安徽省蚌埠市A层高中2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试卷（PDF版，含答案）

2025-2026 学年蚌埠市 A 层高中第一次联考高二数学卷 7．已知空间直角坐标系中 ABC三个顶点坐标分别为 A(1, 2, 1),B(1,4,2),C( 1,3,1) ，AD是 ABC边 BC
上的高，则 AD的长为（ ）
试卷分值：150 分 考试时间：120 分钟
一、单选题（本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. A 3 14 B 2 14 3 3） ． ． 3 C． D．
2 3 2
1．直线 y = 1的倾斜角为（ ）
8．如图，已知 ABCD， ABEF均为正方形，二面角C AB F的大小为60。，
π π π
A． B．0 C． D．
2 4 2 则异面直线 AC与 BF所成角的余弦值为（ ）．

2 a (2,0, 2) 1b (0,1,1) A B 1 C 5 D 5．空间向量 在 上的投影向量为（ ） ． 4 ． 2 ． ．2 4
二、多选题（本题共 3 小题,每小题 6 分，共 18 分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求，全部选对的
1 ,0, 1
2 2 1 1
A． B． , 0, C． 0, , D． 0,1,1 得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.） 2 2 2 2 2 2
9．已知v1,v2 分别为直线 l1, l2的方向向量（ l1, l2 不重合）， n

1,n2 分别为平面 ， 的法向量（ ， 不重合），
3.设向量 e1,e2 ,e3 不共面，已知 AB e1 e2 e3 ， BC e1 e2 e3 , CD 4e1 8e2 4e3 ,若 A,C,D三点共线，则
则下列说法中，正确的是（ ）
（ ）
A． v1 //v2 l1 //l2 B． v1 n1 l1
A．1 B．2 C．3 D．4

x y x y C． n1 //n2 // D． n1 n2 4．两条直线 l1 : 1和 l2 : 1在同一直角坐标系中的图象可以是（ ）a b b a
10．已知直线 l : kx y 1 3k 0(k R)过定点Q，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 l过定点Q(3,1)
A. B． C． D． B．若直线 l不经过第四象限，则 k的取值范围为 [0, )
1
C．若直线 l在 x轴上的截距为－3，则 k
6

D．若直线 l分别交 x，y轴正半轴于 A，B，则当 AQ QB取得最小值时，直线 l的方程为 x y 4 0
5．若 a,b ,c 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
11．已知正方体
ABCD A1B1C1D1的棱长为 4，动点 P在正方体底面 A1B1C1D1上（包含边界），则下列说法正确
A．a 2b,a 2c ,b c B a ． c ,b ,3a b 3c
的是（ ）
C． 2a,c,b c D a b ,b c ,a ． 2b c
A．不存在点 P，使得CP∥面 A1BD
6．对于平面内直线方程的一般式为 Ax By C 0 ，我们可以这样理解：若直线 l过定点 P0 x0, y0 ，向量 B．存在点 P，使得 AP⊥面 A1BD
n A,B 为直线 l的法向量，设直线 l上任意一点P x, y ，则 n P0P 0，得直线 l的方程为 C 8 3 2 3．若 AP = ，则点 P的轨迹长度为 π
3 3
A x x0 B y y0 0，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面α过定点Q0 1,0, 1 ，向 D．若M 为面C1CDD1的中心，则 AP＋PM 的最小值为 2 14

量m 2， 1 ，3 为平面α的法向量，则平面α的方程为（ ） 三、填空题（本题共 3 小题,每小题 5 分，共 15 分.）

A． 2x y 3z 1 0 B． 2x y 3z 1 0 12．已知直线 l的一个方向向量为 a 2,3 ，若 l过点 A 4,3 ，则直线 l的方程为 ．
C． 2x y 3z 1 0 D． 2x y 3z 1 0 13．已知向量 a 2,3x, 4 ，b 0,1, 2 c ， 1,0,0 ，若 a， b， c共面，则 x ．
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14．已知正方体 ABCD A1B1C D
3
1 1的棱长为 1，点M 在正方体内（包含表面）运动，若CM AC1 ，则动 18．（本小题满分 17 分）2
如图， PD 平面 ABCD,AD CD,AB//CD,PQ//CD，
点M 的轨迹所形成区域的面积为
四、解答题（本题共 5 小题,共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） AD CD DP 2PQ 2AB 2，点 E,F ,M 分别为 AP,CD,BQ的中点.
15．（本小题满分 13 分） (1)求证：EF // 平面CPM ；
已知直线 x 2y 1 0 和直线 x y 4 0的交点为 P . (2)求平面 ABQP与平面CPM 夹角的大小；
QPM π(1) 求 P点坐标. (3)若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面 所成的角为 ，求 N到平6
(2)求过点 P且与 A(2,3)和 B(4, 5) 距离相等的直线方程. 面CPM 的距离.
16．（本小题满分 15 分）
19．（本小题满分 17 分）
如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为棱 A1D1，CD的中点，
如图,将△EAB,△ECB,△ECD,△EAD四个三角形拼接成形如漏斗的空间图形 ABCDE,其中 EA=EC，EB=ED，

记 BC a，BA b，BB

1 c，满足 AB=BC=CD=DA.连接 AC,BD,过点 E作平面 ,满足 AC // ,BD // .
B BC B BA π CBA π 1 1 ， ，AB BC 2， BB1 3．3 2 (1)证明:AC⊥BD.
(1)求 BD 的长度； (2)若 EA = 2，EB =AB=1，且 AC=BD.1
(2)求 AC与 EF 夹角的余弦值． (i)求 AC到平面 的距离与 BD 到平面 的距离的平方和;
(ii)求平面 AEB与平面 夹角的余弦值.
17．（本小题满分 15 分）
已知直线 l1 : x ay a 0和直线 l2 : ax 2a 3 y a 2 0 .
(1)若 l1 l2 ，求实数 a的值；(2)若 l1∥l2 ，求实数 a的值.
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参考答案 所以
一、单选题 a 3 . .....................15
1．B 2．D 3．C 4. A 5．C 6．D 7．A 8．A 分
二、多选题
9．ACD 10．ACD 11．BCD
三、填空题
3x 2y 18 0 18．（1）连接EM ，因为
AB / /CD，PQ / /CD，所以 AB / /PQ，又因为
12．
2 AB PQ，所以 PABQ为平行四边形.
13．
3 由点 E和M 分别为 AP和 BQ的中点，可得 EM / /AB且 EM AB，
14 3．
8 因为 AB / /CD，CD 2AB，F为CD的中点，所以CF / /AB且CF AB，
四、解答题 可得 EM / /CF且 EM CF，即四边形EFCM 为平行四边形，
15.（1） ( 3, 1) ................................5分 所以 EF / /MC，又 EF 平面MPC，CM 平面MPC，所以EF / /平面
（2） y 1或4x y 13 0 ....................8分 MPC ...........4分
（2）因为 PD 平面 ABCD， AD CD，可以建立以D为原点，分别以

DA，DC，DP的方向为 x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐16．（1）因 BC a，BA b，BB1 c ,
π 标系.
则 a,b
π
, b,c a,c ， a b 2, c 3，
2 3
依题意可得D 0,0,0 , A 2,0,0 ,B 2,1,0 ,C 0,2,0 ，
于是a b 0,b c a c 2 3 cos
π
3.
3 P 0,0,2 ,Q 0,1,2 ,M 1,1,1 .
又 BD1 BA BC BB

1 a b

c，
PM 1,1, 1 ,PQ 0,1,0 ,CM 1, 1,1 ,PC 0, 2, 2 ，
则

2
BD (a b c
n x, y, z PMQ
)2 2
设 为平面 的法向量，
1 a b
2 c2 2( a b b c a c) 4 4 9 2(3 3) 29 1

， n1 PM 0 x y z 0 则 ，即 ，不妨设 z 1，可得 n1= 1,0,1 ，
n1 PQ 0 y 0
故 | BD1 | 29 ..............................................................................................7分
设 n2 x1 , y1 ,z1 为平面MPC的法向量，
（2）因为 EF ED1 D1D DF
1 BC BB 1 BA 1 1 1 a b c，2 2 2 2
n2 PC 0 2y1 2z1 0
则 则 ，即 ，不妨设 z1 1，可得 n2= 0,1,1 ，. n2 CM 0 x1 y1 z1 0

| EF |2 (1 a 1 b c )2 1 a 2 1 1

b 2 c 2 a b b c a c 1 1 9 11，
2 2 4 4 2 cos n1 ,n
n n 1
2 1 2 n n 2 ，
故 | EF | 11 1 2，
所以，平面 ABQP与平面CPM 夹角为
又 AC BC BA a b，则 | AC |2 (a b)2 a2 b 2 2a b 8，故
........................10分
| AC | 2 2 3，
（3）设QN QC 0≤ ≤1 ，即QN QC 0, , 2 ，则
则
1 1 1 1 2 2 N 0, 1,2 2 .AC EF (a b) ( a b c) a b a b b c a c 2 2 3 3 4
2 2 2 2
， 从而DN 0, 1,2 2 .
由（2）知平面 PMQ的法向量为 n 1,0,1 ，
则 cos AC,EF
A
C E F 4 22 0 1，
| AC | | EF | 2 2 11 11
π DN n1 1 2 2
22 由题意， sin cos DN ,n ，即 ，
故 AC与 EF夹角的余弦值为 ．....................................15 6 1分 DN n 21 1
2 2 2 2 2
11
17（. 1）若 l1 l2，则1 a a 2a 3 0
1
，解得 a 0或 2；.....................6 整理得3 2 10 3 0，解得 或 3，
3
分 1 1 2 因为 0≤ ≤1所以 ，所以QN QC NC QC
2
0,1, 2 .
3 3 3 3
（2）若 l 21∥l2，则 a 2a 3，解得 a 3或 1. 则 N到平面CPM 的距离为

a 3时， l : x 3y 3 0,l : 3x 9y 5 0 ，满足 l ∥l ， NC·n1 2 1 2 2d 2 1 2 . ................17分
n 3 32 2
a 1时， l1 : x y 1 0,l2 : x y 1 0 ，此时 l1与 l2重合，
20．(1)当 A，B，C，D四点共面时，四边形 ABCD为菱形，所以 AC┴BD.……
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(1分)
取 AC的中点M,连接 BM,DM.
因为 AB=BC,CD=AD,M为 AC的中点,所以
BM┴AC,DM┴AC，………………………(2分)
又因为 BM∩DM=M,所以 AC┴平面
BDM.……………………………………………(3分)
又因为 BD 平面 BDM,所以
AC┴BD.………………………………………………(4分)
(2)(i)连接 EM,因为 EA=EC,所以 EM┴AC,由(1)知 AC⊥平面MBD,则
E,B,D,M 四点共面.
易证△ABC≌△ADC,可得MB=MD,在四边形 EBMD中,EB=ED,MB=MD,
根据对称性,可知 EM垂直平分 BD.
因为 AC//α,BD//α,所以在平面α内存在点 F,G,使得 EF// AC,EG// BD,则
EM⊥EF,EM⊥EG,即 EM⊥平面
α........................................................................................................................(6
分)
如图,以 E为坐标原点,EF,EG,EM的方向分别为 x,y,z轴的正方向,建立空间
直角坐标系，………(7分)
设 AC=BD=2r,直线 AC到平面α的距离为 h1,BD到平面α的距离为 h ,
则
A(r,0,h1,),B(0,r,h2)………………………………………………………………
……(8分)
因为 EA = 2, EB=AB=1,所以
2 + 21 = 2
2 + 22 = 1 .…………………………(10分)
2 2 + ( 1 22) = 1
故 AC到平面α的距离与 BD到平面α的距离的平方和为
5.………………………(13分)
(ii)设平面 AEB的法向量为 m=(x,y,z) = 0， 则 = 0 取 = (h1, h2, r)
设平面 AEB与平面α的夹角为θ,取平面α的一个法向量为
n=(0,0,1),………………(15分)
则
3 5
cos m,n r 3 5 2
h21 h
2
2 r
2 3 5 2
2
故平面 AEB与平面α夹角的余弦值为3 5.
2
………………………………………(17分)
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