3.2 勾股定理的逆定理 课件(共18张PPT) 苏科版（2024版）八年级数学上册

(共18张PPT)
3.2 勾股定理的逆定理
第三章 勾股定理
1.经历勾股定理的逆定理的探索过程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之间的关系；
2.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形为直角三角形；
3.了解勾股数的概念，熟悉常用的勾股数．
四千多年前，古埃及人在建造金字塔时，他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3份、4份、5份的长度做边长，用木桩钉成三角形，他们认为其中一个角就是直角，你知道为什么吗？
勾股定理的的逆命题是什么？它的真假性如何？
逆命题：如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，
那么这个三角形是直角三角形．
活动. 描述勾股定理的逆命题，并完成下列问题.
探究一：探索勾股的逆定理
1. 这个命题的条件是什么？结论是什么？
2.如何构造一个已知是直角三角形的图形，这个图形的边长与已知三角形的边长有直接关系？
1.条件：一个三角形的两边平方和等于第三边的平方；
结论：这个三角形是直角三角形
2.构造辅助直角三角形与原三角形的边长对应相等．
已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c ，且a2＋b2＝c2．
求证：△ ABC是直角三角形．
A
b
a
C
B
c
证明：作一个△A′B′C′，使∠C′＝90°，
B′C′＝a， A′C′＝b，根据勾股定理，得 A′B′ 2＝a2＋b2，因为 AB2＝a2＋b2，所以A′B′＝AB，根据“SSS”，可知△ABC ≌△A′ B′ C′，于是，∠C＝∠C′＝90°，△ABC是直角三角形．
∟
A′
b
a
C′
B′
活动1. 独立完成下列证明，说明勾股定理的逆命题为真命题..
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
C
A
B
a
b
c
符号语言：
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长
分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2．
∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.
1.△ABC的三边长分别是a，b，c且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，n＞1．
△ABC是直角三角形吗？证明你的结论．
证明：是直角三角形，
∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1．
c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1．
∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形.
思考：运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤是什么？
运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
找：确定三角形的最长边；
算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；
比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等；
判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形.
活动1. 阅读下面情境，回答问题.
探究二：勾股数
四千多年前，古埃及人在建造金字塔时，他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后把绳子分成12等份，再分别取3份、4份、5份的长度做边长，用木桩钉成三角形，他们认为其中一个角就是直角.
思考：为什么其中一个角就是直角？
解：设每份长为x，则，依据勾股定理逆定理可知其为直角.
如果三个正整数a，b，c满足关系a2＋b2＝c2，则称a，b，c为勾股数．
注：勾股数必须同时满足两个条件：
1．三个数都是正整数；
2．两个较小数的平方和等于最大数的平方．
常见的勾股数有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；
(1) a＝8，b＝15，c＝17；(2) a＝13，b＝14，c＝15．
1. 下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角．
解：(1) 在△ABC中，∵a2＋b2＝82＋152＝64＋225＝289，c2＝172＝289，
∴ a2＋b2＝c2．
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角．
(2) 在△ABC中，∵a2＋b2＝132＋142＝365，c2＝152＝225，
∴ a2＋b2≠c2，
∴ △ABC不是直角三角形．
三角形是直角三角形的判断方法：
用角判定：
1．两个锐角互余的三角形是直角三角形；
2．有一个角是90°的三角形是直角三角形．
用边判定：
如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理进行判断．
如图，AD是△ABC的中线，AD＝24，AB＝26，BC＝20．
求AC的长．
A
B
C
D
A
B
D
解：∵AD是△ABC的中线，BC＝20，
∴BD＝DC＝BC＝10．
∵AD＝24，AB＝26，
∴AD2＋BD2＝242＋102＝676，
AB2＝262＝676．
∴AD2＋BD2＝AB2．
∴∠ADB＝90°(勾股定理的逆定理)．
∴AD垂直平分BC．
∴AC＝AB＝26 ．
活动2. 利用勾股数求解相关问题.
1.下列各组数是勾股数吗？为什么？
(1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12．
解：(1) ∵122＋152＝144＋225＝369，182＝324，
∴ 122＋152≠182．
∴ 12，15，18不是勾股数．
(2) ∵112＋602＝121＋3600＝3721，612＝3721，
∴ 112＋602＝612．
∴ 11，60，61是勾股数．
1.下列各组数是勾股数吗？为什么？
(1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12．
解：(3) ∵152＋362＝225＋1296＝1521，392＝1521，
∴ 152＋362＝392．
∴ 15，36，39是勾股数．
(4) ∵122＋352＝144＋1225＝1369，362＝1269，
∴ 122＋352≠362．
∴ 36，35，12不是勾股数．
(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2) ．
解：(1) 在中，，
是直角三角形.
(2)设a＝3k、b＝4k、c＝5k (k＞0 )，
∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，
∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形，∠C是直角.
2. 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形．
3. 计算图中四边形ABCD的面积．
∟
C
A
B
D
12
16
15
25
解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得
(勾股定理的逆定理)．
勾股定理与其逆定理有什么区别与联系？
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
条件
结论
区别
联系
A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C＝90°
a2＋b2＝c2
“直角三角形”为条件，数量关系a2＋b2＝c2为结论. 是直角三角形的性质.
A
b
a
C
B
c
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
在△ABC中，a2＋b2＝c2
∠C＝90°
数量关系a2＋b2＝c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定.
形
数