湘教版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）
一、选择题 (本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．（2024九上·泰山月考）如果函数是反比例函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．0
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴且，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数，据此可求出的值.
2．（2024九上·岳阳期中）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据反比例函数的性质函数的图象分布在第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，然后比较已知三点的横坐标大小，即可得到答案.
3．（2024九上·潮南月考）把方程化成的形式，则（ ）
A．17 B．14 C．11 D．7
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选A．
【分析】根据移项，两边都加上一次项系数的一半的平方，得到完全平方公式解答即可．
4．（2025九上·荔湾期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴
∴，
故选：D．
【分析】根据公式法及二次方程各项的定义即可求出答案.
5．（2024九上·开福月考）如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
6．（2025九上·顺德月考）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A．CA平分 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BAC
A：CA平分，则ACD=∠ACB，即∽，A正确
B：∠DAC=∠ABC，即∽，B正确
C：，不能判断∽，C错误
D：，∽，D正确
故答案为：C
【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7． 已知关于x的方程 有两个相等的实数根.若在平面直角坐标系中，点P 在直线l： 上，点 位于直线l下方，则PQ长的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】解：方程有两个相等的实数根，故，整理得a+2b=2或a+2b=-2，
当a+2b=2时，b=1-，点，此时点Q在直线l1：y=-x+1上，但Q在直线的上方，不符合题意；
当a+2b=-2时，b=1-，点，此时点Q在直线l2：y=-x-1上，且在直线的下方，符合题意，
此时l||l2，当PQ垂直于l时，PQ取最小值，如下图，OP=，OQ=，故PQmin=.
故答案为：A.
【分析】由方程有两个相等的实数根可得a、b间的数量关系，分类讨论可得点Q所在的直线，由特殊三角形可得PQ的最小值.
8．（2025·深圳模拟）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得：
故选：C．
【分析】本题主要对黄金分割进行考查。黄金分割比为，根据此计算AP长为．
9．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E，F，G，H 分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，用S，P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；用S1，P1分别表示四边形 EFGH 的面积和周长.设 则下面关于K，K1的说法正确的是( ).
A．K，K1均为常数 B．K 为常数，K1不为常数
C．K 不为常数，K1为常数 D．K，K1均不为常数
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接AC，BD，
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH//BD//FG，
∴△AEH∽△ABD，△CFG∽△CBD，
∴，，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，K为常值；
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴，，
∴四边形EFGH的周长P1=AC+BD，
若四边形ABCD是邻边长为1和2的矩形，则
，
若四边形ABCD是边长为1的正方形，则
故K1不为常值.
故答案为：B.
【分析】根据E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，运用三角形中位线定理，得出，进而求得K的值；再根据E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得出四边形EFGH的周长P1=AC+BD，进而通过计算求得K1不为常值.
10．（2024九上·涟源期中）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点做轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，过点作轴于，过点作轴于，
四边形是平行四边形，
，
∵，
，
易证四边形是矩形，
∴，
，
，，
，故①正确；
②，，
，
，
，故②错误；
③当，有四边形是矩形，
不能确定与相等，
∵，
不能判断，
不能判断，
不能确定，故③错误；
④若四边形是菱形，则，
∵，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论个数是2个，
故答案为：B．
【分析】①过点作轴于，过点作轴于，根据平行四边形以及三角形面积公式得，易证四边形是矩形，结合矩形的性质得，然后利用三角形面积公式以及反比例函数的几何意义得；
②由，，得到；③当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，故不能判断，则不能确定；④若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，故，即.
二、填空题(本大题有8小题，每小题3分，24分)
11．（2024九上·杭州月考）已知，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，然后代入所求分式进行计算即可.
12．（2025·杭州二模）如图，点A在双曲线上，连接OA，分别以点O、A为圆心大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D，若，则点D的坐标为 .
【答案】（4，0）
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：连接AD，
由作图痕迹知CD垂直平分AO，∠DAO=∠AOD=45°，故∠ADO=90°，
AD=OD，设A(m，m)代入函数得a=4，故A(4，4)得D(4，0)
故答案为：（4，0）.
【分析】由∠AOD=45°结合对称垂直平分线的性质知AO=OD，求出A的坐标，即可得点D的坐标.
13．（2024九上·新邵月考）若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根是，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】把方程的根代入方程得到，然后根据一元二次方程的定义求出，据此即可求解.
14．（2023·黄冈模拟）设x1，x2是一元二次方程x2-5x+4＝0的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x1，x2是一元二次方程x2-5x+4＝0的两个实数根，
∴，，
∴.
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系“，”可求出x1+x2及x1·x2的值，然后将待求式子通分计算后整体代入可得答案.
15．（2024九上·涟源期中）如图，与是位似图形， 点O为位似中心，．若，则 的长是 ．
【答案】12
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵与是位似图形， 点为位似中心，
∴，且位似比为，
∴，
∵，
∴，
故答案为：12．
【分析】先求出，利用位似图形的性质求出位似比，再结合相似三角形的性质得到答案.
16．（2024·乌鲁木齐模拟）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为 ．
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA.
轴，
，
，
，
，
．
故答案为：2．
【分析】
如图所示，连接OA，由同底等高两三角形面积相等可得，再由反比例函数系数k的几何意义得到，由于，即．
17．（2023九下·大庆期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：）与时间x（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．教室空气中的药物浓度不低于于时，对杀灭病毒有效．当时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为 min
【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：将代入，得，
，
设熏蒸完后的函数关系式为：，
，
∴熏蒸完后函数的关系式为，
∵药物浓度不低于，
∴当时，有，
当时，有，
∴有效时长为：，
故答案为：8．
【分析】先求出点的坐标，利用待定系数法得到熏蒸完后的函数关系式，然后求出两函数值大于等于2时的的取值范围，结合函数的性质可得有效时间.
18．（2024九上·北京市期中）在中，，点在线段上，过点作于点，于点，使得四边形为正方形，此时，，则阴影部分面积为 ．
【答案】6
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，CE＝CF＝BF＝BE，
∴△AEC∽△ABD，
∴，
设CE＝CF＝BF＝BE＝x，
∴，
解得AE＝，FD＝，
在Rt△AEC中，由勾股定理得，
，
即，
解得x＝，
∴AE＝＝（cm），FD＝＝（cm），
∴阴影部分面积为（）．
故答案为：6.
【分析】由正方形的性质证明△AEC∽△ABD，设CE＝CF＝BF＝BE＝x，即可得到，求出AE＝，FD＝，然后在Rt△AEC中，根据勾股定理求出x的值，再求出阴影部分面积即可．
三、解答题(每小题6分，共12分)
19．（2024九上·涟源期中）解方程∶
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用“因式分解法”求解一元二次方程即可；
（2）利用“配方法”求解一元二次方程即可．
（1）解：
，
即：或，
，；
（2）解：
，
，．
20．在直角坐标系内，反比例函数的图象经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).
（1）若求证：
（2）若求该函数的表达式.
【答案】（1）证明：∵反比例函数 的图象经过点.B(x2，y2)，C(x3，y3)，
（2）解：∵y1-y2=8，y3-y1=16，
∴y3-y2=24，
∴，，
∴k(x2-x1)=8x1x2，k(x2-x3)=24x2x3，
∵x3-x2=x2-x1=1，
∴k=8x1x2，-k=24x2x3，
∴8x1x2=-24x2x3，
∴x1=-3x3，
∴x3-x2=x2+3x3，
∴x2=-x3，
∴x3-x2=x3+x3=1，
即，
∴
∵k(x2-x3)=24x2x3，
∴k=6
∴该函数的表达式为
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】(1)利用反比例函数的性质，将y2和y3用k和x2，x3表示出来，然后代入x3+y2中，通过计算得出结果为0，从而证明结论；
(2)根据y1-y2=8和y3-y1=16，求出y3-y2=24，然后将y1，y2，y3用k和x1，x2，x3表示出来，代入计算，同时结合x3-x2=x2-x1=1，求出x1，x2，x3的值，最后代入中，求出k的值即可.
四、解答题(每小题8分，共16分)
21．（2024九上·九台月考）已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）若的长为5，求的值；
（2）为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长．
【答案】（1）解：∵平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且，
∴，
解得：；
（2）解：平行四边形是菱形，
，
∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，
方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
∴，
解得：，
，即菱形的边长为4，
∴当时，平行四边形是菱形，菱形的边长是4．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；菱形的性质
【解析】【分析】（1）将代入原方程并解之即可；
（2）根据菱形的性质得到，然后利用一元二次方程根的判别式列出关于的一元二次方程并解之即可得出的值，将其代入原方程，解方程即可得出菱形的边长．
（1）解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为5，
∴把代入，得
解得：；
（2）解：平行四边形是菱形，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，
此时方程为，
，
，即菱形的边长为4；
答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4．
22．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
五、解答题 (每小题9分，共18分)
23．（2025八下·永康期末）用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
24．（2024·仙居模拟）如图，菱形中，，，垂足分别为E，F．对角线分别交，于点G，H．
（1）求证：．
（2）若，证明．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，．
∵，，
∴．
∴在△DAE和△DCF中，
，
∴（AAS）．
∴．
（2）证明：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴AB∥CD，AD=AB=CD
∴∠GAE=∠GCD，
∵，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠DAB=30°，
∴AE=AD=AB=CD，
在△AGE和△CGD中，
，
∴△AGE∽△CGD（AA），
∴AG：CG=AE：CD=CD：CD=，
∴，
同理可得：，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可知，，通过证明，从即可而得出DE和DF这组对应边相等；
（2）根据菱形的性质易知∠GAE=∠GCD，再结合已知条件易得AE=AD=CD，△AGE和△CGD，进而得出，同理可得，进而即可证明.
六、综合题(每小题10分，共20分)
25．（2025九下·高坪开学考）如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标．
（3）在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标．
【答案】（1）解：把代入得，
，
，
把代入，
得，
反比例函数的函数表达式为；
（2）解：当时，
，
，
，
，
，
又，
解得：，
，
点P坐标为；
（3）解：①当点Q在x轴正半轴上时，如图，过点A作轴交x轴于，
则，
点；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如图，设与y轴交于点，
∵，
∴，
则，
解得：，
∴，
设直线表达式为，则有
，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
综上所述，点Q的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）先由直线上点的坐标特征可得，再利用待定系数法即可；
（2）由于和有公共边OB，则当时，则有P点到y轴的距离等于A点到y轴距离的2倍，即点P的横坐标等于点A的横坐标的2倍，再利用双曲线上点的坐标特征求出点P的纵坐标即可；
（3）分两种情况：①当点Q在x轴正半轴上时，则由内错角相等两直线平行得轴，即点Q的横坐标等于点A的横坐标；②当点Q在x轴负半轴上时，则可设AQ交y轴于点D，则由等角对等边得AD=OD，为便于计算可设D(0，b)，则由两点距离公式可得关于b的方程并求解即可得点D坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式，再利用直线上点的坐标特征即可得点Q坐标．
（1）解：把代入得，
，
，
把代入，
得，
反比例函数的函数表达式为
（2）解：当时，
，
，
，
，
，
又，
解得：，
，
点P坐标为；
（3）解：①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作轴交x轴于，
则，
点；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如图，设与y轴交于点，
∵，
∴，
则，
解得：，
∴，
设直线表达式为，则有
，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
综上所述，点Q的坐标为或．
26．（2024九上·浙江期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图2的“弦图”中，连结，交于点O，设与，的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：
吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形是正方形，O是和的中点．”；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现“”；
小颖：我发现“已知，的长度，就能确定的长度”，如：“已知，，求的长．”
结合上述师生的交流：
（1）请你证明小聪发现的结论；
（2）请你解答小颖提出的问题“已知，，求的长．”
【答案】（1）证明：∵四边形，都是正方形，
，
，
；
（2）解：，，
，
∵，，
，，
∵四边形，是正方形，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
又∵是和的中点，
，，
由（1）得：，
，
∴，
解得：，
∴由中心对称的性质，得：．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得，再由，即可得证结论；
（2）由全等三角形得，结合勾股定理求出，，然后根据正方形的性质得，是等腰直角三角形，从而得，，进而得，，接下来由（1）中的相似三角形对应边成比例的性质得到，最后根据中心对称的性质即可得到的长.
（1）解：由吴老师与小聪的交流可知：
四边形是正方形，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
；
（2），
，
，
由正方形得：，
由正方形得：，
由吴老师与小聪的交流可知：O是和的中点，
，，
由（1）得：，
，
即：，
，
∴由中心对称性，得：．
1 / 1湘教版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷一（范围：1-3章）
一、选择题 (本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．（2024九上·泰山月考）如果函数是反比例函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．0
2．（2024九上·岳阳期中）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·潮南月考）把方程化成的形式，则（ ）
A．17 B．14 C．11 D．7
4．（2025九上·荔湾期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．（2024九上·开福月考）如图，直线，直线，被直线，，所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．4
6．（2025九上·顺德月考）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A．CA平分 B． C． D．
7． 已知关于x的方程 有两个相等的实数根.若在平面直角坐标系中，点P 在直线l： 上，点 位于直线l下方，则PQ长的最小值为( )
A． B． C． D．
8．（2025·深圳模拟）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（ ）．
A． B． C． D．
9．已知四边形ABCD 为任意凸四边形，E，F，G，H 分别是边AB，BC，CD，DA 的中点，用S，P 分别表示四边形ABCD 的面积和周长；用S1，P1分别表示四边形 EFGH 的面积和周长.设 则下面关于K，K1的说法正确的是( ).
A．K，K1均为常数 B．K 为常数，K1不为常数
C．K 不为常数，K1为常数 D．K，K1均不为常数
10．（2024九上·涟源期中）如图，是平行四边形，对角线在轴正半轴上，位于第一象限的点和第二象限的点分别在双曲线和的一个分支上，分别过点做轴的垂线段，垂足分别为点和，则以下结论：①；②阴影部分面积是；③当时，；④若是菱形，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有8小题，每小题3分，24分)
11．（2024九上·杭州月考）已知，那么的值为 ．
12．（2025·杭州二模）如图，点A在双曲线上，连接OA，分别以点O、A为圆心大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线BC，交x轴于点D，若，则点D的坐标为 .
13．（2024九上·新邵月考）若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为
14．（2023·黄冈模拟）设x1，x2是一元二次方程x2-5x+4＝0的两个实数根，则的值为 ．
15．（2024九上·涟源期中）如图，与是位似图形， 点O为位似中心，．若，则 的长是 ．
16．（2024·乌鲁木齐模拟）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，若点C是x轴上一点，，则k的值为 ．
17．（2023九下·大庆期末）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：）与时间x（单位：）的函数关系如图所示：校医进行药物熏蒸时y与x的函数关系式为，药物熏蒸完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为．教室空气中的药物浓度不低于于时，对杀灭病毒有效．当时，本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为 min
18．（2024九上·北京市期中）在中，，点在线段上，过点作于点，于点，使得四边形为正方形，此时，，则阴影部分面积为 ．
三、解答题(每小题6分，共12分)
19．（2024九上·涟源期中）解方程∶
（1）；
（2）．
20．在直角坐标系内，反比例函数的图象经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3).
（1）若求证：
（2）若求该函数的表达式.
四、解答题(每小题8分，共16分)
21．（2024九上·九台月考）已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）若的长为5，求的值；
（2）为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长．
22．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
五、解答题 (每小题9分，共18分)
23．（2025八下·永康期末）用一张长为40cm，宽为25cm的长方形硬纸片，裁去一部分后折成纸盒。
（1）如图1裁去角上四个小正方形之后，折成如图2的无盖纸盒。若纸盒底面积为450cm2，则纸盒的高是多少？
（2）如图3，在纸片左边的两个角裁去两个正方形，纸片右边的两个角裁去两个长方形之后，将剩下的纸片（空白部分）折成一个有盖的纸盒。若折成纸盒的表面积为912cm2，则裁去的正方形的边长是多少？
24．（2024·仙居模拟）如图，菱形中，，，垂足分别为E，F．对角线分别交，于点G，H．
（1）求证：．
（2）若，证明．
六、综合题(每小题10分，共20分)
25．（2025九下·高坪开学考）如图，直线与x轴交于C点，与y轴交于B点，在直线上取点，过点A作反比例函数的图象．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）点P为反比例函数图象上的一点，若，求点P的坐标．
（3）在x轴存在点Q，使得，请求出点Q的坐标．
26．（2024九上·浙江期中）如图1，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图2的“弦图”中，连结，交于点O，设与，的交点分别为M，N．吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：
吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明“四边形是正方形，O是和的中点．”；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现“”；
小颖：我发现“已知，的长度，就能确定的长度”，如：“已知，，求的长．”
结合上述师生的交流：
（1）请你证明小聪发现的结论；
（2）请你解答小颖提出的问题“已知，，求的长．”
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴且，
解得：，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义：一般地，形如（为常数，）的函数叫做反比例函数，据此可求出的值.
2．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先根据反比例函数的性质函数的图象分布在第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，然后比较已知三点的横坐标大小，即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选A．
【分析】根据移项，两边都加上一次项系数的一半的平方，得到完全平方公式解答即可．
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
∴
∴，
故选：D．
【分析】根据公式法及二次方程各项的定义即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BAC
A：CA平分，则ACD=∠ACB，即∽，A正确
B：∠DAC=∠ABC，即∽，B正确
C：，不能判断∽，C错误
D：，∽，D正确
故答案为：C
【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；函数几何问题中的最值
【解析】【解答】解：方程有两个相等的实数根，故，整理得a+2b=2或a+2b=-2，
当a+2b=2时，b=1-，点，此时点Q在直线l1：y=-x+1上，但Q在直线的上方，不符合题意；
当a+2b=-2时，b=1-，点，此时点Q在直线l2：y=-x-1上，且在直线的下方，符合题意，
此时l||l2，当PQ垂直于l时，PQ取最小值，如下图，OP=，OQ=，故PQmin=.
故答案为：A.
【分析】由方程有两个相等的实数根可得a、b间的数量关系，分类讨论可得点Q所在的直线，由特殊三角形可得PQ的最小值.
8．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得：
故选：C．
【分析】本题主要对黄金分割进行考查。黄金分割比为，根据此计算AP长为．
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接AC，BD，
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EH//BD//FG，
∴△AEH∽△ABD，△CFG∽△CBD，
∴，，
∴，
同理可得，，
∴，
∴，K为常值；
∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴，，
∴四边形EFGH的周长P1=AC+BD，
若四边形ABCD是邻边长为1和2的矩形，则
，
若四边形ABCD是边长为1的正方形，则
故K1不为常值.
故答案为：B.
【分析】根据E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，运用三角形中位线定理，得出，进而求得K的值；再根据E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，得出四边形EFGH的周长P1=AC+BD，进而通过计算求得K1不为常值.
10．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：①如图，过点作轴于，过点作轴于，
四边形是平行四边形，
，
∵，
，
易证四边形是矩形，
∴，
，
，，
，故①正确；
②，，
，
，
，故②错误；
③当，有四边形是矩形，
不能确定与相等，
∵，
不能判断，
不能判断，
不能确定，故③错误；
④若四边形是菱形，则，
∵，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论个数是2个，
故答案为：B．
【分析】①过点作轴于，过点作轴于，根据平行四边形以及三角形面积公式得，易证四边形是矩形，结合矩形的性质得，然后利用三角形面积公式以及反比例函数的几何意义得；
②由，，得到；③当，得到四边形是矩形，由于不能确定与相等，则不能判断，故不能判断，则不能确定；④若是菱形，根据菱形的性质得，可判断，则，故，即.
11．【答案】
【知识点】分式的化简求值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出，然后代入所求分式进行计算即可.
12．【答案】（4，0）
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：连接AD，
由作图痕迹知CD垂直平分AO，∠DAO=∠AOD=45°，故∠ADO=90°，
AD=OD，设A(m，m)代入函数得a=4，故A(4，4)得D(4，0)
故答案为：（4，0）.
【分析】由∠AOD=45°结合对称垂直平分线的性质知AO=OD，求出A的坐标，即可得点D的坐标.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有一个根是，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】把方程的根代入方程得到，然后根据一元二次方程的定义求出，据此即可求解.
14．【答案】
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ x1，x2是一元二次方程x2-5x+4＝0的两个实数根，
∴，，
∴.
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系“，”可求出x1+x2及x1·x2的值，然后将待求式子通分计算后整体代入可得答案.
15．【答案】12
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵与是位似图形， 点为位似中心，
∴，且位似比为，
∴，
∵，
∴，
故答案为：12．
【分析】先求出，利用位似图形的性质求出位似比，再结合相似三角形的性质得到答案.
16．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA.
轴，
，
，
，
，
．
故答案为：2．
【分析】
如图所示，连接OA，由同底等高两三角形面积相等可得，再由反比例函数系数k的几何意义得到，由于，即．
17．【答案】8
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：将代入，得，
，
设熏蒸完后的函数关系式为：，
，
∴熏蒸完后函数的关系式为，
∵药物浓度不低于，
∴当时，有，
当时，有，
∴有效时长为：，
故答案为：8．
【分析】先求出点的坐标，利用待定系数法得到熏蒸完后的函数关系式，然后求出两函数值大于等于2时的的取值范围，结合函数的性质可得有效时间.
18．【答案】6
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为正方形，
∴，CE＝CF＝BF＝BE，
∴△AEC∽△ABD，
∴，
设CE＝CF＝BF＝BE＝x，
∴，
解得AE＝，FD＝，
在Rt△AEC中，由勾股定理得，
，
即，
解得x＝，
∴AE＝＝（cm），FD＝＝（cm），
∴阴影部分面积为（）．
故答案为：6.
【分析】由正方形的性质证明△AEC∽△ABD，设CE＝CF＝BF＝BE＝x，即可得到，求出AE＝，FD＝，然后在Rt△AEC中，根据勾股定理求出x的值，再求出阴影部分面积即可．
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用“因式分解法”求解一元二次方程即可；
（2）利用“配方法”求解一元二次方程即可．
（1）解：
，
即：或，
，；
（2）解：
，
，．
20．【答案】（1）证明：∵反比例函数 的图象经过点.B(x2，y2)，C(x3，y3)，
（2）解：∵y1-y2=8，y3-y1=16，
∴y3-y2=24，
∴，，
∴k(x2-x1)=8x1x2，k(x2-x3)=24x2x3，
∵x3-x2=x2-x1=1，
∴k=8x1x2，-k=24x2x3，
∴8x1x2=-24x2x3，
∴x1=-3x3，
∴x3-x2=x2+3x3，
∴x2=-x3，
∴x3-x2=x3+x3=1，
即，
∴
∵k(x2-x3)=24x2x3，
∴k=6
∴该函数的表达式为
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】(1)利用反比例函数的性质，将y2和y3用k和x2，x3表示出来，然后代入x3+y2中，通过计算得出结果为0，从而证明结论；
(2)根据y1-y2=8和y3-y1=16，求出y3-y2=24，然后将y1，y2，y3用k和x1，x2，x3表示出来，代入计算，同时结合x3-x2=x2-x1=1，求出x1，x2，x3的值，最后代入中，求出k的值即可.
21．【答案】（1）解：∵平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且，
∴，
解得：；
（2）解：平行四边形是菱形，
，
∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，
方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
∴，
解得：，
，即菱形的边长为4，
∴当时，平行四边形是菱形，菱形的边长是4．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用；菱形的性质
【解析】【分析】（1）将代入原方程并解之即可；
（2）根据菱形的性质得到，然后利用一元二次方程根的判别式列出关于的一元二次方程并解之即可得出的值，将其代入原方程，解方程即可得出菱形的边长．
（1）解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为5，
∴把代入，得
解得：；
（2）解：平行四边形是菱形，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，
此时方程为，
，
，即菱形的边长为4；
答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4．
22．【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
23．【答案】（1）解：设纸盒的高为x(cm)，
由题意，得：(40-2x)(25-2x)=450，
化简、整理，得：2x2-65x+275=0，
解这个方程，得：x1=5，x2=27.5（不合题意，舍去)，
答：纸盒的高为5cm.
（2）解：设裁去的正方形的边长为x(cm)，
由题意，得：40×25-2x2-2×20x=912，
化简、整理，得：x2+20x-44=0，
解这个方程，得：x1=2，x2=-22（不合题意，舍去)，
答：裁去的正方形的边长为2cm.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设纸盒的高为xcm，则纸盒的底面是长为(40-2x)cm，宽为(25-2x)cm的长方形，根据纸盒底面积为450cm2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；
(2)设裁去的正方形的边长为xcm，根据折成纸盒的表面积为912cm2(即长方形硬纸板的面积-阴影部分的面积)，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.
24．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，．
∵，，
∴．
∴在△DAE和△DCF中，
，
∴（AAS）．
∴．
（2）证明：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴AB∥CD，AD=AB=CD
∴∠GAE=∠GCD，
∵，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠DAB=30°，
∴AE=AD=AB=CD，
在△AGE和△CGD中，
，
∴△AGE∽△CGD（AA），
∴AG：CG=AE：CD=CD：CD=，
∴，
同理可得：，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可知，，通过证明，从即可而得出DE和DF这组对应边相等；
（2）根据菱形的性质易知∠GAE=∠GCD，再结合已知条件易得AE=AD=CD，△AGE和△CGD，进而得出，同理可得，进而即可证明.
25．【答案】（1）解：把代入得，
，
，
把代入，
得，
反比例函数的函数表达式为；
（2）解：当时，
，
，
，
，
，
又，
解得：，
，
点P坐标为；
（3）解：①当点Q在x轴正半轴上时，如图，过点A作轴交x轴于，
则，
点；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如图，设与y轴交于点，
∵，
∴，
则，
解得：，
∴，
设直线表达式为，则有
，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
综上所述，点Q的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】
（1）先由直线上点的坐标特征可得，再利用待定系数法即可；
（2）由于和有公共边OB，则当时，则有P点到y轴的距离等于A点到y轴距离的2倍，即点P的横坐标等于点A的横坐标的2倍，再利用双曲线上点的坐标特征求出点P的纵坐标即可；
（3）分两种情况：①当点Q在x轴正半轴上时，则由内错角相等两直线平行得轴，即点Q的横坐标等于点A的横坐标；②当点Q在x轴负半轴上时，则可设AQ交y轴于点D，则由等角对等边得AD=OD，为便于计算可设D(0，b)，则由两点距离公式可得关于b的方程并求解即可得点D坐标，再利用待定系数法求出直线AD的解析式，再利用直线上点的坐标特征即可得点Q坐标．
（1）解：把代入得，
，
，
把代入，
得，
反比例函数的函数表达式为
（2）解：当时，
，
，
，
，
，
又，
解得：，
，
点P坐标为；
（3）解：①当点Q在x轴正半轴上时，
如图，过点A作轴交x轴于，
则，
点；
②当点Q在x轴负半轴上时，
如图，设与y轴交于点，
∵，
∴，
则，
解得：，
∴，
设直线表达式为，则有
，
解得，
直线的表达式为，
当时，，
即点的坐标为，
综上所述，点Q的坐标为或．
26．【答案】（1）证明：∵四边形，都是正方形，
，
，
；
（2）解：，，
，
∵，，
，，
∵四边形，是正方形，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
又∵是和的中点，
，，
由（1）得：，
，
∴，
解得：，
∴由中心对称的性质，得：．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；中心对称的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得，再由，即可得证结论；
（2）由全等三角形得，结合勾股定理求出，，然后根据正方形的性质得，是等腰直角三角形，从而得，，进而得，，接下来由（1）中的相似三角形对应边成比例的性质得到，最后根据中心对称的性质即可得到的长.
（1）解：由吴老师与小聪的交流可知：
四边形是正方形，
∵四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
；
（2），
，
，
由正方形得：，
由正方形得：，
由吴老师与小聪的交流可知：O是和的中点，
，，
由（1）得：，
，
即：，
，
∴由中心对称性，得：．
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