第五章 2.1 复数的加法与减法(课件 学案 练习)高中数学 北师大版(2019)必修 第二册

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名称 第五章 2.1 复数的加法与减法(课件 学案 练习)高中数学 北师大版(2019)必修 第二册
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文件大小 2.6MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-10-09 21:40:31

文档简介

2.1 复数的加法与减法
1.已知z+5-6i=3+4i,则复数z=(  )
A.-4+20i B.-2+10i
C.-8+20i D.-2+20i
2.设复数z满足z+1-2i=-3+i,则|z|=(  )
A.6 B.6
C.5 D.5
3.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为(  )
A.3 B.2
C.1 D.-1
4.在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为-1+i和-4-3i,则该平行四边形的对角线AC的长度为(  )
A. B.5
C.2 D.10
5.(多选)对任意复数z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位,则下列结论中正确的是(  )
A.z-=2a B.|z|=||
C.z+=2a D.z+=2bi
6.(多选)在复平面内有一个平行四边形OABC,点O为坐标原点,点A对应的复数为z1=1+i,点B对应的复数为z2=1+2i,点C对应的复数为z3,则下列结论正确的是(  )
A.点C位于第二象限
B.z1+z3=z2
C.|z1-z3|=||
D.|z2+z3|=
7.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是    .
8.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,则z1=    ,z2=    .
9.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是    .
10.(1)计算:(2-3i)+(-4+2i);
(2)已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.
11.复数z1=1+icos θ,z2=sin θ-i,则|z1-z2|的最大值为(  )
A.3-2 B.-1
C.3+2 D.+1
12.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是(  )
A.P0点的坐标为(1,2)
B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C.复数z对应的点Z的轨迹为一条直线
D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
13.A,B分别是复数z1,z2在复平面上对应的两点,O为原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB为    .
14.已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.
(1)求点C,D对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的面积.
15.已知f(z)=|2+z|-z,且f(-z)=3+5i,则复数z=    .
16.求证:(1)=+;(2)=-.
2.1 复数的加法与减法
1.B z=3+4i-(5-6i)=(3-5)+(4+6)i=-2+10i.
2.D 因为z=-4+3i,所以|z|==5.故选D.
3.D z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a=0,∴a=-1.
4.B 依题意,对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i,因此AC的长度为|-3-4i|=5.
5.BC 由已知=a-bi,因此z-=2bi,z+=2a,|z|==||.故选B、C.
6.BC 如图,由题意,O(0,0),A(1,1),B(1,2),=(0,1),∵OABC为平行四边形,∴=(0,1),则C(0,1),∴z3=i,点C位于虚轴上,故A错误;z1+z3=(1+i)+i=1+2i=z2,故B正确;|z1-z3|=|1+i-i|=1=||,故C正确;|z2+z3|=|(1+2i)+i|=|1+3i|=,故D错误.故选B、C.
7.4-2i 解析:∵=-,∴表示的复数为(3+i)-(-1+3i)=4-2i.∵=,∴表示的复数为4-2i.
8.5-9i -8-7i 解析:z=z1-z2=(3x+y-4y+2x)+(y-4x+5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.
∴解得∴z1=5-9i,z2=-8-7i.
9.+i 解析:设这个复数为z=x+yi(x,y∈R),所以x+yi+=5+i,所以所以所以x+yi=+i.
10.解:(1)(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.
(2)z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,所以解得x=1,y=0,所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,所以|z1+z2|=.
11.D |z1-z2|=|(1-sin θ)+(cos θ+1)i|


=.
∵cos=1,∴|z1-z2|max==+1.
12.ACD 复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即=,整理得,y=x,即点Z的轨迹为直线y=x,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0,Z两点之间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为=,故D正确.故选A、C、D.
13.直角三角形 解析:由复数的加、减法的几何意义可知,当|z1+z2|=|z1-z2|时,∠AOB=90°.
14.解:(1)∵向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,=-,
∴向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又=+,
∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
∵=,∴向量对应的复数为3-i,
即=(3,-1).
设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),
∴解得∴点D对应的复数为5.
(2)∵·=||||cos B,
∴cos B====.
∴sin B=.
∴S ABCD=||||sin B=××=7,
故平行四边形ABCD的面积为7.
15.-10+5i 解析:设复数z=a+bi(a,b∈R).∵f(z)=|2+z|-z,∴f(-z)=|2-z|+z.又∵f(-z)=3+5i,∴|2-z|+z=3+5i,∴|2-(a+bi)|+a+bi=3+5i,即+a+bi=3+5i.根据复数相等的充分必要条件,得
解得∴复数z=-10+5i.
16.证明:(1)设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),
则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,
所以=(a+c)-(b+d)i,
=a-bi,=c-di,
所以+=(a+c)-(b+d)i,
所以=+.
(2)设z1=a+bi(a,b∈R),
z2=c+di(c,d∈R),
则z1-z2=(a-c)+(b-d)i,
所以=(a-c)-(b-d)i,
=a-bi,=c-di,
所以-=(a-c)-(b-d)i,
所以=-.
2 / 22.1 复数的加法与减法
新课程标准解读 核心素养
1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则 数学运算
2.理解复数加减法的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题 直观想象
  我们知道,任意两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律.
【问题】 那么复数中的加法满足交换律与结合律吗?
                      
                      
知识点 复数的加法与减法
1.运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则z1+z2=        ,
z1-z2=        .
2.运算律
(1)交换律:z1+z2=    ;
(2)结合律:(z1+z2)+z3=      .
3.几何意义
如图,设在复平面内复数z1,z2对应的向量分别为,,以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形,则z1+z2对应的向量是    ,z1-z2对应的向量是    .
提醒 (1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式,则复数的加、减法类似于多项式的加、减法,只需“合并同类项”即可;(2)复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则,复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
【想一想】
1.两个复数的和(差)还是一个复数吗?
2.在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点.若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB是什么四边形?
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数.(  )
(2)在进行复数的加法运算时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部.(  )
(3)复数z与共轭复数的差z-的结果只能是实数.(  )
(4)关于复数的减法的结论(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3)可能不成立.(  )
2.在复平面内,向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是(  )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
3.(2+i)-(6-2i)+(5+6i)=    .
题型一 复数加、减法的运算
【例1】 计算:
(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);
(2)+(2-i)-;
(3)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
尝试解答
通性通法
复数代数形式的加、减法运算的技巧
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准确地提取复数的实部与虚部;
(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减;
(3)复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若无括号,可以从左到右依次进行计算.
【跟踪训练】
 计算:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2 023-2 024i)-(2 024-2 025i).
题型二 复数加、减法的几何意义
【例2】 如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:
(1)所表示的复数,所表示的复数;
(2)对角线所表示的复数;
(3)对角线所表示的复数及的长度.
尝试解答
通性通法
  复数z与复平面内的向量是一一对应的关系,复数的加法可以按照向量的加法来进行,即复数的加法符合向量加法的三角形法则、平行四边形法则.
类比实数减法的意义,复数的减法也是加法的逆运算:减去一个复数等于加上这个复数的相反数.
若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离,则d==|z2-z1|,其中z1,z2是复平面内的两点Z1,Z2对应的复数.这就是复平面内两点间的距离公式.
【跟踪训练】
已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于点O.
(1)求对应的复数;
(2)求对应的复数.
题型三 与复数的和(差)的模有关的计算问题
【例3】 若z∈C且|z+3+4i|≤2,|z-1-i|的最大值和最小值分别为M,m,则M-m=(  )
A.3 B.4
C.5 D.9
尝试解答
通性通法
1.将|z+z0|(z,z0∈C)可看作|z-(-z0)|,即理解为复数z在复平面上对应的点到复数(-z0)在复平面上对应的点的距离,进而复数的和与差形式可互相转化.
2.|z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用
(1)判断点的轨迹;
(2)利用几何知识解决代数中的最值(范围)问题.
【跟踪训练】
 设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=    .
1.若复数z满足z+i-3=3-i,则z=(  )
A.0   B.2i  C.6   D.6-2i
2.已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.在复平面内,O是原点,,,表示的复数分别为-2+i,3+2i,1+5i,则表示的复数为(  )
A.2+8i B.-6-6i
C.4-4i D.-4+2i
4.若复数z满足|z-i|=3,则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为    .
5.已知i为虚数单位,复数z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,求|z1-z2|.
2.1 复数的加法与减法
【基础知识·重落实】
知识点
1.(a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i
2.(1)z2+z1 (2)z1+(z2+z3) 3.
想一想
1.提示:由复数加、减运算法则知两个复数的和或差仍然是一个复数.
2.提示:四边形OACB是矩形.
自我诊断
1.(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.C +=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),故+对应的复数为0.
3.1+9i 解析:(2+i)-(6-2i)+(5+6i)=(2-6+5)+(1+2+6)i=1+9i.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.
(2)+(2-i)-=(+2-)+i=1+i.
(3)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
跟踪训练
 解:法一 原式=(1-2+3-4+…+2 023-2 024)+(-2+3-4+5+…-2 024+2 025)i=-1 012+1 012i.
法二 (1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,…,(2 023-2 024i)-(2 024-2 025i)=-1+i.
将上列1 012个式子累加可得,原式=1 012(-1+i)=-1 012+1 012i.
【例2】 解:(1)因为=(0,0)-(3,2)=(-3,-2),
所以所表示的复数为-3-2i.
因为=,所以所表示的复数为-3-2i.
(2)因为=-,
所以所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)因为对角线=+=+,
所以所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,所以==.
跟踪训练
 解:(1)由于四边形ABCD是平行四边形,所以=+,于是=-,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即对应的复数是-2+2i.
(2)由于=-,而(3+2i)-(-2+2i)=5,所以对应的复数是5.
【例3】 B 因为|z+3+4i|≤2,所以复数z在复平面上对应的点P到z1=-3-4i对应的点A的距离小于或等于2,所以点P在以A(-3,-4)为圆心,半径为2的圆内或圆上,如图.又|z-1-i|表示点P到复数z2=1+i对应的点B的距离,所以该距离的最大值为|AB|+2=+2=+2,最小值为|AB|-2=-2,故M-m=4.
跟踪训练
 2 解析:法一 设z1=x1+y1i(x1,y1∈R),z2=x2+y2i(x2,y2∈R),则由|z1|=|z2|=2,得+=+=4.因为z1+z2=x1+x2+(y1+y2)i=+i,所以|z1+z2|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=++++2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+2y1y2=()2+12=4,所以2x1x2+2y1y2=-4,所以|z1-z2|=|x1-x2+(y1-y2)i|=

==2.
法二 设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=-a+(1-b)i,

即所以|z1-z2|2=(2a-)2+(2b-1)2=4(a2+b2)-4(a+b)+4=4×4-4×2+4=12,所以|z1-z2|=2.
法三 题设可等价转化为向量a,b满足|a|=|b|=2,a+b=(,1),求|a-b|.因为(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,所以4+(a-b)2=16,所以|a-b|=2,即|z1-z2|=2.
法四 设z1+z2=z=+i,则z在复平面上对应的点为P(,1),所以|z1+z2|=|z|=2,由平行四边形法则知OAPB是边长为2,一条对角线也为2的菱形,则另一条对角线的长为|z1-z2|=2××2=2.
随堂检测
1.D ∵z+i-3=3-i,∴z=3-i-i+3=6-2i.
2.C z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故z对应的点为(-1,-3),位于第三象限.
3.C =-=-(+),3+2i-(1+5i-2+i)=4-4i,所以表示的复数为4-4i.
4.9π 解析:由条件知|z-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心,以3为半径的圆,故其面积为S=9π.
5.解:依题意得 =,由此解得a=±2.
(1)当a=2时,z1=2+i,z1-z2=(2+i)-(2-i)=2i,故|z1-z2|=2.
(2)当a=-2时,z1=-2+i,z1-z2
=-2+i-(2-i)=-4+2i,
故|z1-z2|=2.
由(1)(2)得,|z1-z2|=2或|z1-z2|=2.
3 / 3(共58张PPT)
2.1 复数的加法与减法
新课程标准解读 核心素养
1.熟练掌握复数的代数形式的加、减运算法则 数学运算
2.理解复数加减法的几何意义,能够利用“数形结
合”的思想解题 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  我们知道,任意两个实数都可以相加,而且实数中的加法运算还
满足交换律与结合律.
【问题】 那么复数中的加法满足交换律与结合律吗?




知识点 复数的加法与减法
1. 运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
则z1+z2= ,
z1-z2= .
2. 运算律
(1)交换律:z1+z2= ;
(2)结合律:(z1+z2)+z3= .
(a+c)+(b+d)i 
(a-c)+(b-d)i 
z2+z1 
z1+(z2+z3) 
3. 几何意义
如图,设在复平面内复数z1,z2对应的向量分别为 , ,以
OZ1,OZ2为邻边作平行四边形,则z1+z2对应的向量是 ,
z1-z2对应的向量是 .
 
提醒 (1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式,则复数的
加、减法类似于多项式的加、减法,只需“合并同类项”即可;
(2)复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则,复数减
法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
【想一想】
1. 两个复数的和(差)还是一个复数吗?
提示:由复数加、减运算法则知两个复数的和或差仍然是一个
复数.
2. 在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为
C,O为坐标原点.若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB是
什么四边形?
提示:四边形OACB是矩形.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)两个虚数的和或差可能是实数. ( √ )
(2)在进行复数的加法运算时,实部与实部相加得实部,虚部与
虚部相加得虚部. ( √ )
(3)复数z与共轭复数 的差z- 的结果只能是实数.
( × )
(4)关于复数的减法的结论(z1-z2)-z3=z1-(z2+z3)可能
不成立. ( × )


×
×
2. 在复平面内,向量 对应的复数是5-4i,向量 对应的复数
是-5+4i,则 + 对应的复数是(  )
A. -10+8i B. 10-8i
C. 0 D. 10+8i
解析:  + =(5,-4)+(-5,4)=(0,0),故
+ 对应的复数为0.
3. (2+i)-(6-2i)+(5+6i)= .
解析:(2+i)-(6-2i)+(5+6i)=(2-6+5)+(1+2+
6)i=1+9i.
1+9i 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数加、减法的运算
【例1】 计算:
(1)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);
解:(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)=(5-9+3)
+(-7+8-2)i=-1-i.
(2) +(2-i)- ;
解: +(2-i)- =( +2- )+ i=1+i.
(3)已知z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2.
解:z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.
通性通法
复数代数形式的加、减法运算的技巧
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减,
虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部,因此要准
确地提取复数的实部与虚部;
(2)算式中若出现字母,首先确定其是否为实数,再确定复数的实
部与虚部,最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减;
(3)复数的运算可以类比多项式的运算:若有括号,括号优先;若
无括号,可以从左到右依次进行计算.
【跟踪训练】
计算:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2
023-2 024i)-(2 024-2 025i).
解:法一 原式=(1-2+3-4+…+2 023-2 024)+(-2+3-4
+5+…-2 024+2 025)i=-1 012+1 012i.
法二 (1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1
+i,…,(2 023-2 024i)-(2 024-2 025i)=-1+i.
将上列1 012个式子累加可得,原式=1 012(-1+i)=-1 012+1
012i.
题型二 复数加、减法的几何意义
【例2】 如图所示,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C分别表
示0,3+2i,-2+4i.求:
(1) 所表示的复数, 所表示的复数;
解:因为 =(0,0)-(3,2)=(-3,-2),
所以 所表示的复数为-3-2i.
因为 = ,所以 所表示的复数为-3-2i.
(2)对角线 所表示的复数;
解:因为 = - ,
所以 所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)
=5-2i.
(3)对角线 所表示的复数及 的长度.
解:因为对角线 = + = + ,
所以 所表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)
=1+6i,所以 = = .
通性通法
  复数z与复平面内的向量 是一一对应的关系,复数的加法可以
按照向量的加法来进行,即复数的加法符合向量加法的三角形法则、
平行四边形法则.
  类比实数减法的意义,复数的减法也是加法的逆运算:减去一个
复数等于加上这个复数的相反数.
  若用d表示平面内点Z1和Z2之间的距离,则d= =|z2-
z1|,其中z1,z2是复平面内的两点Z1,Z2对应的复数.这就是复平面
内两点间的距离公式.
【跟踪训练】
已知平行四边形ABCD中, 与 对应的复数分别是3+2i与1+
4i,两对角线AC与BD相交于点O.
(1)求 对应的复数;
解:由于四边形ABCD是平行四边形,所以 = + ,于是 = - ,而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即 对应的复数是-2+2i.
(2)求 对应的复数.
解:由于 = - ,而(3+2i)-(-2+2i)=
5,所以 对应的复数是5.
题型三 与复数的和(差)的模有关的计算问题
【例3】 若z∈C且|z+3+4i|≤2,|z-1-i|的最大值和最小
值分别为M,m,则M-m=(  )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 9
解析: 因为|z+3+4i|≤2,所以复数z在复平
面上对应的点P到z1=-3-4i对应的点A的距离小
于或等于2,所以点P在以A(-3,-4)为圆心,
半径为2的圆内或圆上,如图.
又|z-1-i|表示点P到复数z2=1+i对应的点B的距离,所以该距离的最大值为|AB|+2= +2= +2,最小值为|AB|-2= -2,故M-m=4.
通性通法
1. 将|z+z0|(z,z0∈C)可看作|z-(-z0)|,即理解为复
数z在复平面上对应的点到复数(-z0)在复平面上对应的点的距
离,进而复数的和与差形式可互相转化.
2. |z-z0|(z,z0∈C)几何意义的应用
(1)判断点的轨迹;
(2)利用几何知识解决代数中的最值(范围)问题.
【跟踪训练】
设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2= +i,则|z1-
z2|= .
2  
解析:法一 设z1=x1+y1i(x1,y1∈R),z2=x2+y2i(x2,
y2∈R),则由|z1|=|z2|=2,得 + = + =4.因为z1
+z2=x1+x2+(y1+y2)i= +i,所以|z1+z2|2=(x1+x2)2
+(y1+y2)2= + + + +2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+2y1y2
=( )2+12=4,所以2x1x2+2y1y2=-4,所以|z1-z2|=|x1
-x2+(y1-y2)i|=

= =2 .
法二 设z1=a+bi(a,b∈R),
则z2= -a+(1-b)i,


所以|z1-z2|2=(2a- )2+(2b-1)2=4(a2+b2)-4
( a+b)+4=4×4-4×2+4=12,
所以|z1-z2|=2 .
法三 题设可等价转化为向量a,b满足|a|=|b|=2,a+b=
( ,1),求|a-b|.
因为(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,
所以4+(a-b)2=16,所以|a-b|=2 ,
即|z1-z2|=2 .
法四 设z1+z2=z= +i,则z在复平面上对应的点为P( ,
1),所以|z1+z2|=|z|=2,由平行四边形法则知OAPB是边长
为2,一条对角线也为2的菱形,则另一条对角线的长为|z1-z2|=
2× ×2=2 .
1. 若复数z满足z+i-3=3-i,则z=(  )
A. 0 B. 2i
C. 6 D. 6-2i
解析: ∵z+i-3=3-i,∴z=3-i-i+3=6-2i.
2. 已知z1=2+i,z2=1-2i,则复数z=z2-z1对应的点位于(  )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析: z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故z对应的
点为(-1,-3),位于第三象限.
3. 在复平面内,O是原点, , , 表示的复数分别为-2+
i,3+2i,1+5i,则 表示的复数为(  )
A. 2+8i B. -6-6i
C. 4-4i D. -4+2i
解析:  = - = -( + ),3+2i-(1+5i
-2+i)=4-4i,所以 表示的复数为4-4i.
4. 若复数z满足|z-i|=3,则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图
形的面积为 .
解析:由条件知|z-i|=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为
圆心,以3为半径的圆,故其面积为S=9π.
9π 
5. 已知i为虚数单位,复数z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,
求|z1-z2|.
解:依题意得 = ,由此解得a=±2.
(1)当a=2时,z1=2+i,z1-z2=(2+i)-(2-i)=2i,
故|z1-z2|=2.
(2)当a=-2时,z1=-2+i,z1-z2=-2+i-(2-i)=-4
+2i,
故|z1-z2|=2 .
由(1)(2)得,|z1-z2|=2或|z1-z2|=2 .
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知z+5-6i=3+4i,则复数z=(  )
A. -4+20i B. -2+10i
C. -8+20i D. -2+20i
解析:z=3+4i-(5-6i)=(3-5)+(4+6)i=-2+10i.
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2. 设复数z满足z+1-2i=-3+i,则|z|=(  )
A. 6
D. 5
解析: 因为z=-4+3i,所以|z|= =5.故选D.
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3. 若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴
上,则a的值为(  )
A. 3 B. 2
C. 1 D. -1
解析: z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1
+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a=0,∴a=-1.
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4. 在平行四边形ABCD中,若A,C对应的复数分别为-1+i和-4-
3i,则该平行四边形的对角线AC的长度为(  )
B. 5
D. 10
解析: 依题意, 对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=
-3-4i,因此AC的长度为|-3-4i|=5.
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5. (多选)对任意复数z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位,则下
列结论中正确的是(  )
解析: 由已知 =a-bi,因此z- =2bi,z+ =2a,|
z|= =| |.故选B、C.
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6. (多选)在复平面内有一个平行四边形OABC,点O为坐标原点,
点A对应的复数为z1=1+i,点B对应的复数为z2=1+2i,点C对
应的复数为z3,则下列结论正确的是(  )
A. 点C位于第二象限
B. z1+z3=z2
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解析: 如图,由题意,O(0,0),
A(1,1),
B(1,2), =(0,1),∵OABC为
平行四边形,∴ =(0,1),则C
(0,1),∴z3=i,点C位于虚轴上,故
A错误;z1+z3=(1+i)+i=1+2i=z2,故B正确;|z1-z3|=|1+i-i|=1=| |,故C正确;|z2+z3|=|(1+2i)+i|=|1+3i|= ,故D错误.故选B、C.
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7. 在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量
, 对应的复数分别是3+i,-1+3i,则 对应的复数
是 .
解析:∵ = - ,∴ 表示的复数为(3+i)-(-1+
3i)=4-2i.∵ = ,∴ 表示的复数为4-2i.
4-2i 
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8. 已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x,y∈R),z2=(4y-
2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2,且z=13-2i,
则z1= ,z2= .
解析:z=z1-z2=(3x+y-4y+2x)+(y-4x+5x+3y)i
=(5x-3y)+(x+4y)i=13-2i.
∴解得∴z1=5-9i,z2=-8-7i.
5-9i 
-8-7i 
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9. 如果一个复数与它的模的和为5+ i,那么这个复数是   + .
解析:设这个复数为z=x+yi(x,y∈R),所以x+yi+
=5+ i,所以所以所以
x+yi= + i.
+ i
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10. (1)计算:(2-3i)+(-4+2i);
解:(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.
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(2)已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y为实数,若z1-z2=5-3i,求|z1+z2|.
解:z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,所以解得x=1,y=0,所以z1=3-2i,z2=-2+i,则z1+z2=1-i,所以|z1+z2|= .
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11. 复数z1=1+i cos θ,z2= sin θ-i,则|z1-z2|的最大值为
(  )
解析: |z1-z2|=|(1- sin θ)+( cos θ+1)i|=
= =
.∵ cos =1,∴|z1-z2|max=
= +1.
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12. (多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点
为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是( )
A. P0点的坐标为(1,2)
B. 复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
C. 复数z对应的点Z的轨迹为一条直线
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解析: 复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),
A正确;复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错
误;设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|
(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即 =
,整理得,y=x,即点Z的轨迹为直线y=x,
C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为P0,Z两点之
间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为
= ,故D正确.故选A、C、D.
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13. A,B分别是复数z1,z2在复平面上对应的两点,O为原点,若|
z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB为 .
解析:由复数的加、减法的几何意义可知,当|z1+z2|=|z1
-z2|时,∠AOB=90°.
直角三角形 
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14. 已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量
对应的复数为1+2i,向量 对应的复数为3-i.
(1)求点C,D对应的复数;
解:∵向量 对应的复数为1+2i,向量 对应的复
数为3-i, = - ,
∴向量 对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又 = + ,
∴点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
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∵ = ,∴向量 对应的复数为3-i,
即 =(3,-1).
设D(x,y),则 =(x-2,y-1)=(3,-1),
∴解得
∴点D对应的复数为5.
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(2)求平行四边形ABCD的面积.
解:∵ · =| || | cos B,
∴ cos B= = = = .
∴ sin B= .
∴S ABCD=| || | sin B= × × =7,
故平行四边形ABCD的面积为7.
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15. 已知f(z)=|2+z|-z,且f(-z)=3+5i,则复数z
= .
解析:设复数z=a+bi(a,b∈R).
∵f(z)=|2+z|-z,∴f(-z)=|2-z|+z.
-10+5i 
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又∵f(-z)=3+5i,∴|2-z|+z=3+5i,
∴|2-(a+bi)|+a+bi=3+5i,
即 +a+bi=3+5i.
根据复数相等的充分必要条件,得
解得
∴复数z=-10+5i.
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16. 求证:(1) = + ;
证明:设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,
d∈R),则z1+z2=(a+c)+(b+d)i,
所以 =(a+c)-(b+d)i,
=a-bi, =c-di,
所以 + =(a+c)-(b+d)i,
所以 = + .
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证明:设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),
则z1-z2=(a-c)+(b-d)i,
所以 =(a-c)-(b-d)i,
=a-bi, =c-di,
所以 - =(a-c)-(b-d)i,
所以 = - .
(2) = - .
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谢 谢 观 看!