1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集
学习 目标 1. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集． 2. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P10—P11，完成下列填空．
1. 并集
一般地，由 ，称为集合A与集合B的并集，记作 A∪B(读作“A并B”)，即 ．
并集的性质：A∪B＝B∪A，A A∪B，B A∪B，A∪A＝A，A∪ ＝A.
常用结论：若A∪B＝B，则A B.
图形语言：
2. 交集
一般地，由 ，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即 ．
交集的性质：A∩B＝B∩A，A∩B A，A∩B B，A∩A＝A，A∩ ＝ .
常用结论：若A∩B＝B，则B A.
图形语言：
典例精讲能力初成
探究1 集合的并集及其运算
例1 (1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝( )
A. {1，2，3，4} B. {1，2，3}
C. {2，3，4} D. {1，3，4}
(2) (课本P10例2)设集合A＝{x|－1若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果(注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示).
变式 (1) 已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )
(变式(1))
A. {0，1} B. {0}
C. {－1，2，3} D. {－1，0，1，2，3}
(2) 设集合A＝{x|－2A. {x|x<3} B. {x|－2C. {x|x<1} D. {x|x>－2}
探究2 集合的交集及其运算
例2-1 (课本P11例3)立德中学开运动会，设A＝{x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.
例2-2 (课本P12例4)设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系．
(1) 元素个数有限时，利用定义或Venn图求解；元素个数无限时，借助数轴求解．
(2) 当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合．
变式 (1) (2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝( )
A. {0，1，2} B. {1，2，8}
C. {2，8} D. {0，1}
(2) 设集合A＝{x|－3≤2x－1<3}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则A∩B＝( )
A. {x|－1≤x<2} B. {x|－1C. {－1，1} D. {－1，0，1}
探究3 交集、并集性质的应用
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1) 若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
(2) 是否存在实数m，使得A∩B＝A成立？
(1) 在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝ 的情况．
(2) 集合运算常用的性质：①A∪B＝B A B；②A∩B＝A A B；③A∩B＝A∪B A＝B.
变式 已知集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|1－m≤x≤3m－1}．
(1) 当m＝3时，求A∩B；
(2) 若A B，求实数m的取值范围．
探究4 新定义问题
例4 (多选)对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A B＝(A－B)∪(B－A).设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，则M N中含有的元素有( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
随堂内化及时评价
1. (2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A. {－1，0} B. {2，3}
C. {－3，－1，0} D. {－1，0，2}
2. 已知集合A＝{x|2x<1}，B＝{x|0<2x<5}，则A∪B＝( )
A. B. {x|x<2}
C. D.
3. (2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( )
A. B. S
C. T D. Z
4. 设集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是 ．
5. 对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，若A＝{1，3，5，7，9}，B＝{2，3，5}，则(A－B)∪(B－A)＝ ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6＝0}，则M∩N＝( )
A. {－2，－1，0，1} B. {0，1，2}
C. {－2} D. {2}
2. 已知集合A＝{0，1}，B＝{a－2，2}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝( )
A. {0，1，2} B. {1}
C. {0，1，2，3} D. {1，2}
3. 设集合A＝{－3，0，3}，B＝{t2－t＋1}，若A∪B＝A，则t的值为( )
A. －1 B. 2
C. 1 D. 2或－1
4. 设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则A∩B＝( )
A.
B. {x|x＝6k，k∈Z}
C. {x|x＝6k＋1，k∈Z}
D. {x|x＝6k＋2，k∈Z}
二、 多项选择题
5. 已知集合A＝{x|x>0或x<－2}，B＝{x|1A. A∩B＝B B. A∪B＝B
C. A B D. B A
6. 设集合A＝{x|3x2－2x－1＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若A∪B＝A，则a的值可以为( )
A. 1 B. 0
C. － D. －3
三、 填空题
7. 已知集合M＝{x|x>1}，N＝{x|－18. 若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，且A∩B≠ ，则实数a的取值范围为 ．
四、 解答题
9. 已知集合A＝{|a＋1|，3，5}，B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}．当A∩B＝{2，3}时，求A∪B.
10. (2025·汕尾期末)设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|(a－1)x2＋4x－8＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
11. 已知集合A＝{－3，－1，2}，B＝{x|1－mx>0}，若A∪B＝B，则实数m的取值范围是 ．
12. 定义集合M与N的新运算如下：M*N＝{x|x∈M或x∈N，但x M∩N}．若M＝{0，2，4，6，8，10，12}，N＝{0，3，6，9，12，15}，则(M*N)*M等于( )
A. M
B. {2，3，4，8，9，10，15}
C. N
D. {0，6，12}
13. 已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－2x＋b＝0}．
(1) 若A∩B＝{3}，求实数a，b的值及集合A，B；
(2) 若A≠ 且A∪B＝B，求实数a和b满足的关系式．1.3 集合的基本运算
第1课时 并集、交集
学习 目标 1. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集． 2. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
新知初探基础落实
问题1：某中学校园旁有个水果店，该店第一天进了桃子、苹果、葡萄、香蕉、西瓜，第二天进了李子、香蕉、苹果、荔枝．问：哪些水果比较畅销？共进了哪些水果？
比较畅销的水果是：苹果、香蕉．共进的水果有：桃子、苹果、葡萄、香蕉、西瓜、李子、荔枝．
【追问】 第一天和第二天进的水果分别用集合A和B表示，它们(比较畅销的水果与共进的水果)与A，B的关系是什么呢？
比较畅销的水果是集合A，B的公共部分；共进的水果是集合A，B所有的元素合起来．
一、 生成概念
问题2：观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{1，2，3，4}．你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？
集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成．
(1) A∪B仍是一个集合；
(2) 并集符号语言中的“或”包含三种情况：
①x∈A且x B；②x∈A且x∈B；③x A且x∈B.
(3) 对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．
问题3：观察下面的集合，你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？
(1) A＝{2，4，6，8，10}，B＝{3，5，8，12}，C＝{8}；
(2) A＝{x|x是立德中学今年在校的女同学}，B＝{x|x是立德中学今年在校的高一年级同学}，C＝{x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学}．
集合A中的元素与集合B中的元素的公共部分属于集合C，集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成．
问题4：能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？
不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝ .
请同学阅读课本P10—P11，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 并集
一般地，由__所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合__，称为集合A与集合B的并集，记作 A∪B(读作“A并B”)，即__A∪B＝{x|x∈A或x∈B}__．
并集的性质：A∪B＝B∪A，A A∪B，B A∪B，A∪A＝A，A∪ ＝A.
常用结论：若A∪B＝B，则A B.
图形语言：
2. 交集
一般地，由__所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合__，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即__A∩B＝{x|x∈A且x∈B}__．
交集的性质：A∩B＝B∩A，A∩B A，A∩B B，A∩A＝A，A∩ ＝ .
常用结论：若A∩B＝B，则B A.
图形语言：
典例精讲能力初成
探究1 集合的并集及其运算
例1 (1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝( A )
A. {1，2，3，4} B. {1，2，3}
C. {2，3，4} D. {1，3，4}
(2) (课本P10例2)设集合A＝{x|－1【解答】A∪B＝{x|－1(例1(2)答)
若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果(注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示).
变式 (1) 已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是( D )
(变式(1))
A. {0，1} B. {0}
C. {－1，2，3} D. {－1，0，1，2，3}
【解析】由Venn图可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，所以M∪P＝{－1，0，1，2，3}．
(2) 设集合A＝{x|－2A. {x|x<3} B. {x|－2C. {x|x<1} D. {x|x>－2}
探究2 集合的交集及其运算
例2-1 (课本P11例3)立德中学开运动会，设A＝{x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.
【解答】由交集定义可知：A∩B＝x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}．
例2-2 (课本P12例4)设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系．
【解答】平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合．①直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2＝{点P}；②直线l1，l2平行可表示为L1∩L2＝ ；③直线l1，l2重合可表示为L1∩L2＝L1＝L2.
(1) 元素个数有限时，利用定义或Venn图求解；元素个数无限时，借助数轴求解．
(2) 当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合．
变式 (1) (2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝( D )
A. {0，1，2} B. {1，2，8}
C. {2，8} D. {0，1}
【解析】因为B＝{x|x3＝x}＝{0，－1，1}，所以A∩B＝{0，1}．
(2) 设集合A＝{x|－3≤2x－1<3}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则A∩B＝( C )
A. {x|－1≤x<2} B. {x|－1C. {－1，1} D. {－1，0，1}
【解析】因为集合A＝{x|－3≤2x－1<3}＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，所以A∩B＝{－1，1}．
探究3 交集、并集性质的应用
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1) 若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
【解答】因为A∪B＝A，所以B A.当B＝ 时，m＋1＞2m－1，解得m＜2.当B≠ 时，则有解得2≤m≤3.综上，实数m的取值范围是{m|m≤3}．
(2) 是否存在实数m，使得A∩B＝A成立？
【解答】假设存在实数m满足题意，因为A∩B＝A，所以A B，所以即m无解，故不存在实数m满足题意．
(1) 在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝ 的情况．
(2) 集合运算常用的性质：①A∪B＝B A B；②A∩B＝A A B；③A∩B＝A∪B A＝B.
变式 已知集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|1－m≤x≤3m－1}．
(1) 当m＝3时，求A∩B；
【解答】当m＝3时，B＝{x|－2≤x≤8}，所以A∩B＝{x|－3≤x≤2}∩{x|－2≤x≤8}＝{x|－2≤x≤2}．
(2) 若A B，求实数m的取值范围．
【解答】由A B，则解得即m≥4，所以实数m的取值范围是{m|m≥4}．
探究4 新定义问题
例4 (多选)对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A B＝(A－B)∪(B－A).设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，则M N中含有的元素有( CD )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
【解析】因为M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，所以M－N＝{1，2，3}，N－M＝{7，8，9，10}，所以M N＝(M－N)∪(N－M)＝{1，2，3，7，8，9，10}．
随堂内化及时评价
1. (2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A. {－1，0} B. {2，3}
C. {－3，－1，0} D. {－1，0，2}
2. 已知集合A＝{x|2x<1}，B＝{x|0<2x<5}，则A∪B＝( C )
A. B. {x|x<2}
C. D.
【解析】因为A＝{x|2x<1}＝，B＝{x|0<2x<5}＝03. (2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝( C )
A. B. S
C. T D. Z
【解析】任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T S，因此S∩T＝T.
4. 设集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是__{a|a≥2}__．
【解析】因为A＝{x|x>2}，B＝{x|x≤a}，且A∪B＝R，所以a≥2.
5. 对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，若A＝{1，3，5，7，9}，B＝{2，3，5}，则(A－B)∪(B－A)＝__{1，2，7，9}__．
【解析】根据题意可得A－B＝{1，7，9}，B－A＝{2}，所以(A－B)∪(B－A)＝{1，2，7，9}．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6＝0}，则M∩N＝( C )
A. {－2，－1，0，1} B. {0，1，2}
C. {－2} D. {2}
【解析】因为N＝{－2，3}，所以M∩N＝{－2}．
2. 已知集合A＝{0，1}，B＝{a－2，2}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝( A )
A. {0，1，2} B. {1}
C. {0，1，2，3} D. {1，2}
3. 设集合A＝{－3，0，3}，B＝{t2－t＋1}，若A∪B＝A，则t的值为( D )
A. －1 B. 2
C. 1 D. 2或－1
【解析】由A∪B＝A知B A，所以t2－t＋1＝－3，即t2－t＋4＝0，无解；或t2－t＋1＝0，无解；或t2－t＋1＝3，即t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1.
4. 设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则A∩B＝( C )
A.
B. {x|x＝6k，k∈Z}
C. {x|x＝6k＋1，k∈Z}
D. {x|x＝6k＋2，k∈Z}
【解析】设x∈A∩B，因为A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，所以x＝2k＋1＝3n＋1，k，n∈Z，故2k＝3n，故n＝2s，s∈Z，所以x＝6s＋1，s∈Z，所以A∩B＝{x|x＝6k＋1，k∈Z}．
二、 多项选择题
5. 已知集合A＝{x|x>0或x<－2}，B＝{x|1A. A∩B＝B B. A∪B＝B
C. A B D. B A
【解析】从数轴上可以看出，A∩B＝B，B A.
(第5题答)
6. 设集合A＝{x|3x2－2x－1＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若A∪B＝A，则a的值可以为( ABD )
A. 1 B. 0
C. － D. －3
【解析】A＝{x|3x2－2x－1＝0}＝，因为A∪B＝A，所以B A.当a＝0时，B＝ A；当a≠0时，B＝{x|ax－1＝0}＝，则＝－或＝1，所以a＝－3或1.综上所述，a＝－3或0或1.
三、 填空题
7. 已知集合M＝{x|x>1}，N＝{x|－1－1}__．
8. 若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，且A∩B≠ ，则实数a的取值范围为__{a|a≥－1}__．
四、 解答题
9. 已知集合A＝{|a＋1|，3，5}，B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}．当A∩B＝{2，3}时，求A∪B.
【解答】因为A∩B＝{2，3}，所以2∈A，所以|a＋1|＝2，解得a＝1或a＝－3.①当a＝1时，2a＋1＝3，a2＋2a＝3，不满足集合元素的互异性，舍去．②当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，所以B＝{－5，2，3}，故A∪B＝{－5，2，3，5}．
10. (2025·汕尾期末)设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|(a－1)x2＋4x－8＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【解答】因为A＝{x|x2－5x＋6＝0}，所以A＝{2，3}，由A∪B＝A，知B A.当B＝ 时，解得a<.当B≠ 时，若a－1＝0，即a＝1时，(a－1)x2＋4x－8＝0的解为x＝2，即B＝{2}，符合题意．若a－1≠0，即a≠1时，①Δ＝42＋32(a－1)＝0，即a＝时，方程为－x2＋4x－8＝0，即(x－4)2＝0，解得x＝4，即B＝{4}，不符合题意．②Δ＝42＋32(a－1)>0，即a>时，集合B＝{2，3}，则2＋3＝－，解得a＝，与a>矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为a<或a＝1}.
11. 已知集合A＝{－3，－1，2}，B＝{x|1－mx>0}，若A∪B＝B，则实数m的取值范围是__－【解析】由A∪B＝B，知A B，故有解得即
－12. 定义集合M与N的新运算如下：M*N＝{x|x∈M或x∈N，但x M∩N}．若M＝{0，2，4，6，8，10，12}，N＝{0，3，6，9，12，15}，则(M*N)*M等于( C )
A. M
B. {2，3，4，8，9，10，15}
C. N
D. {0，6，12}
【解析】因为M∩N＝{0，6，12}，所以M*N＝{2，3，4，8，9，10，15}，所以(M*N)*M＝{0，3，6，9，12，15}＝N.
13. 已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－2x＋b＝0}．
(1) 若A∩B＝{3}，求实数a，b的值及集合A，B；
【解答】若A∩B＝{3}，则3∈{x|ax－1＝0}，3∈{x|x2－2x＋b＝0}，所以3a－1＝0，9－6＋b＝0，解得a＝，b＝－3，所以A＝{x|ax－1＝0}＝x－1＝0}＝{3}，B＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}．综上，a＝，b＝－3，A＝{3}，B＝{－1，3}．
(2) 若A≠ 且A∪B＝B，求实数a和b满足的关系式．
【解答】若A≠ ，则a≠0，此时A＝{x|ax－1＝0}＝.又A∪B＝B，所以A B，即∈{x|x2－2x＋b＝0}，所以所以实数a和b满足的关系式为b＝－＋，其中b≤1.(共43张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算 第1课时 并集、交集
学习 目标 1. 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．
2. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
新知初探 基础落实
问题1：某中学校园旁有个水果店，该店第一天进了桃子、苹果、葡萄、香蕉、西瓜，第二天进了李子、香蕉、苹果、荔枝．问：哪些水果比较畅销？共进了哪些水果？
比较畅销的水果是：苹果、香蕉．共进的水果有：桃子、苹果、葡萄、香蕉、西瓜、李子、荔枝．
【追问】 第一天和第二天进的水果分别用集合A和B表示，它们(比较畅销的水果与共进的水果)与A，B的关系是什么呢？
比较畅销的水果是集合A，B的公共部分；共进的水果是集合A，B所有的元素合起来．
一、 生成概念
问题2：观察集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，C＝{1，2，3，4}．你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？
集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成．
(1) A∪B仍是一个集合；
(2) 并集符号语言中的“或”包含三种情况：
①x∈A且x B；②x∈A且x∈B；③x A且x∈B.
(3) 对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性．
问题3：观察下面的集合，你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？
(1) A＝{2，4，6，8，10}，B＝{3，5，8，12}，C＝{8}；
(2) A＝{x|x是立德中学今年在校的女同学}，B＝{x|x是立德中学今年在校的高一年级同学}，C＝{x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学}．
集合A中的元素与集合B中的元素的公共部分属于集合C，集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成．
问题4：能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？
不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝ .
请同学阅读课本P10—P11，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 并集
一般地，由___________________________________________，称为集合A与集合B的并集，记作 A∪B(读作“A并B”)，即__________________________．
并集的性质：A∪B＝B∪A，A A∪B，B A∪B，A∪A＝A，A∪ ＝A.
常用结论：若A∪B＝B，则A B.
图形语言：
所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
2. 交集
一般地，由___________________________________________，称为集合A与集合B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)，即__________________________．
交集的性质：A∩B＝B∩A，A∩B A，A∩B B，A∩A＝A，A∩ ＝ .
常用结论：若A∩B＝B，则B A.
图形语言：
所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
典例精讲 能力初成
探究
(1) 设集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝ ( )
A. {1，2，3，4} B. {1，2，3}
C. {2，3，4} D. {1，3，4}
(2) (课本P10例2)设集合A＝{x|－11
集合的并集及其运算
1
A
【解答】A∪B＝{x|－1若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果(注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示).
【解析】由Venn图可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，所以M∪P＝{－1，0，1，2，3}．
变式
(1) 已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是 ( )
A. {0，1}
B. {0}
C. {－1，2，3}
D. {－1，0，1，2，3}
(2) 设集合A＝{x|－2A. {x|x<3} B. {x|－2－2}
D
A
探究
(课本P11例3)立德中学开运动会，设A＝{x|x是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学}，B＝{x|x是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学}，求A∩B.
2
集合的交集及其运算
【解答】由交集定义可知：A∩B＝{x|x是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}．
2－1
(课本P12例4)设平面内直线l1上点的集合为L1，直线l2上点的集合为L2，试用集合的运算表示l1，l2的位置关系．
【解答】平面内直线l1，l2可能有三种位置关系，即相交于一点、平行或重合．①直线l1，l2相交于一点P可表示为L1∩L2＝{点P}；②直线l1，l2平行可表示为L1∩L2＝ ；③直线l1，l2重合可表示为L1∩L2＝L1＝L2.
2－2
(1) 元素个数有限时，利用定义或Venn图求解；元素个数无限时，借助数轴求解．
(2) 当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合．
【解析】因为B＝{x|x3＝x}＝{0，－1，1}，所以A∩B＝{0，1}．
变式
(1) (2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝ ( )
A. {0，1，2} B. {1，2，8}
C. {2，8} D. {0，1}
D
【解析】因为集合A＝{x|－3≤2x－1<3}＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，所以A∩B＝{－1，1}．
C
(2) 设集合A＝{x|－3≤2x－1<3}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，则A∩B＝ ( )
A. {x|－1≤x<2} B. {x|－1C. {－1，1} D. {－1，0，1}
探究
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1) 若A∪B＝A，求实数m的取值范围；
3
交集、并集性质的应用
3
(2) 是否存在实数m，使得A∩B＝A成立？
(1) 在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝ 的情况．
(2) 集合运算常用的性质：①A∪B＝B A B；②A∩B＝A A B；③A∩B＝A∪B A＝B.
【解答】当m＝3时，B＝{x|－2≤x≤8}，所以A∩B＝{x|－3≤x≤2}∩{x|－2≤x≤8}＝{x|－2≤x≤2}．
变式
已知集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|1－m≤x≤3m－1}．
(1) 当m＝3时，求A∩B；
(2) 若A B，求实数m的取值范围．
【解析】因为M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，所以M－N＝{1，2，3}，N－M＝{7，8，9，10}，所以M N＝(M－N)∪(N－M)＝{1，2，3，7，8，9，10}．
CD
(多选)对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A B＝(A－B)∪(B－A).设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，则M N中含有的元素有 ( )
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
探究
4
4
新定义问题
随堂内化 及时评价
1. (2024·新高考Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A. {－1，0} B. {2，3}
C. {－3，－1，0} D. {－1，0，2}
A
2. 已知集合A＝{x|2x<1}，B＝{x|0<2x<5}，则A∪B＝ ( )
C
3. (2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝ ( )
A. B. S
C. T D. Z
C
【解析】任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T S，因此S∩T＝T.
4. 设集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是______________．
【解析】因为A＝{x|x>2}，B＝{x|x≤a}，且A∪B＝R，所以a≥2.
{a|a≥2}
5. 对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，若A＝{1，3，5，7，9}，B＝{2，3，5}，则(A－B)∪(B－A)＝_________________．
【解析】根据题意可得A－B＝{1，7，9}，B－A＝{2}，所以(A－B)∪(B－A)＝{1，2，7，9}．
{1，2，7，9}
配套新练案
一、 单项选择题
1. 已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6＝0}，则M∩N＝ ( )
A. {－2，－1，0，1} B. {0，1，2}
C. {－2} D. {2}
C
【解析】因为N＝{－2，3}，所以M∩N＝{－2}．
2. 已知集合A＝{0，1}，B＝{a－2，2}，若A∩B＝{1}，则A∪B＝ ( )
A. {0，1，2} B. {1}
C. {0，1，2，3} D. {1，2}
A
3. 设集合A＝{－3，0，3}，B＝{t2－t＋1}，若A∪B＝A，则t的值为 ( )
A. －1 B. 2
C. 1 D. 2或－1
D
【解析】由A∪B＝A知B A，所以t2－t＋1＝－3，即t2－t＋4＝0，无解；或t2－t＋1＝0，无解；或t2－t＋1＝3，即t2－t－2＝0，解得t＝2或t＝－1.
4. 设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，则A∩B＝ ( )
A. B. {x|x＝6k，k∈Z}
C. {x|x＝6k＋1，k∈Z} D. {x|x＝6k＋2，k∈Z}
C
【解析】设x∈A∩B，因为A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，所以x＝2k＋1＝3n＋1，k，n∈Z，故2k＝3n，故n＝2s，s∈Z，所以x＝6s＋1，s∈Z，所以A∩B＝{x|x＝6k＋1，k∈Z}．
二、 多项选择题
5. 已知集合A＝{x|x>0或x<－2}，B＝{x|1A. A∩B＝B B. A∪B＝B
C. A B D. B A
AD
【解析】从数轴上可以看出，A∩B＝B，B A.
ABD
三、 填空题
7. 已知集合M＝{x|x>1}，N＝{x|－1{x|x>－1}
8. 若集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x≤a}，且A∩B≠ ，则实数a的取值范围为________________．
{a|a≥－1}
四、 解答题
9. 已知集合A＝{|a＋1|，3，5}，B＝{2a＋1，a2＋2a，a2＋2a－1}．当A∩B＝{2，3}时，求A∪B.
【解答】因为A∩B＝{2，3}，所以2∈A，所以|a＋1|＝2，解得a＝1或a＝－3.①当a＝1时，2a＋1＝3，a2＋2a＝3，不满足集合元素的互异性，舍去．②当a＝－3时，2a＋1＝－5，a2＋2a＝3，a2＋2a－1＝2，所以B＝{－5，2，3}，故A∪B＝{－5，2，3，5}．
10. (2025·汕尾期末)设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|(a－1)x2＋4x－8＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
11. 已知集合A＝{－3，－1，2}，B＝{x|1－mx>0}，若A∪B＝B，则实数m的取值
范围是__________________．
12. 定义集合M与N的新运算如下：M*N＝{x|x∈M或x∈N，但x M∩N}．若M＝{0，2，4，6，8，10，12}，N＝{0，3，6，9，12，15}，则(M*N)*M等于 ( )
A. M B. {2，3，4，8，9，10，15}
C. N D. {0，6，12}
C
【解析】因为M∩N＝{0，6，12}，所以M*N＝{2，3，4，8，9，10，15}，所以(M*N)*M＝{0，3，6，9，12，15}＝N.
13. 已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－2x＋b＝0}．
(1) 若A∩B＝{3}，求实数a，b的值及集合A，B；
13. 已知集合A＝{x|ax－1＝0}，B＝{x|x2－2x＋b＝0}．
(2) 若A≠ 且A∪B＝B，求实数a和b满足的关系式．
