2.1 向量的加法
1.点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则＋＋＝（ ）
A. B.
C. D.0
2.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示（ ）
A.向东北方向航行2 km
B.向北偏东30°方向航行2 km
C.向北偏东60°方向航行2 km
D.向东北方向航行（1＋）km
3.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则｜＋＋｜＝（ ）
A.1 B.2
C. D.
4.若在△ABC中，AB＝AC＝1，｜＋｜＝，则△ABC的形状是（ ）
A.正三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
5.（多选）已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中点，则下列等式中正确的是（ ）
A.＋＝
B.＋＋＝0
C.＋＝
D.＋＝
6.（多选）已知a∥b，｜a｜＝2｜b｜＝8，则｜a＋b｜的值可能为（ ）
A.4 B.8
C.10 D.12
7.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则＋＋＝ .
8.如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，则：
（1）＋＝ ；
（2）＋＝ .
9.已知｜｜＝3，｜｜＝3，∠AOB＝90°，则｜＋｜＝ .
10.如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
11.（多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
A.＋＝
B.＋＋＝
C.＋＋＝
D.＋＋＝0
12.若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝ .
13.一条河两岸平行，河的宽度为240 m，一个人从岸边游向对岸，已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟12 m，水流速度大小为每分钟12 m.
（1）当此人垂直游向河对岸时，他实际前进速度的大小为每分钟 m；
（2）当此人游泳距离最短时，他游到河对岸需要 分钟.
14.在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且｜｜＝｜｜＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求｜＋｜与｜＋｜的值.
15.P为四边形ABCD所在平面上一点，＋＋＋＝＋，则P为（ ）
A.四边形ABCD对角线的交点
B.AC的中点
C.BD的中点
D.CD边上一点
16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点.求证：＋＋＝0.
2.1 向量的加法
1.A ＋＋＝，故选A.
2.B 如图，易知tan α＝，所以α＝30°.
故a＋b的方向是北偏东30°.｜a＋b｜＝＝2（km）.故选B.
3.B ∵＝，∴＋＋＝＋＋＝，∵AB＝1，∴｜＋＋｜＝｜｜＝2.
4.D 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝1，｜＋｜＝，∴AD＝，∴∠ABD为直角，则该四边形为正方形.∴∠BAC＝90°.
5.ABC 对于A选项，＋＝，正确；对于B选项，＋＋＝＋＝0，正确；对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知＋＝＝，正确；对于D选项，＋＝≠，所以D错误.故选A、B、C.
6.AD 由a∥b可知，a，b共线，｜a｜＝2｜b｜＝8可得，｜a｜＝8，｜b｜＝4，当a，b方向相同，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜＝12，当a，b方向相反，｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜＝4.故选A、D.
7. 解析：＋＋＝＋＋＝.
8.（1） （2） 解析：（1）由题图可知，四边形OABC为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.
（2）由题图可知，＝＝＝，∴＋＝＋＝.
9.3 解析：以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由∠AOB＝90°，｜｜＝｜｜＝3，所以该四边形为正方形，则｜＋｜＝＝3.
10.证明：因为＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋.因为与大小相等，方向相反，
所以＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
11.ACD 由向量加法的平行四边形法则，得＋＝，故A正确；＋＋＝＋＝＋＝≠，故B错误；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝0，故D正确.选A、C、D.
12.120° 解析：因为＋＝，则四边形APBC是平行四边形.又P为△ABC的外心，所以｜｜＝｜｜＝｜｜.因此∠ACB＝120°.
13.（1）24 （2）20 解析：（1）由题意作图如图①所示，由图可知，他实际前进速度的大小为每分钟＝24（m）.
（2）由题意作图如图②所示，此时实际前进速度的大小为每分钟＝12（m），
故他游到河对岸需要＝20（分钟）.
14.解：∵＋＝＋＝0，
∴＝，＝，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又｜｜＝｜｜＝1，
∴四边形ABCD为菱形.
又cos∠DAB＝，0°＜∠DAB＜180°，
∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，
∴｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜＝2｜｜＝，
｜＋｜＝｜｜＝｜｜＝1.
15.B 因为＝＋，＝＋，＋＋＋＝＋，所以＋＝＋，所以＋＝0.所以P为线段AC的中点.故选B.
16.证明：由题意知，＝＋，＝＋，＝＋.
∵D，E，F分别为△ABC三边BC，AC，AB的中点，由平面几何知识可知，＝，＝，
∴＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝（＋＋＋）＋（＋）＝（＋＋＋＋）＋0＝＋＋＝＋＋＝0.
3 / 3§2 从位移的合成到向量的加减法
2.1 向量的加法
新课程标准解读 核心素养
1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法法则，并理解几何意义 数学抽象
2.掌握平面向量加法的运算律，会进行向量的加法运算 数学运算
如图所示，李敏同学上午从家（点A）到达了公园（点B），下午从公园（点B）到达了舅舅家（点C）.
【问题】 （1）分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以及这一天的位移；
（2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？
知识点 向量的加法
1.向量加法的定义及运算法则
定义 求 的运算，称为向量的加法
运算 法则 三角形法则 前提 已知非零向量a，b
作法 作有向线段＝a，以有向线段的 为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段
结论 向量叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝
图形
续表
运算 法则 平行四边形法则 前提 已知不共线的两个向量a，b
作法 在平面内任取一点A，作有向线段＝a，＝b，以有向线段和为 作 ABCD，则有向线段表示的向量即为向量a与b的和
结论 对角线 就是向量a与b的和
图形
2.向量加法的运算律
运 算 律 交换律 a＋b＝
结合律 （a＋b）＋c＝
提醒 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与实质：①区别，（ⅰ）三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；（ⅱ）三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和；②实质，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，当两个向量不共线时，两种加法法则在本质上是一致的.
【想一想】
借助向量加法的三角形法则，对任意不共线的两个向量a，b，｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜，｜a｜－｜b｜之间有怎样的大小关系？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两向量的和可能是一个数量.（ ）
（2）＋＝.（ ）
（3）矩形ABCD中，＋＝.（ ）
2.在△ABC中，＋＝（ ）
A. B.
C. D.
3.正方形ABCD中，｜｜＝1，则｜＋｜＝ .
题型一 求作向量的和
【例1】 （1）如图①所示，求作向量a＋b；
（2）如图②所示，求作向量a＋b＋c.
尝试解答
通性通法
求作向量和的方法
（1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将其中一向量的起点平移至该点，之后再将其他向量平移并首尾相接，从一个向量的始点到另外一个向量的终点的向量就是这两个向量的和；
（2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.
【跟踪训练】
如图，已知正方形ABCD，＝a，＝b，＝c，试作向量a＋b＋c.
题型二 向量加法的运算律
【例2】 （1）化简：①＋；②＋＋；③＋＋＋＋.
（2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：①＋＋；②＋＋＋.
尝试解答
通性通法
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现合理利用向量加法法则运算的目的；实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行；
（2）应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
【跟踪训练】
1.已知正六边形ABCDEF，则＋＋＝（ ）
A. B.
C. D.0
2.（多选）设a＝（＋）＋（＋），b是一个非零向量，则下列结论正确的有（ ）
A.a∥b B.a＋b＝a
C.a＋b＝b D.｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜
题型三 向量加法的实际应用
【例3】 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他条件不变，求船实际行进的方向的正切值（相当于与河岸的夹角）.
2.（变设问）若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多少km？
通性通法
应用向量加法的关键及技巧
（1）三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出两个向量的和；
（2）应用技巧：准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解.
【跟踪训练】
如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力为F1，｜F1｜＝24 N，绳BO与墙壁垂直，所受拉力为F2，｜F2｜＝12 N，则F1与F2的合力大小为 ，方向为 .
1.化简＋＋＝（ ）
A. B.
C.0 D.
2.已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A.＋＝
B.＋＝
C.＋＝
D.＋＝
3.在矩形ABCD中，｜｜＝4，｜｜＝2，则向量＋的长度为（ ）
A.2 B.4
C.12 D.6
4.（多选）对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是（ ）
A.＋＋
B.＋＋
C.＋＋
D.＋＋
5.某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此人位移的方向是 .
2.1 向量的加法
【基础知识·重落实】
知识点
1.两个向量和 终点 邻边
2.b＋a a＋（b＋c）
想一想
提示：由向量加法的三角形法则及三角形的性质可知，｜a｜－｜b｜＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.A 在△ABC中，由向量的加法运算可得，＋＝.故选A.
3. 解析：因为在正方形ABCD中，所以△ABD为等腰直角三角形，所以｜＋｜＝｜｜＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图③所示.
（2）法一（三角形法则） 如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求.
法二（平行四边形法则） 如图⑤所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求.
跟踪训练
解：由已知得a＋b＝＋＝，
又＝c，如图，延长AC至点E，使｜｜＝｜｜，
则a＋b＋c＝，即为所求向量.
【例2】 解：（1）①＋＝＋＝；
②＋＋＝＋＋＝0；
③＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝0.
（2）①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
跟踪训练
1.C 因为ABCDEF为正六边形，所以＝，所以＋＋＝＋＋＝.故选C.
2.AC 由题意，向量a＝（＋）＋（＋）＝＋＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由｜a＋b｜＝｜b｜，｜a｜＋｜b｜＝｜b｜，所以｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，所以D不正确.故选A、C.
【例3】 解：作出图形，如图.船速v船与岸成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，｜｜＝｜｜＝｜v水｜＝10 m/min，｜｜＝｜v船｜＝20 m/min，
∴cos α＝＝＝，∴α＝60°.
故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向.
母题探究
1.解：如图所示，｜｜＝｜｜＝｜v船｜＝20 m/min，｜｜＝｜v水｜＝10 m/min，
则tan∠BAC＝＝2，即为所求.
2.解：由题意可知｜｜＝｜｜＝×20＝10（m/min）＝（km/h），
则经过3小时，该船的实际航程是3×＝（km）.
跟踪训练
12 N 竖直向上 解析：如图，以OA，OB为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝＋＝.∵∠OAC＝60°，｜｜＝24，｜｜＝｜｜＝12，∴∠ACO＝90°，∴｜｜＝12，∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上.
随堂检测
1.D ＋＋＝＋＝.
2.C 由加法的平行四边形法则可知＋＝，即（－）＋＝，所以＋＝.
3.A 因为在矩形ABCD中＋＝，又｜｜＝＝2，所以向量＋的长度为2.
4.ABD 在A中，＋＋＝＋＝；在B中，＋＋＝＋＝；在C中，＋＋＝＋＝；在D中，＋＋＝＋＝＋＝.
5.南偏东30° 解析：如图所示，此人从点A出发，经点B，到达点C，则tan∠BAC＝＝＝，∵∠BAC是三角形的内角，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°.
4 / 4(共57张PPT)
2.1 向量的加法
新课程标准解读 核心素养
1.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加法
法则，并理解几何意义 数学抽象
2.掌握平面向量加法的运算律，会进行向量的加法运算 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图所示，李敏同学上午从家（点A）到达了公园（点B），下午从公园（点B）到达了舅舅家（点C）.
【问题】 （1）分别用向量表示出李敏上午的位移、下午的位移以
及这一天的位移；
（2）这一天的位移与上、下午的位移有什么关系？
知识点 向量的加法
1. 向量加法的定义及运算法则
定
义 求 的运算，称为向量的加法
两个向量和
运
算 法
则 三
角
形
法
则 前提 已知非零向量a，b
作法
结论
图形
终点
运
算 法
则 平行
四边
形法
则 前提 已知不共线的两个向量a，b
作
法
结论 对角线 就是向量a与b的和
图形
邻边
2. 向量加法的运算律
运
算
律 交换律 a＋b＝
结合律 （a＋b）＋c＝
b＋a
a＋（b＋c）
提醒 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与实质：①区
别，（ⅰ）三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的
是“共起点”；（ⅱ）三角形法则适用于所有的两个非零向量求和，
而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和；②实质，三角形
法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半，当两个向量不共
线时，两种加法法则在本质上是一致的.
【想一想】
借助向量加法的三角形法则，对任意不共线的两个向量a，b，｜a
＋b｜与｜a｜＋｜b｜，｜a｜－｜b｜之间有怎样的大小关系？
提示：由向量加法的三角形法则及三角形的性质可知，｜a｜－｜
b｜＜｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两向量的和可能是一个数量. （ × ）
（2） ＋ ＝ . （ √ ）
（3）矩形ABCD中， ＋ ＝ . （ √ ）
×
√
√
2. 在△ABC中， ＋ ＝（ ）
解析： 在△ABC中，由向量的加法运算可得， ＋ ＝ .
故选A.
3. 正方形ABCD中，｜ ｜＝1，则｜ ＋ ｜＝ .
解析：因为在正方形ABCD中，
所以△ABD为等腰直角三角形，
所以｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求作向量的和
【例1】 （1）如图①所示，求作向量a＋b；
解：首先作向量 ＝a，然后作向量
＝b，则向量 ＝a＋b.如图③所示.
（2）如图②所示，求作向量a＋b＋c.
解：法一（三角形法则） 如图④所示，首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a，再
作向量 ＝b，则得向量 ＝a＋b，然后作向量 ＝c，则向量 ＝（a＋b）＋c＝a＋b＋c即为所求.
法二（平行四边形法则） 如图⑤所示，首先在平面内任取一点O，作向量 ＝a， ＝b， ＝c，以OA，OB为邻边作 OADB，连接OD，则 ＝ ＋ ＝a＋b.再以OD，OC为邻边作 ODEC，连接OE，则 ＝ ＋ ＝a＋b＋c即为所求.
通性通法
求作向量和的方法
（1）利用三角形法则：在平面内任取一点，以该点为始点，将其中
一向量的起点平移至该点，之后再将其他向量平移并首尾相
接，从一个向量的始点到另外一个向量的终点的向量就是这两
个向量的和；
（2）利用平行四边形法则：在平面内任取一点，从此点出发分别作
两个向量等于已知向量，以这两个向量所在线段为邻边作平行
四边形，以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个
向量的和.
【跟踪训练】
如图，已知正方形ABCD， ＝a， ＝b， ＝c，试作向量a＋b＋c.
解：由已知得a＋b＝ ＋ ＝ ，
又 ＝c，如图，延长AC至点E，使｜ ｜
＝｜ ｜，
则a＋b＋c＝ ， 即为所求向量.
题型二 向量加法的运算律
【例2】 （1）化简：
① ＋ ；
② ＋ ＋ ；
③ ＋ ＋ ＋ ＋ .
解：① ＋ ＝ ＋ ＝ ；
② ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0；
③ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝0.
（2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，
DA的中点，化简下列各式：
① ＋ ＋ ；
② ＋ ＋ ＋ .
解：① ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；
② ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0.
通性通法
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现
合理利用向量加法法则运算的目的.
实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的
加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行；
（2）应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量
“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序.
【跟踪训练】
1. 已知正六边形ABCDEF，则 ＋ ＋ ＝（ ）
D. 0
解析： 因为ABCDEF为正六边形，所以 ＝ ，所以 ＋
＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .故选C.
2. （多选）设a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ），b是一个非零向
量，则下列结论正确的有（ ）
A. a∥b B. a＋b＝a
C. a＋b＝b D. ｜a＋b｜＜｜a｜＋｜b｜
解析： 由题意，向量a＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＝
＋ ＝0，且b是一个非零向量，所以a∥b成立，所以A正确；
由a＋b＝b，所以B不正确，C正确；由｜a＋b｜＝｜b｜，｜
a｜＋｜b｜＝｜b｜，所以｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，所以D不
正确.故选A、C.
题型三 向量加法的实际应用
【例1】 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如
果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
解：作出图形，如图.船速v船与岸成α角，由图可知v水＋v船＝v实际，结合已知条件，四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v水｜＝10 m/min，｜ ｜＝｜v船｜＝20 m/min，
∴ cos α＝ ＝ ＝ ，∴α＝60°.
故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向.
【母题探究】
1. （变条件）本例中条件变为“船沿垂直于水流的方向航行”，其他
条件不变，求船实际行进的方向的正切值（相当于与河岸的夹
角）.
解：如图所示，｜ ｜＝｜ ｜＝｜v船｜＝20
m/min，｜ ｜＝｜v水｜＝10 m/min，
则tan∠BAC＝ ＝2，即为所求.
2. （变设问）若本例条件不变，求经过3小时，该船的实际航程是多
少km？
解：由题意可知｜ ｜＝ ｜ ｜＝ ×20＝10 （m/min）
＝ （km/h），则经过3小时，该船的实际航程是3× ＝
（km）.
通性通法
应用向量加法的关键及技巧
（1）三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是
熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四
边形法则作出两个向量的和；
（2）应用技巧：准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向
量；将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的
几何意义进行求解.
【跟踪训练】
12 N
竖直向上
解析：如图，以OA，OB为邻边作平行四边形BOAC，则F1＋F2＝
＋ ＝ .
∵∠OAC＝60°，｜ ｜＝24，｜ ｜＝｜ ｜＝12，
∴∠ACO＝90°，∴｜ ｜＝12 ，
∴F1与F2的合力大小为12 N，方向为竖直向上.
1. 化简 ＋ ＋ ＝（ ）
C. 0
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ .
2. 已知四边形ABCD是菱形，则下列等式中成立的是（ ）
解析： 由加法的平行四边形法则可知 ＋ ＝ ，即（－
）＋ ＝ ，所以 ＋ ＝ .
3. 在矩形ABCD中，｜ ｜＝4，｜ ｜＝2，则向量 ＋ 的
长度为（ ）
C. 12 D. 6
解析： 因为在矩形ABCD中 ＋ ＝ ，又｜ ｜＝
＝2 ，所以向量 ＋ 的长度为2 .
4. （多选）对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为 的是
（ ）
解析： 在A中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在B中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在C中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ；在D中， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .
5. 某人向正东方向行进100 m后，再向正南方向行进100 m，则此
人位移的方向是 .
解析：如图所示，此人从点A出发，经点B，到达
点C，则
tan∠BAC＝ ＝ ＝ ，
∵∠BAC是三角形的内角，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是南偏东30°.
南偏东30°
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则 ＋ ＋
＝（ ）
D. 0
解析： ＋ ＋ ＝ ，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行
km”，则向量a＋b表示（ ）
A. 向东北方向航行2 km
B. 向北偏东30°方向航行2 km
C. 向北偏东60°方向航行2 km
解析：如图，易知tan α＝ ，所以α＝30°.
故a＋b的方向是北偏东30°.｜a＋b｜＝
＝2（km）.故选B.
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3. 如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则｜ ＋ ＋
｜＝（ ）
A. 1 B. 2
解析： ∵ ＝ ，∴ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝
，∵AB＝1，∴｜ ＋ ＋ ｜＝｜ ｜＝2.
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4. 若在△ABC中，AB＝AC＝1，｜ ＋ ｜＝ ，则△ABC的形
状是（ ）
A. 正三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
解析： 以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，∵AB＝AC＝
1，｜ ＋ ｜＝ ，∴AD＝ ，∴∠ABD为直角，则该四
边形为正方形.∴∠BAC＝90°.
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5. （多选）已知点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，AC的中
点，则下列等式中正确的是（ ）
解析： 对于A选项， ＋ ＝ ，正确；对于B选项， ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，正确；对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知 ＋ ＝ ＝ ，正确；对于D选项， ＋ ＝ ≠ ，所以D错误.故选A、B、C.
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6. （多选）已知a∥b，｜a｜＝2｜b｜＝8，则｜a＋b｜的值可能
为（ ）
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
解析： 由a∥b可知，a，b共线，｜a｜＝2｜b｜＝8可得，｜a｜＝8，｜b｜＝4，当a，b方向相同，｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜＝12，当a，b方向相反，｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜＝4.故选A、D.
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7. 如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则 ＋ ＋
＝ .
解析： ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ .
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8. 如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，则：
解析：由题图可知，四边形OABC为平行四边形.由向量加法的平行四边形法则，得 ＋ ＝ .
（1） ＋ ＝ ；
（2） ＋ ＝ .
解析：由题图可知， ＝ ＝ ＝
，∴ ＋ ＝ ＋ ＝ .
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9. 已知｜ ｜＝3，｜ ｜＝3，∠AOB＝90°，则｜ ＋ ｜
＝ .
解析：以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，由∠AOB＝
90°，｜ ｜＝｜ ｜＝3，所以该四边形为正方形，则｜
＋ ｜＝ ＝3 .
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证明：因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝
＋ ＋ ＋ .因为 与 大小相等，方向相反，所以
＋ ＝0，
故 ＋ ＝ ＋ ＋0＝ ＋ .
10. 如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC. 求证：
＋ ＝ ＋ .
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11. （多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（ ）
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解析： 由向量加法的平行四边形法则，得 ＋ ＝ ，故A正确； ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ≠ ，故B错误； ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ，故C正确； ＋ ＋ ＝ ＋ ＝0，故D正确.选A、C、D.
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12. 若P为△ABC的外心，且 ＋ ＝ ，则∠ACB＝ .
解析：因为 ＋ ＝ ，则四边形APBC是平行四边形.又P
为△ABC的外心，所以｜ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜.因此∠ACB
＝120°.
120°
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13. 一条河两岸平行，河的宽度为240 m，一个人从岸边游向对
岸，已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟12 m，水流速度
大小为每分钟12 m.
（1）当此人垂直游向河对岸时，他实际前进速度的大小为每分
钟 m；
解析：由题意作图如图①所示，由图可知，他实际前进速度的大小为每分钟 ＝24（m）.
24
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（2）当此人游泳距离最短时，他游到河对岸需要 分钟.
20
解析：由题意作图如图②所示，此时实际前进速度的
大小为每分钟 ＝12 （m），
故他游到河对岸需要 ＝20（分钟）.
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14. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且｜ ｜＝｜
｜＝1， ＋ ＝ ＋ ＝0， cos ∠DAB＝ .求｜
＋ ｜与｜ ＋ ｜的值.
解：∵ ＋ ＝ ＋ ＝0，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又｜ ｜＝｜ ｜＝1，
∴四边形ABCD为菱形.
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又 cos ∠DAB＝ ，0°＜∠DAB＜180°，
∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形，
∴｜ ＋ ｜＝｜ ＋ ｜＝｜ ｜＝2｜ ｜＝ ，｜
＋ ｜＝｜ ｜＝｜ ｜＝1.
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15. P为四边形ABCD所在平面上一点， ＋ ＋ ＋ ＝ ＋
，则P为（ ）
A. 四边形ABCD对角线的交点
B. AC的中点
C. BD的中点
D. CD边上一点
解析： 因为 ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＋ ＋
＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝ ＋ ，所以 ＋ ＝
0.所以P为线段AC的中点.故选B.
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16. 如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中
点.求证： ＋ ＋ ＝0.
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证明：由题意知， ＝ ＋ ， ＝ ＋ ， ＝ ＋
.
∵D，E，F分别为△ABC三边BC，AC，AB的中点，由平面几
何知识可知， ＝ ， ＝ ，
∴ ＋ ＋ ＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋
）＝（ ＋ ＋ ＋ ）＋（ ＋ ）＝（ ＋
＋ ＋ ＋ ）＋0＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝0.
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