北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-4章）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025九上·海曙期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率，当他把一枚硬币抛掷 24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（ ）
A．11011 B．12012 C．13013 D．14014
2．（2025九上·南山开学考）若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2023 B．2027 C．-2023 D．4050
3．（2025九上·肇庆期中）中国已经成为全球最大并且最有活力的新能源汽车市场．中国汽车工业协会数据显示，某品牌新能源汽车2022年5月份销量为10万辆，7月份销量为14.5万辆．设该品牌新能源汽车的月平均增长率为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023九上·金牛期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
5．（2025九上·江北期末）如图， 与 是位似图形，点 是位似中心，若 的面积为 4，且 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
6．（2024九上·余江期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（ ）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．
C． D．点D为BC的中点
7．（2025九上·顺德月考）某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径MQ，NO恰好互相垂直，小径MN的中点P与点O被湖隔开，若测得小径MN的长为1km，则P，O两点间距离为（ ）
A．0.5km B．0.75km C．1km D．2km
8．（2024九上·徐汇期末）如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024九上·荔湾期末）如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是 ．
10．（2024九上·青岛月考）一元二次方程有一个根为1，则 ．
11．（2025九上·江北期末）已知实数 满足 ，则 的值为 ．
12．（2024九上·五华期中）如图，在正方形和正方形中，点在上，点、、在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是 ．
13．（2025九上·鄞州期末）如图， 中， ，过点 作 的垂线 ，点 在线段 上运动，点 在射线 上运动，始终满足 ，连结 ，当 与 相似时，线段 的长是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025九上·长沙开学考） 解方程
（1）
（2）
15．（2021九上·宁明期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且，，求△ABC三边的长．
16．（2024九上·武侯期中）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分8分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知该校初三共 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人；
（2）由图可知的值为 ；
（3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中至少有1个女生的概率．
17．（2024九上·湛江期中）如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点．
（1）求证：；
（2）顺次连接D，E，C，F，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
18．（2024九上·罗湖期中）【发现问题】
小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点A (2，3)，B(4，5)，求线段AB的长度.小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决.思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段. 的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过. 作x轴的垂线，垂足为B，线段AB 长度可表示 过 作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长 交 于点E，则线段CD的长度可以表示 且 在 中， 根据勾股定理可得：
（1） 【解决问题】
①则线段AB 长度是 ；
②如果点N(-3，5)， 点 则线段MN长度是 .
（2） 【知识迁移】
①点. 请在x轴上找一点P，使得 的值最大，请直接写出这个最大值是 .
②点 请在x轴上找一点P'，使得. 最小，请直接写出这个最小值是 .
（3） 【拓展延伸】
①代数式 的最小值是 .
②代数式 的最大值是 .
19．（2024九上·深圳月考）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度．
（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
20．（2024九上·成都期中）【定义】
平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．
【初步感知】
如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值；
【深入探究】
如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值；
【拓展延伸】
在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：正面向上的概率为0.5，
∴掷一枚均匀的硬币24000次 ，正面朝上的次数约为 12012 .
故答案为：B.
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可.
2．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2x-2025=0
∴ α2+2α -2025=0，α+β=-2
∴α2+2α=2025
∴α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=2025-2=2023
故答案为：A
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得α+β=-2，再将x=α代入方程可得α2+2α=2025，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该品牌新能源汽车的月平均增长率为．
∵5月份销量为10万辆，
∴6月份销量为万辆，
∴7月份销量为万辆．
∵7月份销量为14.5万辆，
∴可列方程为．
故选D．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：
与 是位似图形，
的面积为4，
的面积为9，
故答案为： C.
【分析】根据位似图形的概念得到 证明 ，根据相似三角形的性质得到 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
6．【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD
∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，
∴四边形DEAF是平行四边形，∠FAD=∠EDA，
当点D在∠BAC的平分线上时，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴四边形DECF是菱形，故选项A符合题意；
当AB=AC时，不能说明四边形DECF是菱形，故B不符合题意；
当∠A =90°时，只能说明四边形DECF是矩形，故C不符合题意；
当点D为BC的中点时，不能说明四边形DECF是菱形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
先证明四边形DEAF是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到∠FAD=∠EDA结合角平分线的定义得到∠EAD=∠EDA，从而得到AE=DE，再由菱形的判定定理即可得到结论，其余选项均不能得到四边形AFDE为菱形，由此即可解答．
7．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接OP
∵MO⊥NO
∴∠MON=90°
∵P是MN中点
∴
故答案为：A
【分析】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
D选项的结论符合题意
，，
则，
，
，
与不一定相等，
故C选项的结论不符合题意，
已知条件不能证明，，故A、B选项不符合题意，
故答案为：D．
【分析】
根据相似三角形的判定与性质：三边对应相等的两个三角形相似，可得，再通过相似三角形的性质得到，结合已知条件，利用AA可判定再通过相似三角形的性质可得到D选项正确，利用AA可判定，可判定C错误，其余选项不能推导，逐一判断即可解答．
9．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4，
∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是：，
故答案为：．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目是否填写数据．
10．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为1，
∴满足关于x的一元二次方程，
∴，
解得，．
故答案为：5．
【分析】根据方程的根的意义，可得出关于a的方程，进而解方程即可求得a的值。
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
设
故答案为：
【分析】设 代入所求的式子化简即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，延长交于
在正方形和正方形中
，
，则
又四边形是矩形
所以，
故
勾股定理得
因是的中点，，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
所以
故填：．
【分析】通过连接辅助线连接，延长交于，构造直角三角形与矩形，利用正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质求解.
13．【答案】5或6.4
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=8， AC=6，由勾股定理得：
∠B+∠ACB=90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ABC；
∵∠BAP =∠CAQ，
∴△ABP∽△ACQ，
设BP =x， 则有PC =10--x，
∵过点C作BC的垂线CD，
当 与 相似时，分两种情况讨论：
当 时，
解得：
当 时，
解得：
综上所述，线段BP的长是5或6.4.
故答案为： 5或6.4.
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可知∠B+∠ACB=90°， 根据CD⊥BC可知∠ACD+∠ACB=90°， 所以可得∠ACD=∠ABC， 可证△ABP∽△ACQ， 设BP=x， 则有当△PCQ与△ABC相似时，分两种情况：一种是△PCQ∽△BAC；另一种是△PCQ∽△CAB.再根据相似三角形对应边成比例得到关于x的方程，解方程求出x的值即为线段BP的长度.
14．【答案】（1）解：
（2）解：3x(x+6)=x+6
3x(x+6)-(x+6)=0
(x+6)(3x-1)=0
x+6=0或3x-1=0
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
15．【答案】解：设，则、、
又∵
∴
解得
∴、、
【知识点】比例的性质；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】设=x，则a=3x。b=4x，c=5x，代入a+b+c=48中求出x的值，进而可得a、b、c的值.
16．【答案】（1）500，210
（2）18
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个女生的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：(名)，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为(名)；
故答案为：500，210；
（2）解：等级人数所占的百分比为，
所以，
故答案为：18；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用A等级人数除以它所占的百分比得到该学校初三的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数；
（2）先用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，然后根据概率公式计算．
（1）解：(名)，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为(名)；
故答案为：500，210；
（2）解：等级人数所占的百分比为，
所以，
故答案为：18；
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个女生的概率．
17．【答案】（1）证明：连接
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：能，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，
故当互相平分时，四边形为矩形，
∵互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
设，则，，
由（1）知，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）首先根据HL证得，得出，同理可证：，可得，进而得出；
（2）由旋转得：，故当互相平分时，四边形为矩形，设，则，，，在中，由勾股定理得：，解方程即可．
（1）证明：连接
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：能，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，
故当互相平分时，四边形为矩形，
∵互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
设，则，，
由（1）知，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
18．【答案】（1）；
（2） ；
（3）；
【知识点】点的坐标；配方法的应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）①∵点A (2，3)，B(4，5)，
∴线段AB长度＝；
②∵N（-3，5），M(-5，-7)，
∴线段MN长度＝；
故答案为：；；
（2）①如图所示，连接P4P3延长交x轴于点P，
∴此时，PP4 PP3的值最大，
∴PP4 PP3的最大值P3P4＝；
②如图所示，作点P3关于x轴的对称点P'（ 2， 3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，
∴PP4＋PP3＝P'P4＝，
故答案为：；；
（3）①求代数式的最小值，
参考（2）②中的图形，点P（x，0）、点P4（4，5）、点P3（2，3），则P'（2， 3），
∴，
∴的最小值=；
②求代数式的最大值，
参考（2）①中的图形，点P3（0，2）、P4（12，3），点P（x，0），
∴代数式的最大值为：P3P4＝，
故答案为：；．
【分析】（1）参照题干中的定义及两点之间的距离公式列出算式求解即可；
（2）①连接P4P3延长交x轴于点P，再求出PP4 PP3的最大值P3P4，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②作点P3关于x轴的对称点P'（ 2， 3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
（3）①先将原代数式变形为，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②利用两点之间的距离公式分析求解即可.
19．【答案】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
由题意得：
解得：（舍），，
答： 该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据“从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了”列一元二次方程求解；
（2）设应该再增加m个工厂，根据“每季度生产汽车27万辆”，列出一元二次方程求解．
（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
解得：（舍），，
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
20．【答案】[初步感知]解：∵为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意知，，
∴，
解得，，
∴；
[深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H，
同理，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，，
∴，整理得，，
解得，或（舍去）；
∴；
[拓展延伸]或或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】[拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解；
当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
同理，，，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
综上所述：的值为或或．
【分析】[初步感知]由矩形的性质得，由同角的余角相等得，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例建立方程，结合已知即可求出答案；
[深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，由相似三角形对应边成比例建立方程，结合平行四边形的性质、含30°角直角三角形的性质及勾股定理求解即可；
[拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可．
1 / 1北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-4章）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2025九上·海曙期末）数学家皮尔逊为了研究概率问题，进行了大量重复抛硬币试验，并用频率来估计概率，当他把一枚硬币抛掷 24000次时，则下列正面朝上的次数与该实验结果比较符合的是（ ）
A．11011 B．12012 C．13013 D．14014
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：正面向上的概率为0.5，
∴掷一枚均匀的硬币24000次 ，正面朝上的次数约为 12012 .
故答案为：B.
【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可.
2．（2025九上·南山开学考）若α，β是方程x2+2x-2025=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2023 B．2027 C．-2023 D．4050
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵α，β是方程x2+2x-2025=0
∴ α2+2α -2025=0，α+β=-2
∴α2+2α=2025
∴α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=2025-2=2023
故答案为：A
【分析】根据二次方程根与系数的关系可得α+β=-2，再将x=α代入方程可得α2+2α=2025，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
3．（2025九上·肇庆期中）中国已经成为全球最大并且最有活力的新能源汽车市场．中国汽车工业协会数据显示，某品牌新能源汽车2022年5月份销量为10万辆，7月份销量为14.5万辆．设该品牌新能源汽车的月平均增长率为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设该品牌新能源汽车的月平均增长率为．
∵5月份销量为10万辆，
∴6月份销量为万辆，
∴7月份销量为万辆．
∵7月份销量为14.5万辆，
∴可列方程为．
故选D．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
4．（2023九上·金牛期末）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B、矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C、正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D、平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】菱形四边相等，对角相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形对边相等，四个内角都是直角，对角线互相平分且相等，不是轴对称图形，是中心对称图形；正方形四边相等，四个内角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，即是轴对称图形，也是中心对称图形；平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，不是轴对称图形，是中心对称图形，据此一一判断得出答案.
5．（2025九上·江北期末）如图， 与 是位似图形，点 是位似中心，若 的面积为 4，且 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：
与 是位似图形，
的面积为4，
的面积为9，
故答案为： C.
【分析】根据位似图形的概念得到 证明 ，根据相似三角形的性质得到 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
6．（2024九上·余江期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（ ）
A．点D在∠BAC的平分线上 B．
C． D．点D为BC的中点
【答案】A
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD
∵DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，
∴四边形DEAF是平行四边形，∠FAD=∠EDA，
当点D在∠BAC的平分线上时，
∴∠FAD=∠EAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴AE=DE，
∴四边形DECF是菱形，故选项A符合题意；
当AB=AC时，不能说明四边形DECF是菱形，故B不符合题意；
当∠A =90°时，只能说明四边形DECF是矩形，故C不符合题意；
当点D为BC的中点时，不能说明四边形DECF是菱形，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】
先证明四边形DEAF是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到∠FAD=∠EDA结合角平分线的定义得到∠EAD=∠EDA，从而得到AE=DE，再由菱形的判定定理即可得到结论，其余选项均不能得到四边形AFDE为菱形，由此即可解答．
7．（2025九上·顺德月考）某公园的人工湖周边修葺了三条湖畔小径，如图小径MQ，NO恰好互相垂直，小径MN的中点P与点O被湖隔开，若测得小径MN的长为1km，则P，O两点间距离为（ ）
A．0.5km B．0.75km C．1km D．2km
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接OP
∵MO⊥NO
∴∠MON=90°
∵P是MN中点
∴
故答案为：A
【分析】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
8．（2024九上·徐汇期末）如图，点D是内一点，点E在线段的延长线上，与交于点O，分别连接、、，如果，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
D选项的结论符合题意
，，
则，
，
，
与不一定相等，
故C选项的结论不符合题意，
已知条件不能证明，，故A、B选项不符合题意，
故答案为：D．
【分析】
根据相似三角形的判定与性质：三边对应相等的两个三角形相似，可得，再通过相似三角形的性质得到，结合已知条件，利用AA可判定再通过相似三角形的性质可得到D选项正确，利用AA可判定，可判定C错误，其余选项不能推导，逐一判断即可解答．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2024九上·荔湾期末）如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4，
∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是：，
故答案为：．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目是否填写数据．
10．（2024九上·青岛月考）一元二次方程有一个根为1，则 ．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根为1，
∴满足关于x的一元二次方程，
∴，
解得，．
故答案为：5．
【分析】根据方程的根的意义，可得出关于a的方程，进而解方程即可求得a的值。
11．（2025九上·江北期末）已知实数 满足 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
设
故答案为：
【分析】设 代入所求的式子化简即可.
12．（2024九上·五华期中）如图，在正方形和正方形中，点在上，点、、在同一条直线上，，，是的中点，连接，则的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接，延长交于
在正方形和正方形中
，
，则
又四边形是矩形
所以，
故
勾股定理得
因是的中点，，直角三角形斜边中线等于斜边的一半
所以
故填：．
【分析】通过连接辅助线连接，延长交于，构造直角三角形与矩形，利用正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质求解.
13．（2025九上·鄞州期末）如图， 中， ，过点 作 的垂线 ，点 在线段 上运动，点 在射线 上运动，始终满足 ，连结 ，当 与 相似时，线段 的长是 ．
【答案】5或6.4
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=8， AC=6，由勾股定理得：
∠B+∠ACB=90°，
∵CD⊥BC，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD+∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ABC；
∵∠BAP =∠CAQ，
∴△ABP∽△ACQ，
设BP =x， 则有PC =10--x，
∵过点C作BC的垂线CD，
当 与 相似时，分两种情况讨论：
当 时，
解得：
当 时，
解得：
综上所述，线段BP的长是5或6.4.
故答案为： 5或6.4.
【分析】首先根据直角三角形两锐角互余可知∠B+∠ACB=90°， 根据CD⊥BC可知∠ACD+∠ACB=90°， 所以可得∠ACD=∠ABC， 可证△ABP∽△ACQ， 设BP=x， 则有当△PCQ与△ABC相似时，分两种情况：一种是△PCQ∽△BAC；另一种是△PCQ∽△CAB.再根据相似三角形对应边成比例得到关于x的方程，解方程求出x的值即为线段BP的长度.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025九上·长沙开学考） 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：3x(x+6)=x+6
3x(x+6)-(x+6)=0
(x+6)(3x-1)=0
x+6=0或3x-1=0
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
15．（2021九上·宁明期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，且，，求△ABC三边的长．
【答案】解：设，则、、
又∵
∴
解得
∴、、
【知识点】比例的性质；利用等式的性质解一元一次方程
【解析】【分析】设=x，则a=3x。b=4x，c=5x，代入a+b+c=48中求出x的值，进而可得a、b、c的值.
16．（2024九上·武侯期中）某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为，，，四个等级．其等级对应的分值分别为100分分、90分8分、80分分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题．
（1）由图可知该校初三共 名学生，比赛成绩等级为级的学生人数是 人；
（2）由图可知的值为 ；
（3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的人中至少有1个女生的概率．
【答案】（1）500，210
（2）18
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个女生的概率
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：(名)，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为(名)；
故答案为：500，210；
（2）解：等级人数所占的百分比为，
所以，
故答案为：18；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用A等级人数除以它所占的百分比得到该学校初三的总人数，然后用总人数乘以C等级人数所占的百分比得到C等级人数；
（2）先用1分别减去A、B、C等级的百分比得到D等级所占的百分比，从而确定m的值；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，然后根据概率公式计算．
（1）解：(名)，
所以该校初三共500名学生，
比赛成绩等级为级的学生人数为(名)；
故答案为：500，210；
（2）解：等级人数所占的百分比为，
所以，
故答案为：18；
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种，
所以抽取的2人中至少有1个女生的概率．
17．（2024九上·湛江期中）如图，正方形，．将正方形绕点逆时针旋转角度（），得到正方形，交于点，延长交于点．
（1）求证：；
（2）顺次连接D，E，C，F，得到四边形．在旋转过程中，四边形能否为矩形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）证明：连接
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：能，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，
故当互相平分时，四边形为矩形，
∵互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
设，则，，
由（1）知，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）首先根据HL证得，得出，同理可证：，可得，进而得出；
（2）由旋转得：，故当互相平分时，四边形为矩形，设，则，，，在中，由勾股定理得：，解方程即可．
（1）证明：连接
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：能，
∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得：，
故当互相平分时，四边形为矩形，
∵互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形，
设，则，，
由（1）知，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，即．
18．（2024九上·罗湖期中）【发现问题】
小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点A (2，3)，B(4，5)，求线段AB的长度.小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决.思路如下：在平面直角坐标系中，设 要求线段. 的长度可以用如下的方法，如图，过 作x轴的垂线，垂足为A，过. 作x轴的垂线，垂足为B，线段AB 长度可表示 过 作y轴的垂线，垂足为C，过 作y轴的垂线，垂足为D，延长 交 于点E，则线段CD的长度可以表示 且 在 中， 根据勾股定理可得：
（1） 【解决问题】
①则线段AB 长度是 ；
②如果点N(-3，5)， 点 则线段MN长度是 .
（2） 【知识迁移】
①点. 请在x轴上找一点P，使得 的值最大，请直接写出这个最大值是 .
②点 请在x轴上找一点P'，使得. 最小，请直接写出这个最小值是 .
（3） 【拓展延伸】
①代数式 的最小值是 .
②代数式 的最大值是 .
【答案】（1）；
（2） ；
（3）；
【知识点】点的坐标；配方法的应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）①∵点A (2，3)，B(4，5)，
∴线段AB长度＝；
②∵N（-3，5），M(-5，-7)，
∴线段MN长度＝；
故答案为：；；
（2）①如图所示，连接P4P3延长交x轴于点P，
∴此时，PP4 PP3的值最大，
∴PP4 PP3的最大值P3P4＝；
②如图所示，作点P3关于x轴的对称点P'（ 2， 3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，
∴PP4＋PP3＝P'P4＝，
故答案为：；；
（3）①求代数式的最小值，
参考（2）②中的图形，点P（x，0）、点P4（4，5）、点P3（2，3），则P'（2， 3），
∴，
∴的最小值=；
②求代数式的最大值，
参考（2）①中的图形，点P3（0，2）、P4（12，3），点P（x，0），
∴代数式的最大值为：P3P4＝，
故答案为：；．
【分析】（1）参照题干中的定义及两点之间的距离公式列出算式求解即可；
（2）①连接P4P3延长交x轴于点P，再求出PP4 PP3的最大值P3P4，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②作点P3关于x轴的对称点P'（ 2， 3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
（3）①先将原代数式变形为，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②利用两点之间的距离公式分析求解即可.
19．（2024九上·深圳月考）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度．
（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
【答案】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
由题意得：
解得：（舍），，
答： 该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据“从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了”列一元二次方程求解；
（2）设应该再增加m个工厂，根据“每季度生产汽车27万辆”，列出一元二次方程求解．
（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
解得：（舍），，
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
20．（2024九上·成都期中）【定义】
平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．
【初步感知】
如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值；
【深入探究】
如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值；
【拓展延伸】
在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值．
【答案】[初步感知]解：∵为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意知，，
∴，
解得，，
∴；
[深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H，
同理，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
由勾股定理可得，，
∴，，
∴，整理得，，
解得，或（舍去）；
∴；
[拓展延伸]或或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】[拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解；
当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G，
同理，，，
设，则，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
同理，，
∴，即，
解得，，
∴，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
综上所述：的值为或或．
【分析】[初步感知]由矩形的性质得，由同角的余角相等得，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似证明，由相似三角形对应边成比例建立方程，结合已知即可求出答案；
[深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，由相似三角形对应边成比例建立方程，结合平行四边形的性质、含30°角直角三角形的性质及勾股定理求解即可；
[拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可．
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