2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（第21-22章）--沪科版（含解析）

2025-2026学年九年级数学上册第一次月考测试卷（第21-22章）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列四组线段中，不能成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
2．已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．物理实验中，同学们分别测量甲、乙、丙、丁四种液体的体积和它们的质量，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种液体中密度最大的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．如图，能使的条件是( )
A． B． C． D．
5．将抛物线平移得到抛物线，则这个平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位；
B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位；
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位；
D．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位；
6．已知点 都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，顶点E，F都在x轴上，交y轴于点D．若点C在y轴上，且，则（　　）
A． B． C．4 D．
8．如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在钝角三角形中，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为/秒，点E运动的速度为/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）
A．3秒或4.8秒 B．3秒
C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒
10．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，有以下结论：；；若，是抛物线上的两点，当时，；点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；若方程的两根为，，且，则其中结论错误的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．若二次函数有最大值为4，则的最小值是 ．
12．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ．
13．已知抛物线与直线交于、两点，且．若点，也在该抛物线上，则 ．
14．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ．
15．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，则 ．
16．如图，在中，，点D在线段上，过点A作于点E，交于点F．若且，，则线段的长为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知二次函数，其顶点为．
(1)求点的坐标（用含的式子表示）；
(2)一次函数与直线交于点，与直线交于点，若线段与二次函数只有一个交点，求的取值范围．
18．（6分）如图，点，在反比例函数 的图象上，轴于点 C， 于点 D．
(1)若，求直线的解析式；
(2)若的面积为4，求 k的值．
19．（8分）如图，在中，，点在上，且，交于点，且．
(1)_____．
(2)求的长．
20．（8分）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标；
(3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由．
21．（10分）如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O．
(1)求证：；
(2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
22．（10分）某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式．
(1)求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式；
(2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？
(3)第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元．
23．（12分）已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
(1)求这两个函数的解析式．
(2)根据图象直接写出关于的不等式的解集．
(3)连接，，求的面积．
24．（12分）开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线．
独立思考：
（1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可）
问题解决：
（2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度．
参考答案
一．选择题
1．D
【分析】本题考查了比例线段，用最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断即可，掌握比例线段的定义是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴能成比例，该选项不合题意；
、∵，
∴能成比例，该选项不合题意；
、∵，
∴能成比例，该选项不合题意；
、∵，，
∴，不能成比例，该选项符合题意；
故选：．
2．B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质．
【详解】解：∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图示得出，，利用不等式的性质得出，，，则可得出丙的密度大于甲的密度，丙的密度大于丁的密度，丁的密度大于乙的密度，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由图象得出，，
∴，，，
∴丙的密度大于甲的密度，丙的密度大于丁的密度，丁的密度大于乙的密度，
∴这四种液体中密度最大的是丙，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，与有公共角，根据有夹这个角的两边对应成比例，三角形相似，逐项判断即可的解．
【详解】解：，
A、当时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意；
B、当，即时，是两边的夹角，可以判断三角形相似，符合题意；
C、时，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意；
D、当，即，不是两边的夹角，无法判断三角形相似，不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先将化为顶点式，再根据二次函数图象的平移法则即可得解，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到抛物线，
故选：A．
6．D
【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质成为解题的关键．
根据反比例函数图象的性质的增减性解答即可．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴该函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大，
∵，
∴．
∴．
故选：D．
7．D
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出，，根据，得出，从而得出，最后求出k值即可．
【详解】解：∵矩形的顶点A，B分别在反比例函数和的图象上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选：D．
8．C
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明及是解题的关键．
由点，分别是的三等分点，推导出，，由，证明，则，所以，由，证明，则，所以，求得，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：点，分别是的三等分点，
，，
，，
，
∴，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
故选：C．
9．A
【分析】此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．
根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
【详解】解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒，
①若，则，
∴，
解得：；
②若，则，
∴，
解得：．
∴当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．
故选：A
10．D
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【详解】解：由图象可知：，，，
，故错误，符合题意；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，，
，
，故错误，符合题意；
，是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：，
当时，，
故正确，不合题意；
由题意可知：，到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，
在轴下方的抛物线上存在点，使得，
即，
，
，
，
，
解得：，故错误，符合题意；
易知抛物线与轴的另外一个交点坐标为，
，
若方程，
即方程的两根为，，
则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
，
，故错误，符合题意；
故选：．
二．填空题
11．
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键．
根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值．
【详解】解：∵二次函数有最大值为4，
∴设二次函数的顶点坐标为，
∵向左平移1个单位得到，
∴的顶点坐标为，
∵与关于轴对称，
∴的顶点坐标为，且开口向上，
此时顶点坐标为，则最小值为；
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了反比例函数k的意义．
根据图像在第二、四象限列不等式计算即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限，
∴，
解得，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根与系数的关系，设，，则由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合计算得出，从而可得，由二次函数的对称性计算可得，从而可得，由此计算即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解：设，，
∴、是方程的两个根，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵抛物线上有两个点，，
∴对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
当时，．
故答案为：．
14．
【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴,
由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2，
∴，即CO=1，
∴点C的坐标是，
故答案为：．
15．1
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、二次函数的性质等知识点，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，证得；由题意得：，进而得，即可求解；
【详解】解：分别过点和点作y轴的垂线，垂足分别为和，
∵，
∴；
∵，
∴；
∴；
由题意得：，
∴，
∴，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1
16．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．过点作延长线于点，延长，交于点，通过证明，得出，，设，再证明，再证明，得出，设，则，，，利用，求出，（负值舍），则可求出，，再利用，得，即可求解．
【详解】解：过点作延长线于点，延长，交于点，
，，，
∴，
∴，，
设，
，
，，
，
，
，
又，，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
，（负值舍），
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题
17．（1）解：∵，
∴二次函数图象顶点的坐标为；
（2）解：∵一次函数与直线交于点，与直线交于点，
∴，，
∵抛物线顶点的坐标为，
∴点在点的上方，
∵线段与二次函数只有一个交点，
则点N在抛物线上或抛物线下方，
当过点N时，
，即，
解得或，
∴或．
18．（1）解：点，在反比例函数的图象上，，
，解得 ，

设直线的解析式为，将A，B 的坐标分别代入，
得 ，解得 ，
直线的解析式为．
（2）根据题意，可得，

轴，，
，，
，
，即，
．
19．（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）得，．
．
．
∴
∴．
20．（1）解：把，代入，
∴，
解得：，
则抛物线的解析式为：；
（2）解：令，可得：，
解得：，，
∴B点坐标为：，
抛物线的对称抽为：，
A、B两点关于直线对称，
抛物线的对称轴上有一动点P，如图，
∴，
∴，
即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为，
如图，
∵，，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴当时，，
∴P点坐标为：；
（3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示：
设点 ，则点，
则，
则
，
∵，
∴当时，面积的最大值为，
此时，
∴．
21．（1）证明：在四边形中，，
，
恰好平分，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
，，
，
，
．
22．（1）解：根据利润单件利润销售量，
可得：；
（2）解：当时，
可得：，
解得：，
该产品第一年的售价是元/件．
（3）解：公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件，
，
解得：，
，
第二年的利润，
抛物线的对称轴为直线，开口向下，且，
当时，有最小值，最小值为万元，
答：该公司第二年的利润至少为万元．
23．（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
，
解得，，
反比例函数解析式为，
将代入得
解得：
一次函数解析式为．
（2）由函数图象可知：不等式的解集为：或．
（3）如图，连接、，一次函数交轴于点，
对于，当时，，
∴，即，
∴．
24．解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量；
（2）设塔的高度为x米，
由题意知，
，
，
即，
∴，
，
，
，
即，
∴，
∵，
即，
∴，
∴开封铁塔的高度为56米．
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