1.1 位移、速度、力与向量的概念 1.2 向量的基本关系
1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其中是向量的有（ ）
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是（ ）
A.与的夹角是锐角
B.与的夹角是锐角
C.与的夹角是钝角
D.与的夹角是锐角
3.“向量，共线”是“直线AB∥CD”的（ ）
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.下列说法中，正确的是（ ）
A.任意单位向量的模都相等
B.若A，B是平面内的两个不同的点，则＝
C.若向量a∥b，b∥c，则a∥c
D.单位向量与任意向量平行
5.（多选）已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等、方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中正确的是（ ）
A.C A B.A∩B＝{a}
C.C B D.A∩B {a}
6.（多选）如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）
A.＝ B.｜｜＝｜｜
C.＞ D.∥
7.将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且｜｜＝2｜｜＝2时，｜｜＝ .
8.已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为 .
9.如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在这6个向量中：
（1）有两个向量的模相等，这两个向量是 ，它们的模都等于 ；
（2）存在着共线向量，这些共线的向量是 ，它们的模的和等于 .
10.如图，等边△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，指出如下各组向量的夹角：
（1）与；
（2）与；
（3）与.
11.下列说法中正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.
A.1 B.2
C.3 D.4
12.（多选）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是（ ）
A.｜｜＝｜｜ B.与共线
C.与共线 D.与共线
13.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，｜｜＝2，则｜｜＝ .
14.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地.
（1）在如图所示的坐标系中画出，，，；
（2）求B地相对于A地的位置向量.
15.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则｜｜＝ .
16.如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{｜M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数.
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
1.C ②③④⑤是向量.
2.B 由两向量夹角的定义知，与的夹角的大小是180°－∠B，为钝角，与的夹角是∠A，为锐角，与的夹角与∠C的大小相等，为锐角，与的夹角的大小是180°－∠C，为钝角.故选B.
3.A 向量，共线 直线AB，CD平行或重合；直线AB∥CD 向量，共线.因此“向量，共线”是“直线AB∥CD”的必要不充分条件.
4.A 根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故A正确；与互为相反向量，故B错误；若b＝0时，a与c不一定共线，故C错误；零向量与任意向量平行而不是单位向量，D错误；故选A.
5.ACD 因为A∩B＝{a，－a}，所以A、C、D正确.
6.BD 与显然方向不相同，故不是相等向量，故A错误；｜｜与｜｜表示等腰梯形两腰的长度，所以｜｜＝｜｜，故B正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以∥，故D正确.故选B、D.
7.3或1 解析：当与同向时，｜｜＝｜｜＋｜｜＝3；当与反向时，｜｜＝｜｜－｜｜＝1.
8.1 解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.
9.（1）， （2）， 5 解析：（1）模相等的两个向量是，，｜｜＝｜｜＝＝.
（2）共线的向量是，，且｜｜＋｜｜＝2＋3＝5.
10.解：（1）与的夹角是∠EDA＝120°.
（2）因为＝，所以与的夹角等于与的夹角，即∠FDA＝60°.
（3）如图，延长FD至B'，使DB'＝FD，则'＝，则与的夹角等于与'的夹角，即∠FDB'＝180°.
11.B 对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确.
12.ABD ∵三个四边形都是菱形，∴｜｜＝｜｜，AB∥CD∥FH，故与共线.又三点D，C，E共线，∴与共线，故A、B、D都正确.故选A、B、D.
13.1 解析：连接AC（图略），由｜｜＝｜｜，得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，则｜｜＝｜｜＝×2＝1.
14.解：（1）向量，，，如图所示.
（2）由题意知＝，
∴AD BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，
∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，6千米”.
15.2 解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝AB＝1.在Rt△ABO中，易得｜｜＝，∴｜｜＝2｜｜＝2.
16.解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向线段，共有20个，即，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个.
2 / 3§1 从位移、速度、力到向量
1.1 位移、速度、力与向量的概念 1.2 向量的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的实际背景 数学抽象
2.理解平面向量的几何表示和基本要素 直观想象
3.了解平面向量共线和向量相等的含义及向量的夹角 数学抽象、逻辑推理
我们在物理学中已经知道，力是矢量（既有大小，又有方向），如图，放在水平桌面上的物体A.
【问题】 （1）物体A受到哪些力的作用？
（2）物体A受到的力应怎样表示？
知识点一 向量的概念与表示
1.向量的背景——位移、速度、力
在物理学中，我们学习过“位移”“速度”和“力”等物理量.
位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长度、面积、质量等只有大小的量不同.
2.向量的概念及表示方法
向量 既有大小又有方向的量统称为向量； 那些只有大小没有方向的量称为数量（如年龄、长度、质量、面积、体积等）
有向线段 在数学中，这种具有方向和长度的线段称为有向线段（如图），以A为起点，B为终点的有向线段，记作.线段AB的长度称为有向线段的长度，记作｜｜
向量的表示 几何表示 字母表示
向量可以用有向线段表示，其中有向线段的长度表示向量的 ，箭头所指的方向表示向量的 向量也可以用黑斜体小写字母如a，b，c，…或，，，…（书写）来表示
3.向量的相关概念
向量的模 向量a的大小，记作 ，又称作向量的模
零向量 长度为0的向量称为零向量，记作 或
单位向量 模等于1个单位长度的向量称为
提醒 有向线段和向量的区别与联系
向量 有向线段
区别 ①向量有大小和方向两个要素；②向量是可以自由平移的 ①有向线段有起点、方向、长度三个要素；②有向线段是固定的线段
联系 有向线段是向量的几何表示，一条有向线段对应着一个向量，但一个向量对应着无数多条有向线段
知识点二 向量的基本关系
1.相等向量
相等向量是指它们的长度 且方向 .向量a与b相等，记作a＝b.
2.共线（平行）向量
若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作 .
规定：零向量与任一向量共线，即对任意的向量a，都有 .
3.相反向量
若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.相反向量是共线向量.a的相反向量记作 .零向量的相反向量仍是 .
4.向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作＝a，＝b，则θ＝∠AOB （ ≤θ≤ ）称为向量a与b的夹角；
（2）性质：当θ＝ 时，a与b同向；当θ＝ 时，a与b反向；
（3）向量垂直：如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂直，记作 .
规定：零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都有 .
【想一想】
1.所有的单位向量都相等吗？
2.若向量与共线，则A，B，C，D四点一定共线吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）向量同数量一样可以比较大小.（ ）
（2）两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行.（ ）
（3）向量就是有向线段.（ ）
2.设O为△ABC外接圆的圆心，则，，是（ ）
A.相等向量 B.平行向量
C.模相等的向量 D.起点相同的向量
3.在等边三角形ABC中，与的夹角是 ，点E为BC中点，则与的夹角为 .
题型一 向量的有关概念
【例1】 给出以下说法：
①若｜a｜＝0，则a为零向量；
②若a与b共线，则a与b的方向相同或相反；
③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.
其中正确说法的序号是 .
尝试解答
通性通法
1.判断一个量是否为向量的两个关键条件
（1）有大小；
（2）有方向.两个条件缺一不可.
2.理解零向量和单位向量应注意的问题
（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.
【跟踪训练】
（多选）下列说法正确的是（ ）
A.向量的长度与向量的长度相等
B.零向量与任意非零向量平行
C.长度相等方向相反的向量共线
D.方向相反的向量可能相等
题型二 向量的表示及应用
【例2】 一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100 km到达点B，然后又改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达点C，最后又改变方向，向正东行驶了100 km到达点D.
（1）作出向量，，；
（2）说出向量的大小和方向.
尝试解答
通性通法
画向量的方法及注意事项
（1）方法：①确定向量的起点；②根据运动方向确定向量的方向，并根据向量的大小确定向量的终点；
（2）注意事项：用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确定起点、长度和终点，三者缺一不可.
【跟踪训练】
飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地什么方向上？C地距A地多远？
题型三 相等向量与共线（平行）向量
【例3】 O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：
（1）分别找出与，相等的向量；
（2）找出与共线的向量；
（3）找出与模相等的向量；
（4）向量与是否相等？
尝试解答
通性通法
判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关.对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可.
【跟踪训练】
（多选）如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是（ ）
A.与 B.与
C.与 D.与
题型四 向量的夹角
【例4】 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，分别求出与，与，与的夹角.
尝试解答
通性通法
在求两个向量的夹角时，一定要明确夹角的定义，只有当表示两个向量的有向线段的起点重合时，所形成的角才是向量的夹角.当表示两个向量的有向线段的终点重合时，所形成的角也是向量的夹角；当表示两个向量的有向线段的起点与终点重合时，所形成的角是向量的夹角的补角.
【跟踪训练】
如图，是由两个边长为1的正方形拼接而成的长方形，则在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，与向量的夹角为45°的单位向量有 个.
1.下列说法错误的是（ ）
A.若a＝0，则｜a｜＝0
B.零向量是没有方向的
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
2.“｜a｜＝｜b｜”是“a＝b”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.（多选）下列说法中正确的有（ ）
A.单位向量的长度大于零向量的长度
B.零向量与任一单位向量平行
C.向量和向量互为相反向量
D.任意两个向量都有夹角
4.给出下列命题：
①｜｜＝｜｜；
②向量a与向量b的方向相同或相反，则a∥b；
③方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东60°的向量是共线向量.
其中，正确的命题的序号是 .
5.如图所示，已知小正方形的边长为1，则向量的长度是 ，与的夹角为 .
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
【基础知识·重落实】
知识点一
2.大小 方向 3.｜a｜ 0 单位向量
知识点二
1.相等 相同 2.a∥b 0∥a 3.－a 零向量 4.（1）0° 180° （2）0° 180° （3）90° a⊥b 0⊥a
想一想
1.提示：不一定.单位向量指的是长度为1个单位长度的向量，方向不一定相同，故并非所有单位向量都相等.
2.提示：不一定.向量与共线指的是向量与方向相同或相反，但表示向量与的有向线段的端点并非在一条直线上.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）×
2.C 根据圆的性质可知，，是模相等的向量.故选C.
3.120° 90°
【典型例题·精研析】
【例1】 ①③ 解析：①正确，模等于0的向量是零向量；
②错误，由于零向量与任一向量共线，且方向是任意的，因此，当a与b共线且其中有一个为零向量时，它们的方向不一定相同或相反；
③正确，对于一个向量只要不改变其模的大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同.
跟踪训练
ABC 向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；规定零向量与任意向量平行，故B正确；能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.故选A、B、C.
【例2】 解：（1）所作向量如图所示.
（2）由题意，易知与方向相反，所以与共线.
因为｜｜＝｜｜，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝CD.所以四边形ABCD为平行四边形.
所以｜｜＝｜｜＝200（km），且AD∥BC，所以与同向，即的方向也是北偏西40°，且｜｜＝200（km）.
跟踪训练
解：如图所示，表示飞机从A地按北偏西15°方向飞行到B地的位移，则｜｜＝1 400（km）.表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行到C地的位移，则｜｜＝1 400（km）.
所以表示飞机从A地到C地的位移.
在△ABC中，AB＝BC＝1 400（km），且∠ABC＝75°－15°＝60°，故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1 400（km）.所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A地1 400 km.
【例3】 解：（1）＝，＝.
（2）与共线的向量有：，，.
（3）与模相等的向量有：，，，，，，.
（4）向量与不相等，因为它们的方向不相同.
跟踪训练
AD 因为＝，所以四边形ABCD是平行四边形，所以＝，＝，＝－，≠.故选A、D.
【例4】 解：由题意知△OAB，△OBC，△OCD，△OED，△OEF，△OFA均为等边三角形.
∴与的夹角是∠DOB＝120°，
与的夹角是∠DOE＝60°，
与的夹角等于与的夹角，设夹角为θ，
∴与的夹角θ＝60°.
跟踪训练
7 解析：与向量有相同起点且夹角为45°的单位向量有，，与向量共线且同向的单位向量有，，，与向量共线且同向的单位向量有，，这几个向量与的夹角也为45°.所以与向量的夹角为45°的单位向量有7个.
随堂检测
1.B 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的.
2.B 当｜a｜＝｜b｜时，因向量a，b的方向不一定相同，则a与b不一定相等，当a＝b时，必有｜a｜＝｜b｜，所以“｜a｜＝｜b｜”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B.
3.ABC 单位向量的长度为1，零向量的长度为0，A正确；零向量与任一向量平行，B正确；因为向量和向量是方向相反，模相等的两个向量，C正确；定义两个非零向量存在夹角，而零向量与任何向量不存在夹角，D不正确.
4.①②③ 解析：由①知与互为相反向量，它们的模一定相等，①正确.对于②，由共线向量的定义可知②正确.对于③，表述的两向量为方向相反的向量，两向量一定共线，③正确.
5.2 90° 解析：｜｜＝＝2，｜｜＝＝，｜｜＝5，则BA2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°，即与的夹角为90°.
5 / 5(共61张PPT)
1.1 位移、速度、力与向量的概念
1.2 向量的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.通过对力、速度、位移等物理量的分析，了解
平面向量的实际背景 数学抽象
2.理解平面向量的几何表示和基本要素 直观想象
3.了解平面向量共线和向量相等的含义及向量的
夹角 数学抽象、逻辑
推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们在物理学中已经知道，力是矢量（既有大小，又有方向），
如图，放在水平桌面上的物体A.
【问题】 （1）物体A受到哪些力的作用？
（2）物体A受到的力应怎样表示？
知识点一 向量的概念与表示
1. 向量的背景——位移、速度、力
在物理学中，我们学习过“位移”“速度”和“力”等物理量.
位移、速度和力这些物理量都是既有大小又有方向的量，它们和长
度、面积、质量等只有大小的量不同.
2. 向量的概念及表示方法
向
量 既有大小又有方向的量统称为向量；
那些只有大小没有方向的量称为数量（如年龄、长度、质量、
面积、体积等）
有
向 线
段
向
量
的 表
示 几何表示 字母表示
向量可以用有向线段表示，其中
有向线段的长度表示向量的
，箭头所指的方向表示向量
的
大
小
方向
3. 向量的相关概念
向量的模 向量a的大小，记作 ，又称作向量的模
零向量 长度为0的向量称为零向量，记作 或
单位向量 模等于1个单位长度的向量称为
｜a｜
0
单位向量
提醒 有向线段和向量的区别与联系
向量 有向线段
区别 ①向量有大小和方向两个要
素；②向量是可以自由平移
的 ①有向线段有起点、方向、长
度三个要素；②有向线段是固
定的线段
联系 有向线段是向量的几何表示，一条有向线段对应着一个向
量，但一个向量对应着无数多条有向线段 知识点二 向量的基本关系
1. 相等向量
相等向量是指它们的长度 且方向 .向量a与b相
等，记作a＝b.
2. 共线（平行）向量
若两个非零向量a，b的方向相同或相反，则称这两个向量为共线
向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作 .
规定：零向量与任一向量共线，即对任意的向量a，都有 .
相等
相同
a∥b
0∥a
3. 相反向量
若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量.相反
向量是共线向量.a的相反向量记作 .零向量的相反向量仍
是 .
－a
零向量
4. 向量的夹角
（1）定义：已知两个非零向量a和b，在平面内选一点O，作
＝a， ＝b，则θ＝∠AOB （ ≤θ≤ ）
称为向量a与b的夹角；
（2）性质：当θ＝ 时，a与b同向；当θ＝
时，a与b反向；
0°
180°
0°
180°
（3）向量垂直：如果a与b的夹角是 ，我们说a与b垂
直，记作 .
规定：零向量与任一向量垂直，即对于任意的向量a，都
有 .
90°
a⊥b
0⊥a
【想一想】
1. 所有的单位向量都相等吗？
提示：不一定.单位向量指的是长度为1个单位长度的向量，方向不
一定相同，故并非所有单位向量都相等.
2. 若向量 与 共线，则A，B，C，D四点一定共线吗？
提示：不一定.向量 与 共线指的是向量 与 方向相同或
相反，但表示向量 与 的有向线段的端点并非在一条直线上.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）向量同数量一样可以比较大小. （ × ）
（2）两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行.
（ × ）
（3）向量就是有向线段. （ × ）
×
×
×
2. 设O为△ABC外接圆的圆心，则 ， ， 是（ ）
A. 相等向量 B. 平行向量
C. 模相等的向量 D. 起点相同的向量
解析： 根据圆的性质可知 ， ， 是模相等的向量.
故选C.
3. 在等边三角形ABC中， 与 的夹角是 ，点E为BC中
点，则 与 的夹角为 .
120°
90°
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 向量的有关概念
【例1】 给出以下说法：
①若｜a｜＝0，则a为零向量；②若a与b共线，则a与b的方向相同
或相反；③起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.
其中正确说法的序号是 .
解析：①正确，模等于0的向量是零向量；
①③
②错误，由于零向量与任一向量共线，且方向是任意的，因此，当a
与b共线且其中有一个为零向量时，它们的方向不一定相同或相反；
③正确，对于一个向量只要不改变其模的大小和方向，是可以任意移
动的，因此相等向量可以起点不同.
通性通法
1. 判断一个量是否为向量的两个关键条件
（1）有大小；
（2）有方向.两个条件缺一不可.
2. 理解零向量和单位向量应注意的问题
（1）零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
（2）单位向量不一定相等，易忽略向量的方向.
【跟踪训练】
（多选）下列说法正确的是（ ）
B. 零向量与任意非零向量平行
C. 长度相等方向相反的向量共线
D. 方向相反的向量可能相等
解析： 向量 与向量 的方向相反，长度相等，故A正确；
规定零向量与任意向量平行，故B正确；能平移到同一条直线的向量
是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正
确；长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量
不可能相等，故D不正确.故选A、B、C.
题型二 向量的表示及应用
【例2】 一辆汽车从点A出发向正西方向行驶了100 km到达点B，然
后又改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达点C，最后又改变方
向，向正东行驶了100 km到达点D.
（1）作出向量 ， ， ；
解：所作向量如图所示.
（2）说出向量 的大小和方向.
解：由题意，易知 与 方向相反，所以 与 共线.
因为｜ ｜＝｜ ｜，所以在四边形ABCD中，AB∥CD，
且AB＝CD. 所以四边形ABCD为平行四边形.
所以｜ ｜＝｜ ｜＝200（km），且AD∥BC，所以
与 同向，即 的方向也是北偏西40°，且｜ ｜＝200
（km）.
通性通法
画向量的方法及注意事项
（1）方法：①确定向量的起点；②根据运动方向确定向量的方向，
并根据向量的大小确定向量的终点；
（2）注意事项：用有向线段来表示向量是向量的几何表示，必须确
定起点、长度和终点，三者缺一不可.
【跟踪训练】
飞机从A地按北偏西15°的方向飞行1 400 km到达B地，再从B地按
南偏东75°的方向飞行1 400 km到达C地，那么C地在A地什么方向
上？C地距A地多远？
解：如图所示， 表示飞机从A地按北偏西15°方
向飞行到B地的位移，则｜ ｜＝1 400
（km）. 表示飞机从B地按南偏东75°方向飞行
到C地的位移，则｜ ｜＝1 400（km）.
所以 表示飞机从A地到C地的位移.
在△ABC中，AB＝BC＝1 400（km），且∠ABC＝75°－15°＝60°，故△ABC为等边三角形，所以∠BAC＝60°，AC＝1 400（km）.
所以C地在A地北偏东60°－15°＝45°方向上，距离A地1 400 km.
题型三 相等向量与共线（平行）向量
【例3】 O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都
是正方形，在如图所示的向量中：
（1）分别找出与 ， 相等的向量；
解： ＝ ， ＝ .
（2）找出与 共线的向量；
解：与 共线的向量有： ， ， .
（3）找出与 模相等的向量；
解：与 模相等的向量有： ， ， ， ， ， ， .
（4）向量 与 是否相等？
解：向量 与 不相等，因为它们的方向不相同.
通性通法
判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度
相等，与起点和终点的位置无关.对于共线向量，则只要判断它们是
否同向或反向即可.
【跟踪训练】
（多选）如图，在四边形ABCD中，若 ＝ ，则图中相等的向
量是（ ）
解析： 因为 ＝ ，所以四边形ABCD是平行四边形，所以 ＝ ， ＝ ， ＝－ ， ≠ .故选A、D.
题型四 向量的夹角
【例4】 如图，O是正六边形ABCDEF的中心，分别求出 与
， 与 ， 与 的夹角.
解：由题意知△OAB，△OBC，△OCD，△OED，△OEF，△OFA
均为等边三角形.
∴ 与 的夹角是∠DOB＝120°，
与 的夹角是∠DOE＝60°， 与 的夹角等于 与 的
夹角，设夹角为θ，
∴ 与 的夹角θ＝60°.
通性通法
在求两个向量的夹角时，一定要明确夹角的定义，只有当表示两
个向量的有向线段的起点重合时，所形成的角才是向量的夹角.当表
示两个向量的有向线段的终点重合时，所形成的角也是向量的夹角；
当表示两个向量的有向线段的起点与终点重合时，所形成的角是向量
的夹角的补角.
【跟踪训练】
如图，是由两个边长为1的正方形拼接而成的长方形，则在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，与向量 的夹角为45°的单位向量有 个.
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解析：与向量 有相同起点且夹角为45°的单位向量有 ， ，
与向量 共线且同向的单位向量有 ， ， ，与向量 共线
且同向的单位向量有 ， ，这几个向量与 的夹角也为45°.所
以与向量 的夹角为45°的单位向量有7个.
1. 下列说法错误的是（ ）
A. 若a＝0，则｜a｜＝0
B. 零向量是没有方向的
C. 零向量与任一向量平行
D. 零向量的方向是任意的
解析： 零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平
行，所以B是错误的.
2. “｜a｜＝｜b｜”是“a＝b”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 当｜a｜＝｜b｜时，因向量a，b的方向不一定相同，
则a与b不一定相等，当a＝b时，必有｜a｜＝｜b｜，所以“｜
a｜＝｜b｜”是“a＝b”的必要不充分条件.故选B.
3. （多选）下列说法中正确的有（ ）
A. 单位向量的长度大于零向量的长度
B. 零向量与任一单位向量平行
D. 任意两个向量都有夹角
解析： 单位向量的长度为1，零向量的长度为0，A正确；零向量与任一向量平行，B正确；因为向量 和向量 是方向相反，模相等的两个向量，C正确；定义两个非零向量存在夹角，而零向量与任何向量不存在夹角，D不正确.
4. 给出下列命题：①｜ ｜＝｜ ｜；②向量a与向量b的方向相
同或相反，则a∥b；③方向为南偏西60°的向量与方向为北偏东
60°的向量是共线向量.其中，正确的命题的序号是 .
解析：由①知 与 互为相反向量，它们的模一定相等，①正
确.对于②，由共线向量的定义可知②正确.对于③，表述的两向量
为方向相反的向量，两向量一定共线，③正确.
①②③
5. 如图所示，已知小正方形的边长为1，则向量 的长度
是 ， 与 的夹角为 .
解析：｜ ｜＝ ＝2 ，｜ ｜＝ ＝ ，｜
｜＝5，则BA2＋BC2＝AC2，所以∠ABC＝90°，即 与
的夹角为90°.
2
90°
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路
程.其中是向量的有（ ）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
解析： ②③④⑤是向量.
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2. 在锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是（ ）
解析： 由两向量夹角的定义知， 与 的夹角的大小是
180°－∠B，为钝角， 与 的夹角是∠A，为锐角， 与
的夹角与∠C的大小相等，为锐角， 与 的夹角的大小是
180°－∠C，为钝角.故选B.
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3. “向量 ， 共线”是“直线AB∥CD”的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 向量 ， 共线 直线AB，CD平行或重合；直线
AB∥CD 向量 ， 共线.因此“向量 ， 共线”是“直
线AB∥CD”的必要不充分条件.
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4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 任意单位向量的模都相等
C. 若向量a∥b，b∥c，则a∥c
D. 单位向量与任意向量平行
解析： 根据单位向量的定义可知任意单位向量的模都相等，故
A正确； 与 互为相反向量，故B错误；若b＝0时，a与c不
一定共线，故C错误；零向量与任意向量平行而不是单位向量，D
错误；故选A.
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5. （多选）已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向
量}，C＝{与a长度相等、方向相反的向量}，其中a为非零向量，
则下列命题中正确的是（ ）
A. C A B. A∩B＝{a}
C. C B D. A∩B {a}
解析： 因为A∩B＝{a，－a}，所以A、C、D正确.
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6. （多选）如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是
（ ）
解析： 与 显然方向不相同，故不是相等向量，故A错
误；｜ ｜与｜ ｜表示等腰梯形两腰的长度，所以｜ ｜
＝｜ ｜，故B正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大
小，故C错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以
∥ ，故D正确.故选B、D.
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7. 将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当 与 是平行向
量，且｜ ｜＝2｜ ｜＝2时，｜ ｜＝ .
解析：当 与 同向时，｜ ｜＝｜ ｜＋｜ ｜＝3；当
与 反向时，｜ ｜＝｜ ｜－｜ ｜＝1.
3或1
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8. 已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则 的值
为 1 .
解析：因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交
点，所以D为PA的中点，所以 的值为1.
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9. 如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，在
这6个向量中：
（1）有两个向量的模相等，这两个向量是 ，它们的
模都等于 ；
解析：模相等的两个向量是 ， ，｜ ｜＝｜ ｜＝ ＝ .
，
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（2）存在着共线向量，这些共线的向量是 ，它们的
模的和等于 .
解析：共线的向量是 ， ，且｜ ｜＋｜ ｜＝2 ＋3 ＝5 .
，
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10. 如图，等边△ABC中，点D，E，F分别是边AB，BC，AC的中
点，指出如下各组向量的夹角：
（1） 与 ；
解： 与 的夹角是∠EDA＝120°.
（2） 与 ；
解：因为 ＝ ，所以 与 的夹
角等于 与 的夹角，即∠FDA＝60°.
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（3） 与 .
解：如图，延长FD至B'，使DB'＝FD，则 '＝ ，则 与 的夹角等于 与 '的夹角，即∠FDB'＝180°.
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11. 下列说法中正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③
相等向量一定是平行向量；④若向量a与b不共线，则a与b都是
非零向量.
A. 1 B. 2
解析：对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确.
C. 3 D. 4
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12. （多选）如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱
形，HE与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是（ ）
解析：∵三个四边形都是菱形，∴｜ ｜＝｜ ｜，AB∥CD∥FH，故 与 共线.又三点D，C，E共线，∴ 与 共线，故A、B、D都正确.故选A、B、D.
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13. 在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一
点，且∠OCB＝30°，｜ ｜＝2，则｜ ｜＝ 1 .
解析：连接AC（图略），由｜ ｜＝｜ ｜，得∠ABC＝
∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，则｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×2
＝1.
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14. 一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶了2千米才到达B地.
（1）在如图所示的坐标系中画出 ， ， ， ；
解：向量 ， ， ， 如图所示.
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（2）求B地相对于A地的位置向量.
解：由题意知 ＝ ，
∴AD BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴ ＝ ，
∴B地相对于A地的位置向量为“北偏东
60°，6千米”.
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15. 已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则｜ ｜
＝ .
解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，
则AO＝ AB＝1.在Rt△ABO中，易得｜ ｜＝ ，∴｜ ｜
＝2｜ ｜＝2 .
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16. 如图所示，平行四边形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交
点，设点集S＝{A，B，C，D，O}，向量集合T＝{ ｜
M，N∈S，且M，N不重合}，试求集合T中元素的个数.
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解：由题可知，集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的有向
线段，共有20个，即 ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， .由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ .又集合元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个.
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谢 谢 观 看！
