2.1 实际问题的函数刻画
1.某厂日产手套的总成本y（元）与日产量x（双）之间的关系式为y＝5x＋40 000.若手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本，至少日产手套（ ）
A.2 000双 B.4 000双
C.6 000双 D.8 000双
2.如图是张大爷晨练时离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是（ ）
3.某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是（ ）
A.y＝0.58x－0.16 B.y＝2x－3.02
C.y＝x2－5.5x＋8 D.y＝log2x
4.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米
2024年5月1日 12 35 000
2024年5月15日 48 35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A.6升 B.8升 C.10升 D.12升
5.（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（ ）
A.0点到3点只打开了两个进水口
B.3点到4点三个水口都打开
C.4点到6点只打开了一个出水口
D.0点到6点至少打开了一个进水口
6.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是 .
7.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a（a为常数），广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为 .（用常数a表示）
8.已知某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为y＝ekt（其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数），则k＝ ，经过5小时，1个病毒能繁殖 个.
9.科学家发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（时间：分钟）的变化规律满足关系式：y＝m·2x＋21－x（0≤x≤4，m＞0）.如果该物质温度总不低于2摄氏度，则m的取值范围是 .
10.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（min）与通话费用y（元）的大致关系如图①、图②所示.（通话时长不足1 min按1 min计费）
（1）分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
11.国家速滑馆又称“冰丝带”，是2022年北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量N（mg/L）与时间t的关系为N＝N0e－kt（N0为最初污染物数量）.如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要（ ）
A.3.6小时 B.3.8小时
C.4小时 D.4.2小时
12.某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%.现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（ ）
A.6 B.9
C.8 D.7
13.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测，记录的部分数据如下表：
强度x（J） 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级y（里氏） 5.0 5.2 5.3 5.4
注：地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度（x）和震级（y）的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b（其中a，b为常数），则a＝ .（取lg 2≈0.3进行计算）
14.某种商品在30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系如图所示，该商品在30天内日销售量Q（件）与时间t（天）之间的关系如下：
t（天） 5 15 20 30
Q（件） 35 25 20 10
（1）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对（t，Q）的对应点，并确定日销售量Q与时间t的函数关系式；
（3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（日销售金额＝每件的销售价格×日销售量）
15.房屋造价（元/m2）与建筑层数有关，可表示为一般造价（元/m2）乘上层数系数λ.根据经验数据，绘出层数系数λ与层数n的关系，如图所示，其中2层～5层的建筑由于共用地基和层顶等原因，λ随层数增加沿抛物线下降，而5层～8层及以上的建筑则由于防震、防风等因素需增加成本，λ随层数增加而增加.
（1）请根据所给图与表格建立λ随层数n增加而改变的函数关系式，并将表中数据填完整；
n 1 2 3 4 5 6 7 8
λ 1.08 1.03 1 1.08 1.17 1.26
（2）某单位为建造楼房筹集资金100万元，用于支付房屋造价和土地使用权购置费，若一般造价为800元/m2，土地价为300元/亩（1亩＝ m2），试利用（1）中的条件求该单位最多能建房多少平方米.（精确到1 m2）
2.1 实际问题的函数刻画
1.D 由5x＋40 000≤10x，得x≥8 000，即至少日产手套8 000双才不亏本.
2.D 由y与x的关系知，在中间时间段y值不变，只有D符合题意.
3.D 根据题中数据画出散点图如图所示.
由图可知上述散点大体分布在函数y＝log2x的图象的附近，故函数y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律.
4.B 因为第一次（2024年5月1日）把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶路程为35 600－35 000＝600（千米），耗油48升，所以每100千米的平均耗油量为8升.
5.ABD 由甲、乙图知：每个进水口进水速度为1，每个出水口出水速度为2，对于A：由丙图知：0点到3点蓄水量增加6，所以只打开了两个进水口，只进水不出水，故正确；对于B：3点到4点蓄水量不变，说明三个水口都打开进出一样多蓄水量不变，故正确；对于C：4点到6点蓄水量减少2，说明每个小时减少1，所以打开了一个进水口和一个出水口，故不正确；对于D：由选项A、B、C的分析可知，0点到6点至少打开了一个进水口，故选项D正确.故选A、B、D.
6.－1 解析：设每月的产量增长率为x，1月份产量为a，则a（1＋x）11＝ma，所以1＋x＝，即x＝－1.
7.a2 解析：令t＝（t≥0），则A＝t2，所以D＝at－t2＝－＋a2.所以当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值.
8.2ln 2 1 024 解析：当t＝0.5时，y＝2，∴2＝，∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2.当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
9. 解析：由题意得m·2x＋21－x≥2对一切0≤x≤4恒成立，则由m·2x＋21－x≥2，得出m≥－，令t＝2－x，则≤t≤1，且m≥2t－2t2，构造函数f（t）＝2t－2t2＝－2＋，所以当t＝时，函数y＝f（t）取得最大值，则m≥.因此，实数m的取值范围是.
10.解：（1）由图象可设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B（30，35），C（30，15）分别代入y1，y2，得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋29（x≥0），y2＝x（x≥0）.
（2）令y1＝y2，即x＋29＝x，则x＝96.
当x≤96时，y1＞y2，即“便民卡”便宜；
当x≥97时，y1＜y2，即“如意卡”便宜.
11.C 由题意可得N0e－4k＝N0，可得e－4k＝，设N0e－kt＝0.64N0＝N0，可得e－kt＝（e－4k）2＝e－8k，解得t＝8.因此，污染物消除至最初的64%还需要4小时.故选C.
12.C 设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，即nlg ≤－lg 20，即n（lg 2－lg 3）≤－（1＋lg 2），得n≥≈7.4，故选C.
13. 解析：由记录的部分数据，可知当x＝1.6×1019时，y＝5.0，当x＝3.2×1019时，y＝5.2.则由②－①得0.2＝alg ，即0.2＝alg 2.所以a＝≈＝.
14.解：（1）根据图象，每件的销售价格P与时间t的函数关系式为P＝
（2）描出实数对（t，Q）的对应点（如图）.
从图中可以发现，点（5，35），（15，25），（20，20），（30，10）基本分布在一条直线上，假设这条直线为l：Q＝kt＋b.由点（5，35），（30，10）确定出直线l的解析式为Q＝－t＋40，通过检验可知：点（15，25），（20，20）也在直线l上.所以日销售量Q与时间t的函数关系式为Q＝－t＋40（0＜t≤30，t∈N＋）.
（3）设日销售金额为y（元），则
y＝P×Q＝
＝
若0＜t＜25，t∈N＋，则当t＝10时，ymax＝900；
若25≤t≤30，t∈N＋，则当t＝25时，ymax＝1 125.由1 125＞900，知ymax＝1 125.
故这种商品日销售金额的最大值为1 125元，30天中的第25天的日销售金额最大.
15.解：（1）由已知，
①当2≤n≤5，n∈N＋时，λ＝f（n）的图象为抛物线上的一些孤立的点，所以设λ＝an2＋bn＋c（a≠0），
将（2，1.08），（3，1.03），（4，1）代入，得
解得
所以λ＝0.01n2－0.1n＋1.24.
②当5＜n≤8，n∈N＋时，观察图形，三点似乎在同一条直线上，所以设λ＝kn＋d（k≠0），
将（6，1.08）和（8，1.26）代入，
得解得
所以λ＝0.09n＋0.54，通过验证知（7，1.17）正好在此直线上.
综上，λ＝
其中n∈N＋.
把n＝5代入上式，得λ＝0.99，又由图得n＝1时，λ＝1.25.
将1.25，0.99填入表中的对应格里即可（表略）.
（2）设所建楼房占地面积为x m2，由（1）知，
当n＝5时，造价最低，此时λ＝0.99，
故总建房面积为5x m2，其总造价为0.99×800×5x＋×300，
由已知，1 000 000＝0.99×800×5x＋x，解得5x≈1 262，
即该单位最多可建房1 262 m2.
2 / 3§2 实际问题中的函数模型
2.1 实际问题的函数刻画
新课程标准解读 核心素养
在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律 数学建模
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为a元，每期的利率为r，设本利和为y，存期为x，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元，每期的利率为2.25%.
【问题】 五期后的本利和是多少？
知识点 实际问题的函数刻画
1.在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式.
2.通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数解析式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，
这种方法称为数据拟合.在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）先有实际问题，后有模型.（ ）
（2）一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测.（ ）
（3）当自变量变化时，函数值的增长速度越来越快，那么该函数关系一定用指数函数模型来刻画.（ ）
2.某同学最近5年内的学习费用y（千元）与时间x（年）的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ）
A.y＝ax＋b B.y＝ax2＋bx＋c
C.y＝aex＋b D.y＝aln x＋b
3.某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 元.
题型一 解析式法刻画函数关系
【例1】 车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次0.3元.
（1）若设自行车停放的辆次为x，总的保管费收入为y元，试写出y关于x的函数关系式；
（2）若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保管费总数的范围.
尝试解答
通性通法
1.一次函数模型的实际应用
应用一次函数模型时，应本着“问什么，设什么，列什么”这一原则.
2.一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式ax＋b≥0（或ax＋b≤0），解答时，注意系数a的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
【跟踪训练】
某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式，并求离开北京2 h 时火车行驶的路程.
题型二 图表法刻画函数关系
【例2】 （1）“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快地速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程—时间图象（ ）
（2）如图，是三个底面半径均为1，高分别为1，2，3的圆锥、圆柱型容器，现同时分别向三个容器中注水，直到注满为止，在注水的过程中，保证水面高度平齐，且匀速上升，记三个容器中水的体积之和为V＝V（h），h为水面的高，则函数V＝V（h）的大致图象为（ ）
尝试解答
通性通法
当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
【跟踪训练】
某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2021年1月至2023年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图：
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
题型三 已知函数模型的实际应用问题
【例3】 灌满水的热水瓶放在室内，如果瓶内水原来的温度是θ1 ℃，室内气温是θ0 ℃，t min后，水的温度可由公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）e－kt求得，其中，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一个某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ℃，1 h后又测得瓶内水温变为98 ℃.已知某种茶叶必须用不低于85 ℃的水冲泡，现用这个热水瓶在早上六点灌满100 ℃的水，问：能否在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶？（假定该地白天室温为20 ℃）
尝试解答
通性通法
某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为x，因变量为y，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际问题的答案.具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型，了解变量的含义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法确定；
第二步，求解数学模型，利用数学知识，如函数的单调性、最值等，对函数模型进行解答；
第三步，转译成实际问题的解.
【跟踪训练】
某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为（x－k＋）L，其中k为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L.欲使每小时的油耗不超过9 L，则x的取值范围为 .
1.某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间 1 2 3 4
利润（千元） 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（ ）
A.y＝log2x B.y＝2x
C.y＝x2 D.y＝2x
2.某数学小组进行社会实践调查，了解到雪花桶装水经营部在为定价发愁.进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租，工人工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？（ ）
A.每桶8.5元 B.每桶9.5元
C.每桶10.5元 D.每桶11.5元
3.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M＝lg A－lg A0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍.
2.1 实际问题的函数刻画
【基础知识·重落实】
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.B 因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的函数模型应为二次函数，故选B.
3.60 解析：设涨价x元，销售的利润为y元，则y＝（50＋x－45）（50－2x）＝－2x2＋40x＋250＝－2（x－10）2＋450，所以当x＝10，即销售价为60元时，y取得最大值.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）由题意得y＝0.3x＋0.5（3 500－x）＝－0.2x＋1 750（x∈N＋且0≤x≤3 500）.
（2）若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则3 500×（1－40%）≤x≤3 500×（1－25%），
即2 100≤x≤2 625.
根据函数y＝－0.2x＋1 750（2 100≤x≤2 625）的图象（图略），可得函数y＝－0.2x＋1 750（2 100≤x≤2 625）的值域是[1 225，1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间.
跟踪训练
解：因为火车匀速行驶的总时间为（277－13）÷120＝（h），所以0≤t≤.
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝13＋120t.
离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2－＝（h），此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233（km）.
【例2】 （1）C （2）B 解析：（1）由故事内容知乌龟先达到终点，兔子醒来乌龟未达到终点，且兔子后来的速度更快，故选C.
（2）由题得，三个容器同时注水时，由于圆锥同样高度注水体积越来越大，即此过程体积V（h）增加速度越来越快，排除C、D，圆锥注满水后，体积匀速增加，在矮圆柱注满水以前体积V（h）增加速度要大于矮圆柱注满水以后的速度，即矮圆柱注满水以前的所在直线斜率大，故选B.
跟踪训练
A 通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是递增的，所以B正确.从图观察C是正确的，D也正确，1～6月比较平稳，7～12月波动比较大.故选A.
【例3】 解：根据题意，有98＝20＋（100－20）e－60k，
整理得e－60k＝，利用计算器，算得k≈0.000 42.
故θ＝20＋80e－0.000 42t.
从早上六点到这一天的中午十二点共经过6 h，即360 min.
当t＝360时，θ＝20＋80e－0.000 42×360≈89.
因为89 ℃＞85 ℃，
所以能在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶.
跟踪训练
[60，100] 解析：设每小时的油耗（所需要的汽油量）为y L，由题意可得y＝，当x＝120时，y＝11.5，∴11.5＝，解得k＝100，∴y＝（x－100＋）.要使每小时的油耗不超过9 L，则（x－100＋）≤9，即x2－145x＋4 500≤0，解得45≤x≤100，又60≤x≤120，可得60≤x≤100，故当每小时的油耗不超过9 L时，x的取值范围为[60，100].
随堂检测
1.B 逐个检验可得到答案为B.
2.D 根据表格可知销售单价每增加1元，日均销售就减少40桶.设每桶水的价格为（6＋x）元，公司日利润为y元，则y＝（6＋x－5）（480－40x）－200＝－40x2＋440x＋280（0≤x≤12），∴当x＝5.5时函数y有最大值，因此，每桶水的价格为11.5元，公司日利润最大.
3.100 解析：当M＝7时，∵7＝lg A－lg A0＝lg ，
∴＝107，∴A＝A0107，当M＝5时，∵5＝lg A－lg A0＝lg ，∴＝105，∴A＝A0105，从而可得7级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的100倍.
3 / 4(共70张PPT)
2.1 实际问题的函数刻画
新课程标准解读 核心素养
在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问
题的变化规律 数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
爱因斯坦说过，复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100
元，40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长，指数函数
值的增长是非常迅速的，可以根据这一特点来进行资金的管理.例
如，按复利计算利率的一种储蓄，本金为 a 元，每期的利率为 r ，设
本利和为 y ，存期为 x ，那么要知道存一定期限之后所得的本利和，
就要写出本利和 y 随着存期 x 变化的函数式.假设存入的本金为1 000
元，每期的利率为2.25%.
【问题】 五期后的本利和是多少？
知识点 实际问题的函数刻画
1. 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中
存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对
其进行刻画.函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解
析式.
2. 通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标
系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种
函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达
式，求出具体的函数解析式，再做必要的检验，基本符合实际，就
可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合.
在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到
数据，再通过数据拟合得到的.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）先有实际问题，后有模型. （ √ ）
（2）一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地
推演和预测. （ √ ）
（3）当自变量变化时，函数值的增长速度越来越快，那么该函数
关系一定用指数函数模型来刻画. （ × ）
√
√
×
2. 某同学最近5年内的学习费用 y （千元）与时间 x （年）的关系如图
所示，则可选择的模拟函数模型是（ ）
A. y ＝ ax ＋ b
B. y ＝ ax2＋ bx ＋ c
C. y ＝ a e x ＋ b
D. y ＝ a ln x ＋ b
解析： 因为图中的点基本分布在一条抛物线上，所以可选择的
函数模型应为二次函数，故选B.
3. 某商品进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售
单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的
最佳售价应为每个 元.
解析：设涨价 x 元，销售的利润为 y 元，则 y ＝（50＋ x －45）（50
－2 x ）＝－2 x2＋40 x ＋250＝－2（ x －10）2＋450，所以当 x ＝
10，即销售价为60元时， y 取得最大值.
60
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 解析式法刻画函数关系
【例1】 车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆
次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每辆一次
0.3元.
（1）若设自行车停放的辆次为 x ，总的保管费收入为 y 元，试写出 y
关于 x 的函数关系式；
解：由题意得 y ＝0.3 x ＋0.5（3 500－ x ）＝－0.2 x ＋1 750（ x
∈N＋且0≤ x ≤3 500）.
（2）若估计前来停放的3 500辆次自行车和电动车中，电动车的辆次
数不小于25%，但不大于40%，试求该车管站这个星期日收入保
管费总数的范围.
解：若电动车的辆次数不小于25%，但不大于40%，则3 500×
（1－40%）≤ x ≤3 500×（1－25%），
即2 100≤ x ≤2 625.
根据函数 y ＝－0.2 x ＋1 750（2 100≤ x ≤2 625）的图象（图
略），可得函数 y ＝－0.2 x ＋1 750（2 100≤ x ≤2 625）的值域
是[1 225，1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间.
通性通法
1. 一次函数模型的实际应用
应用一次函数模型时，应本着“问什么，设什么，列什么”这
一原则.
2. 一次函数的最值求解
一次函数求最值，常转化为求解不等式 ax ＋ b ≥0（或 ax ＋ b
≤0），解答时，注意系数 a 的正负，也可以结合函数图象或其单
调性来求最值.
【跟踪训练】
某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出
13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程 s
与匀速行驶的时间 t 之间的函数关系式，并求离开北京2 h 时火车行驶
的路程.
解：因为火车匀速行驶的总时间为（277－13）÷120＝ （h），所
以0≤ t ≤ .
因为火车匀速行驶 t h所行驶的路程为120 t km，所以火车行驶的总路
程 s 与匀速行驶的时间 t 之间的函数关系式为 s ＝13＋120 t .
离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2－ ＝ （h），此时火车行驶
的路程 s ＝13＋120× ＝233（km）.
【例2】 （1）“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上
赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看
到乌龟已经领先了，因此它用更快地速度去追，结果还是乌龟先到了
终点，请根据故事选出符合的路程—时间图象（ C ）
解析：由故事内容知乌龟先达到终点，兔子醒来乌龟未达到终点，且
兔子后来的速度更快，故选C.
C
题型二 图表法刻画函数关系
（2）如图，是三个底面半径均为1，高分别为1，2，3的圆锥、圆柱型容器，现同时分别向三个容器中注水，直到注满为止，在注水的过程中，保证水面高度平齐，且匀速上升，记三个容器中水的体积之和为 V ＝ V （ h ）， h 为水面的高，则函数 V ＝ V （ h ）的大致图象为（ B ）
B
解析：由题得，三个容器同时注水时，由于圆锥同样高度注水
体积越来越大，即此过程体积 V （ h ）增加速度越来越快，排除
C、D，圆锥注满水后，体积匀速增加，在矮圆柱注满水以前体
积 V （ h ）增加速度要大于矮圆柱注满水以后的速度，即矮圆柱
注满水以前的所在直线斜率大，故选B.
通性通法
当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变
化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符
合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
【跟踪训练】
某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整
理了2021年1月至2023年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数
据，绘制了下面的折线图：
A. 月接待游客量逐月增加
B. 年接待游客量逐年增加
C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变
化比较平稳
解析： 通过题图可知A不正确，并不是逐月增加，但是每一年是
递增的，所以B正确.从图观察C是正确的，D也正确，1～6月比较平
稳，7～12月波动比较大.故选A.
根据该折线图，下列结论错误的是（ ）
题型三 已知函数模型的实际应用问题
【例3】 灌满水的热水瓶放在室内，如果瓶内水原来的温度是θ1
℃，室内气温是θ0 ℃， t min后，水的温度可由公式θ＝θ0＋（θ1
－θ0）e－ kt 求得，其中， k 是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有
一个某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100 ℃，1 h后又测得瓶内水
温变为98 ℃.已知某种茶叶必须用不低于85 ℃的水冲泡，现用这个热
水瓶在早上六点灌满100 ℃的水，问：能否在这一天的中午十二点用
瓶内的水来冲泡这种茶叶？（假定该地白天室温为20 ℃）
解：根据题意，有98＝20＋（100－20）e－60 k ，
整理得e－60 k ＝ ，
利用计算器，算得 k ≈0.000 42.
故θ＝20＋80e－0.000 42 t .
从早上六点到这一天的中午十二点共经过6 h，即360 min.
当 t ＝360时，θ＝20＋80e－0.000 42×360≈89.
因为89 ℃＞85 ℃，
所以能在这一天的中午十二点用瓶内的水来冲泡这种茶叶.
通性通法
某些实际问题提供的变量关系是确定的，即设自变量为 x ，因变
量为 y ，它们已建立了函数模型，我们可以利用该函数模型得出实际
问题的答案.具体解题步骤为：
第一步，审题，引进数学符号，建立数学模型，了解变量的含
义，若模型中含有待定系数，则需要进一步用待定系数法或其他方法
确定；
第二步，求解数学模型，利用数学知识，如函数的单调性、最值
等，对函数模型进行解答；
第三步，转译成实际问题的解.
【跟踪训练】
某辆汽车以 x km/h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行
车安全，要求60≤ x ≤120）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为
（ x － k ＋ ）L，其中 k 为常数.若汽车以120 km/h的速度行驶
时，每小时的油耗为11.5 L. 欲使每小时的油耗不超过9 L，则 x 的取
值范围为 .
[60，100]
解析：设每小时的油耗（所需要的汽油量）为 y L，由题意可得 y ＝
，当 x ＝120时， y ＝11.5，∴11.5＝
，解得 k ＝100，∴ y ＝ .要使每小时的油耗不
超过9 L，则 ≤9，即 x2－145 x ＋4 500≤0，解得
45≤ x ≤100，又60≤ x ≤120，可得60≤ x ≤100，故当每小时的油耗
不超过9 L时， x 的取值范围为[60，100].
1. 某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.
时间 1 2 3 4
利润（千元） 2 3.98 8.01 15.99
现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的（ ）
A. y ＝log2 x B. y ＝2 x
C. y ＝ x2 D. y ＝2 x
解析： 逐个检验可得到答案为B.
2. 某数学小组进行社会实践调查，了解到雪花桶装水经营部在为定价
发愁.进一步调研了解到如下信息：该经营部每天的房租，工人工
资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售
量的关系如表：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
根据以上信息，你认为该经营部的定价为多少才能获得最大利润？
（ ）
A. 每桶8.5元 B. 每桶9.5元
C. 每桶10.5元 D. 每桶11.5元
解析： 根据表格可知销售单价每增加1元，日均销售就减少40
桶.设每桶水的价格为（6＋ x ）元，公司日利润为 y 元，则 y ＝（6
＋ x －5）（480－40 x ）－200＝－40 x2＋440 x ＋280（0≤ x
≤12），∴当 x ＝5.5时函数 y 有最大值，因此，每桶水的价格为
11.5元，公司日利润最大.
3. 通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是 M ＝
lg A －lg A0，其中， A 是被测地震的最大振幅， A0是“标准地
震”的振幅， M 为震级，则7级地震的最大振幅是5级地震最大
振幅的 倍.
解析：当 M ＝7时，∵7＝lg A －lg A0＝lg ，
∴ ＝107，∴ A ＝ A0107，当 M ＝5时，∵5＝lg A －lg A0＝lg ，
∴ ＝105，∴ A ＝ A0105，从而可得7级地震的最大振幅是5级地震
最大振幅的100倍.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 某厂日产手套的总成本 y （元）与日产量 x （双）之间的关系式为 y
＝5 x ＋40 000.若手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本，至
少日产手套（ ）
A. 2 000双 B. 4 000双
C. 6 000双 D. 8 000双
解析： 由5 x ＋40 000≤10 x ，得 x ≥8 000，即至少日产手套 8 000双才不亏本.
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解析： 由 y 与 x 的关系知，在中间时间段 y 值不变，只有D符合
题意.
2. 如图是张大爷晨练时离家距离（ y ）与行走时间（ x ）之间的函数
关系的图象.若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的
路线可能是（ ）
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3. 某学校开展研究学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 1.99 3 4 5.1 8
y 0.99 1.58 2.01 2.35 3.00
如下四个模拟函数，能近似地反映这些数据的规律的是（ ）
A. y ＝0.58 x －0.16 B. y ＝2 x －3.02
C. y ＝ x2－5.5 x ＋8 D. y ＝log2 x
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解析： 根据题中数据画出散点图如图所示.
由图可知上述散点大体分布在函数 y ＝log2 x 的图象的附近，故函数 y ＝log2 x 可以近似地反映这些数据的规律.
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4. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时
的情况.
加油时间 加油量/升 加油时的累计里程/千米
2024年5月1日 12 35 000
2024年5月15日 48 35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
A. 6升 B. 8升
C. 10升 D. 12升
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解析： 因为第一次（2024年5月1日）把油加满，而第二次把油
加满加了48升，即汽车行驶路程为35 600－35 000＝600（千米），
耗油48升，所以每100千米的平均耗油量为8升.
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5. （多选）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度
如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.已知某天0点到6点，
该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判
断正确的有（ ）
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A. 0点到3点只打开了两个进水口
B. 3点到4点三个水口都打开
C. 4点到6点只打开了一个出水口
D. 0点到6点至少打开了一个进水口
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解析： 由甲、乙图知：每个进水口进水速度为1，每个出水
口出水速度为2，对于A：由丙图知：0点到3点蓄水量增加6，所以
只打开了两个进水口，只进水不出水，故正确；对于B：3点到4点
蓄水量不变，说明三个水口都打开进出一样多蓄水量不变，故正
确；对于C：4点到6点蓄水量减少2，说明每个小时减少1，所以打
开了一个进水口和一个出水口，故不正确；对于D：由选项A、
B、C的分析可知，0点到6点至少打开了一个进水口，故选项D正
确.故选A、B、D.
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6. 一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的 m 倍，那么该模具
厂这一年中产量的月平均增长率是 .
解析：设每月的产量增长率为 x ，1月份产量为 a ，则 a （1＋ x ）11
＝ ma ，所以1＋ x ＝ ，即 x ＝ －1.
－1
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7. 已知某品牌商品靠广告销售的收入 R 与广告费 A 之间满足关系 R ＝
a （ a 为常数），广告效应为 D ＝ a － A . 那么精明的商人为
了取得最大广告效应，投入的广告费应为 .（用常数 a 表示）
解析：令 t ＝ （ t ≥0），则 A ＝ t2，所以 D ＝ at － t2＝－
＋ a2.所以当 t ＝ a ，即 A ＝ a2时，D取得最大值.
a2
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8. 已知某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为
y ＝e kt （其中 k 为常数， t 表示时间，单位：小时， y 表示病毒个
数），则 k ＝ ，经过5小时，1个病毒能繁殖 个.
解析：当 t ＝0.5时， y ＝2，∴2＝ ，∴ k ＝2ln 2，∴ y ＝e2 tln 2.
当 t ＝5时， y ＝e10ln 2＝210＝1 024.
2ln 2
1 024
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9. 科学家发现某种特别物质的温度 y （单位：摄氏度）随时间 x （时
间：分钟）的变化规律满足关系式： y ＝ m ·2 x ＋21－ x （0≤ x ≤4，
m ＞0）.如果该物质温度总不低于2摄氏度，则 m 的取值范围
是 .
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解析：由题意得 m ·2 x ＋21－ x ≥2对一切0≤ x ≤4恒成立，则由 m ·2 x
＋21－ x ≥2，得出 m ≥ － ，令 t ＝2－ x ，则 ≤ t ≤1，且 m ≥2
t －2 t2，构造函数 f （ t ）＝2 t －2 t2＝－2 ＋ ，所以当 t ＝
时，函数 y ＝ f （ t ）取得最大值 ，则 m ≥ .因此，实数 m 的取值
范围是 .
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10. 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的
收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内
每月（30天）的通话时间 x （min）与通话费用 y （元）的大致关
系如图①、图②所示.（通话时长不足1 min按1 min计费）
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（1）分别求出通话费用 y1， y2与通话时间 x 之间的函数关系式；
解：由图象可设 y1＝ k1 x ＋29， y2＝ k2 x ，把点 B （30，35）， C （30，15）分别代入 y1， y2，得 k1＝ ， k2＝ .
∴ y1＝ x ＋29（ x ≥0）， y2＝ x （ x ≥0）.
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（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜.
解：令 y1＝ y2，即 x ＋29＝ x ，则 x ＝96 .
当 x ≤96时， y1＞ y2，即“便民卡”便宜；
当 x ≥97时， y1＜ y2，即“如意卡”便宜.
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11. 国家速滑馆又称“冰丝带”，是2022年北京冬奥会的标志性场
馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于
零，做到真正的智慧场馆、绿色场馆.并且为了倡导绿色可循环的
理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中
废水的污染物数量 N （mg/L）与时间 t 的关系为 N ＝ N0e－ kt （ N0为
最初污染物数量）.如果前4小时消除了20%的污染物，那么污染
物消除至最初的64%还需要（ ）
A. 3.6小时 B. 3.8小时
C. 4小时 D. 4.2小时
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解析： 由题意可得 N0e－4 k ＝ N0，可得e－4 k ＝ ，设 N0e－ kt ＝
0.64 N0＝ N0，可得e－ kt ＝（e－4 k ）2＝e－8 k ，解得 t ＝8.因
此，污染物消除至最初的64%还需要4小时.故选C.
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12. 某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这
种溶液最初的杂质含量为2%.现进行过滤，已知每过滤一次杂质
含量减少 ，则使产品达到市场要求的最少过滤次数为（参考数
据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（ ）
A. 6 B. 9
C. 8 D. 7
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解析： 设经过 n 次过滤，产品达到市场要求，则 ×
≤ ，即 ≤ ，即 n lg ≤－lg 20，即 n （lg 2－lg 3）
≤－（1＋lg 2），得 n ≥ ≈7.4，故选C.
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13. 某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监
测，记录的部分数据如下表：
强度 x （J） 1.6×1019 3.2×1019 4.5×1019 6.4×1019
震级 y （里
氏） 5.0 5.2 5.3 5.4
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解析：由记录的部分数据，可知当 x ＝1.6×1019时， y ＝5.0，当
x ＝3.2×1019时， y ＝5.2.则
由②－①得0.2＝ a lg ，即0.2＝ a lg 2.所以 a ＝ ≈ ＝ .
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14. 某种商品在30天内每件的销售价格 P （元）与时间 t （天）的函数
关系如图所示，该商品在30天内日销售量 Q （件）与时间 t （天）
之间的关系如下：
t （天） 5 15 20 30
Q （件） 35 25 20 10
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（1）根据提供的图象，写出该商品每件的销售价格 P 与时间 t 的
函数关系式；
解：根据图象，每件的销售价格 P 与时间 t 的函数关系式为 P ＝
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（2）在平面直角坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对
（ t ， Q ）的对应点，并确定日销售量 Q 与时间 t 的函数
关系式；
解：描出实数对（ t ， Q ）的对应点（如图）.
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从图中可以发现，点（5，35），（15，25），（20，
20），（30，10）基本分布在一条直线上，假设这条直线为
l ： Q ＝ kt ＋ b .由点（5，35），（30，10）确定出直线 l 的
解析式为 Q ＝－ t ＋40，通过检验可知：点（15，25），
（20，20）也在直线 l 上.所以日销售量 Q 与时间 t 的函数关
系式为 Q ＝－ t ＋40（0＜ t ≤30， t ∈N＋）.
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（3）求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的
一天是30天中的第几天？（日销售金额＝每件的销售价格×
日销售量）
解：设日销售金额为 y （元），则 y ＝ P × Q ＝
＝
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若0＜ t ＜25， t ∈N＋，则当 t ＝10时， ymax＝900；
若25≤ t ≤30， t ∈N＋，则当 t ＝25时， ymax＝1 125.由1 125＞900，知 ymax＝1 125.
故这种商品日销售金额的最大值为1 125元，30天中的第25天的日销售金额最大.
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15. 房屋造价（元/m2）与建筑层数有关，可表示为一般造价（元
/m2）乘上层数系数λ.根据经验数据，绘出层数系数λ与层数 n
的关系，如图所示，其中2层～5层的建筑由于共用地基和层顶等
原因，λ随层数增加沿抛物线下降，而5层～8层及以上的建筑则
由于防震、防风等因素需增加成本，λ随层数增加而增加.
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（1）请根据所给图与表格建立λ随层数 n 增加而改变的函数关系
式，并将表中数据填完整；
n 1 2 3 4 5 6 7 8
λ 1.08 1.03 1 1.08 1.17 1.26
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①当2≤ n ≤5， n ∈N＋时，λ＝ f （ n ）的图象为抛物线上
的一些孤立的点，所以设λ＝ an2＋ bn ＋ c （ a ≠0），
将（2，1.08），（3，1.03），（4，1）代入，得
解得
所以λ＝0.01 n2－0.1 n ＋1.24.
解：由已知，
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②当5＜ n ≤8， n ∈N＋时，观察图形，三点似乎在同一条直线上，
所以设λ＝ kn ＋ d （ k ≠0），
将（6，1.08）和（8，1.26）代入，
得解得
所以λ＝0.09 n ＋0.54，通过验证知（7，1.17）正好在此直线上.
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综上，λ＝
其中 n ∈N＋.
把 n ＝5代入上式，得λ＝0.99，又由图得 n ＝1时，λ＝1.25.
将1.25，0.99填入表中的对应格里即可（表略）.
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（2）某单位为建造楼房筹集资金100万元，用于支付房屋造价和
土地使用权购置费，若一般造价为800元/m2，土地价为300元/亩（1亩＝ m2），试利用（1）中的条件求该单位最多能建房多少平方米.（精确到1 m2）
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解：设所建楼房占地面积为 x m2，由（1）知，
当 n ＝5时，造价最低，此时λ＝0.99，
故总建房面积为5 x m2，其总造价为0.99×800×5 x ＋ ×300，
由已知，1 000 000＝0.99×800×5 x ＋ x ，解得5 x ≈1 262，
即该单位最多可建房1 262 m2.
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谢 谢 观 看！
