1.4 充分条件与必要条件
第1课时 充分条件与必要条件
学习 目标 1. 理解充分条件、必要条件的概念． 2. 了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系，能在判断、论证中正确运用．
新知初探基础落实
1. 复习导入
命题的定义、分类、组成与形式
(1) 定义： 能够判断对错的语句叫做命题；
(2) 分类：其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；
(3) 组成：每一个命题都是由题设(已知)和结论两个部分组成；
(4) 形式：每一个命题都可以改写成“如果＋题设(p)，那么＋结论(q)”或者“若＋题设(p)，则＋结论(q)”的形式．
2. 实例呈现
(1) 如果两直线平行，那么同位角相等；(真命题)
题设(p): 两直线平行；
结论(q): 同位角相等．
(2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；(假命题)
题设(p)：两个三角形的周长相等；
结论(q)：这两个三角形全等．
(3) 12除以3等于5吗？(不是命题)
一、 生成概念
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
(2) 若x2－4x＋3＝0，则x＝1；
(3) 若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b.
在命题(1)(3)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题．在命题(2)中，由条件p不一定能得出结论q，所以它们是假命题．
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说由p可以推出q，记作p q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq.此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
上述命题(1)(3)中的p是q的充分条件，q是p的必要条件，而命题(2)中的p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
请同学阅读课本P17—P19，完成下列填空．
二、 概念表述
1. “若p，则q”为真命题，是指由p可以推出q，记作__p q__．并且说，p是q的
__充分__条件，q是p的__必要__条件．
2. “若p，则q”为假命题，是指由p不能推出q，记作__pq__．此时，我们就说p不是q的__充分__条件，q不是p的__必要__条件．
3. 定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件，性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件．
典例精讲能力初成
探究1 判断命题的真假
例1 命题“如果x2－x－2≠0，那么x≠2”是__真__命题(填“真”或“假”)．
【解析】由x2－x－2≠0得(x＋1)(x－2)≠0，解得x≠－1且x≠2，所以命题“如果x2－x－2≠0，那么x≠2”是真命题．
变式 (多选)下列命题为真命题的是( BC )
A. mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B. 函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点
C. 互相包含的两个集合相等
D. 空集是任何集合的真子集
【解析】对于A，当m＝0时，mx2＋2x－1＝0是一元一次方程，A错误；对于B，令y＝0，则2x－1＝0，x＝，所以函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点，B正确；对于D，空集不是本身的真子集，D错误；C正确．
探究2 充分条件、必要条件的判断
视角1 充分条件的判断
例2-1 (课本P18例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1) 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
【解答】这是一条平行四边形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
(2) 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
【解答】这是一条相似三角形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
(3) 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
【解答】这是一条菱形的性质定理，p q，所以p是q的充分条件．
(4) 若x2＝1，则x＝1；
【解答】由于(－1)2＝1，但－1≠1，pq，所以p不是q的充分条件．
(5) 若a＝b，则ac＝bc；
【解答】由等式的性质知，p q，所以p是q的充分条件．
(6) 若x，y为无理数，则xy为无理数．
【解答】为无理数，但×＝2为有理数，pq，所以p不是q的充分条件．
(1) 判定p是q的充分条件要先分清谁是p，谁是q，即转化成p q问题．
(2) 除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，且A B，则p是q的充分条件．(下一课时会讲)
变式 下列各项中，p是q的充分条件的是__①③__.(填序号)
①p：a＞2，b＞2，q：a＋b＞4；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形相似；
③设集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，p：a＝3，q：B A.
【解析】①因为“a＞2，b＞2” “a＋b＞4”，反之，不一定成立，所以A是B的充分条件．
②因为两个三角形面积相等，不能推出两个三角形相似，所以p不是q的充分条件．
③当a＝3时，集合A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，所以B A正确，即“a＝3”是“B A”的充分条件．
视角2 必要条件的判断
例2-2 下列p是q的必要条件的是( D )
A. p：a＝1，q：|a|＝1
B. p：－1
C. p：aD. p：a＞b，q：a＞b＋1
【解析】要满足p是q的必要条件，即q p，对于A，因为q：|a|＝1，所以a＝±1，所以qp，故A错误；对于B，因为qp，故B错误；对于C，因为qp，故C错误；对于D，因为q：a＞b＋1，所以a＞b＋1＞b，所以a＞b，所以q p，故D正确．
(1) 若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件．
(2) 也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件．(下一课时会讲)
探究3 利用充分条件、必要条件求参数范围
例3 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是__{m|m≥9}__．
【解析】因为p是q的充分条件，所以p q，所以{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的子集，所以解得m≥9，所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．
利用充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
变式 已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a，a>0}，B＝{x|－4≤x≤1}．
(1) 若a＝3，求A∪B；
【解答】当a＝3时， A＝{x|2－a≤x≤2＋a}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－4≤x≤1}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤5}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|－4≤x≤5}．
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】A＝{x|2－a≤x≤2＋a，a>0}，B＝{x|－4≤x≤1}，因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B A，所以解得即a≥6，所以实数a的取值范围是{a|a≥6}．
随堂内化及时评价
1. 使x>3成立的一个充分条件是( A )
A. x>4 B. x>0
C. x>2 D. x<2
【解析】只有x>4 x>3，其他选项均不可推出x>3.
2. (多选)下列各选项中，p是q的必要条件的有( AC )
A. p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形
B. 对于实数x，p：－1≤x≤5，q：x≥9或x≤5
C. p：x＝－1，q：x2＋2x＋1＝0
D. p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形
【解析】对于A，因为矩形的对角线相等，所以q是p的充分条件，所以p是q的必要条件，故A正确；对于B，因为{x|－1≤x≤5}{x|x≥9或x≤5}，所以p不是q的必要条件，故B错误；对于C，因为方程x2＋2x＋1＝0的两根为－1，故p是q的必要条件，故C正确；对于D，因为直角三角形不一定是等腰三角形，故p不是q的必要条件，故D错误．
3. 若不等式|x|【解析】由题意知a>0，由不等式|x|－34. 已知集合A＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B＝.
(1) 若m＝，求A∩( RB)；
【解答】由B＝≤x<2}知 RB＝x<或x≥2}.若m＝，则A＝0≤x≤}，所以A∩( RB)＝0≤x<}.
(2) 若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．
【解答】若x∈B是x∈A的必要条件，则A B.当2m－1＞m＋1，即m＞2时，A＝ ，符合题意；当2m－1≤m＋1，即m≤2时，A≠ ，要满足A B，可得≤2m－1≤m＋1<2，解得≤m<1.综上，实数m的取值范围为≤m<1或m>2}.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列命题中，p是q的充分条件的是( B )
A. p：a是无理数，q：a2是无理数
B. p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C. p：x＞0，q：x≥1
D. p：a＞b，q：ac2＞bc2
2. 下列命题中，q是p的必要条件的是( A )
A. p：A∩B＝A，q：A B
B. p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1
C. p：|x|<1，q：x<0
D. p：x2＞2，q：x＞2
【解析】由A∩B＝A得A B，所以q是p的必要条件，其余选项都不符合要求．
3. 已知a，b∈R，则“a>b”的一个必要条件是( D )
A. |a|>|b| B. a2>b2
C. a>b＋1 D. a>b－1
【解析】由a>b可得a>b－1，故“a>b－1”是“a>b”的一个必要条件．由a>b不能得到|a|>|b|，a2>b2，a>b＋1，比如a＝－1，b＝－2.
4. 已知集合A＝{x|－1A. {m|－1C. {m|－2＜m≤2} D. {m|m＞2}
二、 多项选择题
5. 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有( BCD )
A. 若x，y是偶数，则x＋y是偶数
B. 若a<2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
D. 若ab＝0，则a＝0
【解析】对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则(－2)2－4a≥0 a≤1，能推出a<2，符合题意；对于C，四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，符合题意．
6. 下列说法正确的是( BCD )
A. 若集合A＝{x∈R|－1B. 若集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，2}，则x∈A是x∈B的充分条件
C. 若集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|x>2}，则x∈A既不是x∈B的充分条件，也不是x∈B的必要条件
D. 若集合A＝{x|－2【解析】对于A，因为B A，所以A错误；对于B，因为{0，1} {－1，0，1，2}，所以B正确；对于C，因为{x|x<－1}{x|x＞2}且{x|x<－1} {x|x＞2}，所以C正确；对于D，因为{x|－2三、 填空题
7. “x2＝2x”是“x＝0”的__必要__条件；“x＝0”是“x2＝2x”的__充分__条件．(填“充分”或“必要”)
8. 已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x≥a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围是__{a|a≤0}__；若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是__{a|a≥0}__．
四、 解答题
9. 已知集合A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1) 若m＝1，求A∩B和A∪B；
【解答】当m＝1时，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩B＝{x|－1≤x≤1}，A∪B＝{x|－2≤x≤3}．
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
【解答】若“ x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B，即解得
－1≤m≤0.故实数m的取值范围为{m|－1≤m≤0}．
10. 已知集合A＝{x|x≤2或x>5}，B＝{x|－m(1) 若B＝ ，求实数m的取值范围；
【解答】若B＝ ，则－m≥2m＋1，解得m≤－，所以实数m的取值范围是.
(2) 已知p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
【解答】因为p是q的必要条件，所以B A.①若B＝ ，则－m≥2m＋1，解得m≤
－.②若B≠ ，则或解得－11. 若关于x的不等式|x＋1|A. {a|a≤－1} B. {a|a>5}
C. {a|a<－1} D. {a|a≥5}
【解析】由|x＋1|12. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( A )
A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C. 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
【解析】因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．又丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙丙，如图．综上，有丙 甲，但甲丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
(第12题答)
13. 已知不等式m－1【解析】由题意得第1课时 充分条件与必要条件
学习 目标 1. 理解充分条件、必要条件的概念． 2. 了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系，能在判断、论证中正确运用．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P17—P19，完成下列填空．
1. “若p，则q”为真命题，是指由p可以推出q，记作 ．并且说，p是q的 条件，q是p的 条件．
2. “若p，则q”为假命题，是指由p不能推出q，记作 ．此时，我们就说p不是q的 条件，q不是p的 条件．
3. 定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件，性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件．
典例精讲能力初成
探究1 判断命题的真假
例1 命题“如果x2－x－2≠0，那么x≠2”是 命题(填“真”或“假”)．
变式 (多选)下列命题为真命题的是( )
A. mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B. 函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点
C. 互相包含的两个集合相等
D. 空集是任何集合的真子集
探究2 充分条件、必要条件的判断
视角1 充分条件的判断
例2-1 (课本P18例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1) 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
(2) 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
(3) 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4) 若x2＝1，则x＝1；
(5) 若a＝b，则ac＝bc；
(6) 若x，y为无理数，则xy为无理数．
(1) 判定p是q的充分条件要先分清谁是p，谁是q，即转化成p q问题．
(2) 除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，且A B，则p是q的充分条件．(下一课时会讲)
变式 下列各项中，p是q的充分条件的是 .(填序号)
①p：a＞2，b＞2，q：a＋b＞4；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形相似；
③设集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，p：a＝3，q：B A.
视角2 必要条件的判断
例2-2 下列p是q的必要条件的是( )
A. p：a＝1，q：|a|＝1
B. p：－1C. p：aD. p：a＞b，q：a＞b＋1
(1) 若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件．
(2) 也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件．(下一课时会讲)
探究3 利用充分条件、必要条件求参数范围
例3 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
利用充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
变式 已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a，a>0}，B＝{x|－4≤x≤1}．
(1) 若a＝3，求A∪B；
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
随堂内化及时评价
1. 使x>3成立的一个充分条件是( )
A. x>4 B. x>0
C. x>2 D. x<2
2. (多选)下列各选项中，p是q的必要条件的有( )
A. p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形
B. 对于实数x，p：－1≤x≤5，q：x≥9或x≤5
C. p：x＝－1，q：x2＋2x＋1＝0
D. p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形
3. 若不等式|x|4. 已知集合A＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B＝.
(1) 若m＝，求A∩( RB)；
(2) 若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列命题中，p是q的充分条件的是( )
A. p：a是无理数，q：a2是无理数
B. p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C. p：x＞0，q：x≥1
D. p：a＞b，q：ac2＞bc2
2. 下列命题中，q是p的必要条件的是( )
A. p：A∩B＝A，q：A B
B. p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1
C. p：|x|<1，q：x<0
D. p：x2＞2，q：x＞2
3. 已知a，b∈R，则“a>b”的一个必要条件是( )
A. |a|>|b| B. a2>b2
C. a>b＋1 D. a>b－1
4. 已知集合A＝{x|－1A. {m|－1C. {m|－2＜m≤2} D. {m|m＞2}
二、 多项选择题
5. 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有( )
A. 若x，y是偶数，则x＋y是偶数
B. 若a<2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
D. 若ab＝0，则a＝0
6. 下列说法正确的是( )
A. 若集合A＝{x∈R|－1B. 若集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，2}，则x∈A是x∈B的充分条件
C. 若集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|x>2}，则x∈A既不是x∈B的充分条件，也不是x∈B的必要条件
D. 若集合A＝{x|－2三、 填空题
7. “x2＝2x”是“x＝0”的 条件；“x＝0”是“x2＝2x”的 条件．(填“充分”或“必要”)
8. 已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x≥a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是 ．
四、 解答题
9. 已知集合A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1) 若m＝1，求A∩B和A∪B；
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
10. 已知集合A＝{x|x≤2或x>5}，B＝{x|－m(1) 若B＝ ，求实数m的取值范围；
(2) 已知p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
11. 若关于x的不等式|x＋1|A. {a|a≤－1} B. {a|a>5}
C. {a|a<－1} D. {a|a≥5}
12. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )
A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C. 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
13. 已知不等式m－1第一章
集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件 第1课时 充分条件与必要条件
学习 目标 1. 理解充分条件、必要条件的概念．
2. 了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系，能在判断、论证中正确运用．
新知初探 基础落实
1. 复习导入
命题的定义、分类、组成与形式
(1) 定义： 能够判断对错的语句叫做命题；
(2) 分类：其中正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；
(3) 组成：每一个命题都是由题设(已知)和结论两个部分组成；
(4) 形式：每一个命题都可以改写成“如果＋题设(p)，那么＋结论(q)”或者“若＋题设(p)，则＋结论(q)”的形式．
2. 实例呈现
(1) 如果两直线平行，那么同位角相等；(真命题)
题设(p): 两直线平行；
结论(q): 同位角相等．
(2) 若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；(假命题)
题设(p)：两个三角形的周长相等；
结论(q)：这两个三角形全等．
(3) 12除以3等于5吗？(不是命题)
一、 生成概念
思考：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
(1) 若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
(2) 若x2－4x＋3＝0，则x＝1；
(3) 若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b.
在命题(1)(3)中，由条件p通过推理可以得出结论q，所以它们是真命题．在命题(2)中，由条件p不一定能得出结论q，所以它们是假命题．
上述命题(1)(3)中的p是q的充分条件，q是p的必要条件，而命题(2)中的p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
请同学阅读课本P17—P19，完成下列填空．
二、 概念表述
1. “若p，则q”为真命题，是指由p可以推出q，记作_______．并且说，p是q的_______条件，q是p的_______条件．
2. “若p，则q”为假命题，是指由p不能推出q，记作________．此时，我们就说p不是q的_______条件，q不是p的_______条件．
3. 定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件，性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件．
p q
充分
必要
充分
必要
典例精讲 能力初成
探究
命题“如果x2－x－2≠0，那么x≠2”是_____命题(填“真”或“假”)．
1
判断命题的真假
1
真
【解析】由x2－x－2≠0得(x＋1)(x－2)≠0，解得x≠－1且x≠2，所以命题“如果x2－x－2≠0，那么x≠2”是真命题．
变式
BC
(多选)下列命题为真命题的是 ( )
A. mx2＋2x－1＝0是一元二次方程
B. 函数y＝2x－1的图象与x轴有一个交点
C. 互相包含的两个集合相等
D. 空集是任何集合的真子集
探究
视角1 充分条件的判断
(课本P18例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1) 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
2
充分条件、必要条件的判断
【解答】这是一条平行四边形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
2－1
(2) 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
【解答】这是一条相似三角形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
(3) 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
【解答】这是一条菱形的性质定理，p q，所以p是q的充分条件．
(课本P18例1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(4) 若x2＝1，则x＝1；
(5) 若a＝b，则ac＝bc；
【解答】由等式的性质知，p q，所以p是q的充分条件．
(6) 若x，y为无理数，则xy为无理数．
(1) 判定p是q的充分条件要先分清谁是p，谁是q，即转化成p q问题．
(2) 除了用定义判断充分条件，还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，且A B，则p是q的充分条件．(下一课时会讲)
【解析】①因为“a＞2，b＞2” “a＋b＞4”，反之，不一定成立，所以A是B的充分条件．
②因为两个三角形面积相等，不能推出两个三角形相似，所以p不是q的充分条件．
③当a＝3时，集合A＝{1，3}，B＝{1，2，3}，所以B A正确，即“a＝3”是“B A”的充分条件．
变式
下列各项中，p是q的充分条件的是_______.(填序号)
①p：a＞2，b＞2，q：a＋b＞4；
②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形相似；
③设集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，p：a＝3，q：B A.
①③
视角2 必要条件的判断
下列p是q的必要条件的是 ( )
A. p：a＝1，q：|a|＝1 B. p：－1C. p：aD
2－2
(1) 若p q为真，则p是q的充分条件，若q p为真，则p是q的必要条件．
(2) 也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A B，则甲是乙的必要条件．(下一课时会讲)
探究
已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是______________．
3
利用充分条件、必要条件求参数范围
3
{m|m≥9}
利用充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
【解答】当a＝3时， A＝{x|2－a≤x≤2＋a}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－4≤x≤1}，所以A∪B＝{x|－1≤x≤5}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|－4≤x≤5}．
变式
已知集合A＝{x|2－a≤x≤2＋a，a>0}，B＝{x|－4≤x≤1}．
(1) 若a＝3，求A∪B；
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．
随堂内化 及时评价
1. 使x>3成立的一个充分条件是 ( )
A. x>4 B. x>0
C. x>2 D. x<2
A
【解析】只有x>4 x>3，其他选项均不可推出x>3.
2. (多选)下列各选项中，p是q的必要条件的有 ( )
A. p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形
B. 对于实数x，p：－1≤x≤5，q：x≥9或x≤5
C. p：x＝－1，q：x2＋2x＋1＝0
D. p：△ABC是等腰三角形，q：△ABC是直角三角形
AC
3. 若不等式|x|【解析】由题意知a>0，由不等式|x|{a|a≥3}
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列命题中，p是q的充分条件的是 ( )
A. p：a是无理数，q：a2是无理数
B. p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等
C. p：x＞0，q：x≥1
D. p：a＞b，q：ac2＞bc2
B
2. 下列命题中，q是p的必要条件的是 ( )
A. p：A∩B＝A，q：A B
B. p：x2－2x－3＝0，q：x＝－1
C. p：|x|<1，q：x<0
D. p：x2＞2，q：x＞2
A
【解析】由A∩B＝A得A B，所以q是p的必要条件，其余选项都不符合要求．
3. 已知a，b∈R，则“a>b”的一个必要条件是 ( )
A. |a|>|b| B. a2>b2
C. a>b＋1 D. a>b－1
D
【解析】由a>b可得a>b－1，故“a>b－1”是“a>b”的一个必要条件．由a>b不能得到|a|>|b|，a2>b2，a>b＋1，比如a＝－1，b＝－2.
4. 已知集合A＝{x|－1A. {m|－1C. {m|－2＜m≤2} D. {m|m＞2}
B
二、 多项选择题
5. 下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的有 ( )
A. 若x，y是偶数，则x＋y是偶数
B. 若a<2，则方程x2－2x＋a＝0有实根
C. 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
D. 若ab＝0，则a＝0
BCD
【解析】对于A，x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；对于B，当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则(－2)2－4a≥0 a≤1，能推出a<2，符合题意；对于C，四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；对于D，显然由a＝0能推出ab＝0，符合题意．
6. 下列说法正确的是 ( )
A. 若集合A＝{x∈R|－1B. 若集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，1，2}，则x∈A是x∈B的充分条件
C. 若集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|x>2}，则x∈A既不是x∈B的充分条件，也不是x∈B的必要条件
D. 若集合A＝{x|－2BCD
三、 填空题
7. “x2＝2x”是“x＝0”的_______条件；“x＝0”是“x2＝2x”的_______条件．(填“充分”或“必要”)
必要
充分
8. 已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x≥a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则实数a的取值范围是______________；若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围是______________．
{a|a≤0}
{a|a≥0}
四、 解答题
9. 已知集合A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
(1) 若m＝1，求A∩B和A∪B；
【解答】当m＝1时，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩B＝{x|－1≤x≤1}，A∪B＝{x|－2≤
x≤3}．
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
10. 已知集合A＝{x|x≤2或x>5}，B＝{x|－m(1) 若B＝ ，求实数m的取值范围；
(2) 已知p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
11. 若关于x的不等式|x＋1|( )
A. {a|a≤－1} B. {a|a>5}
C. {a|a<－1} D. {a|a≥5}
D
12. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 ( )
A. 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B. 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C. 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D. 丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
A