5.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度
1.已知向量a＝（1，－1），b＝（2，x），若a·b＝1，则x＝（ ）
A.－1 B.
C.－ D.1
2.已知向量b与向量a＝（1，－2）的夹角是180°，且｜b｜＝3，则b＝（ ）
A.（－3，6） B.（3，－6）
C.（6，－3） D.（－6，3）
3.若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角为（ ）
A.－ B.
C. D.
4.已知向量a＝（0，－2），b＝（1，），则向量a在向量b上的投影向量的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
5.（多选）已知平面向量a＝（1，2），b＝（－2，1），c＝（2，t），则下列说法正确的是（ ）
A.若（a＋b）∥c，则t＝6
B.若（a＋b）⊥c，则t＝
C.若t＝1，则cos＜a，c＞＝
D.｜a＋c｜＜3
6.（多选）已知向量a＝（1，0），b＝（cos θ，sin θ），θ∈，则｜a＋b｜的值可以是（ ）
A. B.
C.2 D.2
7.已知向量a与b方向相反，a＝（1，－），｜b｜＝2，则｜a－b｜＝ .
8.若向量m＝（0，－2），n＝（，1），写出一个与2m＋n垂直的非零向量： .
9.已知向量a＝（2，1），b＝（1－x，x），c＝（－3x，3x），且a∥b，则b，c夹角的余弦值为 .
10.已知向量a＝（2，k），b＝（1，1），满足b⊥（a－3b）.
（1）求k的值；
（2）求向量a与向量b夹角的余弦值.
11.已知a，b，c均为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则（a－b）·c的取值范围是（ ）
A.[0，1] B.[－1，1]
C.[－，] D.[0，]
12.已知向量a＝（3，1），b＝（1，3），c＝（k，－2），若（a－c）∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是（ ）
A. B.
C.－ D.－
13.设m＝（a，b），n＝（c，d），规定两向量m，n之间的一个运算“ ”为m n＝（ac－bd，ad＋bc），若已知p＝（1，2），p q＝（－4，－3），则q的坐标为 .
14.已知a，b，c是同一平面内的三个向量，a＝（1，2）.
（1）若｜c｜＝2，且c∥a，求c的坐标；
（2）若｜b｜＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
15.已知向量a＝（3，2），b＝，且函数f（x）＝（a＋xb）·（xa－b）的图象是一条直线，则｜b｜＝（ ）
A. B.
C.2 D.2
16.已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，－3），点P的横坐标为14，且＝λ，点Q是边AB上一点，且·＝0.
（1）求实数λ的值与点P的坐标；
（2）求点Q的坐标；
（3）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求·（＋）的取值范围.
5.2 向量数量积的坐标表示
5.3 利用数量积计算长度与角度
1.D 因为a·b＝2－x＝1，所以x＝1.
2.A 由题意，设b＝λa＝（λ，－2λ）（λ＜0），由于｜b｜＝3.∴｜b｜＝＝＝3，∴λ＝－3，即b＝（－3，6）.
3.C 2a＋b＝2（1，2）＋（1，－1）＝（2，4）＋（1，－1）＝（3，3），a－b＝（1，2）－（1，－1）＝（0，3）.设夹角为θ，则cos θ＝＝＝.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.
4.D 向量a在向量b上的投影向量为·＝·＝－b，其坐标为－（1，）＝.故选D.
5.BC a＋b＝（－1，3），若（a＋b）∥c，则－t－6＝0，所以t＝－6，故A错误；若（a＋b）⊥c，则－2＋3t＝0，所以t＝，故B正确；若t＝1，则cos＜a，c＞＝＝＝，故C正确；a＋c＝（3，t＋2），则｜a＋c｜＝≥3，故D错误.故选B、C.
6.ABC a＝（1，0），b＝（cos θ，sin θ），可得a＋b＝（cos θ＋1，sin θ），则｜a＋b｜2＝（cos θ＋1）2＋sin2θ＝2＋2cos θ，因为θ∈，所以0≤cos θ≤1，所以2≤｜a＋b｜2≤4，所以≤｜a＋b｜≤2，则A、B、C符合题意，故选A、B、C.
7.4 解析：∵a＝（1，－），∴｜a｜＝2，又向量a与b方向相反，且｜b｜＝2，∴a＝－b，∴｜a－b｜＝2｜b｜＝4.
8.（，1）（答案不唯一，满足x－3y＝0即可） 解析：因为m＝（0，－2），n＝（，1），所以2m＋n＝2（0，－2）＋（，1）＝（，－3）.设a＝（x，y）（x≠0且y≠0），若a与2m＋n垂直，则a·（2m＋n）＝0，即x－3y＝0，令x＝，则y＝1，所以a＝（，1）.
9.－ 解析：由a∥b，得2·x－（1－x）＝0，解得x＝，则b＝，c＝（－1，1），所以cos＜b，c＞＝＝－.
10.解：（1）a－3b＝（2，k）－（3，3）＝（－1，k－3），∵b⊥（a－3b），
∴b·（a－3b）＝1×（－1）＋1×（k－3）＝0，
∴k＝4.
（2）由（1）得a＝（2，4），b＝（1，1），
∴｜a｜＝＝2，
｜b｜＝＝，
∴cos＜a，b＞＝＝＝.
11.C 由a，b为单位向量和｜a＋b｜＝1的几何意义，可知｜a－b｜＝，设a－b与c的夹角为θ，则（a－b）·c＝｜a－b｜｜c｜·cos θ＝cos θ，∵cos θ∈[－1，1]，∴（a－b）·c的取值范围为[－，].
12.A ∵a＝（3，1），b＝（1，3），c＝（k，－2），∴a－c＝（3－k，3），∵（a－c）∥b，∴3（3－k）＝1×3，解得k＝2，∴a·c＝3×2＋1×（－2）＝4，｜a｜＝，｜c｜＝2，∴cos＜a，c＞＝＝＝.
13.（－2，1） 解析：设q＝（x，y），则p q＝（x－2y，y＋2x）＝（－4，－3），∴
∴∴q＝（－2，1）.
14.解：（1）设向量c＝（x，y），
因为a＝（1，2），｜c｜＝2，c∥a，
所以
解得或
所以c＝（2，4）或c＝（－2，－4）.
（2）因为a＋2b与2a－b垂直，
所以（a＋2b）·（2a－b）＝0，
所以2｜a｜2－a·b＋4a·b－2｜b｜2＝0，
又｜b｜＝，｜a｜＝＝，
所以2×5＋3a·b－2×＝0，得a·b＝－，
所以cos θ＝＝＝－1.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
15.A 由题意，f（x）＝（a＋xb）·（xa－b）＝x｜a｜2－a·b＋x2a·b－x｜b｜2＝a·bx2＋（｜a｜2－｜b｜2）x－a·b，因为函数f（x）的图象是一条直线，所以a·b＝0，即3×（－1）＋2×＝0，解得m＝－2，所以b＝，｜b｜＝ ＝.故选A.
16.解：（1）设P（14，y），则＝（14，y），＝（－8，－3－y），由＝λ，得（14，y）＝λ（－8，－3－y），
解得λ＝－，y＝－7，
∴点P的坐标为（14，－7）.
（2）设Q（a，b），则＝（a，b），
由（1）得＝（12，－16），∵·＝0，
∴12a－16b＝0，即3a－4b＝0. ①
∵点Q在边AB上，∴AQ∥AB，
又＝（4，－12），＝（a－2，b－9），
∴4（b－9）＋12（a－2）＝0，即3a＋b－15＝0. ②
联立①②，解得a＝4，b＝3，∴Q点坐标为（4，3）.
（3）由（2）得＝（4，3），
∵R为线段OQ上的一个动点，∴设＝t＝（4t，3t），且0≤t≤1，
则R（4t，3t），＝（－4t，－3t），＝（2－4t，9－3t），＝（6－4t，－3－3t），
∴＋＝（8－8t，6－6t），
∴·（＋）＝－4t·（8－8t）－3t·（6－6t）＝50t2－50t＝50（t－）2－（0≤t≤1），
当t＝0或1时，上式取得最大值0；
当t＝时，上式取得最小值－.
故·（＋）的取值范围为［－，0］.
2 / 25.2 向量数量积的坐标表示 5.3 利用数量积计算长度与角度
新课程标准解读 核心素养
1.掌握向量数量积的坐标表示 数学运算
2.会利用数量积计算向量的模与夹角 数学运算
通过前面的学习，我们知道，已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），我们可以求出a＋b，a－b以及λa（λ≠0）的坐标.
【问题】 那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？
知识点 平面向量数量积、模、夹角的坐标表示
1.平面向量数量积的坐标表示
已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝ .这就是说，两个向量的数量积等于它们 .
2.平面向量模的坐标表示
（1）设a＝（x，y），则｜a｜2＝ ，或｜a｜＝ ；
（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），那么a＝（x2－x1，y2－y1），｜a｜＝ ，这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式.
3.平面向量垂直的充要条件的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b .
4.平面向量夹角的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝ （｜a｜｜b｜≠0）.
【想一想】
1.向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？
2.已知向量a＝（x，y），你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b x1y2－x2y1＝0.（ ）
（2）若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＞0，则两向量的夹角θ一定是锐角.（ ）
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则｜｜＝.（ ）
（4）两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.（ ）
2.已知＝（2，3），＝（3，t），｜｜＝1，则·＝（ ）
A.－3 B.－2
C.2 D.3
3.已知向量a＝（1，），b＝（，1），则a与b夹角的大小为 .
题型一 平面向量数量积的坐标运算
角度1 数量积的坐标运算
【例1】 已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）.
（1）求a·（a－b）；
尝试解答
（2）求（a＋b）·（2a－b）；
（3）若c＝（2，1），求（a·b）·c，a·（b·c）.
尝试解答
角度2 数量积的坐标运算在几何图形中的应用
【例2】 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝AD＝4，CD＝8.若＝－7，3＝，则·＝（ ）
A.11 B.10
C.－10 D.－11
尝试解答
通性通法
数量积运算的途径及注意点
（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先将向量用基表示，再利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算；
（2）对于以图形为背景的向量数量积运算题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解.
【跟踪训练】
1.a＝（2，1），b＝（2，－1），c＝（0，1），则（a＋b）·c＝ ；a·b＝ .
2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝ .
题型二 与平面向量模有关的问题
【例3】 （2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（ ）
A. B. C. D.1
尝试解答
通性通法
求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a·a，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝.
【跟踪训练】
在 ABCD中，已知＝（－4，2），＝（2，－6），那么｜2＋｜＝（ ）
A.5 B.2
C.2 D.
题型三 向量的夹角与垂直问题
【例4】 已知向量a＝（2，－1），b＝（m，3），若（a＋b）⊥a，则a，b的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
尝试解答
通性通法
解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以及｜a｜｜b｜，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是[0，π]；
（2）由于0≤θ≤π，利用cos θ＝来判断角θ时，要注意cos θ＜0有两种情况，一是θ为钝角，二是θ＝π；cos θ＞0也有两种情况，一是θ为锐角，二是θ＝0.
【跟踪训练】
1.已知向量a＝（3，1），b＝（1，0），c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝ .
2.已知a＝（1，2），b＝（－2，－4），｜c｜＝.
（1）求｜a＋2b｜；
（2）若（a＋b）·c＝，求向量a与c的夹角.
1.已知a＝（3，4），b＝（－2，－1），则（a－b）·（a＋2b）＝（ ）
A.5 B.10 C.15 D.20
2.已知平面向量a＝（3，1），b＝（x，－3），且a⊥b，则x＝（ ）
A.－3 B.－1 C.1 D.－9
3.已知平面向量＝（2，1），＝（－3t，3），若∥，则｜｜＝（ ）
A.2 B.20 C. D.2
4.（多选）已知a＝（3，－1），b＝（1，－2），则下列结论正确的有（ ）
A.a·b＝5
B.a的单位向量是
C.＜a，b＞＝
D.与b垂直的单位向量是
5.设向量a与b的夹角为θ，且a＝（3，3），2b－a＝（－1，1），则cos θ＝ .
5.2 向量数量积的坐标表示
5.3 利用数量积计算长度与角度
【基础知识·重落实】
知识点
1.x1x2＋y1y2 对应坐标的乘积的和
2.（1）x2＋y2
（2）｜｜＝
3.x1x2＋y1y2＝0
4.
想一想
1.提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0
2.提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝±a＝±＝±（，），其中正号、负号分别表示与a同向和反向.易知b＝（－y，x）和a＝（x，y）垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±，其中正、负号表示不同的方向.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.C 因为＝－＝（1，t－3），所以｜｜＝＝1，解得t＝3，所以＝（1，0），所以·＝2×1＋3×0＝2，故选C.
3. 解析：由题意得｜a｜＝＝2，｜b｜＝＝2，a·b＝1×＋×1＝2.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝.∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）a·（a－b）＝a·a－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）×3＋2×2]＝4.
（2）因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），
2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2），所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－5）＋4×2＝－2.
（3）（a·b）·c＝[（－1，2）·（3，2）]·（2，1）＝（－1×3＋2×2）·（2，1）＝（2，1）.
a·（b·c）＝（－1，2）·[（3，2）·（2，1）]＝（－1，2）·（3×2＋2×1）＝8（－1，2）＝（－8，16）.
【例2】 D 如图，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），E（1，4），F（5，1），所以＝（5，1），＝（－3，4），所以·＝－15＋4＝－11.
跟踪训练
1.0 3 解析：∵a＝（2，1），b＝（2，－1），c＝（0，1），∴a＋b＝（4，0），∴（a＋b）·c＝4×0＋0×1＝0，∴a·b＝2×2＋1×（－1）＝3.
2. 解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，1），D（2，2），B（0，0），C（2，0），
因为＝2，所以F.所以＝（2，1），＝－（2，0）＝，所以·＝（2，1）·＝2×＋1×2＝.
【例3】 B 因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋6b2＝4，从而｜b｜＝.故选B.
跟踪训练
D 设＝a，＝b，则a＋b＝＝（－4，2）.b－a＝＝（2，－6），所以b＝（－1，－2），a＝（－3，4），所以2＋＝2a＋b＝（－7，6），所以｜2＋｜＝＝.
【例4】 C 因为a＝（2，－1），b＝（m，3），所以a＋b＝（2＋m，2）.因为（a＋b）⊥a，所以（a＋b）·a＝4＋2m－2＝0，所以m＝－1.因为cos＜a，b＞＝＝＝－，所以向量a，b的夹角为.
跟踪训练
1.－ 解析：c＝（3，1）＋（k，0）＝（3＋k，1），a·c＝3（3＋k）＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－.
2.解：（1）a＋2b＝（1，2）＋2（－2，－4）＝（－3，－6），
∴｜a＋2b｜＝＝3.
（2）∵b＝（－2，－4）＝－2（1，2）＝－2a，
∴a＋b＝－a，∴（a＋b）·c＝－a·c＝.
设a与c的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
∵0≤θ≤π，∴θ＝π，
即a与c的夹角为π.
随堂检测
1.A （a－b）·（a＋2b）＝（5，5）·（－1，2）＝－1×5＋2×5＝5.
2.C 因为a⊥b，所以a·b＝3x－3＝0，解得x＝1.
3.A 因为平面向量＝（2，1），＝（－3t，3），且∥，所以2×3－1×（－3t）＝0，解得t＝－2，所以＝（6，3），所以＝－＝（6－2，3－1）＝（4，2），所以｜｜＝＝2.故选A.
4.ABC 已知a＝（3，－1），b＝（1，－2），则a·b＝3×1＋（－1）×（－2）＝5，故A正确；因为a＝（3，－1），｜a｜＝，所以a的单位向量是，故B正确；因为cos＜a，b＞＝＝＝，＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝，故C正确；设与b垂直的单位向量是（x，y），可得解得或故D错误.故选A、B、C.
5. 解析：设b＝（x，y），则2b－a＝（2x，2y）－（3，3）＝（2x－3，2y－3）＝（－1，1），所以2x－3＝－1，2y－3＝1，解得x＝1，y＝2.所以b＝（1，2）.所以cos θ＝＝＝.
4 / 4(共61张PPT)
5.2 向量数量积的坐标表示
5.3 利用数量积计算长度与角度
新课程标准解读 核心素养
1.掌握向量数量积的坐标表示 数学运算
2.会利用数量积计算向量的模与夹角 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
通过前面的学习，我们知道，已知a＝（x1，y1），b＝（x2，
y2），我们可以求出a＋b，a－b以及λa（λ≠0）的坐标.
【问题】 那么如何用a与b的坐标来表示a·b呢？
知识点 平面向量数量积、模、夹角的坐标表示
1. 平面向量数量积的坐标表示
已知两个向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a·b＝
.这就是说，两个向量的数量积等于它们
.
x1x2＋
y1y2
对应坐标的乘积
的和
2. 平面向量模的坐标表示
（1）设a＝（x，y），则｜a｜2＝ ，或｜a｜
＝ ；
（2）如果表示向量a的有向线段 的起点和终点坐标分别为A
（x1，y1），B（x2，y2），那么a＝（x2－x1，y2－
y1），｜a｜＝ ，这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式.
x2＋y2
｜ ｜＝
3. 平面向量垂直的充要条件的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b .
4. 平面向量夹角的坐标表示
设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ，则 cos θ
＝ ＝ （｜a｜｜b｜≠0）.
x1x2＋y1y2＝ 0
【想一想】
1. 向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？
提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：
坐标表示 记忆口诀
垂直 a⊥b x1x2＋y1y2＝0 对应相乘和为0
平行 a∥b x1y2－x2y1＝0 交叉相乘差为0
2. 已知向量a＝（x，y），你知道与a共线的单位向量的坐标是什么
吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？
提示：设与a共线的单位向量为a0，则a0＝± a＝
± ＝± ，其中正号、负号分
别表示与a同向和反向.易知b＝（－y，x）和a＝（x，y）垂
直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为± ，
其中正、负号表示不同的方向.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a⊥b x1y2－x2y1＝
0. （ × ）
（2）若两个非零向量的夹角θ满足 cos θ＞0，则两向量的夹角θ
一定是锐角. （ × ）
（3）若A（x1，y1），B（x2，y2），则｜ ｜＝
. （ √ ）
（4）两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），满足x1y2－
x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°. （ × ）
×
×
√
×
2. 已知 ＝（2，3）， ＝（3，t），｜ ｜＝1，则 · ＝
（ ）
A. －3 B. －2
C. 2 D. 3
解析： 因为 ＝ － ＝（1，t－3），所以｜ ｜＝
＝1，解得t＝3，所以 ＝（1，0），所以
· ＝2×1＋3×0＝2，故选C.
3. 已知向量a＝（1， ），b＝（ ，1），则a与b夹角的大小
为 .
解析：由题意得｜a｜＝ ＝2，｜b｜＝ ＝2，a·b＝
1× ＋ ×1＝2 .设a与b的夹角为θ，则 cos θ＝ ＝
.∵θ∈[0，π]，∴θ＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 平面向量数量积的坐标运算
角度1 数量积的坐标运算
【例1】 已知向量a＝（－1，2），b＝（3，2）.
（1）求a·（a－b）；
解：a·（a－b）＝a·a－a·b＝（－1）2＋22－[（－1）
×3＋2×2]＝4.
（2）求（a＋b）·（2a－b）；
解：因为a＋b＝（－1，2）＋（3，2）＝（2，4），2a－b＝2（－1，2）－（3，2）＝（－2，4）－（3，2）＝（－5，2），
所以（a＋b）·（2a－b）＝（2，4）·（－5，2）＝2×（－
5）＋4×2＝－2.
（3）若c＝（2，1），求（a·b）·c，a·（b·c）.
解：（a·b）·c＝[（－1，2）·（3，2）]·（2，1）＝
（－1×3＋2×2）·（2，1）＝（2，1）.
a·（b·c）＝（－1，2）·[（3，2）·（2，1）]＝（－1，
2）·（3×2＋2×1）＝8（－1，2）＝（－8，16）.
角度2 数量积的坐标运算在几何图形中的应用
【例2】 如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，
AB＝AD＝4，CD＝8.若 ＝－7 ，3 ＝ ，则 · ＝
（ ）
A. 11 B. 10
C. －10 D. －11
解析： 如图，建立平面直角坐标系，则A（0，
0），B（4，0），E（1，4），F（5，1），所以
＝（5，1）， ＝（－3，4），所以 ·
＝－15＋4＝－11.
通性通法
数量积运算的途径及注意点
（1）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性
质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接
进行数量积运算；二是先将向量用基表示，再利用数量积的运
算律将原式展开，再依据已知计算；
（2）对于以图形为背景的向量数量积运算题目，只需把握图形的特
征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解.
【跟踪训练】
1. a＝（2，1），b＝（2，－1），c＝（0，1），则（a＋b）·c
＝ ；a·b＝ .
解析：∵a＝（2，1），b＝（2，－1），c＝（0，1），∴a＋b
＝（4，0），∴（a＋b）·c＝4×0＋0×1＝0，∴a·b＝2×2＋
1×（－1）＝3.
0
3
2. 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，
＝2 ，则 · ＝ .
解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A（0，2），E（2，
1），D（2，2），B（0，0），C（2，0），因为 ＝2 ，所
以F .所以 ＝（2，1）， ＝
－（2，0）＝ ，所以 · ＝
（2，1）· ＝2× ＋1×2＝ .
题型二 与平面向量模有关的问题
【例3】 （2024·新高考Ⅱ卷3题）已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜
a＋2b｜＝2，且（b－2a）⊥b，则｜b｜＝（ ）
解析： 因为（b－2a）⊥b，所以（b－2a）·b＝0，即b2＝
2a·b，又因为｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，所以1＋4a·b＋4b2＝1＋
6b2＝4，从而｜b｜＝ .故选B.
D. 1
通性通法
求向量的模的两种基本策略
（1）字母表示下的运算：利用｜a｜2＝a·a，将向量模的运算转化
为向量与向量的数量积的问题；
（2）坐标表示下的运算：若a＝（x，y），则a·a＝｜a｜2＝x2＋
y2，于是有｜a｜＝ .
【跟踪训练】
在 ABCD中，已知 ＝（－4，2）， ＝（2，－6），那么｜
2 ＋ ｜＝（ ）
解析： 设 ＝a， ＝b，则a＋b＝ ＝（－4，2）.b－a
＝ ＝（2，－6），所以b＝（－1，－2），a＝（－3，4），所以
2 ＋ ＝2a＋b＝（－7，6），所以｜2 ＋ ｜＝
＝ .
题型三 向量的夹角与垂直问题
【例4】 已知向量a＝（2，－1），b＝（m，3），若（a＋b）
⊥a，则a，b的夹角为（ ）
解析： 因为a＝（2，－1），b＝（m，3），所以a＋b＝（2＋
m，2）.因为（a＋b）⊥a，所以（a＋b）·a＝4＋2m－2＝0，所
以m＝－1.因为 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝－ ，所以向量
a，b的夹角为 .
通性通法
解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a·b以
及｜a｜｜b｜，再由 cos θ＝ 求出 cos θ，也可由坐
标表示 cos θ＝ 直接求出 cos θ.由三角函数值
cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是[0，π]；
（2）由于0≤θ≤π，利用 cos θ＝ 来判断角θ时，要注意
cos θ＜0有两种情况，一是θ为钝角，二是θ＝π； cos θ＞0
也有两种情况，一是θ为锐角，二是θ＝0.
【跟踪训练】
1. 已知向量a＝（3，1），b＝（1，0），c＝a＋kb.若a⊥c，则k
＝ .
解析：c＝（3，1）＋（k，0）＝（3＋k，1），a·c＝3（3＋
k）＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－ .
－
2. 已知a＝（1，2），b＝（－2，－4），｜c｜＝ .
（1）求｜a＋2b｜；
解：a＋2b＝（1，2）＋2（－2，－4）＝（－3，－6），
∴｜a＋2b｜＝ ＝3 .
（2）若（a＋b）·c＝ ，求向量a与c的夹角.
解：∵b＝（－2，－4）＝－2（1，2）＝－2a，
∴a＋b＝－a，∴（a＋b）·c＝－a·c＝ .
设a与c的夹角为θ，
则 cos θ＝ ＝ ＝－ .
∵0≤θ≤π，∴θ＝ π，即a与c的夹角为 π.
1. 已知a＝（3，4），b＝（－2，－1），则（a－b）·（a＋2b）
＝（ ）
A. 5 B. 10
C. 15 D. 20
解析： （a－b）·（a＋2b）＝（5，5）·（－1，2）＝－1×5
＋2×5＝5.
2. 已知平面向量a＝（3，1），b＝（x，－3），且a⊥b，则x＝
（ ）
A. －3 B. －1
C. 1 D. －9
解析： 因为a⊥b，所以a·b＝3x－3＝0，解得x＝1.
3. 已知平面向量 ＝（2，1）， ＝（－3t，3），若 ∥ ，
则｜ ｜＝（ ）
B. 20
D. 2
解析： 因为平面向量 ＝（2，1）， ＝（－3t，3），且
∥ ，所以2×3－1×（－3t）＝0，解得t＝－2，所以 ＝
（6，3），所以 ＝ － ＝（6－2，3－1）＝（4，2），所
以｜ ｜＝ ＝2 .故选A.
4. （多选）已知a＝（3，－1），b＝（1，－2），则下列结论正确
的有（ ）
A. a·b＝5
解析： 已知a＝（3，－1），b＝（1，－2），则a·b＝
3×1＋（－1）×（－2）＝5，故A正确；因为a＝（3，－
1），｜a｜＝ ，所以a的单位向量是 ，故B正
确；因为 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ，＜a，b＞
∈[0，π]，所以＜a，b＞＝ ，故C正确；设与b垂直的单位向量
是（x，y），可得解得或
故D错误.故选A、B、C.
5. 设向量a与b的夹角为θ，且a＝（3，3），2b－a＝（－1，
1），则 cos θ＝ .
解析：设b＝（x，y），则2b－a＝（2x，2y）－（3，3）＝
（2x－3，2y－3）＝（－1，1），所以2x－3＝－1，2y－3＝1，
解得x＝1，y＝2.所以b＝（1，2）.所以 cos θ＝ ＝
＝ .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知向量a＝（1，－1），b＝（2，x），若a·b＝1，则x＝
（ ）
A. －1
D. 1
解析： 因为a·b＝2－x＝1，所以x＝1.
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2. 已知向量b与向量a＝（1，－2）的夹角是180°，且｜b｜＝
3 ，则b＝（ ）
A. （－3，6） B. （3，－6）
C. （6，－3） D. （－6，3）
解析： 由题意，设b＝λa＝（λ，－2λ）（λ＜0），由
于｜b｜＝3 .∴｜b｜＝ ＝ ＝3 ，∴λ＝
－3，即b＝（－3，6）.
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3. 若向量a＝（1，2），b＝（1，－1），则2a＋b与a－b的夹角为
（ ）
解析： 2a＋b＝2（1，2）＋（1，－1）＝（2，4）＋（1，－
1）＝（3，3），a－b＝（1，2）－（1，－1）＝（0，3）.设夹
角为θ，则 cos θ＝ ＝ ＝ .又因为θ∈[0，
π]，所以θ＝ .
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4. 已知向量a＝（0，－2 ），b＝（1， ），则向量a在向量b
上的投影向量的坐标为（ ）
解析： 向量a在向量b上的投影向量为 · ＝ · ＝
－ b，其坐标为－ （1， ）＝ .故选D.
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5. （多选）已知平面向量a＝（1，2），b＝（－2，1），c＝（2，
t），则下列说法正确的是（ ）
A. 若（a＋b）∥c，则t＝6
D. ｜a＋c｜＜3
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解析： a＋b＝（－1，3），若（a＋b）∥c，则－t－6＝
0，所以t＝－6，故A错误；若（a＋b）⊥c，则－2＋3t＝0，所
以t＝ ，故B正确；若t＝1，则 cos ＜a，c＞＝ ＝
＝ ，故C正确；a＋c＝（3，t＋2），则｜a＋c｜＝
≥3，故D错误.故选B、C.
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6. （多选）已知向量a＝（1，0），b＝（ cos θ， sin θ），
θ∈ ，则｜a＋b｜的值可以是（ ）
C. 2
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解析： a＝（1，0），b＝（ cos θ， sin θ），可得a＋b＝（ cos θ＋1， sin θ），则｜a＋b｜2＝（ cos θ＋1）2＋ sin
2θ＝2＋2 cos θ，因为θ∈ ，所以0≤ cos θ≤1，所以
2≤｜a＋b｜2≤4，所以 ≤｜a＋b｜≤2，则A、B、C符合题
意，故选A、B、C.
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7. 已知向量a与b方向相反，a＝（1，－ ），｜b｜＝2，则｜a
－b｜＝ .
解析：∵a＝（1，－ ），∴｜a｜＝2，又向量a与b方向相
反，且｜b｜＝2，∴a＝－b，∴｜a－b｜＝2｜b｜＝4.
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8. 若向量m＝（0，－2），n＝（ ，1），写出一个与2m＋n垂
直的非零向量： .
解析：因为m＝（0，－2），n＝（ ，1），所以2m＋n＝2
（0，－2）＋（ ，1）＝（ ，－3）.设a＝（x，y）（x≠0
且y≠0），若a与2m＋n垂直，则a·（2m＋n）＝0，即 x－
3y＝0，令x＝ ，则y＝1，所以a＝（ ，1）.
（ ，1）（答案不唯一，满足 x－3y＝0即可）
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9. 已知向量a＝（2，1），b＝（1－x，x），c＝（－3x，3x），
且a∥b，则b，c夹角的余弦值为 .
解析：由a∥b，得2·x－（1－x）＝0，解得x＝ ，则b＝
，c＝（－1，1），所以 cos ＜b，c＞＝
＝－ .
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10. 已知向量a＝（2，k），b＝（1，1），满足b⊥（a－3b）.
（1）求k的值；
解：a－3b＝（2，k）－（3，3）＝（－1，k－3），
∵b⊥（a－3b），
∴b·（a－3b）＝1×（－1）＋1×（k－3）＝0，∴k＝4.
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（2）求向量a与向量b夹角的余弦值.
解：由（1）得a＝（2，4），b＝（1，1），
∴｜a｜＝ ＝2 ，｜b｜＝ ＝ ，
∴ cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ .
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11. 已知a，b，c均为单位向量，且｜a＋b｜＝1，则（a－b）·c
的取值范围是（ ）
A. [0，1] B. [－1，1]
解析： 由a，b为单位向量和｜a＋b｜＝1的几何意义，可
知｜a－b｜＝ ，设a－b与c的夹角为θ，则（a－b）·c
＝｜a－b｜｜c｜· cos θ＝ cos θ，∵ cos θ∈[－1，1]，
∴（a－b）·c的取值范围为[－ ， ].
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12. 已知向量a＝（3，1），b＝（1，3），c＝（k，－2），若（a
－c）∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是（ ）
解析： ∵a＝（3，1），b＝（1，3），c＝（k，－2），
∴a－c＝（3－k，3），∵（a－c）∥b，∴3（3－k）＝
1×3，解得k＝2，∴a·c＝3×2＋1×（－2）＝4，｜a｜＝
，｜c｜＝2 ，∴ cos ＜a，c＞＝ ＝ ＝ .
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13. 设m＝（a，b），n＝（c，d），规定两向量m，n之间的一
个运算“ ”为m n＝（ac－bd，ad＋bc），若已知p＝
（1，2），p q＝（－4，－3），则q的坐标为 .
解析：设q＝（x，y），则p q＝（x－2y，y＋2x）＝（－
4，－3），∴∴∴q＝（－2，1）.
（－2，1）
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14. 已知a，b，c是同一平面内的三个向量，a＝（1，2）.
（1）若｜c｜＝2 ，且c∥a，求c的坐标；
解：设向量c＝（x，y），
因为a＝（1，2），｜c｜＝2 ，c∥a，
所以解得或
所以c＝（2，4）或c＝（－2，－4）.
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（2）若｜b｜＝ ，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
解：因为a＋2b与2a－b垂直，
所以（a＋2b）·（2a－b）＝0，
所以2｜a｜2－a·b＋4a·b－2｜b｜2＝0，
又｜b｜＝ ，｜a｜＝ ＝ ，
所以2×5＋3a·b－2× ＝0，得a·b＝－ ，
所以 cos θ＝ ＝ ＝－1.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.
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15. 已知向量a＝（3，2），b＝ ，且函数f（x）＝（a
＋xb）·（xa－b）的图象是一条直线，则｜b｜＝（ ）
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解析： 由题意，f（x）＝（a＋xb）·（xa－b）＝x｜a｜2
－a·b＋x2a·b－x｜b｜2＝a·bx2＋（｜a｜2－｜b｜2）x－
a·b，因为函数f（x）的图象是一条直线，所以a·b＝0，即3×
（－1）＋2× ＝0，解得m＝－2，所以b＝ ，｜b｜＝ ＝ .故选A.
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16. 已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，－
3），点P的横坐标为14，且 ＝λ ，点Q是边AB上一点，
且 · ＝0.
（1）求实数λ的值与点P的坐标；
解：设P（14，y），则 ＝（14，y）， ＝（－8，－3－y），由 ＝λ ，得（14，y）＝λ（－8，－3－y），解得λ＝－ ，y＝－7，
∴点P的坐标为（14，－7）.
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（2）求点Q的坐标；
解：设Q（a，b），则 ＝（a，b），
由（1）得 ＝（12，－16），∵ · ＝0，
∴12a－16b＝0，即3a－4b＝0. ①
∵点Q在边AB上，∴AQ∥AB，
又 ＝（4，－12）， ＝（a－2，b－9），
∴4（b－9）＋12（a－2）＝0，即3a＋b－15＝0. ②
联立①②，解得a＝4，b＝3，∴Q点坐标为（4，3）.
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（3）若R为线段OQ（含端点）上的一个动点，试求 ·（
＋ ）的取值范围.
解：由（2）得 ＝（4，3），
∵R为线段OQ上的一个动点，∴设 ＝t ＝（4t，3t），且0≤t≤1，
则R（4t，3t）， ＝（－4t，－3t）， ＝（2－4t，
9－3t）， ＝（6－4t，－3－3t），
∴ ＋ ＝（8－8t，6－6t），
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∴ ·（ ＋ ）＝－4t·（8－8t）－3t·（6－6t）＝
50t2－50t＝50（t－ ）2－ （0≤t≤1），
当t＝0或1时，上式取得最大值0；
当t＝ 时，上式取得最小值－ .
故 ·（ ＋ ）的取值范围为［－ ，0］.
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谢 谢 观 看！
