第二十八章 锐角三角函数 质量评估（含答案） 2025-2026学年数学人教版九年级下册

第二十八章 锐角三角函数 质量评估
[时间:120分钟 分值:120分]
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．如图，在中， ，，，则的值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．1
3．若把的各边长都扩大3倍，则锐角的正弦值（ ）
A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小 D．无变化
4．在中，若 ，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为，坡度，则大厅两层之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，， ， ，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，有一天桥高为，是通向天桥的斜坡， ，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端延伸到处，使 ，则的长约为参考数据:，（ ）
A． B． C． D．
10．如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2， ，其中点，，都在格点上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．3
11．如图，扇形的半径为，菱形的顶点，，分别在，，上，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，坡角为 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成 角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影的长为，则大树的高为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．计算:_ _ _ _ _ _ _ _ .
14．在中，如果，满足，那么_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
15．桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，如图，杠杆，，支架于点，，可以绕着点自由旋转.当点旋转到 时，此时点到水平地面的距离为_ _ _ _ _ _ _ _ .（结果保留根号）
16．将图①所示的七巧板，拼成图②所示的四边形，连接，则_ _ _ _ _ _ .
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（8分）计算: .
18．（10分）如图①是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”.如图②，从前面看“大碗”由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点，，，在同一条直线上.经测量，，， .
① ②
（1） 求“大碗”的口径的长;
（2） “大碗”的高度的长约为_ _ _ _ .
结果精确到.参考数据:，，
19．（10分）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验.如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处.已知与水平线的夹角 ，点到水面的距离，点处水深为，到池壁的水平距离.点，，在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为 ，折射角为 ，求的值.结果精确到0.1.参考数据:，，
20．（10分）某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东 方向，后到达处，测得小岛在它的北偏西 方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离结果精确到.参考数据:，.
21．（10分）如图①，塑像在底座上，点是人眼所在的位置.当点高于人的水平视线时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现:当经过，两点的圆与水平视线相切时（如图②），在切点处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角.
（1） 请仅就图②的情形证明;
（2） 经测量，最大视角为 ，在点处看塑像顶部点的仰角为 ，点到塑像的水平距离为，求塑像的高.结果精确到.参考数据:
22．（12分）综合与实践
【主题】探索荡秋千中的锐角三角形奥秘.
【背景】在一个阳光明媚的公园里，小朋友们正欢快地荡着秋千.仔细观察，你会发现秋千的构造中蕴含着许多数学原理，特别是与锐角三角形紧密相关.
【素材】如图①，秋千板在最低点时距离地面，小明爸爸将它往前推送时，秋千板距离地面.
【探究】
（1） 求秋千的绳索（视为线段）的长度.
（2） 如图②，将秋千从与铅垂线夹角为 的位置释放，秋千摆动到另一侧与铅垂线夹角为 的地方，两次位置的高度差.根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含 ， 和的式子表示；如果不能，请说明理由.
23．（12分）在边长为6的正方形中，点是边上的一个动点（点与点，不重合），连接，过点作于点，交于点.
（1） 如图①，直接写出与的数量关系为_ _ _ _ _ _ _ _ ；
（2） 如图②，当点运动到的中点时，连接，求的值；
（3） 如图③，在（2）的条件下，将绕点顺时针旋转 得到，连接，，若，求的值.
第二十八章质量评估
一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．A 2．D 3．D 4．B 5．D 6．B 7．D 8．A 9．D 10．B 11．C 12．A
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．
14．
15．
16．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．解:原式.
18．（1） 解:，，
.
， ，
四边形是矩形，
.
答:“大碗”的口径的长为.
（2） 40.0
19．解:如答图，过点作于点.
由题意可知， ，，四边形是矩形，
，
，，
，
.
，
.
第19题答图
20．解:由题意，得， ， .
如答图，过点作于点，
.
，.
，，
.
答:该船在航行过程中与小岛的最近距离约为.
第20题答图
21．（1） 证明:如答图，设与交于点，连接，则.
，
，.
第21题答图
（2） 解:在中， ，，
.
， .
在中，，
.
答:塑像的高约为.
22．（1） 解:如答图，过点作于点.
设秋千绳索的长度为.
由题意可知，，，，
.
在中，，
，
解得.
答：秋千的绳索的长度为.
第22题答图
（2） 能.由题可知， ，.
在中，，
，
同理 ，
，，
，.
23．（1）
（2） 解:如答图①，延长，交于点，
是的中点，.
四边形是正方形，
，， ，
.
， ，，
又， ，
，
，，.
，，
在和中，
，
，.
又， ，
，，
，，
.
第23题答图①
（3） 如答图②，点过作于点.
在中，.
，.
将绕点顺时针旋转 得到，
， .
，.
，，
，.
，，
，，
，，
，，，
.
第23题答图②