2024-2025学年河北省沧州市九年级下学期初中毕业生学业水平考试数学试题（含详解）

2025年河北省沧州市初中毕业生学业水平考试演练卷 （一）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若与是同类项，则的值为（　　）
A．2027 B．2021 C．4051 D．4045
2．刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．使有意义的x的取值范围是（　　）
A．且 B． C．且 D．
4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．函数数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．在平面直角坐标系中，直线与（b为常数）相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
9．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如图线段OA和折线BCD分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系，则下列说法正确的个数是（ ）
①两车同时到达乙地
②轿车在行驶过程中进行了提速
③货车出发3.9小时后，轿车追上货车
④两车在前80千米的速度相等
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，四边形内接于，连接，，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，、是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在锐角三角形中，已知，满足，则 ．
14．已知等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则该三角形的周长是 ．
15．点关于原点的对称点是，则 ．
16．为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则这棵树的高度为 ．
三、解答题
17．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围．
(2)设，是方程的两个根且，求m的值．
18．某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：
(1)补全上面的条形统计图；
(2)本次问卷的这五个选项中，众数是_____；
(3)该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人．
19．如图，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，点B的对应点为点D，点C的对应点F落在边上，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
20．如图，抛物线L：经过点和，与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，若使以P、E、F为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 　 ；
(3)点Q是y轴上的一点，在抛物线L上，是否存在点P，使得以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
21．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内．
(1)求D到的距离．
(2)求古塔的高度（结果保留根）．
22．已知，如图，是的直径，点为上一点，于点，交于点，与交于点，点为的延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
23．某网络经销商购进了一批 A型钥匙扣和B型钥匙扣．已知购进A型钥匙扣个、B型钥匙扣个共需 元，购进 A 型钥匙扣个、B型钥匙扣 个共需 元．
(1)每个 A 型钥匙扣和 B型钥匙扣的进价分别是多少元
(2)该经销商决定购进 A 型钥匙扣和 B型钥匙扣共 个，投入资金不超过 元，并将 A 型钥匙扣的售价定为每个 元，B型钥匙扣的售价定为每个 元，请问如何进货可以使该经销商获得最大利润 最大利润是多少元
24．综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究．如图1，在“中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．
(1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
(3)延伸思考：如图4，在中，，，，分别取，的中点D，E．作，将绕点B逆时针旋转，连接，．当边平分线段时，求的值．
试卷第1页，共3页
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《2025年河北省沧州市初中毕业生学业水平考试演练卷 （一）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A D B A D B B B
题号 11 12
答案 B C
1．A
【分析】此题考查了同类项的知识，根据同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，求出m和n的值代入即可求出结果．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，
∴，
故选A．
2．A
【分析】将42000000写成的形式即可，其中，n为整数．
【详解】解：，
故选A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是注意中n的值与小数点移动的位数相等．
3．A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，分母不为0，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方数是非负数，根据被开方数大于等于0，分母不等于0求解即可．
【详解】解： 由题意得，且，
解得且．
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
则，
表示在数轴上为：
．
故选：D．
5．B
【分析】设小红答对的个数为x个，根据抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分，列出方程求解即可．
【详解】解：设小红答对的个数为x个，
由题意得，
解得，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．
6．A
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余尺，可得，根据将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺可得，据此列出方程组即可．
【详解】解：可设木头长为x尺，绳子长为y尺，
由题意得，，
故选：A．
7．D
【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．
【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的，
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除B；
当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除C；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．
8．B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．先利用直线确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
【详解】解：把点代入，得，
，
解得，，
∴P点坐标为，
∵直线与相交于点，
∴关于x，y的方程组的解为．
故选：B．
9．B
【分析】①根据函数的图象即可直接得出结论②求得直线和的解析式求得交点坐标即可；③由图象无法求得的横坐标④分别进行运算即可得出结论．
【详解】由题意和图可得，
轿车先到达乙地，故①错误，
轿车在行驶过程中进行了提速，故②正确，
货车的速度是：千米时，轿车在段对应的速度是：千米时，故④错误，
设货车对应的函数解析式为，
，得，
即货车对应的函数解析式为，
设段轿车对应的函数解析式为＋，
，得，
即段轿车对应的函数解析式为，
令，得，
即货车出发小时后，轿车追上货车，故③正确，
故选：B．
【点睛】此题考查一次函数的应用，解题的关键在于利用题中信息列出函数解析式．
10．B
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，由题意，首先根据的坐标求出，然后可设，再由正方形，建立关于的方程，进而得解．
【详解】点的坐标为在反比例函数上，
．
．
反比例函数的解析式为．
点在反比例函数图象上，
可设．
．
∵正方形，
∴
，．
，
．
．
故选：B．
11．B
【分析】先求出，再根据垂径定理的推论得到，继而，再对运用内角和定理即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，
∴，
∴，
∵，经过圆心，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，以及等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
12．C
【分析】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【详解】解：如图，连接，
是劣弧的中点，即，
，
，
，
，
，
即；
故选：C
13．
【分析】根据实数的非负性，得计算，利用三角形内角和定理计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，实数的非负性，三角形内角和定理，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
14．5
【分析】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的定义，三角形的三边关系和求三角形的周长，掌握一元二次方程的解法、利用三角形的三边关系进行判断是否构成三角形是解题的关键．先解一元二次方程，再利用三角形的三边关系确定等腰三角形的腰长，最后求出三角形的周长即可．
【详解】解∶解方程，
得，，
当底边为1，腰为2时，此时能组成三角形，
∴该三角形的周长是；
当底边为2，腰为1时，由于，故此时不能组成三角形，
综上，该三角形的周长是5．
故答案为：5．
15．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得m、n的值，进而可得的值．
【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
16．米
【分析】本题考查了平行投影的应用，解题的关键明确在同一时刻物高和影长成正比，经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高．
【详解】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是米．
则有，
解得
树高是（米．
故答案为米．
17．(1)．
(2)．
【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，即可求出答案；
（2）根据根与系数关系得到，，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值m的值即可．
【详解】（1）解：∵．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
（2）由根与系数的关系，得，，
∴可化为，
即，
解得，．
又∵，
∴．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)C：动画
(3)
【分析】（1）从条形统计图中可得到C人数为90人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的30%，可求出调查人数；进而根据D所占百分比求出D的人数，从而将条形图补全；
（2）根据喜爱C类电视节目的人数最多可知众数是C：动画；
（3）利用样本估计总体的思想，用3600乘以样本中喜欢新闻类学生占比即可得出该校3600名学生中喜欢新闻类学生人数．
此题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
【详解】（1）解：由条形图可知，喜爱C类节目的学生有90人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的30%，
本次抽样调查的样本容量是：，
∴喜爱D类节目的学生有：（人），
补全统计图如下：
（2）由统计图可知：喜爱C类电视节目的人数最多，90人，故众数是C：动画；
（3）该校3600名学生中喜欢新闻类的学生有： （人）．
答：估计该校喜欢新闻类节目的学生大约有人．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，再根据等腰直角三角形的性质即可证明；
（2）根据，，再结合，即可求出．，由旋转可知，则利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：将绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴根据旋转可知：，
∴在中，，
∴，
由旋转可知，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理等知识，充分利用勾股定理是解答本题的关键．
20．(1)
(2)或
(3)存在，P的坐标为或或
【分析】本题考查用待定系数法确定二次函数解析式，全等三角形的判定，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式．根据题意分情况讨论是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）根据全等三角形性质得出可得出，然后进行求解即可；
（3）设，，根据平行四边形的对角线互相平分，再利用中点坐标公式建立方程组即可求解，可分三种情况进行讨论．
【详解】（1）
解：（1）将和代入得：，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图：
由得对称轴为直线，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵F在对称轴l上，点P在抛物线上，过点P作对称轴l的垂线，垂足为E，
∴，
∵以P、E、F为顶点的三角形与全等，
∴，
∴或，
∴或；
（3）解：存在，
设，，而，
①以为对角线，则的中点即为的中点，如图：
∴，
解得，
∴，
②以为对角线，
∴，
解得，
∴，
③以为对角线，
∴，
解得，
∴，
综上所述，P的坐标为或或．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
（1）过点作，根据斜坡的斜面坡度，结合勾股定理求出的长即可；
（2）过点作，垂足为点，易得四边形为矩形，推出，在中，求出的值，再根据可得出答案．
【详解】（1）解：过点作，垂足为点，
∵斜坡的斜面坡度，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
∵，
∴．
（2）过点作，垂足为点．
由题意得，，
∵ ，
∴四边形为矩形，
∴，，
由（1）知：，
∴，，
∴，
在中，
∵，
∴．
∴．
答：古塔的高度．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
（1）由圆周角定理和已知条件证出，再证出，即，即可得出是的切线；
（2）连接，证明得出，设，，在中，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
即，
，
是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
是的直径，
，
的半径为，，
，，
，
∴，
，
，
，
设，，
在中，，
即，解得，，
．
23．(1)每个A 型钥匙扣进价元，B型钥匙扣的进价为元
(2)该经销商应购进 A 型钥匙扣 个，B型钥匙扣 个，可获得最大利润，最大利润为元
【分析】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用，找到等量关系是解题的关键；
（1）根据“购进A型钥匙扣个、B型钥匙扣个共需 元，购进 A 型钥匙扣个、B型钥匙扣 个共需 ．”列方程组求解，
（2）先求出利润的函数，再根据一次函数的性质求解．
【详解】（1）解：设每个A 型钥匙扣进价x元，B型钥匙扣的进价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每个A 型钥匙扣进价元，B型钥匙扣的进价为元．
（2）解：设购进A 型钥匙扣a个，则B型钥匙扣件，利润为W元，根据题意得：
，
即：，
，
，且a为非负整数
，
W随着a的增大而增大，
当时，W最大，最大值为：
，
该经销商应购进 A 型钥匙扣 个，B型钥匙扣 个，可获得最大利润，最大利润为元．
24．(1)猜想，证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及解直角三角形的方法和步骤．
（1）根据中点的定义得出，进而得出，易得，通过证明，即可得出结论；
（2）根据题意推出当所在直线经过点B时，，根据勾股定理可得，根据（1）可得，即可求解；
（3）令相交于点Q，过点E作于点G，根据直角三角形斜边中线的性质得出，则，根据相似三角形的性质得出，进而推出，则，求出，，则，即可解答．
【详解】（1）解：猜想，证明如下：
∵点D和点E为分别为中点，
∴由图1可知，，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
根据旋转的性质可得：，
∴，
∴；
（2）解：由图1可知点D和点E为分别为中点，
∴，，
∴，
∴，
∴当所在直线经过点B时，，
根据勾股定理可得：，
由（1）可得：，
∴，
解得：；
（3）解：令相交于点Q，过点E作于点G，
根据题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵边平分线段，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据旋转的性质可得：，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
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