北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷三（范围：1-6章）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024九上·湛江月考）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故选：A.
【分析】根据题意得到，，求出a的值即可．
2．（2025九上·江北期末）如图，一种凹槽模具水平放置，其呈现的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的主视图为：
故答案为： A.
【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可.
3．（2024九上·杭州期中）如图，已知，，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，∴，，，
不能求得和的值．
观察四个选项，B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
4．（2023九上·内乡县月考）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：为边的黄金分割点，即
米
米
故选B．
【分析】
直接利用黄金比计算即可．
5．（2024九上·南山期中）操场上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可得：
三根木杆两两平行
∴在某一时刻三根木杆在阳光下的影子互相平行
故答案为：D
【分析】根据物体在阳光下的影子的性质即可求出答案.
6．（2024九上·昆明开学考）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设花带的宽度为，则可列方程为，
故选D．
【分析】利用割补法先求出空白区域面积，再根据空白区域的面积等于矩形空地的面积的列方程即可.
7．（2023九上·青岛月考）在同一直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A.∵一次函数图象应该过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，A错误，
B.∵一次函数图象应该过第一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，B错误；
C.∵一次函数图象应该过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经过一、三象限，C错误；
D.∵一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经经过一、三象限，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质.根据 一次函数图象应该过第一、二、四象限， 据此可推出 a＜0，b＞0 ，进而可得： ab＜0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断A选项；根据 一次函数图象应该过第一、三、四象限， 据此可推出 a＞0，b＜0 ，进而可得：ab＜0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断B选项；根据一次函数图象应该过第一、二、三象限， 据此可推出 a＜0，b＜0，进而可得： ab＞0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断C选项；根据 一次函数图象经过第二、三、四象限， 据此可推出 a＜0，b＜0，进而可得：ab＞0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断D选项；
8．（2024九上·开江期中）如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（ ）．
A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，，，如图所示：
四边形是菱形，
，
，
，都是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
时，最小，
∵为等边三角形，
∴此时，
∴，
的最小值为．
故选：C．
【分析】
由于菱形的一个内角，则连接BD可得等边三角形ABD，又菱形的对角线平分一组对角，则，再分别连接BE、BF，则可证明，则由全等的性质可得BD＝BF、，则可证是等边三角形，则EF＝BE，则由垂线段最短可知当时BE最短，即EF最短．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025九上·南山开学考）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化.假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素.由于放射性衰变，其质量会逐年减少.到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克.设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x，根据题意，可列出一元二次方程为： .（只列方程，不需求解）
【答案】500（1-x）2=405
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x，
由题意可得：500（1-x）2=405
故答案为：500（1-x）2=405
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
10．（2025九上·鹿城期末）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为 ．（精确到0.01）
试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000
发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750
发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数 0.95 附近，所以该麦种的发芽概率约为 0.95 ．
故填：0.95．
【分析】大量重复试验下频率近似于概率．
11．（2023九上·宁津月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图， 井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为 尺．
【答案】57.5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：57.5．
【分析】根据题意得四边形是矩形，由矩形的性质得，，从而推出，进而根据相似三角形对应边成比例得，于是可求出，最后求的值即可.
12．（2025九上·海曙期末）如图，四边形 AEFH与四边形 ABCD 是位似图形，位似比为且四边形 AEFH的周长为 30cm.则四边形 ABCD的周长为 cm.
【答案】50
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AEFH与四边形ABCD是位似图形，位似比为
∴四边形AEFH与四边形ABCD相似，相似比为 ，
∴四边形AEFH的周长：四边形ABCD的周长
∴四边形ABCD的周长 四边形AEFH的周长
故答案为： 50.
【分析】根据位似变换的性质得到四边形AEFH与四边形ABCD相似，相似比为 则根据相似图形的性质得到边形AEFH的周长：四边形ABCD的周长 然后根据比例的性质求解.
13．（2024九上·石门期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，在轴正半轴上，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点与边相交于点，若，，则 ．
【答案】36
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD．
∵CD＝2BD，
∴，
∵DE∥BF，
∴，
设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a），
∵S△ABC＝15，CD＝2BD，
∴S△ABC：S△ADC＝BC：CD=3：2，
∴15：S△ADC=3：2，
∴S△ADC＝10，
∵OA∥BC，
∴S△ODC＝S△ADC＝10，
∴ OC DE＝10，
∴OC＝，
∴AB＝OC＝，
∴B（＋，3a），
∴CE＝ ，CF＝＋ ＝，
∴（ ）：＝2：3，
解得k＝36，
故答案为36．
【分析】先由DE∥BF，推出，再设DE＝2a，则BF＝3a，用a，k分别表示出A，D的坐标，再构建方程求解．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2023九上·玉环期中）解下列一元二次方程：
（1） x2+2x-1=0；
（2） 2x2-x-3=0．
【答案】（1）解：∵a=1，b=2，c=-1，
∴b2-4ac=22-4×1×(-1)=8，
∴x=，
∴x1=-1+，x2=-1-；
（2）解：∵（2x-3）（x+1）=0，
∴2x-3=0，x+1=0，
解得：x1=，x2=-1.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由题意根据一元二次方程的求根公式可求解；
（2）由题意将二次三项式分解因式后，原方程可化为两个一元一次方程，解这两个方程即可求解.
15．（2024九上·萧山月考）如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．
（1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率．
（2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率．
【答案】（1）解：共有四个开关，，，，当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，
∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是；
（2）解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，
共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是（A，D），(B，D)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，共有6种等可能的结果，
∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解；
（2）运用画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解.
（1）解：共有四个开关，，，，
当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，
∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是；
（2）解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，
共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种，
∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是．
16．（2024九上·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为；
（3）判断和是否是位似图形(直接写结果)，若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：如图所示，和是位似图形，点M即为位似中心，
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似中心的判断
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、O向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的对应点A1、B1、O1，再顺次连接A1、B1、O1即可；
（2）利用方格纸的特点，分别延长OA、OB至点A2、B2，使AA2=OA，BB2=OB，再连接A2B2即可；
（3）如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点(位似中心)，对应边平行或在同一直线上，那么这两个图形就位似，据此求解即可.
（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：如图所示，和是位似图形，点M即为位似中心，
17．（2024九上·南海月考）启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图①，图②中，，），让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为．
（1）方方同学很快完成了自己的设计（如图①），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽；
（2）圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
设长为，则长为，
由题意，得，
整理，得，
解得，，
∴，，
∴长方形卡片的长和宽分别为和或和.
（2）解：根据题意画图如下：
设长方形的长为，则宽为，
由题意，得，
整理得，
解得，．
经检验，，都符合题意．
∴长方形卡片的长和宽分别为和．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设长为，则长为，利用“裁出的长方形卡片的面积为”列出方程，再求解即可；
（2） 设长方形的长为，则宽为， 利用“裁出的长方形卡片的面积为”列出方程，再求解即可.
（1）解：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
设长为，则长为，
由题意，得，
整理，得，
解得，，
∴，，
∴长方形卡片的长和宽分别为和或和；
（2）解：根据题意画图如下：
设长方形的长为，则宽为，
由题意，得，
整理得，
解得，．
经检验，，都符合题意．
∴长方形卡片的长和宽分别为和．
18．（2024九上·龙岗期中）如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接．
（1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程；
①；②；③．
（2）若四边形是矩形，且，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：选①，理由如下：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
，
，
∴四边形的面积为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得，则四边形是平行四边形，由，得，则四边形是矩形；
(2)由得，根据勾股定理求得则由面积公式计算得
（1）证明：选①，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
，
，
∴四边形的面积为．
19．（2024九下·深圳期末）【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考察测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ；
任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当时（如图1），线段能通过直角弯道；
②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是 ；
③当时，线段不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
任务三：成果迁移
（4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：）
【答案】（1）；
（2）；
（3）（3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．
解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H，
∵四边形为矩形，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．
（4）10
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由图形可知是等腰直角三角形，则，
故答案为：；
（4）如图4，过点A作轴于点，
由勾股定理可得，
∴，
把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
设直线与的交点为P，则，
过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
∴，
∵，
∴的最大整数值为10．
故答案为：10．
【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，再利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质可得， 从而得解；
（3）解法一：设与相交于点G，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，再结合，求出，从而得解；
解法二： 设直线分别与直线相交于点I，H，先求出，再利用线段的和差求出PQ的长即可；
（4）过点A作轴于点， 过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形， 设直线的解析式为：， 利用待定系数法求出直线MN的解析式，再联立方程可得，求出x的值，可得点M、N的坐标，再利用两点之间的距离公式求出MN的长，最后求出MN的最大值即可.
20．（2024九上·遂溪期中）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．
（1）数学思考：四边形的形状是________．
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作，交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，交于点，若，，求的长．
【答案】（1）正方形；
（2）解：①，证明如下：
∵，
∴．
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
由旋转的性质可得，，
∴，
∴．
②由旋转的性质可得，，
∴，，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定；正方形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
由题意可知，，，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
故答案为：正方形；
【分析】（1）首先根据，可得，再根据， 可得出∠CBE=90°，即可得出四边形是矩形，再根据矩形的性质知：BC=EF=BE，即可得出四边形是正方形；
（2）①证明，得到．由旋转的性质可得，得到。即可得到结论；
②由旋转的性质可得，，进而得出，由勾股定理得，，设，再利用勾股定理列方程求解即可．
（1）解：由题意可知，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）解：①，证明如下：
∵，
∴．
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
由旋转的性质可得，，
∴，
∴．
②由旋转的性质可得，，
∴，，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，，
∴．
1 / 1北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷三（范围：1-6章）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（2024九上·湛江月考）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．
2．（2025九上·江北期末）如图，一种凹槽模具水平放置，其呈现的几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·杭州期中）如图，已知，，那么下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·内乡县月考）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（ ）米．
A． B． C． D．
5．（2024九上·南山期中）操场上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·昆明开学考）扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·青岛月考）在同一直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·开江期中）如图，在边长为的菱形中，，是边上的动点，是边上的动点，且，连接，则的最小值是（ ）．
A．3 B．6 C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025九上·南山开学考）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化.假设在2023年初，有一块质量为500克的某种放射性同位素.由于放射性衰变，其质量会逐年减少.到2025年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至405克.设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x，根据题意，可列出一元二次方程为： .（只列方程，不需求解）
10．（2025九上·鹿城期末）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为 ．（精确到0.01）
试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000
发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750
发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950
11．（2023九上·宁津月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图， 井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为 尺．
12．（2025九上·海曙期末）如图，四边形 AEFH与四边形 ABCD 是位似图形，位似比为且四边形 AEFH的周长为 30cm.则四边形 ABCD的周长为 cm.
13．（2024九上·石门期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，在轴正半轴上，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点与边相交于点，若，，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2023九上·玉环期中）解下列一元二次方程：
（1） x2+2x-1=0；
（2） 2x2-x-3=0．
15．（2024九上·萧山月考）如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．
（1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率．
（2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率．
16．（2024九上·成都期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
（1）画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的；
（2）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为；
（3）判断和是否是位似图形(直接写结果)，若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标．
17．（2024九上·南海月考）启正中学某节社团课上，老师给每个学生发了一张腰长为的等腰直角三角形硬卡片（如图①，图②中，，），让学生们利用它裁出一块长方形卡片制作明信片，要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面积为．
（1）方方同学很快完成了自己的设计（如图①），并完成计算，请你求出他裁出的长方形卡片的长和宽；
（2）圆圆同学看了方方同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图②大致画出草图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的长和宽．
18．（2024九上·龙岗期中）如图，在平行四边形中，，E是边上一点，延长与的延长线交于点F，连接．
（1）请从下列条件中选择一个能证明四边形是矩形的条件，并写出证明过程；
①；②；③．
（2）若四边形是矩形，且，，求四边形的面积．
19．（2024九下·深圳期末）【项目式学习】
项目主题：守护生命，“数”说安全．
项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，'数'说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考察测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究．
任务一：考察测量
（1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ；
任务二：模拟探究
如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过．
（2）创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现：
①当时（如图1），线段能通过直角弯道；
②当时，必然存在线段的中点E与点B重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是 ；
③当时，线段不能通过直角弯道．
（3）如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点E与点B重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，且矩形能通过该直角弯道，求a的最大整数值．
任务三：成果迁移
（4）如图4，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，其对称轴交图象于点A．弯道内侧的顶点B在射线上，两边分别与x轴，y轴平行， ．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道类似．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，则b的最大整数值为 ．（参考数据：）
20．（2024九上·遂溪期中）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中，．将和按图2所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点．
（1）数学思考：四边形的形状是________．
（2）深入探究：老师将图2中的绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点作，交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明；
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，交于点，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故选：A.
【分析】根据题意得到，，求出a的值即可．
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的主视图为：
故答案为： A.
【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可.
3．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，∴，，，
不能求得和的值．
观察四个选项，B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．
4．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：为边的黄金分割点，即
米
米
故选B．
【分析】
直接利用黄金比计算即可．
5．【答案】D
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可得：
三根木杆两两平行
∴在某一时刻三根木杆在阳光下的影子互相平行
故答案为：D
【分析】根据物体在阳光下的影子的性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设花带的宽度为，则可列方程为，
故选D．
【分析】利用割补法先求出空白区域面积，再根据空白区域的面积等于矩形空地的面积的列方程即可.
7．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A.∵一次函数图象应该过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，A错误，
B.∵一次函数图象应该过第一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，B错误；
C.∵一次函数图象应该过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经过一、三象限，C错误；
D.∵一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经经过一、三象限，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质.根据 一次函数图象应该过第一、二、四象限， 据此可推出 a＜0，b＞0 ，进而可得： ab＜0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断A选项；根据 一次函数图象应该过第一、三、四象限， 据此可推出 a＞0，b＜0 ，进而可得：ab＜0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断B选项；根据一次函数图象应该过第一、二、三象限， 据此可推出 a＜0，b＜0，进而可得： ab＞0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断C选项；根据 一次函数图象经过第二、三、四象限， 据此可推出 a＜0，b＜0，进而可得：ab＞0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断D选项；
8．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接，，，如图所示：
四边形是菱形，
，
，
，都是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
时，最小，
∵为等边三角形，
∴此时，
∴，
的最小值为．
故选：C．
【分析】
由于菱形的一个内角，则连接BD可得等边三角形ABD，又菱形的对角线平分一组对角，则，再分别连接BE、BF，则可证明，则由全等的性质可得BD＝BF、，则可证是等边三角形，则EF＝BE，则由垂线段最短可知当时BE最短，即EF最短．
9．【答案】500（1-x）2=405
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为x，
由题意可得：500（1-x）2=405
故答案为：500（1-x）2=405
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
10．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数 0.95 附近，所以该麦种的发芽概率约为 0.95 ．
故填：0.95．
【分析】大量重复试验下频率近似于概率．
11．【答案】57.5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：57.5．
【分析】根据题意得四边形是矩形，由矩形的性质得，，从而推出，进而根据相似三角形对应边成比例得，于是可求出，最后求的值即可.
12．【答案】50
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AEFH与四边形ABCD是位似图形，位似比为
∴四边形AEFH与四边形ABCD相似，相似比为 ，
∴四边形AEFH的周长：四边形ABCD的周长
∴四边形ABCD的周长 四边形AEFH的周长
故答案为： 50.
【分析】根据位似变换的性质得到四边形AEFH与四边形ABCD相似，相似比为 则根据相似图形的性质得到边形AEFH的周长：四边形ABCD的周长 然后根据比例的性质求解.
13．【答案】36
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，连接AD，OD．
∵CD＝2BD，
∴，
∵DE∥BF，
∴，
设DE＝2a，则BF＝3a，则D（，2a），A（，3a），
∵S△ABC＝15，CD＝2BD，
∴S△ABC：S△ADC＝BC：CD=3：2，
∴15：S△ADC=3：2，
∴S△ADC＝10，
∵OA∥BC，
∴S△ODC＝S△ADC＝10，
∴ OC DE＝10，
∴OC＝，
∴AB＝OC＝，
∴B（＋，3a），
∴CE＝ ，CF＝＋ ＝，
∴（ ）：＝2：3，
解得k＝36，
故答案为36．
【分析】先由DE∥BF，推出，再设DE＝2a，则BF＝3a，用a，k分别表示出A，D的坐标，再构建方程求解．
14．【答案】（1）解：∵a=1，b=2，c=-1，
∴b2-4ac=22-4×1×(-1)=8，
∴x=，
∴x1=-1+，x2=-1-；
（2）解：∵（2x-3）（x+1）=0，
∴2x-3=0，x+1=0，
解得：x1=，x2=-1.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）由题意根据一元二次方程的求根公式可求解；
（2）由题意将二次三项式分解因式后，原方程可化为两个一元一次方程，解这两个方程即可求解.
15．【答案】（1）解：共有四个开关，，，，当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，
∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是；
（2）解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，
共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是（A，D），(B，D)，(C，D)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，共有6种等可能的结果，
∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解；
（2）运用画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解.
（1）解：共有四个开关，，，，
当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，
∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是；
（2）解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，
共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种，
∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是．
16．【答案】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：如图所示，和是位似图形，点M即为位似中心，
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似；位似中心的判断
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、O向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的对应点A1、B1、O1，再顺次连接A1、B1、O1即可；
（2）利用方格纸的特点，分别延长OA、OB至点A2、B2，使AA2=OA，BB2=OB，再连接A2B2即可；
（3）如果两个图形不仅是相似图形，且对应点连线相交于一点(位似中心)，对应边平行或在同一直线上，那么这两个图形就位似，据此求解即可.
（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：如图所示，和是位似图形，点M即为位似中心，
17．【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
设长为，则长为，
由题意，得，
整理，得，
解得，，
∴，，
∴长方形卡片的长和宽分别为和或和.
（2）解：根据题意画图如下：
设长方形的长为，则宽为，
由题意，得，
整理得，
解得，．
经检验，，都符合题意．
∴长方形卡片的长和宽分别为和．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设长为，则长为，利用“裁出的长方形卡片的面积为”列出方程，再求解即可；
（2） 设长方形的长为，则宽为， 利用“裁出的长方形卡片的面积为”列出方程，再求解即可.
（1）解：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
设长为，则长为，
由题意，得，
整理，得，
解得，，
∴，，
∴长方形卡片的长和宽分别为和或和；
（2）解：根据题意画图如下：
设长方形的长为，则宽为，
由题意，得，
整理得，
解得，．
经检验，，都符合题意．
∴长方形卡片的长和宽分别为和．
18．【答案】（1）证明：选①，理由如下：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
，
，
∴四边形的面积为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得，则，而，，即可证明，得，则四边形是平行四边形，由，得，则四边形是矩形；
(2)由得，根据勾股定理求得则由面积公式计算得
（1）证明：选①，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
，
，
∴四边形的面积为．
19．【答案】（1）；
（2）；
（3）（3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．
解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H，
∵四边形为矩形，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
∴根据实际情况得：a的最大整数值为7．
（4）10
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）由图形可知是等腰直角三角形，则，
故答案为：；
（4）如图4，过点A作轴于点，
由勾股定理可得，
∴，
把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
设直线与的交点为P，则，
过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
设直线的解析式为：，
∴，解得：，
∴直线的解析式为：，
令，
解得：，
，
∴，
∵，
∴的最大整数值为10．
故答案为：10．
【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，再利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）利用等腰直角三角形的性质可得， 从而得解；
（3）解法一：设与相交于点G，先利用“ASA”证出，再利用全等三角形的性质可得，再结合，求出，从而得解；
解法二： 设直线分别与直线相交于点I，H，先求出，再利用线段的和差求出PQ的长即可；
（4）过点A作轴于点， 过点P作轴于点，延长交x轴于点K，则，是等腰直角三角形， 设直线的解析式为：， 利用待定系数法求出直线MN的解析式，再联立方程可得，求出x的值，可得点M、N的坐标，再利用两点之间的距离公式求出MN的长，最后求出MN的最大值即可.
20．【答案】（1）正方形；
（2）解：①，证明如下：
∵，
∴．
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
由旋转的性质可得，，
∴，
∴．
②由旋转的性质可得，，
∴，，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定；正方形的判定；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1），
，
由题意可知，，，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
故答案为：正方形；
【分析】（1）首先根据，可得，再根据， 可得出∠CBE=90°，即可得出四边形是矩形，再根据矩形的性质知：BC=EF=BE，即可得出四边形是正方形；
（2）①证明，得到．由旋转的性质可得，得到。即可得到结论；
②由旋转的性质可得，，进而得出，由勾股定理得，，设，再利用勾股定理列方程求解即可．
（1）解：由题意可知，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
四边形是正方形，
故答案为：正方形；
（2）解：①，证明如下：
∵，
∴．
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
由旋转的性质可得，，
∴，
∴．
②由旋转的性质可得，，
∴，，，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
由勾股定理得，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解得，，
∴．
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