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2025-2026学年高二数学上学期期中练习卷02（解析)
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版选择性必修第一册 空间向量与立体几何+直线和圆+圆锥曲线。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得：，所以直线的斜率为，直线的倾斜角为.
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】即，则准线方程为.故选：C.
3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由于与垂直，故，解得，
故.
4．若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【详解】因为和有相同的渐近线，所以设双曲线的方程为，将代入得，所以双曲线的方程为，故选：B
5．已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】圆的方程整理可得，可知圆心为，半径，圆的圆心为，半径，由题意可知：两圆相交，且，，所以.
6．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示：
则，．∴．
∴．异面直线与所成角的余弦值为．故选：C．
7．已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，.设三棱锥的外接球的球心为，连接，则，得
，解得，所以，
故三棱锥的外接球的表面积为.故选：A.
8．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将圆化为标准方程为，所以圆心为，半径为1，根据题意及图形可知切线的斜率存在，
设切线的方程为，即，则有，整理可得，
则，设两切线的斜率分别为、，则、为关于的方程的两根，由韦达定理可得，，所以，
所以，由题意可知，所以，由，解得．故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点
B．若，则或
C．若，则或2
D．当时，始终不过第三象限
【答案】AC
【详解】对于A，直线，由，得，始终过定点，A正确；对于B，当时，与直线重合，B错误；
对于C，，则，解得或，C正确；
对于D，取，直线过第三象限，D错误.故选：AC
10．设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线l的方程是
B．的最小值为4
C．所在直线被抛物线所截得的弦长为
D．以线段为直径的圆与y轴相切
【答案】BD
【详解】对于A，由抛物线，则，所以准线的方程为，故A错误；
对于B，由题意，过作，垂足为，
设点到直线的距离为，由图可知，故B正确；
对于C，由，则直线的方程为，代入，可得，整理可得，由，设直线与抛物线的两个交点分别为和，
则，，所以弦长为，故C错误；
对于D，取的中点为，并过作，垂足为，记准线与轴交点为，如下图：
设以为直径的圆的半径为，由图可知其圆心为，由图可知，易知到轴的距离为，则圆与相切，故D正确.故选：BD.
11．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面
C．的最小值 D．当为中点时，为锐角
【答案】BCD
【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，
则，则，故，
则，，
对于A，，设平面的法向量，则有，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故A错误.当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，，所以，即的最小值为，故C正确；
对于D，当为中点时，则，，则，，
所以，所以为锐角，故D错误；故选：ABC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为 .
【答案】/
【分析】根据投影向量的定义求解．
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
所以在方向上的投影向量为．
故答案为：．
13．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ．
【答案】
【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，再根据对称性求出直线的倾斜角，从而得到其斜率，再由点斜式即可求得直线的方程．
【详解】由点关于轴对称点为，则直线与轴的夹角相等，
又，则直线的倾斜角为，
则直线的倾斜角为，即直线的斜率为，
又椭圆的右焦点为，
所以直线的方程是，即，
故答案为：．
14．如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据平面，过点构造平行平面，找到动点的轨迹为两个平面交线，再建系求解余弦最值，最后转化为正切最值即可.
【详解】分别取线段的中点Q，P，连接MQ，MP，PQ，如图所示．
连接，易知，所以．
因为 平面平面，所以平面，
同理可得平面，
又平面MPQ，故平面平面，
故点在线段PQ上，且不与P，Q重合．
以点为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．
令正方体棱长为2，设，则，，
所以．
当时，取得最大值，为，此时取得最小值，故的最小值为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知.
(1)求向量的坐标；
(2)设向量，求；
(3)若，求的值.
【答案】(1)；
(2)3；
(3).
【分析】（1）利用向量的坐标运算求出.
（2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解.
（3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出.
【详解】（1）由，得
（2）由（1）得，而量，因此，
所以.
（3）由（1）知，，
由，得
，
所以
16．（15分）
已知顶点、、.
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程；
（2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距式进行求解.
【详解】（1）由、可知中点为，且，
设边的垂直平分线的斜率为，
所以垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
（2）当直线过坐标原点时，其斜率，此时直线方程为，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，
综上所述，直线的方程为或.
17．（15分）
已知定点，点为圆上的动点，为的中点．
(1)求的轨迹方程；
(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设点的坐标为，表达出点的坐标，将其代入中，整理可得的轨迹方程；
（2）考虑直线的斜率不存在和斜率存在两种情况，由点到直线距离和弦长公式进行求解，得到答案.
【详解】（1）设点的坐标为，则点的坐标为，
点为圆上的动点，
，化简得，
故的轨迹方程为．
（2）圆的圆心坐标为，半径，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时圆心到直线的距离是，所以，满足条件；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
化简得，
因为，所以圆心到直线的距离，
由圆心到直线的距离公式得，
所以，即，平方得，
整理得，解得，故直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
18．（17分）
如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为.
(1)当时，求证：平面；
(2)当时，
（i）求点到底面的距离；
（ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）；（ii）存在，
【分析】（1）翻折后由，，确定，得到平面，再结合勾股定理得到，即可求证；
（2）（i）过点作，垂足为，确定平面，即可求解；
（ii）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解.
【详解】（1）因为翻折前，所以翻折后，，
由二面角的定义可知，二面角的平面角，
当时，，即，
又，且，平面，
平面，
平面，，
又在三角形中，易知，，，
满足：，由勾股定理可知，，
，且，平面，
平面.
（2）当时，
（i）由（1）知，，，平面，
平面，又平面，
平面平面，
在平面内，过点作，垂足为，
又平面平面，故平面，
即为点到平面的距离，
在中，，，故.
（ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系，
故，，，，设，
设，即，即，
设平面法向量为，
，，
，即，
令，得，，即，
设平面的法向量，
，，
，即，
令，得，，即，
的余弦值为，
，
解得，即.
19．（17分）
已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，当时，
①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
②求的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，；②1
【分析】（1）将，两点代入椭圆方程解出的值即可；
（2）①解法一：设直线，，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，解出的关系即可求解；解法二：设，，利用在椭圆上可得， ，作差结合化简即可求解；②由可得点在以为直径的圆上，利用圆的性质求解即可；
【详解】（1）由题意可得，
所以椭圆的标准方程为：．
（2）解法一：①由条件，可知直线的斜率存在，
设直线，，，
联立方程组：，
其中（▲），
所以，，
由条件，即，
由于直线不过点，故，
化简可得，
所以
，
代入（▲）式，，此时直线恒过定点．
②因为，所以点在以为直径的圆上，圆心为，半径为，
所以，此时的坐标为，的斜率，满足条件．
故的最小值为．
解法二：①设，，由条件，即（★），
由点在椭圆上，则有，
即①，同理可得② ，
①②可得：
代入（★）式可得：，
即，
变形可得．所以直线恒过定点．
②解法同一.
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2025-2026学年高二数学上学期期中练习卷02（原卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版选择性必修第一册 空间向量与立体几何+直线和圆+圆锥曲线。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．已知圆与圆有且仅有两条公共切线，则正数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知正方体的棱长为1，为的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线和直线，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点 B．若，则或
C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限
10．设抛物线C：的焦点为F，M为C上一动点，为定点，则下列结论正确的是（ ）
A．准线l的方程是 B．的最小值为4
C．所在直线被抛物线所截得的弦长为 D．以线段为直径的圆与y轴相切
11．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．顶点到平面的最大距离为 B．存在点，使得平面
C．的最小值 D．当为中点时，为锐角
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量与的夹角为，，则在方向上的投影向量为 .
13．已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ．
14．如图，在正方体中，点为棱的中点，若为底面内一点（不包含边界），且满足平面．设直线MN与直线所成的角为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知.
(1)求向量的坐标；
(2)设向量，求；
(3)若，求的值.
16．（15分）
已知顶点、、.
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.
17．（15分）
已知定点，点为圆上的动点，为的中点．
(1)求的轨迹方程；
(2)若过定点的直线与的轨迹交于两点，且，求直线的方程．
18．（17分）
如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为.
(1)当时，求证：平面；
(2)当时，
（i）求点到底面的距离；
（ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值.
19．（17分）
已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，当时，
①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
②求的最小值.
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