鲁教版（五四制）数学七（上） 第四章 实数单元测试培优卷
一、选择题（每题5分，共50分）
1．若a，b是有理数，且a>0，b>0，则 ( )
A．a+b可以是无理数 B．a-b一定是负数
C．a÷b一定是有理数 D．一定是无理数
2．（2025七下·雨花期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
3．（2025七下·涪城期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七下·广安期中）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为．若，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七下·中山月考）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（ ）
A． B． C． D．5
6．（2025七上·金华月考）在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024七下·长沙期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七下·霍城期中）比较2，，的大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024七下·长沙期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C．1+ D．+2
10．（2024七下·江阳期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（ ）．
A． B．4 C． D．
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2025·雨花期末）给出四个实数，，，0.4，其中最小的数是 ．
12．（2024七下·长沙月考）如果，那么约等于 ．
13．（2024七下·太湖期中）如图，正方形和正方形的面积分别是7和9，以原点O为圆心，，为半径画弧，与数轴交于两点，这两点在数轴上对应的数字分别为a、b，则 ．
14．（2025七下·金平期末） 已知一个正数x的两个平方根分别为3和，则a的值为 .
15．（2025七下·竞赛）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为。根据以上的内容，解答下面的问题：若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值是 。
三、解答题（共8题，共75分）
16．（2025七下·广安期中）将下列各数，，，，0，，填在相应的大括号内.
整数：{ …}；
负分数：{ …}；
无理数：{ …}.
17．（2025七下·临渭期末）已知的算术平方根是的立方根是是的整数部分，求的平方根．
18．（2025七下·来宾期末）端午前夕的劳动课上，由于制作香包的需要，小红想用一块面积为的正方形绸布，沿着边的方向裁剪出一块面积为的长方形绸布，使它的长宽比为．她不知道能否裁剪出来，正在发愁．小花见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的绸布裁剪出一块面积小的绸布．”你赞同小花的说法吗？小红能用这块面积为的正方形绸布载剪出符合要求的绸布吗？请给出理由，根据题意列出数量关系式并解答．
19．（2024七下·来凤期中）已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
20．（2025七下·南宁月考）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为．
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
（1）任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______；
（2）任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值；
（3）任务三：，其中是整数，且，求的值．
21．（2024七下·西塘期中）【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程：
第一步：因为，，，．所以的立方根是两位数；
第二步：因为的个位上的数是，而在~中，只有的立方的个位上的数是，所以的立方根的个位上的数是；
第三步：划去后面的三位得到数，而，，，所以的十位上的数是．
综上，可得．
【方法迁移】
第一步：，，则的立方根是________位数；
第二步：个位上的数字是，则的立方根个位上的数字是________；
第三步：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数字是________，因此的立方根是________．
【解决问题】
（1）将上述过程补充完整；
（2）现在换一个数，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程．
22．（2024七下·巴东期中）【阅读理解】
【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分.因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.由此得到一个真命题：
如果，其中a是整数，且，那么，.
【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值.
解：∵，
∴.
∴且，解得：，.
请解答：
（1）如果，其中m是整数，且，那么 ， ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值.
23．（2024七下·安陆期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题.
（1）到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整，并将答案填写在答题卡上：
我们知道面积是2的正方形边长是，且.设，画出如下示意图.
由面积公式，可得.
因为值很小，所以更小，略去，
得方程（②），解得（保留到0.001），即.
（2）怎样画出？请一起参与小敏探索画过程.
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.
要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为.依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得.把图（1）如图所示进行分割，请在图2中用实线画出拼接成的新正方形.
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图3，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图4中用实线画出拼接成的新正方形.说明：直接画出图形，不要求写分析过程.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a+b一定是有理数，故A错误，不符合题意；
B.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a-b不一定是负数，如a=3，b=2时，a-b=1，故B错误，不符合题意；
C.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a÷b一定是有理数，故C正确，符合题意；
D.∵a，b是有理数，且a>0，b>0，
∴不一定是无理数，如a=4，b=9时，=6，故D错误，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据有理数的定义和性质，再根据题目中的条件，判断出正确的选项即可.
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式.
有理数的性质包括：①有理数的加法和减法；
②有理数的乘法和除法；
③有理数的乘方和开方；
④有理数的绝对值和相反数；
⑤有理数的大小比较.
2．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵1<3<4
∴1<<2
∴-2<<-1
所以这四点中所表示的数最接近的是点P.
故答案为：C.
【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，理解算术平方根的定义是正确解答的前提.
3．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：，故A选项错误；
B：，故B选项错误；
C：，故C选项正确；
D：，故D选项错误；
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根的定义，理解定义，对选项进行逐一判断，尤其要理解表示的是算术平方根，表示的是平方根，任何数只有一个立方根.
4．【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵面积为2的正方形，
∴，
∴，
∴数轴上点E所表示的数为；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可求出的长，由作图可得AE=AD，然后根据数轴上点所表示的数的特征可求解．
5．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：输入，先取算术平方根，根据算术平方根定义，的算术平方根是 ，因为是有理数（有理数包括整数和分数，是整数 ），所以进入“取平方根”步骤：对取平方根是 ，由于是开不尽的方根，是无限不循环小数，属于无理数，按照程序，得到无理数就输出，所以输出的值是 .
故答案为：B.
【分析】本题需要依据算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义，按照程序流程图的逻辑逐步计算，解题思路是：先对输入值取算术平方根，判断结果是否为无理数；若不是（是有理数），则对该结果取平方根，再判断，直到得到无理数输出.
6．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是有理数，不符合题意；
，是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
（两个“”之间依次多一个“”）是无理数，符合题意；
综上可知：无理数共有个.
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”并结合题意即可求解．
7．【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：A、结果应为3，A错误；
B、结果应为3，B错误；
C、结果应为-4，C错误；
D、计算结果无误，D正确.
故答案为：D.
【分析】掌握算术平方根的定义可作答.
8．【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵4<5<9，
∴.
∵，
∴ <2
故答案为：C.
【分析】首先找出各个数的大小范围，然后比较大小即可.
9．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】∵正方形ABCD的面积为7，
∴AB=，
∵AB=AE，
∴AE=，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为+1，
故选：C．
【分析】
由于正方形的边长是正方形的面积的算术平方根，可先求出AB的长，则AE等于AB的长，又因为点A在原点右侧且距离原点一个单位长度，则点E表示的数字等于AE的长加1．
10．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，…，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是；
故选：D．
【分析】观察已知等式，从中找出规律，再用n的式子表示出规律，然后利用规律求解求出的值，再进行求解即可．
11．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵ -<-1<0.4.
∴最小的数是：-.
故答案为：-.
【分析】根据实数的比较方法或利用数轴都可以得出正确结论.
12．【答案】13.33
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：13.33.
【分析】先将代数式变形为，再将代入计算即可.
13．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：正方形和正方形的面积分别是7和9，
，
以原点O为圆心，，为半径画弧，
，
．
故答案为：．，
【分析】已知正方形的面积，由算术平方根可以分别求出两个正方形的边长为和3，则所画圆的半径即为和3，所以a=0+，b=0+3，带入即可求解.
14．【答案】-1
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：正数的两个平方根分别为3和
解得：
故答案为：-1
【分析】本题考查平方根的概念及表示，根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，再根据互为相反数的数和为0，可列方程解得的值．
15．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴的整数部分为2，
∴小数部分为，
即，
∵，
∴的整数部分为5，
∴b=5，
∴.
故答案为：3.
【分析】求出的整数部分和小数部分，然后求出的整数部分，最后将这些值代入公式进行计算.
16．【答案】，，；，；，
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：
整数：{，，；…}；
负分数：{，； …}；
无理数：{，； …}.
故答案：，，；，；，．
【分析】根据实数的分类即可求解．
17．【答案】解：的算术平方根是4，
，
解得；
的立方根是－2，
，解得；
是的整数部分，，
，
，
的平方根是．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据题意求得a，b的值，再估算的大小得到c的值，代入求出数值，再根据平方根的定义解答即可．
18．【答案】解：设长方形绸布的长为，宽，
由面积公式，得，
化简，得，解得，
∴长方形绸布的长为，宽，
∵正方形绸布的边长为，而长方形绸布的长为，
又∵，
∴不赞同小花的说法；小红不能用这块面积为的正方形绸布裁剪出符合要求的绸布．
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题围绕正方形与长方形的边长、面积关系展开，解题关键在于通过设未知数，利用长方形面积公式列出方程，求出长方形长和宽，再与正方形边长比较，判断能否裁剪，核心是算术平方根的计算与大小比较 .
19．【答案】（1）解：∵的立方根是，
∴，
解得，，
∵的算术平方根是3，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的整数部分为6，
即，
因此，，，；
（2）解：当，，时，
，
∴．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）由立方根的定义可求得a的值，由算术平方根的定义可求得b的值，根据无理数的估算可确定c的值.
（2）把a、b、c的值代入代数式中求得代数式的值，即可求得其平方根.
20．【答案】（1）3，
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴.
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出的整数部分和小数部分即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出x、y的值，再将其代入计算即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
21．【答案】（1），，，；
（2）解：，，，
，
的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，
的个位数字是．
如果划去后面的三位得到数，而，，，
，
，即的十位数字是．
．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：（1）第一步：，，则的立方根是位数；
第二步：个位上的数字是，则的立方根个位上的数字是；
第三步：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数字是，因此的立方根是．
故答案为：，，，；
【分析】（1））根据题意，得到一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，据此计算，即可求得一个数的立方根，得到答案；
（）根据题意，得到，利用以上规律，得到的个位数字是，再求得，得到的十位数字是，进而得到答案．
22．【答案】（1）2；
（2）∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴b=3.
∴a-b-=-3-3-=-6.
（3）∵，
∴
∴且，解得：，
∴或
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）∵，其中m是整数，且，
∴m是的整数部分，n是的小数部分，
∵<<，
∴2<<3，
∴m=2，n=-2.
故答案为：2；-2.
【分析】（1）根据题意可知m是的整数部分，n是的小数部分，先找出在哪两个相邻整数之间即可；
（2）先求出在哪两个相邻整数之间，再求7+和7-分别在哪两个相邻整数之间，从而求得a，b的值，再代入 计算即可；
（3）根据【材料二】的方法，将含字母的数移项移到等号左边，把数移项移到等号右边，根据有理数和无理数的定义，有理数相加或减无法得到无理数，从而得到和，从而求得x和y的值，再代入x+y计算即可.
23．【答案】（1），，
（2）解：小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵图中大正方形边长为面积为2，
大正方形的面积还可以表示为
∴
略去得：
∴
∴
故答案为：，，.
【分析】（1）通过大正方形的面积的两种不同表示方法得到方程，进而即可求解；
（2）在网格中分别找到和的长方形，依次连接其顶点即可求解.
1 / 1鲁教版（五四制）数学七（上） 第四章 实数单元测试培优卷
一、选择题（每题5分，共50分）
1．若a，b是有理数，且a>0，b>0，则 ( )
A．a+b可以是无理数 B．a-b一定是负数
C．a÷b一定是有理数 D．一定是无理数
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：A.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a+b一定是有理数，故A错误，不符合题意；
B.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a-b不一定是负数，如a=3，b=2时，a-b=1，故B错误，不符合题意；
C.∵a，b是有理数，且a>0，b>0
∴a÷b一定是有理数，故C正确，符合题意；
D.∵a，b是有理数，且a>0，b>0，
∴不一定是无理数，如a=4，b=9时，=6，故D错误，不符合题意；
故答案为：C .
【分析】根据有理数的定义和性质，再根据题目中的条件，判断出正确的选项即可.
有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式.
有理数的性质包括：①有理数的加法和减法；
②有理数的乘法和除法；
③有理数的乘方和开方；
④有理数的绝对值和相反数；
⑤有理数的大小比较.
2．（2025七下·雨花期末）如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵1<3<4
∴1<<2
∴-2<<-1
所以这四点中所表示的数最接近的是点P.
故答案为：C.
【分析】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，理解算术平方根的定义是正确解答的前提.
3．（2025七下·涪城期末）下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A：，故A选项错误；
B：，故B选项错误；
C：，故C选项正确；
D：，故D选项错误；
故答案为：C.
【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根和立方根的定义，理解定义，对选项进行逐一判断，尤其要理解表示的是算术平方根，表示的是平方根，任何数只有一个立方根.
4．（2025七下·广安期中）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为．若，则数轴上点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵面积为2的正方形，
∴，
∴，
∴数轴上点E所表示的数为；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的面积等于边长的平方可求出的长，由作图可得AE=AD，然后根据数轴上点所表示的数的特征可求解．
5．（2025七下·中山月考）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为25，则最后输出的值是（ ）
A． B． C． D．5
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：输入，先取算术平方根，根据算术平方根定义，的算术平方根是 ，因为是有理数（有理数包括整数和分数，是整数 ），所以进入“取平方根”步骤：对取平方根是 ，由于是开不尽的方根，是无限不循环小数，属于无理数，按照程序，得到无理数就输出，所以输出的值是 .
故答案为：B.
【分析】本题需要依据算术平方根、平方根、有理数、无理数的定义，按照程序流程图的逻辑逐步计算，解题思路是：先对输入值取算术平方根，判断结果是否为无理数；若不是（是有理数），则对该结果取平方根，再判断，直到得到无理数输出.
6．（2025七上·金华月考）在，，，，，，（两个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是有理数，不符合题意；
，是有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
（两个“”之间依次多一个“”）是无理数，符合题意；
综上可知：无理数共有个.
故答案为：．
【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数叫无理数”并结合题意即可求解．
7．（2024七下·长沙期中）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：A、结果应为3，A错误；
B、结果应为3，B错误；
C、结果应为-4，C错误；
D、计算结果无误，D正确.
故答案为：D.
【分析】掌握算术平方根的定义可作答.
8．（2024七下·霍城期中）比较2，，的大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵4<5<9，
∴.
∵，
∴ <2
故答案为：C.
【分析】首先找出各个数的大小范围，然后比较大小即可.
9．（2024七下·长沙期中）图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C．1+ D．+2
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】∵正方形ABCD的面积为7，
∴AB=，
∵AB=AE，
∴AE=，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为+1，
故选：C．
【分析】
由于正方形的边长是正方形的面积的算术平方根，可先求出AB的长，则AE等于AB的长，又因为点A在原点右侧且距离原点一个单位长度，则点E表示的数字等于AE的长加1．
10．（2024七下·江阳期中）观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（ ）．
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：∵，…，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是；
故选：D．
【分析】观察已知等式，从中找出规律，再用n的式子表示出规律，然后利用规律求解求出的值，再进行求解即可．
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2025·雨花期末）给出四个实数，，，0.4，其中最小的数是 ．
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵ -<-1<0.4.
∴最小的数是：-.
故答案为：-.
【分析】根据实数的比较方法或利用数轴都可以得出正确结论.
12．（2024七下·长沙月考）如果，那么约等于 ．
【答案】13.33
【知识点】开立方（求立方根）
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：13.33.
【分析】先将代数式变形为，再将代入计算即可.
13．（2024七下·太湖期中）如图，正方形和正方形的面积分别是7和9，以原点O为圆心，，为半径画弧，与数轴交于两点，这两点在数轴上对应的数字分别为a、b，则 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：正方形和正方形的面积分别是7和9，
，
以原点O为圆心，，为半径画弧，
，
．
故答案为：．，
【分析】已知正方形的面积，由算术平方根可以分别求出两个正方形的边长为和3，则所画圆的半径即为和3，所以a=0+，b=0+3，带入即可求解.
14．（2025七下·金平期末） 已知一个正数x的两个平方根分别为3和，则a的值为 .
【答案】-1
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：正数的两个平方根分别为3和
解得：
故答案为：-1
【分析】本题考查平方根的概念及表示，根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，再根据互为相反数的数和为0，可列方程解得的值．
15．（2025七下·竞赛）我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为。根据以上的内容，解答下面的问题：若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值是 。
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴的整数部分为2，
∴小数部分为，
即，
∵，
∴的整数部分为5，
∴b=5，
∴.
故答案为：3.
【分析】求出的整数部分和小数部分，然后求出的整数部分，最后将这些值代入公式进行计算.
三、解答题（共8题，共75分）
16．（2025七下·广安期中）将下列各数，，，，0，，填在相应的大括号内.
整数：{ …}；
负分数：{ …}；
无理数：{ …}.
【答案】，，；，；，
【知识点】实数的概念与分类
【解析】【解答】解：
整数：{，，；…}；
负分数：{，； …}；
无理数：{，； …}.
故答案：，，；，；，．
【分析】根据实数的分类即可求解．
17．（2025七下·临渭期末）已知的算术平方根是的立方根是是的整数部分，求的平方根．
【答案】解：的算术平方根是4，
，
解得；
的立方根是－2，
，解得；
是的整数部分，，
，
，
的平方根是．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根；立方根的概念与表示；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】根据题意求得a，b的值，再估算的大小得到c的值，代入求出数值，再根据平方根的定义解答即可．
18．（2025七下·来宾期末）端午前夕的劳动课上，由于制作香包的需要，小红想用一块面积为的正方形绸布，沿着边的方向裁剪出一块面积为的长方形绸布，使它的长宽比为．她不知道能否裁剪出来，正在发愁．小花见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的绸布裁剪出一块面积小的绸布．”你赞同小花的说法吗？小红能用这块面积为的正方形绸布载剪出符合要求的绸布吗？请给出理由，根据题意列出数量关系式并解答．
【答案】解：设长方形绸布的长为，宽，
由面积公式，得，
化简，得，解得，
∴长方形绸布的长为，宽，
∵正方形绸布的边长为，而长方形绸布的长为，
又∵，
∴不赞同小花的说法；小红不能用这块面积为的正方形绸布裁剪出符合要求的绸布．
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【分析】本题围绕正方形与长方形的边长、面积关系展开，解题关键在于通过设未知数，利用长方形面积公式列出方程，求出长方形长和宽，再与正方形边长比较，判断能否裁剪，核心是算术平方根的计算与大小比较 .
19．（2024七下·来凤期中）已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的立方根是，
∴，
解得，，
∵的算术平方根是3，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的整数部分为6，
即，
因此，，，；
（2）解：当，，时，
，
∴．
【知识点】无理数的估值；平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）由立方根的定义可求得a的值，由算术平方根的定义可求得b的值，根据无理数的估算可确定c的值.
（2）把a、b、c的值代入代数式中求得代数式的值，即可求得其平方根.
20．（2025七下·南宁月考）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 例如： 即， 的整数部分为2，小数部分为．
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
（1）任务一：的整数数部分为_____，小数部分为_______；
（2）任务二：为的小数部分，为的整数部分，请计算的值；
（3）任务三：，其中是整数，且，求的值．
【答案】（1）3，
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴.
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
【知识点】无理数的估值；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出的整数部分和小数部分即可；
（2）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再将其代入计算即可；
（3）参照题干中的定义及计算方法利用估算无理数大小的方法求出x、y的值，再将其代入计算即可.
（1）解：∵，即，
∴的整数部分为3，的小数部分为；
故答案为：3，；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分为，即；
∵，即，
∴的整数部分为4，即；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵其中x是整数，且，
∴，，
∴的相反数．
21．（2024七下·西塘期中）【课本再现】据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是，要求它的立方根．华罗庚脱口而出：．邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙，华罗庚讲述了下列的计算过程：
第一步：因为，，，．所以的立方根是两位数；
第二步：因为的个位上的数是，而在~中，只有的立方的个位上的数是，所以的立方根的个位上的数是；
第三步：划去后面的三位得到数，而，，，所以的十位上的数是．
综上，可得．
【方法迁移】
第一步：，，则的立方根是________位数；
第二步：个位上的数字是，则的立方根个位上的数字是________；
第三步：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数字是________，因此的立方根是________．
【解决问题】
（1）将上述过程补充完整；
（2）现在换一个数，你能按这种方法得出它的立方根吗？如果能，请求出它的立方根，并写出必要的推理过程．
【答案】（1），，，；
（2）解：，，，
，
的个位上的数是，只有个位数字是的数的立方的个位数字是，
的个位数字是．
如果划去后面的三位得到数，而，，，
，
，即的十位数字是．
．
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：（1）第一步：，，则的立方根是位数；
第二步：个位上的数字是，则的立方根个位上的数字是；
第三步：如果划去后面的三位“”得到数，而，，由此可确定的立方根十位上的数字是，因此的立方根是．
故答案为：，，，；
【分析】（1））根据题意，得到一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数确定个位数，再确定十位数，据此计算，即可求得一个数的立方根，得到答案；
（）根据题意，得到，利用以上规律，得到的个位数字是，再求得，得到的十位数字是，进而得到答案．
22．（2024七下·巴东期中）【阅读理解】
【材料一】是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不可能全部写出来，但可用来表示的小数部分.因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分.由此得到一个真命题：
如果，其中a是整数，且，那么，.
【材料二】已知x，y是有理数，并且满足等式，求x，y的值.
解：∵，
∴.
∴且，解得：，.
请解答：
（1）如果，其中m是整数，且，那么 ， ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
（3）已知x，y是有理数，并且满足等式，求的值.
【答案】（1）2；
（2）∵，
∴
∴，
∵，
∴
∴b=3.
∴a-b-=-3-3-=-6.
（3）∵，
∴
∴且，解得：，
∴或
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】（1）∵，其中m是整数，且，
∴m是的整数部分，n是的小数部分，
∵<<，
∴2<<3，
∴m=2，n=-2.
故答案为：2；-2.
【分析】（1）根据题意可知m是的整数部分，n是的小数部分，先找出在哪两个相邻整数之间即可；
（2）先求出在哪两个相邻整数之间，再求7+和7-分别在哪两个相邻整数之间，从而求得a，b的值，再代入 计算即可；
（3）根据【材料二】的方法，将含字母的数移项移到等号左边，把数移项移到等号右边，根据有理数和无理数的定义，有理数相加或减无法得到无理数，从而得到和，从而求得x和y的值，再代入x+y计算即可.
23．（2024七下·安陆期中）“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题.
（1）到底有多大？
下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整，并将答案填写在答题卡上：
我们知道面积是2的正方形边长是，且.设，画出如下示意图.
由面积公式，可得.
因为值很小，所以更小，略去，
得方程（②），解得（保留到0.001），即.
（2）怎样画出？请一起参与小敏探索画过程.
现有2个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.
要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形.
小敏同学的做法是：设新正方形的边长为.依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得.把图（1）如图所示进行分割，请在图2中用实线画出拼接成的新正方形.
请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图3，请把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求：画出分割线并在正方形网格图4中用实线画出拼接成的新正方形.说明：直接画出图形，不要求写分析过程.
【答案】（1），，
（2）解：小敏同学的做法，如图：
排列形式如图（3），如图：
画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形，如图所示
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：（1）∵图中大正方形边长为面积为2，
大正方形的面积还可以表示为
∴
略去得：
∴
∴
故答案为：，，.
【分析】（1）通过大正方形的面积的两种不同表示方法得到方程，进而即可求解；
（2）在网格中分别找到和的长方形，依次连接其顶点即可求解.
1 / 1
