2.3函数的单调性和最值 考点归纳2025-2026北师大高中数学必修一（含解析）

2.3函数的单调性和最值考点归纳
考点01 求函数的单调区间（共5小题）（重点）
1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是
A．和 B．和
C．和 D．和
2．（24-25高一上·广西来宾·期中）函数的单调递减区间是 .
3．（23-24高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 .
4．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知函数.
(1)作出函数的图象；
(2)由图指出的增区间.
5．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数.
(1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象；
(2)写出其单调区间（不用证明）.
考点02 判断函数的单调性（共5小题）（重点）
6．（24-25高一上·山东济南·期中）下列函数在其定义域上是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列函数在定义域内是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高一上·天津东丽·期中）下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25高一上·湖南长沙·期中）下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，在区间上递增的是（ ）
A． B． C． D．
考点03 复合函数的单调性（共3小题）（重点）
11．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
13．（24-25高一上·重庆·期中）函数的增区间为 ．
考点04 证明具体函数的单调性（共4小题）（重点）
14．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增.
15．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减．
16．（25-26高一上·江西南昌·阶段测试）已知函数，且，设．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义法判断的单调性．
17．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.
(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
考点05 证明抽象函数的单调性（共6小题）（难点）
18．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立．
(1)求的值；
(2)求证：当时，；
(3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由．
19．（24-25高一上·北京·期中）设函数是定义在R上的函数，对任意的实数都有，且当时的取值范围是．
(1)求证：存在实数使得；
(2)当时，求的取值范围；
(3)判断函数的单调性，并予以证明．
20．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，，对，，都有，且当时，．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明单调性；
(3)若，求关于的不等式的解集．
21．（24-25高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有．
(1)证明：当时，；
(2)判断在上的单调性；
(3)解不等．
22．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．
(1)求，；
(2)判断并证明的单调性；
(3)解不等式：．
23．（24-25高一上·山东济南·期中）已知定义在上的函数，满足对任意的，都有.当时，，且.
(1)求；
(2)求证：在上是增函数；
(3)解关于x的不等式.
考点06 由函数的单调性求参数（共5小题）（易错点）
24．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
25．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
26．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
27．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
28．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
考点07 利用单调性解不等式（共4小题）（重点）
29．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
30．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
31．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
32．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
考点08 利用单调性比较大小（共3小题）（重点）
33．（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
34．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
35．（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考点09 利用单调性求最值或值域（共6小题）（重点）
36．（2025高二下·湖南·学业考试）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（ ）
A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值
C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值
37．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
38．（25-26高一上·全国·期中）已知，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
39．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的定义域是
C．函数 D．的最小值为
40．（24-25高一上·广东梅州·期中）函数在上的值域为 .
41．（23-24高一上·北京·期末）已知函数 ．
(1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
(2)求出函数在区间上的最大值和最小值.
(3)画出函数图象并求出其值域
考点10 由函数的最值求参数（共4小题）
42．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（ ）
A． B．1 C．3 D．
43．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（ ）
A． B．1 C． D．
44．（24-25高一上·湖南·阶段练习）若函数的最小值是8，则实数m的值为（ ）
A．6或10 B．6或10 C．6或10 D．6或10
45．（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数.
(1)若恒成立，求的最大值；
(2)若在上单调，求的取值范围；
(3)求在上的最小值为，求.
考点11 恒成立或能成立（有解）问题（共10小题）（难点）
46．（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
47．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
48．（2025高三·全国·专题练习）已知，且函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．25
49．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知函数，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
50．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
51．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 .
52．（24-25高一上·新疆·期中）已知函数.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义法证明；
(3)若对任意的，都有，求的取值范围.
53．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
(3)若对，恒成立，求实数的取值范围．
54．（24-25高一上·重庆·期中）已知
(1)求函数的解析式.
(2)设函数，不等式在上有解，求实数的取值范围.
55．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围．
考点12 与单调性有关的新定义题（共3小题）（难点）
56．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，若点，点是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
57．（2023·全国·二模）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，.已知，，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
58．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）高斯函数是用德国著名的数学家高斯的名字命名的，即设，用表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，有下列四个结论：①；②在上单调递增；③的最小值为0；④没有最大值，其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②
4.3函数的单调性和最值考点归纳答案
考点01 求函数的单调区间（共5小题）（重点）
1．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断.
【详解】定义域是函数自变量的取值范围，为，
函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即.
故选：D
2．（24-25高一上·广西来宾·期中）函数的单调递减区间是 .
【答案】/
【分析】绝对值函数转化为分段函数即可求得递减区间.
【详解】，所以函数的单调递减区间是.
故答案为：
3．（23-24高一上·江西上饶·期末）函数的单调递减区间是 .
【答案】
【分析】根据二次函数的性质判断即可.
【详解】二次函数开口向上，对称轴为，
所以函数的单调递减区间为.
故答案为：
4．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知函数.
(1)作出函数的图象；
(2)由图指出的增区间.
【答案】(1)作图见解析；
(2)，.
【分析】（1）函数，再作出图象即可得.
（2）结合函数图象可得增区间.
【详解】（1）函数，
则函数的图象如图实线部分所示：
（2）由（1）知，观察函数的图象，得的增区间为、．
5．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知函数.
(1)将写成分段函数的形式，并作出函数的图象；
(2)写出其单调区间（不用证明）.
【答案】(1)，图象见解析；
(2)增区间为，减区间为
【分析】（1）按的正负分类讨论去掉绝对值号，得到分段函数的形式；
（2）观察图象得到函数的单调区间.
【详解】（1）当时，，当时，，
故.
图象如下图:
（2）由图可知：的单调递增区间：；
单调递减区间：.
考点02 判断函数的单调性（共5小题）（重点）
6．（24-25高一上·山东济南·期中）下列函数在其定义域上是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】运用减函数概念，结合特殊值逐个判断即可.
【详解】对于A，的定义域为，，且，而，所以A错误；
对于B，是幂函数，定义域为，因为，所以在其定义域是减函数，所以B正确；
对于C，是幂函数，定义域为，因为，所以在其定义域是增函数，所以C错误；
对于D，显然是定义在上的增函数，所以D错误.
故选：B.
7．（24-25高一上·重庆渝北·期中）下列函数在定义域内是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用各选项中函数式直接判断单调性即可.
【详解】对于A，一次函数在定义域R上单调递增，A是；
对于B，一次函数在定义域R上单调递减，B不是；
对于C，二次函数在定义域R上不单调，C不是；
对于D，二次函数在定义域R上不单调，D不是.
故选：A
8．（24-25高一上·天津东丽·期中）下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接由函数的解析式判断其单调性即可得解.
【详解】为减函数，，在上递减，
是上的增函数，在上是减函数.
故选：C.
9．（24-25高一上·湖南长沙·期中）下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性逐一分析即可.
【详解】对于：为一次函数，在上单调递减，不符合题意；
对于：为二次函数，对称轴，
所以在上单调递减，不符合题意；
对于：为反比例函数，在上单调递增，符合题意；
对于：，当时，，则在单调递减，不符合题意；
故选：.
10．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）下列函数中，在区间上递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式直接判断函数单调性即可.
【详解】对于选项A：若，则在区间上递增，故A正确；
对于选项BCD：、、均在区间上递减，故BCD错误.
故选：A.
考点03 复合函数的单调性（共3小题）（重点）
11．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果.
【详解】要使函数有意义，则，
即，解得或，
函数定义域为.
令，则，在上单调递减，
对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是.
故选：D.
12．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案.
【详解】函数中，，解得，
又的开口向下，对称轴方程为，
函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
13．（24-25高一上·重庆·期中）函数的增区间为 ．
【答案】
【分析】由复合函数的单调性求解即可；
【详解】令，由可得或，
又为增函数，的对称轴为，开口向上，
所以函数的增区间为或，
故答案为：.
考点04 证明具体函数的单调性（共4小题）（重点）
14．（25-26高一上·福建龙岩·开学考试）根据定义证明函数在区间上单调递增.
【答案】证明见解析
【分析】利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证.
【详解】证明：，，且，
，
，，，，
则，即，
所以函数在区间上单调递增.
15．（24-25高一上·河南郑州·期中）已知函数，其中，．求的值并用定义法证明函数在区间上单调递减．
【答案】，证明见解析
【分析】由可得，然后由单调性定义可完成证明.
【详解】由于，所以，解得．所以.
下面证明在区间上单调递减．
在上任取，且，
则，
因为，所以，，，
所以，即，
故函数在区间上单调递减．
16．（25-26高一上·江西南昌·阶段测试）已知函数，且，设．
(1)求函数的解析式；
(2)用定义法判断的单调性．
【答案】(1)
(2)在区间和和上分别单调递减
【分析】（1）直接根据题意代入求值即可；
（2）根据定义法判断函数的单调性即可.
【详解】（1）因为，所以，则，
故．
（2）易得的定义域为，，
则，
①当时，，
则，即，
故在区间上单调递减；
②当时，，
则，即，
故在区间单调递减，
③当时，，
则，即，
故在区间单调递减，
综上，在区间和和和上分别单调递减．
17．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.
(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最大值为1，最小值为.
【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论；
（2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值.
【详解】（1）证明：任取，且，
则
因为，，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）由（1）知在区间上单调递增，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为1，最小值为.
考点05 证明抽象函数的单调性（共6小题）（难点）
18．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，对任意的，恒有成立．
(1)求的值；
(2)求证：当时，；
(3)若时，恒有，试判断在上的单调性，并说明理由．
【答案】(1)0；
(2)证明见解析；
(3)在上为减函数，理由见解析.
【分析】（1）令并代入关系式，即可得；
（2）利用关系式并结合（1）的结论，即可证；
（3）应用单调性定义，设，则，即可得结论.
【详解】（1）令，则，故；
（2）；
（3）在上为减函数，理由如下：
设，则，
又，故，
所以，即在上为减函数.
19．（24-25高一上·北京·期中）设函数是定义在R上的函数，对任意的实数都有，且当时的取值范围是．
(1)求证：存在实数使得；
(2)当时，求的取值范围；
(3)判断函数的单调性，并予以证明．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3)单调递减，证明见解析.
【分析】（1）令结合题设可得，即可证；
（2）令得到，若，结合已知即可求范围；
（3）令，应用函数单调性定义求证即可.
【详解】（1）令，则，
当时的取值范围是，即，故，
显然存在，使，得证；
（2）令，则，即，
若，则，故，即，
而，则，当时，取值范围是；
（3）单调递减，证明如下：
令，则，
所以，则，
由题设及（2）知，，则，即，
所以单调递减，得证.
20．（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义在上的函数，，对，，都有，且当时，．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明单调性；
(3)若，求关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据所给关系式利用赋值法计算可得；
（2）构造，根据函数单调性定义证明；
（3）依题意可得，结合（2）的单调性得到，即，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.
【详解】（1）因为，，都有且，
所以，则，
，则，
所以.
（2）在上单调递增，证明如下：
因为，，都有，即，
在R上任取且，则，所以，则.
又，
所以函数在上单调递增.
（3）不等式即，
即，
即，
又函数在上单调递增，所以不等式等价于，
即，又，所以不等式等价于，
当，即时，不等式等价于，所以不等式的解集为；
当，即时，解得，即不等式的解集为；
当，即时，解得，即不等式的解集为；
综上可得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
21．（24-25高一上·安徽·期中）定义在上的函数满足：①当时，；②对任意实数x，y都有．
(1)证明：当时，；
(2)判断在上的单调性；
(3)解不等．
【答案】(1)证明见解析
(2)增函数
(3)
【分析】（1）赋值法可直接求出结果；
（2）利用单调性得定义即可判断；
（3）根据题意原不等式等价于，然后利用函数得单调性解不等式即可.
【详解】（1）令，则，所以．
当时，，则．在中，
令，则，所以
（2）设，则，所以．
于是，
故在上是增函数．
（3）由题意知，原不等式等价于
由（2），在上是增函数得到，，且，
解得．
故原不等式的解集是．
22．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．
(1)求，；
(2)判断并证明的单调性；
(3)解不等式：．
【答案】(1)；
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)或
【分析】（1）利用赋值法即可求，的值；
（2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性并证明；
（3）结合函数单调性将不等式进行转化，即，可解不等式.
【详解】（1）令，则，，
令，则，
又，；
（2）任取，且，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
所以在上单调递增．
（3）由，
即，
也就是，
即，因为在上是增函数，
所以，
可得不等式解集为或.
【点睛】关键点点睛：由，即，也就是，即，再结合函数单调性即可解不等式.
23．（24-25高一上·山东济南·期中）已知定义在上的函数，满足对任意的，都有.当时，，且.
(1)求；
(2)求证：在上是增函数；
(3)解关于x的不等式.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）令，即可求解；
（2）由，结合题意，利用定义法即可证明；
（3）由题意，将原不等式转化为，利用函数的单调性解不等式可得，分类讨论解含参的一元二次不等式即可.
【详解】（1）令，所以.
（2）任取，且，
因为，
所以，
因为时，，所以，
所以，即，
所以在上是增函数.
（3），
所以，
则，
因为，所以，
所以，所以，
由（2）得在上是增函数，
所以，即，
所以，
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得或；
当时，解得；
当时，解得或；
综上所述：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
考点06 由函数的单调性求参数（共5小题）（易错点）
24．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意函数解析式可化为，利用反比例函数图象的平移和性质可得，解不等式即可得到结果.
【详解】由题意得，.
∵函数在区间上单调递减，
∴，解得，即的取值范围是.
故选：C.
25．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质得到或，解得即可.
【详解】因为函数在上具有单调性，
所以或，解得或，
即实数的取值范围是.
故选：B
26．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】变形得到，从而得到在上单调递增，分和两种情况，结合二次函数对称轴，数形结合得到不等式，求出答案.
【详解】因为，所以，
即，
令，则，
故在上单调递增，
当时，满足在上单调递增，
当时，为二次函数，
需满足或，
解得或，
综上，，实数a的最大值为.
故选：C.
27．（24-25高一上·四川眉山·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合二次函数及反比例函数的性质，列出不等式求解即可.
【详解】因为当时，，
函数的图象开口向下，对称轴为，
又因为当时，，
又因为函数在R上单调递增，
所以，解得.
故选：D.
28．（24-25高一上·安徽·期中）函数是增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用一次函数和二次函数的图象和性质及分段函数的单调性求解即可.
【详解】由题意可知当时，单调递增，则①，
当时，是对称轴为，开口向下的抛物线，则②，
因为函数是增函数，所以③，
由①②③解得，
故选：C
考点07 利用单调性解不等式（共4小题）（重点）
29．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由对称性得单调性，然后由单调性、对称性解不等式．
【详解】因为函数满足，所以的图象关于直线对称，
又在区间上单调递增，所以在区间上单调递减．
因为，所以，即，
平方后解得，所以的取值范围为．
故选：B．
30．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知可得函数关于点对称，结合单调性可得函数在上单调递增，再转化不等式为，由单调性即可列不等式得解集.
【详解】因为，则，所以函数关于点对称，
又函数在单调递增，所以函数在上单调递增，
即函数在上单调递增，
不等式转化为，
所以，即，解得，
故不等式的解集为.
故选：C.
31．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用对称性及单调性求解函数不等式.
【详解】由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称，
又函数在上单调递减，则不等式，
即，解得，所以所求不等式的解集为.
故选：D
32．（23-24高一上·贵州黔南·期末）已知是定义在上的减函数，其图象经过两点，则使不等式成立的的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件得到或，然后由单调性解不等式，即可求解.
【详解】不等式等价或，
又是函数图象上两点，即，，
且是定义在上的减函数，故或，
所以或，即不等式解集为.
故选：A
考点08 利用单调性比较大小（共3小题）（重点）
33．（25-26高一上·河北·期中）若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据增函数的定义求解即可．
【详解】因为在上是增函数，且，所以．
故选：．
34．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知定义在上的函数满足，且，都有，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到函数的图象关于对称，且在上单调递减，在上单调递增，结合函数的单调性和对称性，即可求解.
【详解】由函数满足，可得函数的图象关于对称，
又由，都有，
根据函数单调性的定义，可得函数在上单调递减，
结合对称性知：函数在上单调递增，
因为，所以，
又因为，所以.
故选：B.
35．（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用对称性将不在上的自变量值转化到上对应的自变量值，再根据单调性比较函数值大小.
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以有.
那么，.
已知函数在上单调递增.
在上，，根据单调性，当时，，所以.
即，也就是.
故选：A.
考点09 利用单调性求最值或值域（共6小题）（重点）
36．（2025高二下·湖南·学业考试）若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（ ）
A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值
C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值
【答案】A
【分析】根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可．
【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值．
故选：A．
37．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析函数单调性可得函数的值域.
【详解】由得且.
∵在上为减函数，在上为增函数，
∴在上均单调递减.
当且时，，当时，，
∴函数的值域为.
故选：D.
38．（25-26高一上·全国·期中）已知，则函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用换元法求出解析式，根据自变量范围和单调性，求出的最大值.
【详解】设，则；
则，
因此，
所以函数在上单调递减，最大值为．
故选：C
39．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的定义域是
C．函数 D．的最小值为
【答案】D
【分析】设，利用换元法求出，再逐项判断即可；
【详解】设，则，
所以，即，
对于A，不存在，故A错误；
对于B，定义域为，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，由函数的单调性可得在定义域上为增函数，所以的最小值为，故D正确；
故选：D.
40．（24-25高一上·广东梅州·期中）函数在上的值域为 .
【答案】
【分析】根据对勾函数的性质求出函数的单调性，求出端点函数值，即可得解.
【详解】由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以函数在上的值域为.
故答案为：
41．（23-24高一上·北京·期末）已知函数 ．
(1)判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.
(2)求出函数在区间上的最大值和最小值.
(3)画出函数图象并求出其值域
【答案】(1)单调递增，证明见解析；
(2)最大值为，最小值为；
(3)作图见解析，.
【分析】（1）将的解析式变形为即可判断单调性，再根据定义法证明函数单调性的步骤即可证明。
（2）由（1）的结论即可利用单调性求出最大值和最小值.
（3）利用图象变换即可画出大致图象，由即可求出值域.
【详解】（1）函数在区间上单调递增.
任取，则，
由，得，则，
即，因此，
所以函数在区间上单调递增.
（2）由（1）知函数在区间上单调递增，则，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
（3）函数的图象，可由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移2个单位得到，大致图象如下：
函数，而，则，
所以的值域为.
考点10 由函数的最值求参数（共4小题）
42．（24-25高二下·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数在区间上的最大值为3，则实数（ ）
A． B．1 C．3 D．
【答案】C
【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可.
【详解】函数，
当时，在上单调递减，最大值为；
当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意，
所以实数.
故选：C
43．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）若函数在上的最大值为，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】分、和三种情况讨论，研究其单调性，根据最大值建立方程求解即可.
【详解】因为，所以当时，在上单调递减，
则，解得，与矛盾，不符合题意；
当时，根据对勾函数单调性可知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，
所以，解得，符合题意；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，与矛盾，不符合题意；
综上所述，.
故选：D
44．（24-25高一上·湖南·阶段练习）若函数的最小值是8，则实数m的值为（ ）
A．6或10 B．6或10 C．6或10 D．6或10
【答案】A
【分析】根据绝对值的几何意义求出最小值即可得解.
【详解】因为，
所以，解得或，
故选：A
45．（24-25高一上·内蒙古·期中）已知函数.
(1)若恒成立，求的最大值；
(2)若在上单调，求的取值范围；
(3)求在上的最小值为，求.
【答案】(1)
(2)
(3)或5
【分析】（1）由一元二次不等式恒成立，结合图象推得，解之即得；
（2）先求函数的单调区间，依题使为其单调区间的子集，解不等式即得；
（3）由函数的单调性，根据给定区间与其对称轴的关系，分类考虑分别求解即得.
【详解】（1）由题意得恒成立，则，
解得，
所以a的最大值为.
（2）由题意得图象的对称轴为直线，
所以在上单调递减，在上单调递增.
因为在上单调，所以或，
解得或，即a的取值范围为.
（3）当，即时，在上单调递减，，
解得，舍去；
当，即时，在上单调递增，，
解得，符合题意；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得或0（，舍去）.
故或5.
考点11 恒成立或能成立（有解）问题（共10小题）（难点）
46．（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为一次函数在区间上的函数值恒大于，由此求解出结果.
【详解】因为，
所以关于的一次函数在时恒有，
所以只需在时都有即可，所以，解得，
所以的取值范围是，
故选：A.
47．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得函数，的最大值，由题意可得，进而可求解.
【详解】因为函数在上单调递增，所以，
因为，所以，
令，解得或（舍去），
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
又，，
所以，
又因为，，使得，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围.
故选：A.
48．（2025高三·全国·专题练习）已知，且函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．25
【答案】C
【分析】由题意可得，由绝对值三角不等式可得，易得当时，不等式恒成立；当时，由基本不等式可得，再利用基本不等式求出的最小值，代入求解即可.
【详解】解：由，在上恒成立，
可得，
又，
当时，第一个等号成立，当时，第二个等号成立，
若,则,所以当时显然成立；
当时，
则当，即时等号成立，
，当，即时等号成立，
所以，故当时取到等号，
可得，
即，即，
解得，
所以，
又因为，所以，
综上得.
故选：C．
49．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知函数，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分类讨论，则问题变成一元二次不等式存在性问题.
【详解】①当时，等价于，即，
依题意在上有解，
开口向上，对称轴，
当时，，
，即，此时的取值范围为；
②当时，等价于，即，
依题意在上有解
，当且仅当，即时等号成立，
，解得，此时的取值范围为；
综上所述，若在内存在，使得成立，则实数的取值范围是，
故选：D．
50．（24-25高二下·福建泉州·期末）已知函数，（），若，，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求两个函数的值域，再根据题意判断两值域间的包含关系解得.
【详解】因为，对，有.
同理，对，有.
由，，使得，得
，得.
故选：B.
51．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，结合对勾函数单调性可求得，根据恒成立的思想可求得结果.
【详解】，
当时，，
令，则在上单调递增，，
，当时，恒成立，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
52．（24-25高一上·新疆·期中）已知函数.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义法证明；
(3)若对任意的，都有，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用配凑法直接求解即可；
（2）任取，由可得结论；
（3）根据单调性可得，根据可构造不等式求得结果.
【详解】（1），.
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，
，
，，，，
在上单调递增.
（3）由（2）知：在上单调递增，，
，解得：，的取值范围为.
53．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
(3)若对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由题意列出方程组并解出即可得；
（2）结合单调性定义，令，求出的正负即可得；
（3）结合函数单调性，可得，解出即可得.
【详解】（1）由题意可得，解得，
故；
（2）在上单调递增，证明如下：
令，则，
由，故，，即，
故在上单调递增；
（3）由在上单调递增，
则当时，有，
即.
54．（24-25高一上·重庆·期中）已知
(1)求函数的解析式.
(2)设函数，不等式在上有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由可得函数的解析式.
（2）利用基本不等式求的最小值，问题转化为，由此可得的取值范围.
【详解】（1）∵，
∴.
（2）由题意得，
，
∵，∴，
∴，当且仅当，即时，等号成立，
∴当时，，
∵不等式在上有解，
∴，故，
∴实数的取值范围是.
55．（23-24高一上·浙江台州·期中）已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若任意，都有成立，求实数的取值范围；
(3)若，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)R．
(2)
(3)．
【分析】（1）利用作差法计算可得，即可求解；
（2）由题意可得在恒成立.法一：根据一元二次不等式恒成立问题计算即可求解；法二：利用分离参数法可得，结合基本不等式求出即可；
（3）由题意可知，结合二次函数的图象与性质分别求出，建立不等式，解之即可求解.
【详解】（1）当时，，
所以，即，
所以的解集为R．
（2）若对任意，都有成立，即在恒成立，
解法一：设，对称轴，
由题意，只须，
①当即时，在上单调递增，
所以，符合题意，所以；
②当即时，在上单调递减，在单调递增，
所以，解得且，
所以．
综上，．
解法二：不等式可化为，即，
设，
由题意，只须，
当且仅当即时等号成立，则，
所以，即．
（3）若对任意，存在，使得不等式成立，
即只需满足，
，对称轴在上递减，在上递增，
所以；
，对称轴，
①即时，在递增，
所以恒成立；
②即时，在递减，在递增，
，
所以，故；
③即时，在递减，，
所以，解得.
综上：．
考点12 与单调性有关的新定义题（共3小题）（难点）
56．（24-25高一上·安徽芜湖·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离，若点，点是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据曼哈顿距离列式，利用函数的单调性来求得最小值.
【详解】设，
，
在上单调递减，在上单调递增，均有，
所以当时，取得最小值为.
故选：C
57．（2023·全国·二模）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如，.已知，，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将其变形分析其取值范围结合取整函数，即可求得结果.
【详解】易知，在上单调递减，上单调递增.
当时， ；当时，；当时，；
所以，则函数的值域为.
故选：C.
58．（23-24高一下·山西大同·阶段练习）高斯函数是用德国著名的数学家高斯的名字命名的，即设，用表示不超过的最大整数，例如，．已知函数，有下列四个结论：①；②在上单调递增；③的最小值为0；④没有最大值，其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②
【答案】B
【分析】根据所给定义计算出，，即可判断①②，分段分别化简函数解析式，再确定相应的函数值的取值范围，画出函数图象（部分），即可判断③④.
【详解】因为，
所以，，所以，故①正确；
因为，所以在上不可能单调递增，故②错误；
当时，所以，
当时，所以，所以，所以；
当时，所以，所以，所以；
当时，所以，所以，所以；
，所以当时；
所以的图象（部分）如下所示：
由图可知有最小值且最小值为，无最大值，故③、④正确.
故选：B