北师大版（2024）九年级下册 3.3 垂径定理 讲义
【题型1】垂径定理的应用
【典型例题】为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm
【举一反三1】如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的A，B两点，并使AB与车轮内圆相切于点D，已知O为车轮外圆和内圆的圆心，连接OD并延长交外圆于点C．测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则车轮的外圆半径是（ ）
A.10 cm B.30 cm C.50 cm D.60 cm
【举一反三2】把半径为5 cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8 cm，则EF的长为（ ）
A.8 cm B.7 cm C.5 cm D.4 cm
【举一反三3】如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度AB＝48米，拱高CD＝16米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．则桥拱所在圆的半径为 米．
【举一反三4】《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是 寸．（1尺＝10寸）
【举一反三5】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
【题型2】垂径定理与勾股定理综合求边长
【典型例题】如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A.7≤MN≤17 B.14≤MN≤34 C.7＜MN＜17 D.6≤MN≤16
【举一反三1】如图，⊙O的半径为3，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A.1 B.2 C.2 D.3
【举一反三2】如图，AB是⊙O的弦，AB长为4，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合）．过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA＝5，AB＝8，则AD的长为 ．
【举一反三4】如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD⊥AB于点E，连接BD，若BD＝CD，则AE的长是________．
【举一反三5】如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，若OC＝2 cm，OE＝ cm，求弦AB的长．
【举一反三6】如图所示，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，点H为垂足，AH＝CD＝8，求⊙O的面积．
【题型3】垂径定理与坐标系综合
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（ ）
A.4 B.3+ C.3 D.3
【举一反三1】如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A.（﹣5，﹣6） B.（﹣4，﹣5） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6）
【举一反三2】如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A.（﹣5，﹣6） B.（﹣4，﹣5） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6）
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为（ ）
A.（3，2） B.（2，3） C.（3，1） D.（2，2）
北师大版（2024）九年级下册 第三章 圆3 垂径定理 讲义（参考答案）
【题型1】垂径定理的应用
【典型例题】为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm
【答案】B
【解析】连接AB、CD交于点D，
由题意得，OC⊥AB，
则AD＝DB＝AB＝4，
设圆的半径为R cm，则OD＝（R﹣2）cm，
在Rt△AOD中，OA2＝AD2+OD2，即R2＝42+（R﹣2）2，
解得R＝5，
则该铁球的直径为10 cm．
【举一反三1】如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的A，B两点，并使AB与车轮内圆相切于点D，已知O为车轮外圆和内圆的圆心，连接OD并延长交外圆于点C．测得CD＝10 cm，AB＝60 cm，则车轮的外圆半径是（ ）
A.10 cm B.30 cm C.50 cm D.60 cm
【答案】C
【解析】如图，连接OA，
∵CD＝10 cm，AB＝60 cm，
∵CD⊥AB，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝30 cm，
∴设半径为r，则OD＝r﹣10，
根据题意得：r2＝（r﹣10）2+302，
解得：r＝50．
∴这个车轮的外圆半径长为50 cm．
【举一反三2】把半径为5 cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，若CD＝8 cm，则EF的长为（ ）
A.8 cm B.7 cm C.5 cm D.4 cm
【答案】A
【解析】如图，设球心为O，过O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，连接OF，
由题意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5 cm，
∵CD＝8 cm，∴MN＝8 cm，
∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），
∵MN⊥AD，∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，
∴MF=，
∴EF＝2FM＝8 cm．
【举一反三3】如图是一座圆弧型拱桥的截面示意图，若桥面跨度AB＝48米，拱高CD＝16米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．则桥拱所在圆的半径为 米．
【答案】26
【解析】如图，设圆的半径为R米，
∵CD平分弧AB，且CD⊥AB，
∴圆心O在CD的延长线上，
∴CD平分AB，
∴AC＝AB＝24，
连接OA，在Rt△OAC中，AC＝24，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣16，
∵OA2＝OC2+AC2，
∴R2＝（R﹣16）2+242，
解得R＝26，
即拱桥所在圆的半径26米．
【举一反三4】《九章算术》记载：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？翻译：现有圆柱形木材，埋在墙壁里（如图①），不知道其直径的大小，于是用锯子（沿横截面）锯它（如图②），当量得深度CE为1寸时，锯开的宽度AB为1尺，问木材的直径CD是 寸．（1尺＝10寸）
【答案】26
【解析】连接OA，如图：
设⊙O的半径为x寸，则OE＝（x﹣1）寸，
∵OE⊥AB，AB＝10寸，
∴AD＝BD＝AB＝5（寸），
在Rt△AOE中，由勾股定理得：x2＝（x﹣1）2+52，
解得：x＝13，
∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），
即木材的直径CD是26寸．
【举一反三5】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半径．
【答案】解：连接OC，如图，
∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
【题型2】垂径定理与勾股定理综合求边长
【典型例题】如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A.7≤MN≤17 B.14≤MN≤34 C.7＜MN＜17 D.6≤MN≤16
【答案】A
【解析】连接OM、ON、OA、OP，如图所示：
∵⊙O的直径为26，
∴OA＝OP＝13，
∵点M、N分别是弦AB、PQ的中点，AB＝24，PQ＝10，
∴OM⊥AB，ON⊥PQ，AM＝AB＝12，PN＝PQ＝5，
∴OM＝＝5，ON＝＝12，
当AB∥PQ时，M、O、N三点共线，
当AB、PQ位于O的同侧时，线段MN的长度最短＝ON﹣OM＝12﹣5＝7，
当AB、PQ位于O的两侧时，线段MN的长度最长＝ON+OM＝12+5＝17，
∴线段MN的长度的取值范围是7≤MN≤17．
【举一反三1】如图，⊙O的半径为3，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（ ）
A.1 B.2 C.2 D.3
【答案】D
【解析】过O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OA，
Rt△OAD中，
OD=CD=OC=，OA=3，
根据勾股定理得，AD===，
由垂径定理得，AB=2AD=3．
故选：D．
【举一反三2】如图，AB是⊙O的弦，AB长为4，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合）．过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】∵OC⊥AP，OD⊥PB，
∴AC＝PC，BD＝PD，
∴CD∥AB，且CD＝AB，
∵AB＝4，
∴CD＝AB＝2．
【举一反三3】如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA＝5，AB＝8，则AD的长为 ．
【答案】4
【解析】∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，AB＝8，∴AE＝BE＝4，
由勾股定理得：OE＝＝＝3，
∴DE＝OD+OE＝5+3＝8，
由勾股定理得：AD＝＝＝4．
【举一反三4】如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD⊥AB于点E，连接BD，若BD＝CD，则AE的长是________．
【答案】3
【解析】连接BC，OC，AC，如图，
∵直径AB＝12，
∴OA＝6，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
即AB垂直平分CD，
∴BC＝BD，
∵BD＝CD，
∴△BCD为等边三角形，
∴∠D＝60°，
∴∠A＝∠D＝60°，
∵OA＝OC，
∴△OCA为等边三角形，
∵CE⊥OA，
∴OE＝AE＝OA＝3．
【举一反三5】如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，若OC＝2 cm，OE＝ cm，求弦AB的长．
【答案】解：连接OB，如图所示：
∵半径OC过弦AB的中点E，OC＝2 cm，
∴OC⊥AB，AE＝BE，OB＝OC＝2，
∴BE＝＝＝（cm），
∴AB＝2BE＝2（cm）．
【举一反三6】如图所示，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，点H为垂足，AH＝CD＝8，求⊙O的面积．
【答案】解：连接OC，
设⊙O的半径为r，则OH＝AH﹣OA＝8﹣r，
∵AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，
∴CH＝DH＝，
在Rt△OHC中，有OC2＝OH2+CH2，
即r2＝（8﹣r）2+42，
解之，得r＝5，
所以，⊙O的面积为S＝25π．
【题型3】垂径定理与坐标系综合
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（ ）
A.4 B.3+ C.3 D.3
【答案】B
【解析】作PC⊥轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，
把x＝3代入y＝x得y＝3，
∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，
在Rt△PBE中，PB＝3，
∴PE＝，
∴PD＝PE＝，
∴a＝3+．
【举一反三1】如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A.（﹣5，﹣6） B.（﹣4，﹣5） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6）
【答案】D
【解析】过A作AB⊥NM于B，连接AM，
∵AB过A，∴MB＝NB，
∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3），N（0，﹣9），
∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，
∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，
由勾股定理得：AB＝=＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，﹣6）.
【举一反三2】如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（ ）
A.（﹣5，﹣6） B.（﹣4，﹣5） C.（﹣6，﹣4） D.（﹣4，﹣6）
【答案】D
【解析】过A作AB⊥NM于B，连接AM，
∵AB过A，∴MB＝NB，
∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3），N（0，﹣9），
∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，
∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，
由勾股定理得：AB＝=＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，﹣6）.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O，A两点，点A的坐标为（6，0），⊙P的半径为，则点P的坐标为（ ）
A.（3，2） B.（2，3） C.（3，1） D.（2，2）
【答案】A
【解析】作PB⊥AO交AO于B，连接AP，
∵PB⊥AO，
∴B是OA的中点，
∵点A（6，0），
∴AB=OB=3，
∵Rt△PBA中，AP=，AB=3，
∴PB==2，
∴P（3，2）．
故选：A．
