苏科版九年级下册 第6章 图形的相似 单元测试（含答案）

苏科版九年级下 第6章 图形的相似 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列四组图形中，不是相似图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，下列条件仍无法保证△ADE与△ABC相似的是（　　）
A．∠ADE=∠C B．∠B=∠C C． D．
4．小明依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知AD∥BE∥CF，若DE=20cm,，则EF的长度为（　　）
A．50cm B．30cm C．20cm D．无法确定
5．如图，在 ABCD中，点E为边AD上一点，连结BE交对角线AC于点G．若，AD=6，则DE的长为（　　）
A． B．4 C． D．5
6．如图，在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为2m,设雕像下部高x m,则可列方程为（　　）
A．x2=2x（2-x） B．2x=x（2-x） C．x2=2（2-x） D．x2=2（2+x）
7．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG=2，则BC的值是（　　）
A．6 B．5 C．8 D．4
8．如图，在正方形ABCD中，M为BC的三等分点，MC=2BM，对角线AC与MD相交于点F，过点F作CD的垂线，垂足为G，过点F作BC的垂线，垂足为E，已知AD=4，则FG的长度为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，D，E为边AB上的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，H为AF与DG的交点．若EF=4，则HG的长为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．（2025 大庆一模）如图，△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF到点A，B，C，使DA=EB=FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长，交AC于点G．若AD=DF=2，则FG的长为（　　）
A． B． C． D．
11．图1是捣谷物的“碓”，图2是其示意图，O为转动支点，CD⊥AB于点B，AB与水平线MN夹角∠BOM=30°，BC=40cm,OB=120cm,OA=40cm.当点C绕点O旋转下落到MN上时，点A上升（　　）
A． B． C． D．
12．如图，点P是边长为2的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论：①AH⊥EF；②MF=MC；③EF2=PM PH；④EF的最小值是．其中正确结论的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
13．（2025 仪征市一模）将正方体的一种展开图如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则BC=______．
14．如果，那么=______．
15．如图，AB∥EF∥CD，直线AD与BC交于点O，若AE=1，OE=1，OD=2，则的值为______．
16．如图，点D是等边△ABC内一点，连接AD，BD，CD，∠BDA=120°，延长CD交AB于点E．
（1）当点E为AB中点时，则=______；
（2）当∠BDE=∠CAD，则=______．
17．如图，在 ABOD中，以点O为圆心作⊙O与直线BD相切，点E是⊙O上一个动点，连接AE交BD于点F，则的最大值是______．
三．解答题（共5小题）
18．如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E、F分别在边AD、AB上，EF∥BD，延长CB到G，且BG=BC，联结GF、CE．
（1）求证：GF=CE；
（2）延长GF交CE于点H，联结BH，求证：2BH2=GH GF．
19．已知：如图，四边形ABCD是菱形，P是对角线BD上一点，联结AP、CP并延长，分别与边CD、AD交于点E、F．
（1）求证：AE=CF；
（2）如果∠APF=2∠ABD，求证：BP BD=2AB2．
20．如图，在矩形ABCD中，AB=10m,BC=24m,动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向B点移动．设P、Q两点移动的时间为t（0＜t＜13）秒．
（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）探究：在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
21．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接BE、AD交于点G，点F在线段DC上，且∠EFD+∠ADF=180°，，连接FG．
（1）求证：四边形AGFE是平行四边形；
（2）如果∠BDA=∠BAC，求证：AG=AE．
22．如图，已知在Rt△ABC中，ACB=90°，点E是AC上一点，把△ABE沿着BE对折得到△GBE，GE∥BC，连接CG．
（1）求∠BEC的度数．
（2）若CG∥AB．
（i）如图1，若BC=2，求的值；
（ii）如图2，过点C作BG的垂线分别交BG、AB于点F、D，连接ED、HD．求证：HD=ED．
苏科版九年级下 第6章 图形的相似 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、D 2、B 3、B 4、B 5、B 6、C 7、A 8、B 9、A 10、C 11、D 12、C
二．填空题（共5小题）
13、8； 14、； 15、； 16、；； 17、3；
三．解答题（共5小题）
18、证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠CDA=90°，AB=AD，
∴∠GBF=∠CDE=90°，∠ABD=∠ADB，
∵EF∥BD，
∴∠AFE=∠ABD，∠AEF=∠ADB，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AF=AE，
∴AB-AF=AD-AE，
∴BF=DE，
∵BG=BC，DC=BC，
∴BG=DC，
在△GBF和△CDE中，
，
∴△GBF≌△CDE（SAS），
∴GF=CE．
（2）延长GF交CE于点H，联结BH，
∵BC∥AD，
∴∠GCH=∠CED，
由（1）得△GBF≌△CDE，
∴∠G=∠DCE，
∴∠G+∠GCH=∠DCE+∠CED=90°，
∴∠GHC=180°-（∠G+∠GCH）=90°，
∴BH=GB=GC，
∴GC=2BH，
∴GC GB=2BH BH=2BH2，
∵∠GBF=∠GHC=90°，∠G=∠G，
∴△GBF∽△GHC，
∴=，
∴GC GB=GH GF，
∴2BH2=GH GF．
19、证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，BD垂直平分AC，
∴∠ACD=∠CAD，
∵点P在BD上，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
在△ACE和△CAF中，
，
∴△ACE≌△CAF（ASA），
∴AE=CF．
（2）设AC交BD于点L，则LB=LD=BD，
∵AB=CB，BD⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵∠APF=2∠ABD，
∴∠APF=∠ABC，
∴∠ABC+∠APC=∠APF+∠APC=180°，
∴∠BAP+∠BCP=360°-（∠ABC+∠APC）=180°，
∵∠BAC=∠BCA，∠PAC=∠PCA，
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=∠BCA+∠PCA=∠BCP，
∴2∠BAP=180°，
∴∠BLA=∠BAP=90°，
∵∠ABL=∠PBA，
∴△ABL∽△PBA，
∴=，
∴=，
∴BP BD=2AB2．
20、解：（1）在Rt△ABC中，AC===26，
∵∠PCQ=∠ACB，
∴当∠PQC=∠B时，△CQP∽△CBA，则，即，解得t=（s）；
当∠PQC=∠BAC时，△CQP∽△CAB，则，即，解得t=（s）；
∴t为s或s时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似；
（2）四边形ABQP与△CPQ的面积能相等．理由如下：
作PQ⊥BC于H，如图，
∵PH∥AB，
∴△CPH∽△CAB，
∴，即，
∴PH=，
当四边形ABQP与△CPQ的面积相等时，
S△ABC-S△CPQ=S△CPQ，即S△ABC=2S△CPQ，
∴2 t =×10×24，
整理得t2-13t+156=0，Δ＜0，此时方程没有实数根，
∴不存在t的值使四边形ABQP与△CPQ的面积相等．
21、证明：（1）∵∠EFD+∠ADF=180°，
∴AD∥EF，
∴，
又∵，
∴，
∵∠DBG=∠CBE，
∴△BFG∽△BCE，
∴∠BFG=∠BCE，
∴GF∥AC，
∴四边形AGFE是平行四边形；
（2）由（1）得四边形AGFE是平行四边形，∠BDA=∠BAC，且∠ABD=∠ABC，如图，连接AF交GE于点O，
∴OA=OF，△ABD∽△CBA，
∴，即AB2=BC BD，
∵，即BF2=BC BD，
∴AB=BF，
∴BO⊥AF，
即：AF⊥GE，
∴四边形AGFE是菱形，
∴AG=AE．
22、（1）解：如图1中，连接AG，延长BE交AG于点J．
∵GE∥BC，
∴∠BCA=∠CEG=90°，
∴∠AEG=90°，
由翻折变换的性质可知BE垂直平分线段AG，EG=EA，
∴∠GEJ=∠AEJ=45°，
∴∠BEC=45°；
（2）①解：设AE=EG=x,
∵BC∥EG，
∴∠CBH=∠EGH，
由翻折变换的性质可知∠BAE=∠BGE，
∴∠CBH=∠BAC，
∵∠BCH=∠BCA=90°，
∴△BCH∽△ACB，
∴BC2=CH CA，
∴CH=
∵CG∥AB，
∴∠GCH=∠CAB，
∴∠EGH=∠GCE，
∵∠GEH=∠GEC，
∴△GEH∽△CEG，
∴GE2=EH EC，
∴x2=（2-）×2，
解得x=-1（负根已经舍去），
经检验x=-1是分式方程的解，
∴AE=-1，AC=+1，
∴==；
②证明：
∵BC∥EG，
∴∠BCH=∠CEG，
∵∠CBH=∠A=∠BGE=∠ECG，CB=CE，
∴△CBH≌△ECG（ASA），
∴CH=GE=AE，
∵∠DCA+∠BCF=90°，∠CBH+∠BCF=90°，
∴∠DCA=∠CBH=∠A，
∴DC=DA，
∴△DHC≌△DEA（SAS），
∴DH=DE．