1.1 复数的概念
1.复数z＝3－6i（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A.－6 B.6
C.3 D.－6i
2.在给出的下列几个命题中正确的是（ ）
A.若x是实数，则x可能不是复数
B.若z是虚数，则z不是实数
C.一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D.－1没有平方根
3.以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是（ ）
A.3－3i B.3＋i
C.－＋i D.＋i
4.设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 024i＝2－bi，则a2＋bi＝（ ）
A.2 024＋2i B.2 024＋4i
C.2＋2 024i D.4－2 024i
6.（多选）已知复数z＝x＋yi（x，y∈R），则下列结论正确的是（ ）
A.z的实部是x
B.z的虚部是yi
C.若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2
D.当x＝0且y≠0时，z是纯虚数
7.若x是实数，y是纯虚数，且（2x－1）＋2i＝y，则x，y的值分别为 ， .
8.若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝ .
9.如果（m2－1）＋（m2－2m）i＞1则实数m的值为 .
10.当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i是：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.
11.下列命题正确的是（ ）
A.（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数
B.－i2＝－1
C.若a＞b（a，b∈R），则－a＋i＜－b＋i
D.若z∈C，则z2≥0
12.（多选）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（ ）
A.若a≠0，则ai是纯虚数
B.虚部为－的虚数有无数个
C.实数集是复数集的真子集
D.两个复数相等的一个必要不充分条件是它们的实部相等
13.若复数z＝＋i是纯虚数（i为虚数单位），则tan＝ .
14.分别求满足下列条件的实数x，y的值：
（1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i；
（2）＋（x2－2x－3）i＝0.
15.已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z＝（ ）
A.3＋i B.3－i
C.－3－i D.－3＋i
16.已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.
（1）若z1为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
1.1 复数的概念
1.A 由复数的概念知，复数z＝3－6i的虚部为－6.故选A.
2.B 因为实数是复数，故A错误，B正确；因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故C错误；因为－1在复数范围内的平方根为i，故D错误.
3.A 3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
4.B 因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R.而当“复数a＋bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立.所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件.
5.D 因为a＋2 024i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 024，即a＝2，b＝－2 024，所以a2＋bi＝4－2 024i.
6.ACD 复数z＝x＋yi（x，y∈R）的实部是x，故A正确；z的虚部是y，故B错误；若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2，故C正确；当x＝0且y≠0时，z＝yi是纯虚数，故D正确.故选A、C、D.
7. 2i 解析：由（2x－1）＋2i＝y，得解得x＝，y＝2i.
8.5 解析：由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋b2＝5.
9.2 解析：由题意得解得m＝2.
10.解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，
由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3.
（1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或m＝－3.
（2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.
（3）当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.
（4）当时，复数z是0，∴m＝－3.
11.A 对于A：因为a2＋1≥1，所以（a2＋1）i（a∈R）是纯虚数，故正确；对于B：i2＝－1，所以－i2＝1，故错误；对于C：复数不能比大小，故错误；对于D：当z＝i时，z2＝i2＝－1＜0，故错误.故选A.
12.BCD 若a＝i，则ai＝i2＝－1，不是纯虚数，故A错误；虚部为－的虚数可以表示为m－i（m∈R），有无数个，故B正确；根据复数的分类，C正确；两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D正确.
13.－7 解析：由题知cos θ－＝0，sin θ－≠0，∴cos θ＝，sin θ＝－，∴tan θ＝－，则tan＝＝－7.
14.解：（1）∵x，y∈R，∴由复数相等的定义，
得解得
（2）∵x∈R，∴由复数相等的定义，
得
即
∴x＝3.
15.B 由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即解得∴z＝3－i.
16.解：（1）∵z1为纯虚数，
则解得m＝－2.
（2）由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝（sin θ－1）2＋2.
∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin＝2，当sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6].
1 / 2§1 复数的概念及其几何意义
1.1 复数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程 数学抽象
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念 数学抽象
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件 数学运算
数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；
因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；
因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解.
【问题】 我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
知识点 复数的有关概念
1.复数的定义
形如 （其中a，b∈R）的数叫作复数，其中i叫作 ，满足i2＝ .全体复数构成的集合称为复数集，记作 .
2.复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a称为复数z的 ，记作Re z，b称为复数z的 ，记作Im z.
3.复数的分类
复数a＋bi（a，b∈R）
4.复数相等
两个复数a＋bi与c＋di（a，b，c，d∈R）相等，它们的 相等且 相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当 且 .
【想一想】
1.两个复数能比较大小吗？
2.0是复数吗？能否用a＋bi（a，b∈R）的形式表示？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.（ ）
（2）复数i的实部不存在，虚部为0.（ ）
（3）bi是纯虚数.（ ）
（4）如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.（ ）
2.已知复数z＝a2－（2－b）i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是（ ）
A.，1 B.，5
C.±，5 D.±，1
3.已知x－2y＋3＋（x＋y）i＝0，则实数x＝ ，y＝ .
题型一 对复数相关概念的理解
【例1】 （多选）下列命题中，错误的是（ ）
A.复数由实数、虚数、纯虚数构成
B.若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n
C.在复数z＝x＋yi（x，y∈R）中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数
D.若a∈R，且a≠0，则（a＋3）i是纯虚数
尝试解答
通性通法
判断与复数概念有关命题真假的注意点
（1）正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概念，注意它们之间的区别与联系；
（2）注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同；
（3）注意通过列举反例来说明一些命题为假命题.
【跟踪训练】
下列命题中，正确的是（ ）
A.1－ai（a∈R）是一个复数
B.形如a＋bi（b∈R）的数一定是虚数
C.两个复数一定不能比较大小
D.若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
题型二 复数的分类
【例2】 当m为何实数时，复数z＝＋（m2－2m－15）i：
（1）是虚数；
（2）是纯虚数.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？
通性通法
解决复数分类问题的方法与步骤
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部；
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可；
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），①z为实数 b＝0；②z为虚数 b≠0；③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
【跟踪训练】
若复数（a2－3a＋2）＋（a－1）i是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A.1 B.2 C.1或2 D.－1
题型三 复数相等的充要条件
【例3】 （1）已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
（2）关于x的方程3x2－x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a的值.
尝试解答
通性通法
两个复数相等，首先要分清两个复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得两个方程，从而可以确定两个独立参数.
【跟踪训练】
1.若a2＋am＋2＋（2a＋m）i＝0（m∈R）成立，则实数a＝ .
2.定义运算｜ac bd｜＝ad－bc，如果（x＋y）＋（x＋3）i＝，求实数x，y的值.
1.下列命题中正确的是（ ）
A.若a∈R，则ai为纯虚数
B.复数－0.5i没有实部，只有虚部－0.5
C.若a，b，c，d∈R且a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d
D.x＋yi的实部、虚部分别为x，y
2.设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（ ）
A.－1 B.1 C.5 D.7
3.已知a∈R，若复数z＝a2＋2a＋ai是纯虚数，则a＝（ ）
A.0 B.2 C.－1 D.－2
4.（多选）若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值可以为（ ）
A.－1 B.2 C.1 D.－2
5.复数z1＝（2m＋7）＋（m2－2）i，z2＝（m2－8）＋（4m＋3）i，m∈R，若z1＝z2，则m＝ .
1.1 复数的概念
【基础知识·重落实】
知识点
1.a＋bi 虚数单位 －1 C 2.实部 虚部 3.实数 纯虚数 非纯虚数 4.实部 虚部 a＝c b＝d
想一想
1.提示：两个复数若是实数可以比较大小，否则不能比较大小.
2.提示：是复数.因为0∈R且R C，所以0∈C，实数0可以表示成0＋0i的形式，即0的实部和虚部都是0.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.C 令得a＝±，b＝5.
3.－1 1 解析：因为x－2y＋3＋（x＋y）i＝0，所以所以
【典型例题·精研析】
【例1】 ABD A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m，2n.C正确，复数z＝x＋yi（x，y∈R）为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数.D错，只有当a∈R，且a≠－3时，（a＋3）i才是纯虚数.
跟踪训练
A 由复数的定义知A正确；当a∈R，且b＝0时a＋bi（b∈R）表示实数，故B错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C错误；a＋i与b＋i不能比较大小，故D错误.
【例2】 解：（1）当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
（2）当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
母题探究
解：当
即m＝5时，z是实数.
跟踪训练
B 根据复数的分类知，需满足解得
即a＝2.
【例3】 解：（1）∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴
解得或
（2）设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝（10－m－2m2）i，
∴
解得a＝11或a＝－.
跟踪训练
1.± 解析：由题意得解得或所以a＝±.
2.解：由定义运算｜ac bd｜＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi，
故有（x＋y）＋（x＋3）i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以得
得x＝－1，y＝2.
随堂检测
1.C 当a＝0时，0i＝0，故A不正确；复数－0.5i实部为0，虚部为－0.5，故B不正确，根据复数相等的充要条件知C正确；x＋yi中未标注x，y∈R，故若x，y为复数，则x＋yi的实部、虚部未必是x，y，D不正确.
2.A 由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和为－1.故选A.
3.D 因为z＝a2＋2a＋ai是纯虚数，所以解得a＝－2.故选D.
4.AB 因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
5.5 解析：因为m∈R，z1＝z2，所以（2m＋7）＋（m2－2）i＝（m2－8）＋（4m＋3）i.即解得m＝5.
3 / 3(共52张PPT)
1.1 复数的概念
新课程标准解读 核心素养
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程 数学抽象
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一
些基本概念 数学抽象
3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要
条件 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了
负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内
有解；
因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分
数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内
有解；
因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了
无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围
内有解.
【问题】 我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解.那
么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数
进行扩充呢？
知识点 复数的有关概念
1. 复数的定义
形如 （其中a，b∈R）的数叫作复数，其中i叫作
，满足i2＝ .全体复数构成的集合称为复数集，记
作 .
2. 复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a称为复
数z的 ，记作Re z，b称为复数z的 ，记作Im z.
a＋bi
虚
数单位
－1
C
实部
虚部
3. 复数的分类
复数a＋bi（a，b∈R）
4. 复数相等
两个复数a＋bi与c＋di（a，b，c，d∈R）相等，它们的
相等且 相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当
且 .
实
部
虚部
a＝c
b＝d
【想一想】
1. 两个复数能比较大小吗？
提示：两个复数若是实数可以比较大小，否则不能比较大小.
2.0是复数吗？能否用a＋bi（a，b∈R）的形式表示？
提示：是复数.因为0∈R且R C，所以0∈C，实数0可以表示成0＋0i的形式，即0的实部和虚部都是0.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数. （ × ）
（2）复数i的实部不存在，虚部为0. （ × ）
（3）bi是纯虚数. （ × ）
（4）如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复
数相等. （ √ ）
×
×
×
√
2. 已知复数z＝a2－（2－b）i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，
b的值分别是（ ）
解析： 令得a＝± ，b＝5.
3. 已知x－2y＋3＋（x＋y）i＝0，则实数x＝ ，y＝ .
解析：因为x－2y＋3＋（x＋y）i＝0，所以所
以
－1
1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对复数相关概念的理解
【例1】 （多选）下列命题中，错误的是（ ）
A. 复数由实数、虚数、纯虚数构成
B. 若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m，2n
C. 在复数z＝x＋yi（x，y∈R）中，若x≠0，则复数z一定不是纯
虚数
D. 若a∈R，且a≠0，则（a＋3）i是纯虚数
解析： A错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数
和非纯虚数.B错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实
部与虚部分别为3m，2n.C正确，复数z＝x＋yi（x，y∈R）为纯
虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数.D
错，只有当a∈R，且a≠－3时，（a＋3）i才是纯虚数.
通性通法
判断与复数概念有关命题真假的注意点
（1）正确理解复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等的概
念，注意它们之间的区别与联系；
（2）注意复数集与实数集中有关概念与性质的不同；
（3）注意通过列举反例来说明一些命题为假命题.
【跟踪训练】
下列命题中，正确的是（ ）
A. 1－ai（a∈R）是一个复数
B. 形如a＋bi（b∈R）的数一定是虚数
C. 两个复数一定不能比较大小
D. 若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i
解析： 由复数的定义知A正确；当a∈R，且b＝0时a＋bi
（b∈R）表示实数，故B错误；如果两个复数同时是实数时，可以比
较大小，故C错误；a＋i与b＋i不能比较大小，故D错误.
题型二 复数的分类
【例2】 当m为何实数时，复数z＝ ＋（m2－2m－15）i：
（1）是虚数；
解：当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数.
（2）是纯虚数.
解：当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.
【母题探究】
（变设问）本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？
解：当
即m＝5时，z是实数.
通性通法
解决复数分类问题的方法与步骤
（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）
的形式，以确定实部和虚部；
（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满
足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满
足的方程（不等式）即可；
（3）下结论：设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），
①z为实数 b＝0；
②z为虚数 b≠0；
③z为纯虚数 a＝0且b≠0.
【跟踪训练】
若复数（a2－3a＋2）＋（a－1）i是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 1或2 D. －1
解析： 根据复数的分类知，需满足解得
即a＝2.
题型三 复数相等的充要条件
【例3】 （1）已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值；
解：∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴
解得或
（2）关于x的方程3x2－ x－1＝（10－x－2x2）i有实根，求实数a
的值.
解：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－ m
－1＝（10－m－2m2）i，
∴
解得a＝11或a＝－ .
通性通法
两个复数相等，首先要分清两个复数的实部与虚部，然后利用两
个复数相等的充要条件可得两个方程，从而可以确定两个独立参数.
【跟踪训练】
1. 若a2＋am＋2＋（2a＋m）i＝0（m∈R）成立，则实数a
＝ .
解析：由题意得解得或
所以a＝± .
±
解：由定义运算｜ac bd｜＝ad－bc，得 ＝3x＋2y
＋yi，
故有（x＋y）＋（x＋3）i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，所以得得x＝
－1，y＝2.
2. 定义运算｜ac bd｜＝ad－bc，如果（x＋y）＋（x＋3）i＝
，求实数x，y的值.
1. 下列命题中正确的是（ ）
A. 若a∈R，则ai为纯虚数
B. 复数－0.5i没有实部，只有虚部－0.5
C. 若a，b，c，d∈R且a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d
D. x＋yi的实部、虚部分别为x，y
解析： 当a＝0时，0i＝0，故A不正确；复数－0.5i实部为0，
虚部为－0.5，故B不正确，根据复数相等的充要条件知C正确；x
＋yi中未标注x，y∈R，故若x，y为复数，则x＋yi的实部、虚
部未必是x，y，D不正确.
2. 设复数z＝3－4i，则z的实部与虚部的和为（ ）
A. －1 B. 1 C. 5 D. 7
解析： 由z＝3－4i知实部为3，虚部为－4，故实部与虚部的和
为－1.故选A.
3. 已知a∈R，若复数z＝a2＋2a＋ai是纯虚数，则a＝（ ）
A. 0 B. 2 C. －1 D. －2
解析： 因为z＝a2＋2a＋ai是纯虚数，所以解
得a＝－2.故选D.
4. （多选）若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的
值可以为（ ）
A. －1 B. 2 C. 1 D. －2
解析： 因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，所以m2
－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.
5. 复数z1＝（2m＋7）＋（m2－2）i，z2＝（m2－8）＋（4m＋3）
i，m∈R，若z1＝z2，则m＝ .
解析：因为m∈R，z1＝z2，所以（2m＋7）＋（m2－2）i＝（m2
－8）＋（4m＋3）i.即解得m＝5.
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知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 复数z＝3－6i（i为虚数单位）的虚部为（ ）
A. －6 B. 6
C. 3 D. －6i
解析： 由复数的概念知，复数z＝3－6i的虚部为－6.故选A.
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2. 在给出的下列几个命题中正确的是（ ）
A. 若x是实数，则x可能不是复数
B. 若z是虚数，则z不是实数
C. 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D. －1没有平方根
解析： 因为实数是复数，故A错误，B正确；因为复数为纯虚数
要求实部为零，虚部不为零，故C错误；因为－1在复数范围内的
平方根为i，故D错误.
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3. 以3i－ 的虚部为实部，以3i2＋ i的实部为虚部的复数是（ ）
A. 3－3i B. 3＋i
解析： 3i－ 的虚部为3，3i2＋ i＝－3＋ i的实部为－3，
故选A.
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4. 设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋bi是纯虚
数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R. 而当“复数a＋
bi是纯虚数”时，“a＝0”一定成立.所以a，b∈R，“a＝0”
是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件.
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5. 若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 024i＝2－bi，则a2＋bi＝（ ）
A. 2 024＋2i B. 2 024＋4i
C. 2＋2 024i D. 4－2 024i
解析： 因为a＋2 024i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 024，即a
＝2，b＝－2 024，所以a2＋bi＝4－2 024i.
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6. （多选）已知复数z＝x＋yi（x，y∈R），则下列结论正确的是
（ ）
A. z的实部是x
B. z的虚部是yi
C. 若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2
D. 当x＝0且y≠0时，z是纯虚数
解析： 复数z＝x＋yi（x，y∈R）的实部是x，故A正确；z的虚部是y，故B错误；若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2，故C正确；当x＝0且y≠0时，z＝yi是纯虚数，故D正确.故选A、C、D.
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7. 若x是实数，y是纯虚数，且（2x－1）＋2i＝y，则x，y的值分别
为 ， .
解析：由（2x－1）＋2i＝y，得
解得x＝ ，y＝2i.
2i
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8. 若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝ .
解析：由两个复数相等可知，a＝1，－2＝b，所以a2＋b2＝5.
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9. 如果（m2－1）＋（m2－2m）i＞1则实数m的值为 .
解析：由题意得解得m＝2.
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10. 当实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－
15）i是：
（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.
解：由m2＋5m＋6＝0，得m＝－2或m＝－3，
由m2－2m－15＝0，得m＝5或m＝－3.
（1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或m＝－3.
（2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.
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（3）当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.
（4）当时，复数z是0，∴m＝－3.
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11. 下列命题正确的是（ ）
A. （a2＋1）i（a∈R）是纯虚数
B. －i2＝－1
C. 若a＞b（a，b∈R），则－a＋i＜－b＋i
D. 若z∈C，则z2≥0
解析： 对于A：因为a2＋1≥1，所以（a2＋1）i（a∈R）是
纯虚数，故正确；对于B：i2＝－1，所以－i2＝1，故错误；对于
C：复数不能比大小，故错误；对于D：当z＝i时，z2＝i2＝－1＜
0，故错误.故选A.
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12. （多选）已知i为虚数单位，下列命题中正确的是（ ）
A. 若a≠0，则ai是纯虚数
C. 实数集是复数集的真子集
D. 两个复数相等的一个必要不充分条件是它们的实部相等
解析： 若a＝i，则ai＝i2＝－1，不是纯虚数，故A错误；虚部为－ 的虚数可以表示为m－ i（m∈R），有无数个，故B正确；根据复数的分类，C正确；两个复数相等一定能推出实部相等，必要性成立，但两个复数的实部相等推不出两个复数相等，充分性不成立，故D正确.
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13. 若复数z＝ ＋ i是纯虚数（i为虚数单位），
则tan ＝ .
解析：由题知 cos θ－ ＝0， sin θ－ ≠0，∴ cos θ＝ ， sin
θ＝－ ，∴tan θ＝－ ，则tan ＝ ＝－7.
－7
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14. 分别求满足下列条件的实数x，y的值：
（1）2x－1＋（y＋1）i＝x－y＋（－x－y）i；
解：∵x，y∈R，∴由复数相等的定义，
得解得
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（2） ＋（x2－2x－3）i＝0.
解：∵x∈R，∴由复数相等的定义，
得即
∴x＝3.
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15. 已知关于x的方程（x2＋mx）＋2xi＝－2－2i（m∈R）有实数
根n，且z＝m＋ni，则复数z＝（ ）
A. 3＋i B. 3－i
C. －3－i D. －3＋i
解析： 由题意知（n2＋mn）＋2ni＝－2－2i，即
解得∴z＝3－i.
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16. 已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2 sin θ＋（ cos θ－
2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.
（1）若z1为纯虚数，求实数m的值；
解：∵z1为纯虚数，
则解得m＝－2.
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（2）若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
解：由z1＝z2，得
∴λ＝4－ cos 2θ－2 sin θ＝ sin 2θ－2 sin θ＋3＝（ sin
θ－1）2＋2.
∵－1≤ sin θ≤1，∴当 sin θ＝1时，λmin＝2，
当 sin θ＝－1时，λmax＝6，
∴实数λ的取值范围是[2，6].
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谢 谢 观 看！
