A.[1，4] B.[－2，1]
C. D.
题型二 用二分法求方程的近似解
【例2】 求方程ln x＝2－x的近似解（精确度为0.1）.
尝试解答
通性通法
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
（1）需依据图象估计零点所在的初始区间（m，n）（一般采用估计值的方法完成）；
（2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【跟踪训练】
用二分法求2x＋x＝4在[1，2]内的近似解（精确度为0.2）.参考数据如下表：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
1.下列函数中，必须用二分法求其零点的是（ ）
A.y＝x＋7 B.y＝5x－1
C.y＝log3x D.y＝－x
2.用二分法求函数f（x）＝2x－3的零点时，初始区间可选为（ ）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（1，2） D.（2，3）
3.用二分法研究方程3x＋3x－8＝0在区间（1，2）内的近似解的过程中，设f（x）＝3x＋3x－8，并且计算得f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，可得零点x0∈ ，第二次应计算 .以上横线上应填的内容分别为（ ）
A.（1.5，2），f（1.625）
B.（1，1.5），f（1.25）
C.（1.5，2），f（1.75）
D.（1，1.5），f（1.125）
4.用二分法求函数f（x）＝x3＋5的零点可以取的初始区间是（ ）
A.[－2，－1] B.[－1，0]
C.[0，1] D.[1，2]
1.2 利用二分法求方程的近似解
【基础知识·重落实】
知识点一
2.连续 ＜ 中点
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）×
2.A
3.（0，0.5） f（0.25）
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）D （2）（1，2） 解析：（1）根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.
（2）设f（x）＝2x＋3x－7，f（1）＝2＋3－7＜0，f（3）＝10＞0，f（2）＝3＞0，f（x）零点所在的区间为（1，2），所以下一个有根的区间是（1，2）.
跟踪训练
D ∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.
【例2】 解：分别画出函数y＝ln x和y＝2－x的图象，如图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相等，因此，这个点的横坐标就是方程ln x＝2－x的解.由函数y＝ln x与y＝2－x的图象可以发现，方程ln x＝2－x有唯一解，且这个解在区间（1，2）内.
设f（x）＝ln x＋x－2，则函数f（x）的零点即方程ln x＝2－x的解，记为x0，则有：
f（1）＜0，f（2）＞0 x0∈（1，2）；
f（1.5）＜0，f（2）＞0 x0∈（1.5，2）；
f（1.5）＜0，f（1.75）＞0 x0∈（1.5，1.75）；
f（1.5）＜0，f（1.625）＞0 x0∈（1.5，1.625）；
f（1.5）＜0，f（1.562 5）＞0 x0∈（1.5，1.562 5）.
因为｜1.562 5－1.5｜＝0.062 5＜0.1，所以方程ln x＝2－x的近似解可取为1.562 5.
跟踪训练
解：令f（x）＝2x＋x－4，则f（1）＝2＋1－4＝－1＜0，f（2）＝22＋2－4＝2＞0.
用二分法逐次计算，列表如下：
区间 精确度 区间中 点值xn f（xn）的值 及符号
（1，2） ｜2－1｜＝1 x1＝1.5 f（x1）≈ 0.33＞0
（1，1.5） ｜1.5－1｜＝0.5 x2＝1.25 f（x2）≈ －0.37＜0
（1.25，1.5） ｜1.5－1.25｜＝0.25 x3＝1.375 f（x3）≈ －0.035＜0
∵｜1.375－1.5｜＝0.125＜0.2，
∴2x＋x＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.
随堂检测
1.D A、B、C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点.
2.C f（－1）＝－＜0，f（0）＝－2＜0，f（1）＝－1＜0，f（2）＝1＞0，f（3）＝5＞0，则f（1）f（2）＜0，即初始区间可选（1，2）.
3.B ∵f（1）＜0，f（1.5）＞0，∴f（1）·f（1.5）＜0，故f（x）的零点x0∈（1，1.5），利用二分法，则第二次应计算f＝f（1.25）.
4.A
2 / 3(共55张PPT)
1.2 利用二分法求方程的近似解
新课程标准解读 核心素养
探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框
图，能借助计算工具用二分法求方程的近似解，
了解用二分法求方程近似解具有一般性 数学抽象、
直观想象、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种
商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”.例如
参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”.参赛者又猜50
元，主持人说“低了”.参赛者再猜80元，主持人说“低了”.这样一
直猜下去，直到猜中为止.
【问题】 （1）我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？
（2）这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？
知识点一 二分法
1. 满足精度ε的近似解
设 是方程 f （ x ）＝0的一个解，给定正数ε，若 x0满足｜ x0－
｜＜ε，就称 x0是满足精度ε的近似解.
2. 二分法
对于一般的函数 y ＝ f （ x ）， x ∈[ a ， b ]，若函数 y ＝ f （ x ）的图
象是一条 的曲线， f （ a ）· f （ b ） 0，则每次取区
间的 ，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个
小区间的求方程近似解的方法称为二分法.
提醒 （1）二分法的求解原理是函数零点存在定理；（2）用二分
法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如 y
＝ x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
连续
＜
中点
知识点二 二分法求函数零点近似值的步骤
提醒 二分法求函数零点近似值口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）所有函数的零点都可以用二分法来求. （ × ）
（2）函数 f （ x ）＝｜ x ｜可以用二分法求其零点. （ × ）
（3）精确度ε就是近似值. （ × ）
×
×
×
3. 用二分法研究函数 f （ x ）＝ x3＋3 x －1的零点时，第一次经计算得
f （0）＜0， f （0.5）＞0，可得其中一个零点 x0∈ ，
第二次应计算 .
2. 观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（ A ）
A
（0，0.5）
f （0.25）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 二分法概念的理解
【例1】 （1）下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是
（ D ）
解析：根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改
变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D.
D
（2）用二分法求方程2 x ＋3 x －7＝0在区间（1，3）内的根，取区间
的中点为 x0＝2，那么下一个有根的区间是 .
解析：设 f （ x ）＝2 x ＋3 x －7， f （1）＝2＋3－7＜0， f （3）
＝10＞0， f （2）＝3＞0， f （ x ）零点所在的区间为（1，2），
所以下一个有根的区间是（1，2）.
（1，2）
通性通法
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据：其图象在零点附近
是连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数零点近
似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
【跟踪训练】
在用二分法求函数 f （ x ）零点的近似值时，第一次所取的区间是[－
2，4]，则第三次所取的区间可能是（ ）
A. [1，4] B. [－2，1]
C. D.
解析： ∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可
能为[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为 ，
， ， .
题型二 用二分法求方程的近似解
【例2】 求方程ln x ＝2－ x 的近似解（精确度为0.1）.
解：分别画出函数 y ＝ln x 和 y ＝2－ x 的图象，如
图所示，在两个函数图象的交点处，函数值相
等，因此，这个点的横坐标就是方程ln x ＝2－ x 的
解.由函数 y ＝ln x 与 y ＝2－ x 的图象可以发现，方
程ln x ＝2－ x 有唯一解，且这个解在区间（1，2）内.
设 f （ x ）＝ln x ＋ x －2，则函数 f （ x ）的零点即方程ln x ＝2－ x 的
解，记为 x0，则有：
f （1）＜0， f （2）＞0 x0∈（1，2）；
f （1.5）＜0， f （2）＞0 x0∈（1.5，2）；
f （1.5）＜0， f （1.75）＞0 x0∈（1.5，1.75）；
f （1.5）＜0， f （1.625）＞0 x0∈（1.5，1.625）；
f （1.5）＜0， f （1.562 5）＞0 x0∈（1.5，1.562 5）.
因为｜1.562 5－1.5｜＝0.062 5＜0.1，所以方程ln x ＝2－ x 的近似解
可取为1.562 5.
通性通法
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
（1）需依据图象估计零点所在的初始区间（ m ， n ）（一般采用估计
值的方法完成）；
（2）取区间端点的中点 c ，计算 f （ c ），确定有解区间是（ m ， c ）
还是（ c ， n ），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端
点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
【跟踪训练】
用二分法求2 x ＋ x ＝4在[1，2]内的近似解（精确度为0.2）.参考数据
如下表：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2 x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
解：令 f （ x ）＝2 x ＋ x －4，则 f （1）＝2＋1－4＝－1＜0， f （2）＝
22＋2－4＝2＞0.
区间 精确度 区间中点值 xn f （ xn ）的值及符号
（1，2） ｜2－1｜＝1 x1＝1.5 f （ x1）≈0.33＞
0
（1，1.5） ｜1.5－1｜＝
0.5 x2＝1.25 f （ x2）≈－0.37
＜0
（1.25，1.5） ｜1.5－1.25｜
＝0.25 x3＝1.375 f （ x3）≈－
0.035＜0
用二分法逐次计算，列表如下：
∵｜1.375－1.5｜＝0.125＜0.2，
∴2 x ＋ x ＝4在[1，2]内的近似解可取为1.375.
1. 下列函数中，必须用二分法求其零点的是（ ）
A. y ＝ x ＋7 B. y ＝5 x －1
C. y ＝log3 x D. y ＝ － x
解析： A、B、C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求
其根，只能用二分法求零点.
2. 用二分法求函数 f （ x ）＝2 x －3的零点时，初始区间可选为（ ）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （1，2） D. （2，3）
解析： f （－1）＝－ ＜0， f （0）＝－2＜0， f （1）＝－1＜
0， f （2）＝1＞0， f （3）＝5＞0，则 f （1） f （2）＜0，即初始
区间可选（1，2）.
3. 用二分法研究方程3 x ＋3 x －8＝0在区间（1，2）内的近似解的过
程中，设 f （ x ）＝3 x ＋3 x －8，并且计算得 f （1）＜0， f （2）＞
0， f （1.5）＞0，可得零点 x0∈ ，第二次应计算 .以上横
线上应填的内容分别为（ ）
A. （1.5，2）， f （1.625） B. （1，1.5）， f （1.25）
C. （1.5，2）， f （1.75） D. （1，1.5）， f （1.125）
解析： ∵ f （1）＜0， f （1.5）＞0，∴ f （1）· f （1.5）＜0，
故 f （ x ）的零点 x0∈（1，1.5），利用二分法，则第二次应计算 f
＝ f （1.25）.
4. 用二分法求函数 f （ x ）＝ x3＋5的零点可以取的初始区间是（ ）
A. [－2，－1] B. [－1，0]
C. [0，1] D. [1，2]
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知函数 f （ x ）的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求
解的零点个数分别为（ ）
A. 4，4 B. 3，4
C. 5，4 D. 4，3
解析： 因为图象与 x 轴有4个交点，所以零点的个数为4；又因
为左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的零点
个数为3.
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2. 用二分法求函数 f （ x ）在（ a ， b ）内的唯一零点时，精确度为
0.001，则结束计算的条件是（ ）
A. ｜ a － b ｜＜0.1 B. ｜ a － b ｜＜0.001
C. ｜ a － b ｜＞0.001 D. ｜ a － b ｜＝0.001
解析： 据二分法的步骤知当区间长度｜ a － b ｜小于精确度ε
时，便可结束计算.
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3. 用二分法求方程的近似解，求得 f （ x ）＝ x3＋2 x －9的部分函数值
数据如表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f （ x ） －6 3 －
2.625 －
1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程 x3＋2 x －9＝0的近似解可取为（ ）
A. 1.6 B. 1.7
C. 1.8 D. 1.9
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解析： 由表格可得，函数 f （ x ）＝ x3＋2 x －9的零点在区间
（1.75，1.812 5）内.结合选项可知，方程 x3＋2 x －9＝0的近似解
可取为1.8.故选C.
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4. 用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间
（ a ， b ）内，当｜ a － b ｜＜ε（ε为精确度）时，函数零点的近
似值 x0＝ 与真实零点的误差最大不超过（ ）
A.
C. ε D. 2ε
解析： 真实零点离近似值 x0最远即无限靠近 a 或 b ，而 b －
＝ － a ＝ ＜ ，因此误差最大不超过 .
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5. （多选）某同学求函数 f （ x ）＝ln x ＋2 x －6的零点时，用计算器
算得部分函数值如表所示：
f （2）≈－1.307 f （3）≈1.099 f （2.5）≈－0.084
f （2.75）≈0.512 f （2.625）≈0.215 f （2.562 5）≈0.066
则方程ln x ＋2 x －6＝0的近似解（精确到0.1）可取为（ ）
A. 2.52 B. 2.56
C. 2.66 D. 2.75
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解析： 由表格可知方程ln x ＋2 x －6＝0的近似解在（2.5，
2.562 5）内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选
A、B.
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6. （多选）下列关于函数 f （ x ）， x ∈[ a ， b ]的命题中，不正确的
是（ ）
A. 若 x0∈[ a ， b ]且满足 f （ x0）＝0，则 x0是 f （ x ）的一个零点
B. 若 x0是 f （ x ） 在[ a ， b ]上的零点，则可以用二分法求 x0的近似值
C. 函数 f （ x ）的零点是方程 f （ x ）＝0的根，但 f （ x ）＝0的根不一
定是函数 f （ x ）的零点
D. 用二分法求方程的根时，得到的都是近似解
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解析： 使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B
不正确； f （ x ）＝0的根也一定是函数 f （ x ）的零点，C不正确；
用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有
A正确.
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7. 用二分法求函数 y ＝ f （ x ）在区间（2，4）上的近似解，验证 f
（2）· f （4）＜0，给定精确度为0.1，需将区间等分 次.
解析：开区间（2，4）的长度等于2，每经过一次操作，区间长度
变为原来的一半，经过 n 次操作后，区间长度变为 ，因为用二
分法求函数 y ＝ f （ x ）在区间（2，4）上的近似解，要求精确度为
0.1，所以 ＜0.1，解得 n ≥5.
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8. 某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－ x 的近似解（精确度为
0.1）”时，设 f （ x ）＝lg x ＋ x －2，算得 f （1）＜0， f （2）＞
0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个 x 的值，计算了其函
数值的正负，并得出判断：方程的近似解是 x ≈1.8.那么他再取的 x
的4个值依次是 .
解析：第一次用二分法计算得区间（1.5，2），第二次得区间
（1.75，2），第三次得区间（1.75，1.875），第四次得区间
（1.75，1.812 5）.
1.5，1.75，1.875，1.812 5
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9. 函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零点，但不能用二分法求出，则 a ， b
的关系是 .
解析：∵函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 有零点，但不能用二分法，
∴函数 f （ x ）＝ x2＋ ax ＋ b 图象与 x 轴相切.∴Δ＝ a2－4 b ＝0.∴ a2
＝4 b .
a2＝4 b
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10. 判断函数 f （ x ）＝2 x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似
值.（精确度0.1）
解： f （0）＝－1＜0， f （1）＝1＞0，
即 f （0）· f （1）＜0， f （ x ）在（0，1）内有零点，
又 f （ x ）在（－∞，＋∞）上是增函数，
∴ f （ x ）只有一个零点 x0∈（0，1）.
取区间（0，1）的中点 x1＝0.5，
f （0.5）＝－0.75＜0，
∴ f （0.5）· f （1）＜0，即 x0∈（0.5，1）.
取区间（0.5，1）的中点 x2＝0.75，
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f （0.75）＝－0.156 25＜0，
∴ f （0.75）· f （1）＜0.
即 x0∈（0.75，1）.
取区间（0.75，1）的中点 x3＝0.875，
f （0.875）≈0.34＞0.
∴ f （0.75）· f （0.875）＜0，
即 x0∈（0.75，0.875）.
取区间（0.75，0.875）的中点 x4＝0.812 5，
f （0.812 5）≈0.073＞0.
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∴ f （0.75）· f （0.812 5）＜0，
即 x0∈（0.75，0.812 5），
而｜0.812 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1.
∴ f （ x ）的零点的近似值可取为0.75.
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11. 若函数 f （ x ）在[ a ， b ]上的图象为一条连续不断的曲线，且同
时满足 f （ a ）· f （ b ）＜0， f （ a ）· f ＞0，则（ ）
A. f （ x ）在 上有零点
B. f （ x ）在 上有零点
C. f （ x ）在 上无零点
D. f （ x ）在 上无零点
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解析： 由 f （ a ）· f （ b ）＜0， f （ a ）· f ＞0可知 f
· f （ b ）＜0，根据零点存在定理可知 f （ x ）在
上有零点.
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12. 用二分法求函数 f （ x ）＝ln（ x ＋1）＋ x －1在区间（0，1）上的
零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析： 开区间（0，1）的长度等于1，每经过一次操作，区间
长度变为原来的一半，经过 n 次操作后，区间长度变为 .因为精
确度为0.01，所以 ＜0.01.又 n ∈N＋，所以 n ≥7且 n ∈N＋，故
所需二分区间的次数最少为7，故选C.
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13. （多选）用二分法求函数 f （ x ）＝ x3＋ x2－2 x －2的一个正零点
的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据： f （1）＝
－2， f （1.5）＝0.625， f （1.25）≈－0.984， f （1.375）≈－
0.260，关于下一步的说法不正确的是（ ）
A. 已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B. 已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C. 没有达到精确度的要求，应该接着计算 f （1.437 5）
D. 没有达到精确度的要求，应该接着计算 f （1.312 5）
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解析： 由二分法知，方程 x3＋ x2－2 x －2＝0的根在区间
（1.375，1.5）内，且｜1.5－1.375｜＝0.125＞0.1，没有达到
精确度的要求，应该接着计算 f （1.437 5），故选A、B、D.
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14. 在一个风雨交加的夜里，某水库闸房（设为 A ）到防洪指挥部
（设为 B ）的电话线路发生了故障.这是一条10 km长的线路，如
何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段的查找，困难
很多，每查一个点需要很长时间.
（1）维修线路的工人师傅应怎样工作，才能每查一次，就把待查
的线路长度缩减一半？
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解：如图所示，他首先从中点 C
查，用随身带的话机向两端测试时，
假设发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段，再到 BC 段中点 D 查，这次若发现 BD 段正常，可见故障在 CD 段，再到 CD 段中点 E 查，依次类推…
（2）要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，最多要查
多少次？
解：每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，因此最多只要7次就够了.
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15. 已知函数 f （ x ）满足：对任意 x1， x2∈[ a ， b ]，都有
＞0，且 f （ a ）· f （ b ）＜0.在用二分法寻找零点
的过程中，依次确定了零点所在区间为[ a ， b ]， ，
，又 f ＝0，则函数 f （ x ）的零点为 .
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解析：因为对任意 x1， x2∈[ a ， b ]，都有 ＞0，且
f （ a ）· f （ b ）＜0，所以 f （ x ）在[ a ， b ]上单调递增，且 f
（ a ）＜0， f （ b ）＞0；
因为 a ＋1＞ a 恒成立，所以解得
所以 f （ x ）的零点为 ＝ .
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16. 对于函数 f （ x ），若存在 x0，使 f （ x0）＝ x0成立，则称 x0为函数
f （ x ）的不动点，已知 f （ x ）＝ x2＋ bx ＋ c .
（1）若 f （ x ）的两个不动点为－3，2，求函数 f （ x ）的零点；
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解：由题意知 f （ x ）＝ x 有两根，
即 x2＋（ b －1） x ＋ c ＝0有两根，分别为－3，2.
∴
∴从而 f （ x ）＝ x2＋2 x －6.
由 f （ x ）＝0，得 x1＝－1－ ， x2＝－1＋ .
故 f （ x ）的零点为－1± .
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（2）当 c ＝ b2时，函数 f （ x ）没有不动点，求实数 b 的取
值范围.
解：若 c ＝ ，则 f （ x ）＝ x2＋ bx ＋ ，
又 f （ x ）无不动点，即方程 x2＋ bx ＋ ＝ x 无解，
化简得方程 x2＋（ b －1） x ＋ ＝0无解，
∴Δ＝（ b －1）2－ b2＜0，即－2 b ＋1＜0，∴ b ＞ .
故 b 的取值范围是 .
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谢 谢 观 看！
