人教版九年级上 22.1 二次函数的图象和性质 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级上 22.1 二次函数的图象和性质 同步练习（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 54.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-10 00:00:00 | ||
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文档简介
人教版九年级上 22.1 二次函数的图象和性质 同步练习
一．选择题（共10小题）
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=2x2-5x B．y=6x+1 C． D．
2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
3．关于二次函数y=（x-1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．二次函数的最小值为1
C．该函数的对称轴为x=1
D．当x≥1时，y随x的增大而减小
4．将二次函数y=2（x+1）2-1的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（ ）
A．y=2（x+1）2-2 B．y=2（x+1）2
C．y=2（x+1）2-1 D．y=2x2-1
5．已知二次函数y=x2-4x上有两点A（a,-1），B（b,-1），则的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．3
6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
7．用配方法将二次函数y=x2-4x-3化成y=a（x-h）2+k的形式为（ ）
A．y=（x-2）2-7 B．y=（x-2）2-1 C．y=（x-2）2-3 D．y=（x-2）2-4
8．若y=（m2-m）x是二次函数，则m等于（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．1或-2
9．若二次函数y=-x2+4x-m的图象经过A（-1.5，a），B（2，b），C（4.5，c）三点，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b
10．如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（-2，4），B（-2，-1），C（3，-1）．抛物线经过点D，顶点坐标为（1，0），将此抛物线在正方形ABCD内（含边界）的部分记为图象G．若直线y=kx-2k+2（k≠0）与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2或 B．或0＜k＜2
C．k＞1或k＜-3 D．k＞1或k＜-3或k=-2
二．填空题（共5小题）
11．把二次函数y=3x2的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是______．
12．抛物线y=2x2+（m-1）x+4的对称轴是y轴，则m的值为 ______．
13．已知抛物线y=（k+2）x2+6x-5的开口向下，那么k的取值范围是 ______．
14．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=10，则四边形ABCD的面积的最大值为 ______．
15．定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y=x-1的“3阶和点”．
（1）若点（-1，-1）是y关于x的正比例函数y=mx的“n阶和点”，则m+n= ______；
（2）若y关于x的一次函数y=nx-4的图象有且仅有2个“n阶和点”，则n的取值范围为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．二次函数的图象顶点坐标为（-2，-3），且过（-4，1）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当-5≤x≤2时，求函数值y的取值范围．
17．已知二次函数x与y的一些对应值如下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 …
y … 0 3 -4 -3 0 5 …
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若此二次函数图象上的点到对称轴的距离是4，求出符合条件的点的坐标；
（3）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______．
18．如图，点P（7，a）在抛物线上C：y=4-（6-x）2，且在抛物线的对称轴右侧．
（1）写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值；
（2）在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数解析式恰为y=-（x-3）2．直接写出点P′平移的方向和距离．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C（0，-4）点，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及B点坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标．
20．如图所示，抛物线与x轴交于M，N两点（点M在N的左侧），交y轴于点A，抛物线C2也经过点A，且其顶点坐标为D（3，-4）．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）若C1与C2关于y轴对称，直接写出b的值，并求出点M的坐标；
（3）点B在抛物线C2上，且横坐标为6，过点B的直线l与抛物线C2有且仅有一个公共点．
①求出直线l的解析式；
②平移直线l得到l′，直线l′与抛物线C2交于E，F两点，直线AE，AF与x轴分别交于P，Q两点，设点P，Q的横坐标分别为p,q,直接写出p,q之间的关系式．
人教版九年级上 22.1 二次函数的图象和性质 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、B 3、C 4、A 5、B 6、C 7、A 8、A 9、A 10、A
二．填空题（共5小题）
11、y=3（x-1）2-2； 12、1； 13、k＜-2； 14、12.5； 15、3；n＞2；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）设该二次函数的表达式为y=a（x+2）2-3．
∵二次函数图象过点（-4，1），
∴1=a（-4+2）2-3，
解得a=1，
∴解析式为y=（x+2）2-3．
（2）∵将抛物线的一般形式转化为顶点式为：y=（x+2）2-3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-2，当x=-2时，函数有最小的值-3，
且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵-5≤x≤2，
∴x=-2在-5≤x≤2内，
∴二次函数的最小值为-3，
∵|2-（-2）|=4＞|-5-（-2）|=3，
∴当x=2时，取得最大的值，且最大的值为y=（2+2）2-3=13，
故y的取值范围为：-3≤y≤13．
17、解：（1）根据表中数据得到对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，-4），
设函数解析式为：y=a（x+1）2-4（a≠0），
将（0，-3）代入，得-3=a（0+1）2-4，
解得a=1，
故y=（x+1）2-4；
（2）对称轴为直线x=-1，由于此二次函数图象上的点到对称轴的距离是4，
∴横坐标为x=-5或x=3，
将x=3代入，解得y=（3+1）2-4=12，
∴距离对称轴是4的点（-5，12）或（3，12）；
（3）由（1）知抛物线的解析式为y=（x+1）2-4，
抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线为y=（x+1-1）2-4-2=x2-6，
故答案为：y=x2-6．
18、解：（1）∵抛物线y=-（6-x）2+4=-（x-6）2+4，
∴抛物线对称轴为：x=6，最大值为：4；
∵点P（7，a）在抛物线上C：y=4-（6-x）2上，
∴a=-（7-6）2+4=3；
（2）原抛物线y=-（x-6）2+4，平移后的抛物线y=-（x-3）2．
由平移规律得，抛物线y=-（x-3）2是由函数y=-（x-6）2+4的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的．
∴点P′向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的．
19、解：（1）把（0，-4），（-1，0），代入y=x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y=x2-3x-4，
令x2-3x-4=0，则x=-1或4，
∴B（4，0）；
（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-4），
∴AB=5，OC=4，
；
（3）设直线BC的解析式为yBC=kx-4，
∵B（4，0），
∴0=4k-4，
解得k=1，
∴直线BC的解析式为yBC=x-4，
设P（x,x2-3x-4），0＜x＜4，
∵PQ∥y轴，
∴Q（x,x-4），
∴PQ=x-4-（x2-3x-4）=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴当x=2时，PQmax=4，此时P（2，-6），
∴线段PQ的最大值是4，此时点P的坐标为（2，-6）．
20、解：（1）由题意，点A的坐标为（0，5），抛物线C2的顶点坐标为（3，-4），
设抛物线C2的解析式为y=a（x-3）2-4，
将A（0，5）的坐标代入，
得5=a（0-3）2-4，
解得a=1，
∴抛物线C2的解析式为y=（x-3）2-4；
（2）∵C1与C2关于y轴对称，抛物线C2的对称轴为直线x=3，
∴抛物线C1的对称轴为直线x=-3，
∴，
∴b=6；
∴抛物线，
当y=0时，0=x2+6x+5，
解得x1=-5，x2=-1，
∵点M为抛物线与x轴的左交点，
∴点M的坐标为（-5，0）；
（3）①点B在抛物线C2上，且横坐标为6，
∴当x=6时，y=（6-3）2-4=5，
即B（6，5），
设直线l的解析式为y=kx+g,
将B（6，5）代入，得5=6k+g,
即g=5-6k,
∴直线l的解析式为y=kx-6k+5，
∵过点B的直线l与抛物线C2有且仅有一个公共点，
∴kx-6k+5=（x-3）2-4，
即x2-（k+6）x+6k=0，
当Δ=[-（k+6）]2-4×1×6k=0，
解得k=6，
∴直线l的解析式为y=6x-31；
②设直线l′的解析式为y=6x+n,
由题意得（x-3）2-4=6x+n,
整理得，x2-12x+5-n=0，
∵直线l′与抛物线C2交于E，F两点，
设，，
∴xe+xf=12，
设直线AE为y=k1x+b1，
代入（0，5）和，
得，
∴，
∴y=（xe-6）x+5，
同理可求直线AF为y=（xf-6）x+5，
令y=0，
∴0=（xe-6）x+5，0=（xf-6）x+5，
∴，，
∵直线AE，AF与x轴分别交于P，Q两点，点P，Q的横坐标分别为p,q,
∴，，
∴，
即p+q=0．
一．选择题（共10小题）
1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y=2x2-5x B．y=6x+1 C． D．
2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0
3．关于二次函数y=（x-1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．二次函数的最小值为1
C．该函数的对称轴为x=1
D．当x≥1时，y随x的增大而减小
4．将二次函数y=2（x+1）2-1的图象向下平移1个单位长度，得到的二次函数表达式为（ ）
A．y=2（x+1）2-2 B．y=2（x+1）2
C．y=2（x+1）2-1 D．y=2x2-1
5．已知二次函数y=x2-4x上有两点A（a,-1），B（b,-1），则的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．3
6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（ ）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
7．用配方法将二次函数y=x2-4x-3化成y=a（x-h）2+k的形式为（ ）
A．y=（x-2）2-7 B．y=（x-2）2-1 C．y=（x-2）2-3 D．y=（x-2）2-4
8．若y=（m2-m）x是二次函数，则m等于（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．1或-2
9．若二次函数y=-x2+4x-m的图象经过A（-1.5，a），B（2，b），C（4.5，c）三点，则a,b,c的大小关系是（ ）
A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b
10．如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（-2，4），B（-2，-1），C（3，-1）．抛物线经过点D，顶点坐标为（1，0），将此抛物线在正方形ABCD内（含边界）的部分记为图象G．若直线y=kx-2k+2（k≠0）与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2或 B．或0＜k＜2
C．k＞1或k＜-3 D．k＞1或k＜-3或k=-2
二．填空题（共5小题）
11．把二次函数y=3x2的图象向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是______．
12．抛物线y=2x2+（m-1）x+4的对称轴是y轴，则m的值为 ______．
13．已知抛物线y=（k+2）x2+6x-5的开口向下，那么k的取值范围是 ______．
14．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=10，则四边形ABCD的面积的最大值为 ______．
15．定义：在平面直角坐标系xOy中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于n（n＞0）的点，叫做该函数图象的“n阶和点”．例如，（2，1）为一次函数y=x-1的“3阶和点”．
（1）若点（-1，-1）是y关于x的正比例函数y=mx的“n阶和点”，则m+n= ______；
（2）若y关于x的一次函数y=nx-4的图象有且仅有2个“n阶和点”，则n的取值范围为 ______．
三．解答题（共5小题）
16．二次函数的图象顶点坐标为（-2，-3），且过（-4，1）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当-5≤x≤2时，求函数值y的取值范围．
17．已知二次函数x与y的一些对应值如下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 …
y … 0 3 -4 -3 0 5 …
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若此二次函数图象上的点到对称轴的距离是4，求出符合条件的点的坐标；
（3）将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线______．
18．如图，点P（7，a）在抛物线上C：y=4-（6-x）2，且在抛物线的对称轴右侧．
（1）写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值；
（2）在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数解析式恰为y=-（x-3）2．直接写出点P′平移的方向和距离．
19．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C（0，-4）点，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及B点坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作y轴平行线交直线BC于点Q，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标．
20．如图所示，抛物线与x轴交于M，N两点（点M在N的左侧），交y轴于点A，抛物线C2也经过点A，且其顶点坐标为D（3，-4）．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）若C1与C2关于y轴对称，直接写出b的值，并求出点M的坐标；
（3）点B在抛物线C2上，且横坐标为6，过点B的直线l与抛物线C2有且仅有一个公共点．
①求出直线l的解析式；
②平移直线l得到l′，直线l′与抛物线C2交于E，F两点，直线AE，AF与x轴分别交于P，Q两点，设点P，Q的横坐标分别为p,q,直接写出p,q之间的关系式．
人教版九年级上 22.1 二次函数的图象和性质 同步练习
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、A 2、B 3、C 4、A 5、B 6、C 7、A 8、A 9、A 10、A
二．填空题（共5小题）
11、y=3（x-1）2-2； 12、1； 13、k＜-2； 14、12.5； 15、3；n＞2；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）设该二次函数的表达式为y=a（x+2）2-3．
∵二次函数图象过点（-4，1），
∴1=a（-4+2）2-3，
解得a=1，
∴解析式为y=（x+2）2-3．
（2）∵将抛物线的一般形式转化为顶点式为：y=（x+2）2-3，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-2，当x=-2时，函数有最小的值-3，
且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大，
∵-5≤x≤2，
∴x=-2在-5≤x≤2内，
∴二次函数的最小值为-3，
∵|2-（-2）|=4＞|-5-（-2）|=3，
∴当x=2时，取得最大的值，且最大的值为y=（2+2）2-3=13，
故y的取值范围为：-3≤y≤13．
17、解：（1）根据表中数据得到对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，-4），
设函数解析式为：y=a（x+1）2-4（a≠0），
将（0，-3）代入，得-3=a（0+1）2-4，
解得a=1，
故y=（x+1）2-4；
（2）对称轴为直线x=-1，由于此二次函数图象上的点到对称轴的距离是4，
∴横坐标为x=-5或x=3，
将x=3代入，解得y=（3+1）2-4=12，
∴距离对称轴是4的点（-5，12）或（3，12）；
（3）由（1）知抛物线的解析式为y=（x+1）2-4，
抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，就得到抛物线为y=（x+1-1）2-4-2=x2-6，
故答案为：y=x2-6．
18、解：（1）∵抛物线y=-（6-x）2+4=-（x-6）2+4，
∴抛物线对称轴为：x=6，最大值为：4；
∵点P（7，a）在抛物线上C：y=4-（6-x）2上，
∴a=-（7-6）2+4=3；
（2）原抛物线y=-（x-6）2+4，平移后的抛物线y=-（x-3）2．
由平移规律得，抛物线y=-（x-3）2是由函数y=-（x-6）2+4的图象向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的．
∴点P′向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的．
19、解：（1）把（0，-4），（-1，0），代入y=x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y=x2-3x-4，
令x2-3x-4=0，则x=-1或4，
∴B（4，0）；
（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-4），
∴AB=5，OC=4，
；
（3）设直线BC的解析式为yBC=kx-4，
∵B（4，0），
∴0=4k-4，
解得k=1，
∴直线BC的解析式为yBC=x-4，
设P（x,x2-3x-4），0＜x＜4，
∵PQ∥y轴，
∴Q（x,x-4），
∴PQ=x-4-（x2-3x-4）=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴当x=2时，PQmax=4，此时P（2，-6），
∴线段PQ的最大值是4，此时点P的坐标为（2，-6）．
20、解：（1）由题意，点A的坐标为（0，5），抛物线C2的顶点坐标为（3，-4），
设抛物线C2的解析式为y=a（x-3）2-4，
将A（0，5）的坐标代入，
得5=a（0-3）2-4，
解得a=1，
∴抛物线C2的解析式为y=（x-3）2-4；
（2）∵C1与C2关于y轴对称，抛物线C2的对称轴为直线x=3，
∴抛物线C1的对称轴为直线x=-3，
∴，
∴b=6；
∴抛物线，
当y=0时，0=x2+6x+5，
解得x1=-5，x2=-1，
∵点M为抛物线与x轴的左交点，
∴点M的坐标为（-5，0）；
（3）①点B在抛物线C2上，且横坐标为6，
∴当x=6时，y=（6-3）2-4=5，
即B（6，5），
设直线l的解析式为y=kx+g,
将B（6，5）代入，得5=6k+g,
即g=5-6k,
∴直线l的解析式为y=kx-6k+5，
∵过点B的直线l与抛物线C2有且仅有一个公共点，
∴kx-6k+5=（x-3）2-4，
即x2-（k+6）x+6k=0，
当Δ=[-（k+6）]2-4×1×6k=0，
解得k=6，
∴直线l的解析式为y=6x-31；
②设直线l′的解析式为y=6x+n,
由题意得（x-3）2-4=6x+n,
整理得，x2-12x+5-n=0，
∵直线l′与抛物线C2交于E，F两点，
设，，
∴xe+xf=12，
设直线AE为y=k1x+b1，
代入（0，5）和，
得，
∴，
∴y=（xe-6）x+5，
同理可求直线AF为y=（xf-6）x+5，
令y=0，
∴0=（xe-6）x+5，0=（xf-6）x+5，
∴，，
∵直线AE，AF与x轴分别交于P，Q两点，点P，Q的横坐标分别为p,q,
∴，，
∴，
即p+q=0．
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