2.2 复数的乘法与除法 *2.3 复数乘法几何意义初探
1.计算（1＋i）·（2＋i）＝（ ）
A.1－i B.1＋3i
C.3＋i D.3＋3i
2.复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.设复数z满足（1＋i）z＝i2 024，则复数的虚部为（ ）
A.－ B.
C.i D.－i
4.方程z2－4｜z｜＋3＝0在复数集内解的个数为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.8
5.（多选）下面是关于复数z＝（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）
A.｜z｜＝2
B.z2＝2i
C.z的共轭复数为1＋i
D.z的虚部为－1
6.（多选）设复数z＝－＋i，则以下结论正确的是（ ）
A.z2≥0 B.z2＝
C.z3＝1 D.z2 025＝z
7.设复数z＝1＋i，则z2－2z＝ .
8.复数（i为虚数单位）的实部为 .
9.已知关于x的方程ax2＋x＋c＝0（a，c∈R）的一个根是2＋3i，则a－c＝ .
10.计算：
（1）（1－i）（1＋i）；
（2）（1＋i）2 024；
（3）.
11.（多选）已知复数z满足（1－i）z＝2i，则下列关于复数z的结论正确的是（ ）
A.｜z｜＝
B.复数z的共轭复数＝1－i
C.复平面内表示复数z的点位于第二象限
D.复数z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根
12.（多选）已知集合M＝{m｜m＝in，n∈N}，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是（ ）
A.（1－i）（1＋i） B.
C. D.（1－i）2
13.已知关于x的方程x2＋5x＋m＝0的两根分别为x1，x2，且满足｜x1－x2｜＝3，则实数m的值为 .
14.已知复数z满足z＋2i，均为实数，复数（z＋xi）2（x∈R）在复平面内对应的点位于第一象限，其中i为虚数单位.
（1）求复数z；
（2）求实数x的取值范围.
15.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”.已知z＝＋bi（a，b∈R）为“理想复数”，则（ ）
A.a－5b＝0 B.3a－5b＝0
C.a＋5b＝0 D.3a＋5b＝0
16.从①｜z｜＝，且z2的虚部是2；②z＝；③c＝，z为c的共轭复数，这三个条件中任选一个，补充在横线上并作出解答.
已知i为虚数单位，复数z满足 ，设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
2.2 复数的乘法与除法
*2.3 复数乘法几何意义初探
1.B （1＋i）（2＋i）＝2＋i＋2i－1＝1＋3i.故选B.
2.D ∵z＝＝＝－i，∴复数z在复平面内对应的点是，位于第四象限.故选D.
3.B i2 024＝i506×4＝1，所以z＝＝＝－i.所以＝＋i，其虚部为，故选B.
4.C 令z＝a＋bi（a，b∈R），则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，得当b＝0时，a2－4｜a｜＋3＝0，a＝±1或a＝±3；当a＝0时，b2＋4｜b｜－3＝0，｜b｜＝－2＋或｜b｜＝－2－（舍）.综上共有6个解：z＝±1，z＝±3，z＝±（－2）i，故选C.
5.BD 因为z＝＝＝－1－i，所以｜z｜＝，A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部为－1，D正确.故选B、D.
6.BC ∵z＝－＋i，∴z2＝（－＋i）2＝－i－＝－－i，故A错误；z2＝，故B正确；z3＝z2·z＝（－－i）（－＋i）＝＋＝1，故C正确；z2 025＝z3×675＝1，故D错误.
7.－3 解析：z2－2z＝（1＋i）2－2（1＋i）＝1＋（i）2＋2i－2－2i＝－3.
8.－3 解析：由题意可得＝－3－i，－3－i的实部为－3.
9.3 解析：由题意，得a（2＋3i）2＋（2＋3i）＋c＝0，即－5a＋2＋c＋（12a＋3）i＝0.由复数相等的充要条件，得解得所以a－c＝3.
10.解：（1）原式＝（1－i）（1＋i）
＝（1－i2）＝2
＝－1＋i.
（2）原式＝[（1＋i）2]1 012＝（1＋2i＋i2）1 012＝（2i）1 012＝21 012·i1 012＝21 012·（i2）506＝21 012.
（3）＝
＝＝－＋i.
11.ACD 由（1－i）z＝2i，得z＝＝＝－1＋i.∴｜z｜＝；＝－1－i；复平面内表示复数z的点的坐标为（－1，1），位于第二象限.∵（－1＋i）2＋2（－1＋i）＋2＝－2i－2＋2i＋2＝0，∴复数z是方程x2＋2x＋2＝0的一个根.
12.BC 根据题意，在M＝{m｜m＝in，n∈N}中，当n＝4k（k∈N）时，in＝1；当n＝4k＋1（k∈N）时，in＝i；当n＝4k＋2（k∈N）时，in＝－1；当n＝4k＋3（k∈N）时，in＝－i.所以M＝{－1，1，i，－i}.选项A中，（1－i）（1＋i）＝2 M；选项B中，＝＝－i∈M；选项C中，＝＝i∈M；选项D中，（1－i）2＝－2i M.故选B、C.
13.4或 解析：Δ＝25－4m，①若Δ≥0，即m≤，则｜x1－x2｜＝＝＝3，解得m＝4；②若Δ＜0，即m＞，则x1＝，x2＝，所以｜x1－x2｜＝＝3，解得m＝.综上，m＝4或.
14.解：（1）设z＝a＋bi（a，b∈R），
则z＋2i＝a＋（b＋2）i，
∵z＋2i为实数，∴b＋2＝0，
解得b＝－2，
∴＝＝＝＋i，
∵为实数，∴＝0，
解得a＝4.
∴z＝4－2i.
（2）∵复数（z＋xi）2＝[4＋（x－2）i]2＝16－（x－2）2＋8（x－2）i＝（12＋4x－x2）＋（8x－16）i，且复数（z＋xi）2在复平面内对应的点位于第一象限，
∴解得2＜x＜6.
即实数x的取值范围是（2，6）.
15.D 因为z＝＋bi＝＋bi＝＋i.由题意知，＝－－b，则3a＋5b＝0.
16.解：选①.设z＝a＋bi（a，b∈R），则z2＝a2－b2＋2abi.
由题意，得a2＋b2＝2且2ab＝2，解得a＝b＝1或a＝b＝－1，所以z＝1＋i或z＝－1－i.
当z＝1＋i时，z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），
所以S△ABC＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝2i，z－z2＝－1－3i，
所以A（－1，－1），B（0，2），C（－1，－3），
所以S△ABC＝×2×1＝1.
因此，选①时△ABC的面积为1.
选②.z＝＝＝1＋i，所以z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），
所以S△ABC＝×2×1＝1.
因此，选②时△ABC的面积为1.
选③.c＝＝＝1－i，其共轭复数z＝1＋i，
所以z2＝2i，z－z2＝1－i，
所以A（1，1），B（0，2），C（1，－1），
所以S△ABC＝×2×1＝1.
因此，选③时△ABC的面积为1.
1 / 22.2 复数的乘法与除法 *2.3 复数乘法几何意义初探
新课程标准解读 核心素养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学运算
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律 数学抽象
3.了解复数乘法的几何意义 直观想象
我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足am·an＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝an·bn，其中m，n均为正整数.
【问题】 复数的运算满足上述的运算律吗？
知识点一 复数的乘法运算及乘法的几何意义
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ .
特例：若z＝a＋bi（a，b∈R），则z·＝｜z｜2＝｜｜2＝a2＋b2.
2.幂的运算
设复数z，z1，z2和正整数m，n，则zm·zn＝zm＋n；（zm）n＝zmn；（z1·z2）n＝·.
一般地，n∈N，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
3.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝
结合律 （z1·z2）·z3＝
乘法对加法的分配律 z1·（z2＋z3）＝
4.复数乘法的几何意义
设复数z1＝a＋bi（a，b∈R）所对应的向量为.
（1）若z2＝（a＋bi）·c（c＞0）所对应的向量为，则是将沿原方向伸长（c＞1）或压缩（0＜c＜1） 倍得到的；
（2）z3＝（a＋bi）·i所对应的向量为，则是将 时针旋转 得到的.
【想一想】
1.两个虚数的积一定是虚数吗？
2.设复数z1＝a＋bi（a，b∈R）所对应的向量为，若z2＝（a＋bi）（－i）对应的向量是，那么向量与有何关系？
知识点二 复数的除法运算
复数的除法法则
＝ （a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）.
知识点三 实系数一元二次方程的解法
1.方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c∈R）在复数范围内的解集
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c∈R），则当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x1＝，x2＝；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－；
当Δ＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根，x1＝，x2＝.
2.根与系数的关系
如果x1，x2为实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解，那么
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个共轭复数的和与积是实数.（ ）
（2）复数z＝i（－2－i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在第四象限.（ ）
（3）若z1，z2∈C，且＋＝0，则z1＝z2＝0.（ ）
（4）（zn）m＝zmn.（ ）
2.复数（1＋i）2（2＋3i）的值为（ ）
A.6－4i B.－6－4i
C.6＋4i D.－6＋4i
3.已知复数z＝（i是虚数单位），则｜z｜＝ .
题型一 复数的乘法运算
【例1】 计算：
（1）（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）；
（2）（3＋4i）（3－4i）；
（3）（1＋i）2.
尝试解答
通性通法
复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.
【跟踪训练】
1.计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（ ）
A.2－13i B.13＋2i
C.13－13i D.－13－2i
2.若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，1） B.（－∞，－1）
C.（1，＋∞） D.（－1，＋∞）
题型二 复数除法的运算
【例2】 计算：（1）；
（2）＋.
尝试解答
通性通法
1.复数的除法法则
通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似.
2.复数四则运算的常用技法
（1）运算顺序：先算乘方，再算乘除，再算加减；
（2）三个或三个以上的复数相乘时可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算，混合运算和实数运算顺序一致；
（3）若运算式符合公式可直接运用公式计算.
【跟踪训练】
1.设复数z满足＝i，则｜z｜＝（ ）
A.1 B.
C. D.2
2.计算：（1）；
（2）.
题型三 i的乘方的周期性及应用
【例3】 （1）i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ）
A.i B.－i
C.1 D.－1
（2）计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 024＋i2 025＝ .
尝试解答
通性通法
利用i幂值的周期性解题的技巧
（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；
（2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
【跟踪训练】
计算：＋.
题型四 实系数一元二次方程根的求解
【例4】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根（b，c为实数）.
（1）求b，c的值；
（2）试判断1－i是否是方程的根.
尝试解答
通性通法
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判断
（1）当Δ＞0时，方程有两个不同的实数根；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相同的实数根；
（3）当Δ＜0时，方程有两个共轭的虚数根.
【跟踪训练】
已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，求实数k的值.
1.已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m的值为（ ）
A.1 B.－1 C.2 D.－2
2.复数z满足：z（2＋i）＝5（i是虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A.－2 B.2 C.－i D.－1
3.已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单位），则｜z｜＝（ ）
A.2 B.2 C.4 D.10
4.设是复数z的共轭复数.在复平面内，复数z＋2与＋2i对应的点关于y轴对称，则＝（ ）
A.－1＋i B.－－
C.－ D.－＋
5.已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R），若｜z｜＝2，则t的值为 .
2.2 复数的乘法与除法
*2.3 复数乘法几何意义初探
【基础知识·重落实】
知识点一
1.（ac－bd）＋（ad＋bc）i 3.z2·z1 z1·（z2·z3） z1·z2＋z1·z3 4.（1）c （2）逆
想一想
1.提示：不一定.如z·＝（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2是实数.
2.提示：是由顺时针旋转得到的.
知识点二
－i
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）× （4）√
2.D 原式＝（12＋2i＋i2）（2＋3i）＝2i（2＋3i）＝4i－6.
3. 解析：｜z｜＝＝＝｜i＋2｜＝.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）＝（11－2i）（－2＋i）＝－20＋15i.
（2）（3＋4i）（3－4i）＝32－（4i）2
＝9－（－16）＝25.
（3）（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i.
跟踪训练
1.D （1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）＝－13－2i.
2.B 因为z＝（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，所以它在复平面内对应的点为（a＋1，1－a），又此点在第二象限，所以解得a＜－1.
【例2】 解：（1）＝＝－＋i.
（2）原式＝
［］6＋
＝i6＋＝－1＋i.
跟踪训练
1.A 由＝i得1＋z＝i（1－z），即z＝＝＝＝i，｜z｜＝1.
2.解：（1）＝＝＝1－i.
（2）＝＝＝－1－3i.
【例3】 （1）A （2）i 解析：（1）因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i.故选A.
（2）因为i1＋i2＋i3＋i4＝0，所以i1＋i2＋i3＋…＋i2 024＋i2 025＝（i1＋i2＋i3＋i4）＋（i5＋i6＋i7＋i8）＋…＋（i2 021＋i2 022＋i2 023＋i2 024）＋i2 025＝i.
跟踪训练
解：∵＝＝＝i，
∴＝＝－i，而i4＝（－i）4＝1，
∴＋＝i2 024＋（－i）2 025＝i2 024＋（－i）2 024×（－i）＝1－i.
【例4】 解：（1）∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴（1＋i）2＋b（1＋i）＋c＝0，即（b＋c）＋（2＋b）i＝0.
∴解得
∴b＝－2，c＝2.
（2）将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝（1－i）2－2（1－i）＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根.
跟踪训练
解：由题意，得Δ＝k2－4（k2－2k）＝－3k2＋8k＜0 k＜0或k＞，
设两根为z1，z2，则z2＝，｜z2｜＝｜z1｜＝1，
所以由实系数一元二次方程根与系数的关系，可得z1·z2＝k2－2k＝1，
解得k1＝1－，k2＝1＋.
又k＜0或k＞，所以k＝1－.
随堂检测
1.A 由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－i，得解得m＝1.
2.D z＝＝＝2－i，∴虚部为－1.故选D.
3.B 依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所以｜z｜＝＝2.故选B.
4.B 设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋2＝（a＋2）＋bi，＋2i＝a＋（2－b）i，因为复数z＋2与＋2i对应的点关于y轴对称，所以a＋2＋a＝0且b＝2－b，解得a＝－1，b＝1，则z＝－1＋i，＝＝＝＝－－i，故选B.
5.2或－2 解析：由z（1＋i）＝2ti（t∈R），得z＝＝＝ti（1－i）＝t＋ti，因为｜z｜＝2，所以t2＋t2＝（2）2，解得t＝2或t＝－2.
4 / 4(共40张PPT)
2.2 复数的乘法与除法
*2.3 复数乘法几何意义初探
新课程标准解读 核心素养
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算 数学运算
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分
配律 数学抽象
3.了解复数乘法的几何意义 直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即a，b，
c∈R时，有（a＋b）c＝ac＋bc，而且，实数的正整数次幂满足
am·an＝am＋n，（am）n＝amn，（ab）n＝an·bn，其中m，n均为正
整数.
【问题】 复数的运算满足上述的运算律吗？
知识点一 复数的乘法运算及乘法的几何意义
1. 复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（a＋bi）（c＋di）＝ac＋bci＋adi＋bdi2
＝ .
特例：若z＝a＋bi（a，b∈R），则z· ＝｜z｜2＝｜ ｜2＝a2
＋b2.
（ac－bd）＋（ad＋bc）i
2. 幂的运算
设复数z，z1，z2和正整数m，n，则zm·zn＝zm＋n；（zm）n＝
zmn；（z1·z2）n＝ · .
一般地，n∈N，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
3. 复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝
结合律 （z1·z2）·z3＝
乘法对加法的分配律 z1·（z2＋z3）＝
z2·z1
z1·（z2·z3）
z1·z2＋z1·z3
4. 复数乘法的几何意义
设复数z1＝a＋bi（a，b∈R）所对应的向量为 .
（1）若z2＝（a＋bi）·c（c＞0）所对应的向量为 ，则
是将 沿原方向伸长（c＞1）或压缩（0＜c＜1） 倍
得到的；
（2）z3＝（a＋bi）·i所对应的向量为 ，则 是将
时针旋转 得到的.
c
逆
【想一想】
1. 两个虚数的积一定是虚数吗？
提示：不一定.如z· ＝（a＋bi）（a－bi）＝a2＋b2是实数.
2. 设复数z1＝a＋bi（a，b∈R）所对应的向量为 ，若z2＝（a
＋bi）（－i）对应的向量是 ，那么向量 与 有何关
系？
提示： 是由 顺时针旋转 得到的.
知识点二 复数的除法运算
复数的除法法则
＝ i （a，b，c，d∈R，且c＋di≠0）.
－ i
知识点三 实系数一元二次方程的解法
1. 方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c∈R）在复数范围内的
解集
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，且a，b，c∈R），则当
Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x1＝ ，x2＝
；
当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x1＝x2＝－ ；
当Δ＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根，x1＝ ，x2
＝ .
2. 根与系数的关系
如果x1，x2为实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解，
那么
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）两个共轭复数的和与积是实数. （ √ ）
（2）复数z＝i（－2－i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点
在第四象限. （ √ ）
（3）若z1，z2∈C，且 ＋ ＝0，则z1＝z2＝0. （ × ）
（4）（zn）m＝zmn. （ √ ）
√
√
×
√
2. 复数（1＋i）2（2＋3i）的值为（ ）
A. 6－4i B. －6－4i
C. 6＋4i D. －6＋4i
解析： 原式＝（12＋2i＋i2）（2＋3i）＝2i（2＋3i）＝4i－6.
3. 已知复数z＝ （i是虚数单位），则｜z｜＝ .
解析：｜z｜＝ ＝ ＝｜i＋2｜＝ .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 复数的乘法运算
【例1】 计算：
（1）（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）；
解：（1－2i）（3＋4i）（－2＋i）＝（11－2i）（－2＋i）＝－20＋15i.
（2）（3＋4i）（3－4i）；
解：（3＋4i）（3－4i）＝32－（4i）2＝9－（－16）＝25.
（3）（1＋i）2.
解：（1＋i）2＝1＋2i＋i2＝2i.
通性通法
复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘
法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等.
【跟踪训练】
1. 计算：（1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝（ ）
A. 2－13i B. 13＋2i
C. 13－13i D. －13－2i
解析： （1－i）2－（2－3i）（2＋3i）＝1－2i＋i2－（4－9i2）
＝－13－2i.
2. 若复数（1－i）（a＋i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数
a的取值范围是（ ）
A. （－∞，1） B. （－∞，－1）
C. （1，＋∞） D. （－1，＋∞）
解析： 因为z＝（1－i）（a＋i）＝a＋1＋（1－a）i，所以它
在复平面内对应的点为（a＋1，1－a），又此点在第二象限，所
以解得a＜－1.
题型二 复数除法的运算
【例2】 计算：（1） ；
解： ＝ ＝－ ＋ i.
（2） ＋ .
解：原式＝［ ］6＋ ＝i6＋
＝－1＋i.
通性通法
1. 复数的除法法则
通过分子、分母都乘以分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个
过程与“分母有理化”类似.
2. 复数四则运算的常用技法
（1）运算顺序：先算乘方，再算乘除，再算加减；
（2）三个或三个以上的复数相乘时可按从左到右的顺序运算或利
用结合律运算，混合运算和实数运算顺序一致；
（3）若运算式符合公式可直接运用公式计算.
【跟踪训练】
1. 设复数z满足 ＝i，则｜z｜＝（ ）
A. 1
D. 2
解析： 由 ＝i得1＋z＝i（1－z），即z＝ ＝
＝ ＝i，｜z｜＝1.
2. 计算：（1） ；（2） .
解：（1） ＝
＝ ＝1－i.
（2） ＝
＝ ＝－1－3i.
题型三 i的乘方的周期性及应用
【例3】 （1）i为虚数单位，i607的共轭复数为（ A ）
A. i B. －i
C. 1 D. －1
解析：因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i.故选A.
A
（2）计算i1＋i2＋i3＋…＋i2 024＋i2 025＝ .
解析：因为i1＋i2＋i3＋i4＝0，
所以i1＋i2＋i3＋…＋i2 024＋i2 025＝（i1＋i2＋i3＋i4）＋（i5＋i6＋i7
＋i8）＋…＋（i2 021＋i2 022＋i2 023＋i2 024）＋i2 025＝i.
i
通性通法
利用i幂值的周期性解题的技巧
（1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，
3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i；
（2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0.
【跟踪训练】
计算： ＋ .
解：∵ ＝ ＝ ＝i，∴ ＝ ＝－i，而i4＝（－i）4
＝1，
∴ ＋ ＝i2 024＋（－i）2 025＝i2 024＋（－i）2
024×（－i）＝1－i.
题型四 实系数一元二次方程根的求解
【例4】 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根（b，c为实数）.
（1）求b，c的值；
解：∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴（1＋i）2＋b（1＋i）＋c＝0，即（b＋c）＋（2＋b）i＝0.
∴解得
∴b＝－2，c＝2.
（2）试判断1－i是否是方程的根.
解：将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－
2x＋2＝（1－i）2－2（1－i）＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根.
通性通法
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的
判断
（1）当Δ＞0时，方程有两个不同的实数根；
（2）当Δ＝0时，方程有两个相同的实数根；
（3）当Δ＜0时，方程有两个共轭的虚数根.
【跟踪训练】
已知关于x的方程x2＋kx＋k2－2k＝0有一个模为1的虚根，求实数
k的值.
解：由题意，得Δ＝k2－4（k2－2k）＝－3k2＋8k＜0 k＜0或k＞
，
设两根为z1，z2，则z2＝ ，｜z2｜＝｜z1｜＝1，
所以由实系数一元二次方程根与系数的关系，可得z1·z2＝k2－2k＝1，
解得k1＝1－ ，k2＝1＋ .
又k＜0或k＞ ，所以k＝1－ .
1. 已知m∈R，i为虚数单位，若（m＋i）（2－3i）＝5－i，则m的
值为（ ）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
解析： 由（m＋i）（2－3i）＝（2m＋3）＋（2－3m）i＝5－
i，得解得m＝1.
2. 复数z满足：z（2＋i）＝5（i是虚数单位），则复数z的虚部为
（ ）
A. －2 B. 2
C. －i D. －1
解析： z＝ ＝ ＝2－i，∴虚部为－1.故选D.
3. 已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4（其中i为虚数单位），则｜z｜＝
（ ）
A. 2
C. 4 D. 10
解析： 依题意，z＝i＋2×（－1）＋3（－i）＋4＝2－2i，所
以｜z｜＝ ＝2 .故选B.
4. 设 是复数z的共轭复数.在复平面内，复数z＋2与 ＋2i对应的点
关于y轴对称，则 ＝（ ）
A. －1＋i
解析： 设z＝a＋bi（a，b∈R），则z＋2＝（a＋2）＋bi，
＋2i＝a＋（2－b）i，因为复数z＋2与 ＋2i对应的点关于y轴对
称，所以a＋2＋a＝0且b＝2－b，解得a＝－1，b＝1，则z＝－
1＋i， ＝ ＝ ＝ ＝－ － i，故选B.
5. 已知复数z满足z（1＋i）＝2ti（t∈R），若｜z｜＝2 ，则t的
值为 .
解析：由z（1＋i）＝2ti（t∈R），得z＝ ＝ ＝ti
（1－i）＝t＋ti，因为｜z｜＝2 ，所以t2＋t2＝（2 ）2，解
得t＝2或t＝－2.
2或－2
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