北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-5章）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025九上·河口期末）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·宝安开学考）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2-2x+a2+a=0有一个根为x=0，则a的值为（ ）
A．0 B．0或-1 C．1 D．-1
3．（2025九上·南山开学考）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段AB的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ）
A．过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形ACBD
B．过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C，D，得到菱形ACBD
C．分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD
D．在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得AC=BD，得到平行四边形ACBD
4．（2024九上·饶阳期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C．2 D．3
5．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，部分扇形涂了灰色和红色，其余部分为白色，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·长沙月考）如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·宝安开学考）如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为80米，的长为200米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024九上·深圳期中）如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（ ）．
A．四边形一定是平行四边形
B．当时，四边形为矩形
C．当时，四边形为菱形
D．当时，四边形为矩形．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2023九上·龙岗期中）若，则的值为 ．
10．（2025九上·麻章期末）把方程化成的形式，则m的值是 ．
11．（2024九上·成华期末）如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度 米．
12．（2025九上·冷水江期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
13．（2024九上·龙岗期中）如图，在正方形中，E是边上一点且满足，将沿折叠得到，与对角线交于点F，则的值为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025九上·高州开学考） 解方程
（1）；
（2）．
15．（2025八下·深圳期末） 五一假期档多部热门影片上映，某大型电影院为方便观众入场，在入口处设置了，，，四个检票口．观众可随机选择一个检票口入场观影．
（1）一名观众通过入口时，选择检票口通过的概率为 ；
（2）当两名观众从不同检票口同时通过入口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相邻检票口通过的概率．
16．（2025·顺德模拟）【项目主题】测量距离
【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）．
【实践工具】皮尺，测角仪等工具．
【实践操作】
方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，．
同学们还设计了方案二、方案三……
【问题解决】
（1）根据方案一，求、两点间的距离；
（2）尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）．
17．（2024九上·深圳期中）如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，．
如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．
（1）下列条件：①点是的中点；②平分；③点A与点关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程．
选择条件：_____（填序号），理由如下．
（2）若，，，求四边形的面积是多少．
18．（2025·台山模拟）项目化学习
项目主题：探究土地规划与销售利润问题．
项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习．
驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．
收集数据：
素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形．
素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤．
解决问题：
（1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由；
（2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？
19．（2024九上·福田期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，延长CB到点，使得.连接AE.过点作，交AE于点，连接OF
（1）求证：四边形AFBO是矩形：
（2）若∠E=30°，OF=2，求菱形ABCD的面积.
20．（2024九上·深圳期中）综合与实践
【问题情境】
数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠．
（1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为 ▲ ，请说明理由；
（2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由；
（3）【深入探究】
如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是：
，
故选：D．
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．根据俯视图的定义即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵有一个根为x=0，
∴，
∴，
∴或.
故答案为：或.
【分析】根据有一个根为x=0得，解出即可.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A：过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形ACBD，正确，不符合题意；
C：过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C，D，得到菱形ACBD，正确，不符合题意；
D：分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD，正确，不符合题意；
D：在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得AC=BD，不一定得到平行四边形ACBD，错误，符合题意
故答案为：D
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵各条平行线间距离相等，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出BC的长即可.
5．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，
∴指针落在灰色区域的概率为，
故选：B．
【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在灰色区域的概率.
6．【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：A、，
，
，
，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∵DE∥BC，
，
∴此选项不符合题意；
C、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；
B、根据比例的性质并结合已知条件可求解；
C、根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方并结合比例的性质可求解；
D、由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得方程为；
故答案为：A．
【分析】空地面积为三个矩形的面积相加，可先求出矩形的长为（80-x）米，则三个矩形的宽之和为（80-4x）米，根据等积法可知空白部分的面积为，即可选出答案.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接，
分别为四边形各边的中点，
，
且，
，
且，
故四边形为平行四边形，故A正确；
当时，
故平行四边形不是矩形，B错误；
当时，则，故四边形为菱形，C正确；
当时，
，
，
故四边形为矩形，D正确；
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线定理可得出EF∥GH，且EF=GH，即可得出四边形是平行四边形；再证明当时， 四边形不是矩形 ，当时，可进一步得出邻边相等，即可得出C正确；当时，可得出∠EFG=90°，即可得出D正确，即可得出答案。
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴2a＝3b，
∴a＝1.5b，
∴＝＝，
故答案为．
【分析】本题主要考查比例的性质．已知，依据比例的性质可得2a＝3b，即a＝1.5b，代入式子可求出答案．
10．【答案】11
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
．
∴．
故答案为：11．
【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m的值．
11．【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：延长交于H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即旗杆的高度米．
故答案为：12．
【分析】
延长交于H，则四边形ACDH为矩形，则可判定，由相似比可求得BH，再由矩形的对边相等即AH=CD即可．
12．【答案】或
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：或。
【分析】根据正方形的性质，易得 ，然后根据平行线的性质，可得 ，易证四边形是矩形，求出AB的值，最后再根据黄金分割的定义可得，代入数据，即可求出BC的值。
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长，交的延长线于点，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
设，则，，
∴，，
∵，即，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
延长，交的延长线于点，根据正方形的性质和折叠的性质得出，得到是等边三角形，设，，，再证明，再根据相似的性质，对应边成比例建立方程计算，即可求解．
14．【答案】（1）解：，
，
或
故 ，.
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
所以 ，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法，即可求解；
（2）根据公式法即可求解。
15．【答案】（1）
（2）解：树状图分析如下：
有树状图分析可知：所有机会均等的结果由16种，其中 两名乘客选择相邻检票口通过的 情况有6种：AB，BA，BC，CB，CD，DC，
∴ 两名乘客选择相邻检票口通过的概率为：.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）P（ 选择 A 检票 ）=；
故答案为： 。
【分析】（1）根据概率计算公式，直接可以求得答案；
（2）首先用树状图进行分析，可得出所有机会均等的结果有16种，其中 两名乘客选择相邻检票口通过的 情况有6种，用概率计算公式可得出答案。
16．【答案】（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如图，
①在池塘边上确定点C；
②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量；
③测量的长度；
④由，，可得，
∴，
∴．
【知识点】全等三角形的实际应用；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可得∠ADC=∠EDC，DC=DC，∠ACD=∠ECD=90°，从而用ASA判断出△DC≌△EDC，由全等三角形的对应边相等得CE=AC，最后根据AB=AC-BC可得答案；
（2）利用相似三角形的性质涉及含AB的两个相似三角形即可.
（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如图，
①在池塘边上确定点C；
②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量；
③测量的长度；
④由，，可得，
∴，
∴．
17．【答案】（1）证明：我选择条件：②，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
我选择条件：③，
理由如下：连交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵点与点关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
当点是的中点，只能证明四边形是平行四边形，不能证明四边形是菱形．
故不选择①；
（2）解：∵四边形是矩形，则，∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形的面积是．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）选择条件②：先证明四边形ABFE是平行四边形，再利用菱形的判定方法即可证得结论；选择条件③：由轴对称性质可得AB＝BF，再利用菱形的判定方法即可证得结论；
(2)先证明∠AEB=180°-（∠BEF+∠DEA)=90°，运用勾股定理可得AB＝10，再运用平行四边形的性质即可求得答案.
（1）证明：我选择条件：②，
理由如下：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
我选择条件：③，
理由如下：连交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵点与点关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
当点是的中点，只能证明四边形是平行四边形，不能证明四边形是菱形．
故不选择①；
（2）解：∵四边形是矩形，则，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形的面积是．
18．【答案】（1）如图所示，直线即为所求作．
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，
根据题意，得．
．
．
（舍），．
答：李伯应将销售单价定为80元．
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）连接，交于点O，连接，交于点N，连接即为所求；
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
（1）解：如图所示，直线即为所求作．
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤．
根据题意，得．
整理，得．
所以．
解得（不符合题意，舍去），．
答：李伯应将销售单价定为80元．
19．【答案】（1）证明： 四边形ABCD是菱形，
四边形AEBD是平行四边形，
，
，
四边形AFBO是平行四边形.
，
，
平行四边形AFBO是矩形.
（2）解： 由 (1) 知四边形AFBO是矩形，
四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，
，
.
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形AFBO是平行四边形，再结合，即可证出平行四边形AFBO是矩形；
（2）先求出 为等边三角形，再利用等边三角形的性质可得，最后利用菱形的面积公式列出算式求解即可.
20．【答案】解：（1）四边形为菱形，理由如下：∵四边形是矩形，，，由折叠的性质得：，，，，，∴四边形是平行四边形，又，∴平行四边形为菱形，故答案为：菱形；（2）与的数量关系为：，理由如下：如图2，连接PF，∵F为的中点，，∵四边形是矩形，，由折叠的性质得：，，，，在和Rt△PBF中，，，；（3）分两种情况：①如图3，若点E为的三等分点，且，，，，∵四边形是矩形，，，过点E作于M，则四边形为矩形，，，，，在中，由勾股定理得：，由折叠的性质得：，，，在中，由勾股定理得：，；②如图4，若点E为的三等分点，且，则，，过点E作于N，则，同理可得：，，在中，，由折叠的性质得：，，，在中，由勾股定理得：，，综上所述，的值为或．
（1）解：四边形为菱形；
理由如下：∵四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形为菱形，
故答案为：菱形；
（2）解：与的数量关系为：，理由如下：
如图2，连接PF，
∵F为的中点，
，
∵四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，，
在和Rt△PBF中，
，
，
；
（3）解：的值为或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）分两种情况：
①如图3，若点E为的三等分点，且，
，
，，
∵四边形是矩形，
，，
过点E作于M，
则四边形为矩形，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
；
②如图4，若点E为的三等分点，且，
则，，
过点E作于N，
则，
同理可得：，，
在中，，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
，
综上所述，的值为或．
【分析】（1）先由矩形的性质得ADIIBC，则∠AEF=∠CFE，再由折叠的性质得AF= CF，∠AFE = ∠CFE，推出∠AEF= ∠AFE，AE=CF，即可证得四边形AECF是平行四边形，进而得出平行四边形AECF为菱形；
（2）连接PF，先证∠PC'F=90°，C'F ＝BF，再证RtΛPC'F≌Rt△PBF(HL)，即可得出结论；
（3）分两种情况：①若点E为AD的三等分点，且AE=2DE，②若点E为AD的三等分点，且DE=2AE，再由矩形性质和折叠的性质以及勾股定理即可得出答案.
1 / 1北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-5章）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025九上·河口期末）篆刻是中华传统艺术之一，雕刻印章是篆刻基本功．如图是一块雕刻印章的材料，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图是：
，
故选：D．
【分析】本题考查了几何体的俯视图，从物体的上面看得到的图形是俯视图．根据俯视图的定义即可得到答案．
2．（2025九上·宝安开学考）已知关于x的一元二次方程（a+1）x2-2x+a2+a=0有一个根为x=0，则a的值为（ ）
A．0 B．0或-1 C．1 D．-1
【答案】B
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵有一个根为x=0，
∴，
∴，
∴或.
故答案为：或.
【分析】根据有一个根为x=0得，解出即可.
3．（2025九上·南山开学考）如图，在一个对边平行的纸条上有两点A，B及线段AB的中点O，以下操作和判断不正确的是（ ）
A．过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形ACBD
B．过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C，D，得到菱形ACBD
C．分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD
D．在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得AC=BD，得到平行四边形ACBD
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A：过点O作任意直线（除直线AB）交纸条两边于点C，D，得到平行四边形ACBD，正确，不符合题意；
C：过点O作AB的垂线l交纸条两边于点C，D，得到菱形ACBD，正确，不符合题意；
D：分别过点A，B作对边的垂线，交对边于点C，D，得到矩形ACBD，正确，不符合题意；
D：在点A，B所在边的对边分别取C，D两点，使得AC=BD，不一定得到平行四边形ACBD，错误，符合题意
故答案为：D
【分析】根据题意逐项进行判断即可求出答案.
4．（2024九上·饶阳期中）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵各条平行线间距离相等，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】利用平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出BC的长即可.
5．如图，转盘中8个扇形的面积都相等，部分扇形涂了灰色和红色，其余部分为白色，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵圆被等分成8份，其中灰色区域占2份，
∴指针落在灰色区域的概率为，
故选：B．
【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针落在灰色区域的概率.
6．（2024九上·长沙月考）如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：A、，
，
，
，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∵DE∥BC，
，
∴此选项不符合题意；
C、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；
B、根据比例的性质并结合已知条件可求解；
C、根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方并结合比例的性质可求解；
D、由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
7．（2025九上·宝安开学考）如图的矩形为学校教学楼区域的平面示意图，其中的阴影部分为“弓”字形楼体，“弓”字形各部分的宽度均相同．已知的长为80米，的长为200米，空地面积是整个矩形区域面积的．若设“弓”字形楼体各部分的宽度为米，则应满足的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意可得方程为；
故答案为：A．
【分析】空地面积为三个矩形的面积相加，可先求出矩形的长为（80-x）米，则三个矩形的宽之和为（80-4x）米，根据等积法可知空白部分的面积为，即可选出答案.
8．（2024九上·深圳期中）如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（ ）．
A．四边形一定是平行四边形
B．当时，四边形为矩形
C．当时，四边形为菱形
D．当时，四边形为矩形．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】连接，
分别为四边形各边的中点，
，
且，
，
且，
故四边形为平行四边形，故A正确；
当时，
故平行四边形不是矩形，B错误；
当时，则，故四边形为菱形，C正确；
当时，
，
，
故四边形为矩形，D正确；
故答案为：B．
【分析】根据三角形中位线定理可得出EF∥GH，且EF=GH，即可得出四边形是平行四边形；再证明当时， 四边形不是矩形 ，当时，可进一步得出邻边相等，即可得出C正确；当时，可得出∠EFG=90°，即可得出D正确，即可得出答案。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2023九上·龙岗期中）若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴2a＝3b，
∴a＝1.5b，
∴＝＝，
故答案为．
【分析】本题主要考查比例的性质．已知，依据比例的性质可得2a＝3b，即a＝1.5b，代入式子可求出答案．
10．（2025九上·麻章期末）把方程化成的形式，则m的值是 ．
【答案】11
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
．
∴．
故答案为：11．
【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m的值．
11．（2024九上·成华期末）如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度 米．
【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：延长交于H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即旗杆的高度米．
故答案为：12．
【分析】
延长交于H，则四边形ACDH为矩形，则可判定，由相似比可求得BH，再由矩形的对边相等即AH=CD即可．
12．（2025九上·冷水江期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）．
【答案】或
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；黄金分割
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴．
又∵，
∴，
故答案为：或。
【分析】根据正方形的性质，易得 ，然后根据平行线的性质，可得 ，易证四边形是矩形，求出AB的值，最后再根据黄金分割的定义可得，代入数据，即可求出BC的值。
13．（2024九上·龙岗期中）如图，在正方形中，E是边上一点且满足，将沿折叠得到，与对角线交于点F，则的值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长，交的延长线于点，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
由折叠可得：，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
设，则，，
∴，，
∵，即，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
延长，交的延长线于点，根据正方形的性质和折叠的性质得出，得到是等边三角形，设，，，再证明，再根据相似的性质，对应边成比例建立方程计算，即可求解．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025九上·高州开学考） 解方程
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
或
故 ，.
（2）解：，
∵，，，
∴，
∴，
所以 ，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法，即可求解；
（2）根据公式法即可求解。
15．（2025八下·深圳期末） 五一假期档多部热门影片上映，某大型电影院为方便观众入场，在入口处设置了，，，四个检票口．观众可随机选择一个检票口入场观影．
（1）一名观众通过入口时，选择检票口通过的概率为 ；
（2）当两名观众从不同检票口同时通过入口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相邻检票口通过的概率．
【答案】（1）
（2）解：树状图分析如下：
有树状图分析可知：所有机会均等的结果由16种，其中 两名乘客选择相邻检票口通过的 情况有6种：AB，BA，BC，CB，CD，DC，
∴ 两名乘客选择相邻检票口通过的概率为：.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）P（ 选择 A 检票 ）=；
故答案为： 。
【分析】（1）根据概率计算公式，直接可以求得答案；
（2）首先用树状图进行分析，可得出所有机会均等的结果有16种，其中 两名乘客选择相邻检票口通过的 情况有6种，用概率计算公式可得出答案。
16．（2025·顺德模拟）【项目主题】测量距离
【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）．
【实践工具】皮尺，测角仪等工具．
【实践操作】
方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，．
同学们还设计了方案二、方案三……
【问题解决】
（1）根据方案一，求、两点间的距离；
（2）尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）．
【答案】（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如图，
①在池塘边上确定点C；
②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量；
③测量的长度；
④由，，可得，
∴，
∴．
【知识点】全等三角形的实际应用；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）由题意可得∠ADC=∠EDC，DC=DC，∠ACD=∠ECD=90°，从而用ASA判断出△DC≌△EDC，由全等三角形的对应边相等得CE=AC，最后根据AB=AC-BC可得答案；
（2）利用相似三角形的性质涉及含AB的两个相似三角形即可.
（1）解：在和中，
∵，，，
∴．
∴．
∴．
（2）解：方案如下：如图，
①在池塘边上确定点C；
②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量；
③测量的长度；
④由，，可得，
∴，
∴．
17．（2024九上·深圳期中）如图，四边形是矩形，点在边上，点在延长线上，．
如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF．
（1）下列条件：①点是的中点；②平分；③点A与点关于直线对称．请从中选择一个能证明四边形是菱形的条件，并写出完整证明过程．
选择条件：_____（填序号），理由如下．
（2）若，，，求四边形的面积是多少．
【答案】（1）证明：我选择条件：②，理由如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
我选择条件：③，
理由如下：连交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵点与点关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
当点是的中点，只能证明四边形是平行四边形，不能证明四边形是菱形．
故不选择①；
（2）解：∵四边形是矩形，则，∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形的面积是．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）选择条件②：先证明四边形ABFE是平行四边形，再利用菱形的判定方法即可证得结论；选择条件③：由轴对称性质可得AB＝BF，再利用菱形的判定方法即可证得结论；
(2)先证明∠AEB=180°-（∠BEF+∠DEA)=90°，运用勾股定理可得AB＝10，再运用平行四边形的性质即可求得答案.
（1）证明：我选择条件：②，
理由如下：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
我选择条件：③，
理由如下：连交于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵点与点关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
当点是的中点，只能证明四边形是平行四边形，不能证明四边形是菱形．
故不选择①；
（2）解：∵四边形是矩形，则，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形的面积是．
18．（2025·台山模拟）项目化学习
项目主题：探究土地规划与销售利润问题．
项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习．
驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．
收集数据：
素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形．
素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤．
解决问题：
（1）因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由；
（2）为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？
【答案】（1）如图所示，直线即为所求作．
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，
根据题意，得．
．
．
（舍），．
答：李伯应将销售单价定为80元．
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）连接，交于点O，连接，交于点N，连接即为所求；
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，根据题意列出一元二次方程求解即可．
（1）解：如图所示，直线即为所求作．
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤．
根据题意，得．
整理，得．
所以．
解得（不符合题意，舍去），．
答：李伯应将销售单价定为80元．
19．（2024九上·福田期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，延长CB到点，使得.连接AE.过点作，交AE于点，连接OF
（1）求证：四边形AFBO是矩形：
（2）若∠E=30°，OF=2，求菱形ABCD的面积.
【答案】（1）证明： 四边形ABCD是菱形，
四边形AEBD是平行四边形，
，
，
四边形AFBO是平行四边形.
，
，
平行四边形AFBO是矩形.
（2）解： 由 (1) 知四边形AFBO是矩形，
四边形ABCD是菱形，
为等边三角形，
，
.
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形AFBO是平行四边形，再结合，即可证出平行四边形AFBO是矩形；
（2）先求出 为等边三角形，再利用等边三角形的性质可得，最后利用菱形的面积公式列出算式求解即可.
20．（2024九上·深圳期中）综合与实践
【问题情境】
数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片先沿折叠．
（1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为，折痕与边分别交于点E，F．四边形的形状为 ▲ ，请说明理由；
（2）如图2，若点F为的中点，，延长交于点P．求与的数量关系，并说明理由；
（3）【深入探究】
如图3，若，，，连接，当点E为的三等分点时，直接写出的值．
【答案】解：（1）四边形为菱形，理由如下：∵四边形是矩形，，，由折叠的性质得：，，，，，∴四边形是平行四边形，又，∴平行四边形为菱形，故答案为：菱形；（2）与的数量关系为：，理由如下：如图2，连接PF，∵F为的中点，，∵四边形是矩形，，由折叠的性质得：，，，，在和Rt△PBF中，，，；（3）分两种情况：①如图3，若点E为的三等分点，且，，，，∵四边形是矩形，，，过点E作于M，则四边形为矩形，，，，，在中，由勾股定理得：，由折叠的性质得：，，，在中，由勾股定理得：，；②如图4，若点E为的三等分点，且，则，，过点E作于N，则，同理可得：，，在中，，由折叠的性质得：，，，在中，由勾股定理得：，，综上所述，的值为或．
（1）解：四边形为菱形；
理由如下：∵四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形为菱形，
故答案为：菱形；
（2）解：与的数量关系为：，理由如下：
如图2，连接PF，
∵F为的中点，
，
∵四边形是矩形，
，
由折叠的性质得：，，
，，
在和Rt△PBF中，
，
，
；
（3）解：的值为或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）分两种情况：
①如图3，若点E为的三等分点，且，
，
，，
∵四边形是矩形，
，，
过点E作于M，
则四边形为矩形，
，，，
，
在中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
；
②如图4，若点E为的三等分点，且，
则，，
过点E作于N，
则，
同理可得：，，
在中，，
由折叠的性质得：，，，
在中，由勾股定理得：，
，
综上所述，的值为或．
【分析】（1）先由矩形的性质得ADIIBC，则∠AEF=∠CFE，再由折叠的性质得AF= CF，∠AFE = ∠CFE，推出∠AEF= ∠AFE，AE=CF，即可证得四边形AECF是平行四边形，进而得出平行四边形AECF为菱形；
（2）连接PF，先证∠PC'F=90°，C'F ＝BF，再证RtΛPC'F≌Rt△PBF(HL)，即可得出结论；
（3）分两种情况：①若点E为AD的三等分点，且AE=2DE，②若点E为AD的三等分点，且DE=2AE，再由矩形性质和折叠的性质以及勾股定理即可得出答案.
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