1.5 全称量词与存在量词
第1课时 全称量词与存在量词
学习 目标 1. 理解全称量词、全称量词命题的概念． 2. 会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
新知初探基础落实
有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．”
有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们说他能不能给他自己刮脸呢？ 如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？ 他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．
这就是著名的“罗素理发师悖论”．
一、 生成概念
问题1：上文中理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有”这一词语，你还能用其他词语代替吗？
“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．
问题2：上述词语都有什么含义？
表示某个范围内的整体或全部．
问题3：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1) x>3；
(2) 2x＋1是整数；
(3) 对所有的x∈R，x>3；
(4) 对任意一个x∈Z，2x＋1是整数．
略．
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．例如，命题“对任意的n∈Z，2n＋1是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题．
通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
请同学阅读课本P26—P27，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 全称量词与全称量词命题
(1) 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__全称量词__，并用符号“__ __”表示．
(2) 含有__全称量词__的命题，叫做全称量词命题，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为__ x∈M，p(x)__．
思考1：如何判断全称量词命题的真假？
2. 存在量词与存在量词命题
(1) 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做__存在量词__，并用符号“__ __”表示．
(2) 含有__存在量词__的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为__ x∈M，p(x)__．
思考2：如何判断存在量词命题的真假？
典例精讲能力初成
探究1 全称量词命题与存在量词命题的判断
例1 (多选)下列命题是全称量词命题的是( BC )
A. 至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立
B. 对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立
C. 对任意的x，x2＋2x＋1＝0不成立
D. 存在x，使x2＋2x＋1＝0成立
变式 下列语句中，是全称量词命题的是__①②③__，是存在量词命题的是__④__．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
探究2 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
例2-1 (课本P27例1)判断下列全称量词命题的真假：
(1) 所有的素数都是奇数；
【解答】2是素数，但2不是奇数，所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题．
(2) x∈R，|x|＋1≥1；
【解答】 x∈R，|x|≥0，因而|x|＋1≥1，所以全称量词命题“ x∈R，|x|＋1≥1”是真命题．
(3) 对任意一个无理数x，x2也是无理数．
【解答】是无理数，但()2＝2是有理数，所以全称量词命题“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．
例2-2 (课本P28例2)判断下列存在量词命题的真假：
(1) 有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0；
【解答】由于Δ＝22－4×3＝－8<0，因此一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实根，所以存在量词命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”是假命题．
(2) 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
【解答】由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线．所以存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题．
(3) 有些平行四边形是菱形．
【解答】 因为正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．
(1) 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2) 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．
变式 判断下列命题的真假：
(1) x∈Z，x3<1；
【解答】因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
(2) 存在一个四边形不是平行四边形；
【解答】真命题，如梯形．
(3) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
【解答】由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4) x∈N，x2>0.
【解答】因为0∈N，02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
探究3 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1) 若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
【解答】由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，所以B A，B≠ ，所以解得2≤m≤3，即实数m的取值范围为{m|2≤m≤3}．
(2) 若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
【解答】因为q为真命题，所以A∩B≠ ，因为B≠ ，所以m≥2，所以3≤m＋1≤5，所以2≤m≤4，即实数m的取值范围为{m|2≤m≤4}．
求解含有量词的命题中参数范围的策略：对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值).
变式 已知M＝{x|a≤x≤a＋1}．
(1) 若“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；
【解答】“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1，所以实数a的取值范围是{a|a＞－1}．
(2) 若“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围．
【解答】“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2，所以实数a的取值范围是{a|a＞－2}．
随堂内化及时评价
1. 下列语句不是存在量词命题的是( D )
A. 有一个四边形x，x的对角线互相垂直平分
B. 存在一个平行四边形x，x的对角线互相垂直平分
C. 至少有一个梯形x，x的对角线互相垂直平分
D. 对于所有的正方形x，x的对角线互相垂直平分
2. (多选)下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是( CD )
A. 所有的正方形都是矩形
B. 有些梯形是平行四边形
C. x∈R，3x＋2>0
D. 至少有一个整数m，使得m2<1
3. 已知p： x∈R，(x＋1)2<(x＋2)2；q： x∈R，x＝1－x2，则( B )
A. p假q假 B. p假q真
C. p真q真 D. p真q假
【解析】当x＝－2时，由(－2＋1)2>(－2＋2)2知p为假命题；因为方程x＋x2－1＝0有解，所以q为真命题．
4. 已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( B )
A．{ a|0
4}
C. {a|a<0} D. {a|a≥4}
【解析】因为p是假命题，所以方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.
5. 已知命题“ x∈{x|－3≤x≤2}，3a＋x－2＝0”为真命题，则实数a的取值范围为____．
【解析】由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x，因为－3≤x≤2，所以－2≤－x≤3，所以
－2≤3a－2≤3，即0≤a≤，故实数a的取值范围是.
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列语句不是全称量词命题的是( C )
A. 任何一个实数乘以零都等于零
B. 自然数都是正整数
C. 高一(1)班绝大多数同学是团员
D. 每一个实数都有大小
2. 既是存在量词命题，又是真命题的是( B )
A. 斜三角形的内角是锐角或钝角
B. 至少有一个x∈R，使x2≤0
C. 两个无理数的和是无理数
D. 存在一个负数x，使>2
3. 已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( C )
A. a≥4 B. a≤4
C. a≥5 D. a≤5
【解析】当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A＝{x|1≤x≤2}．又y＝x2在1≤x≤2时的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4a≥5，a≥5 a≥4，所以C符合题意．
4. 已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是( D )
A. {a|a≥－3} B. {a|a>－3}
C. {a|a≤－3} D. {a|a<－3}
【解析】因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}．又因为对 a∈M，都有a A，所以a<
－3.
二、 多项选择题
5. 下列命题是真命题的是( AC )
A. x∈R，x2＋2>0
B. x∈N，x4≥1
C. 在平面直角坐标系中，任意的有序实数对(x，y)都对应一点
D. 每一条线段的长度都能用正有理数表示
6. 下列结论正确的是( CD )
A. n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B. n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C. n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D. n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
【解析】当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B错误，C，D正确．
三、 填空题
7. 若对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是__{a|a≤3}__．
【解析】对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.
8. 若“ x∈{x|－2≤x≤1}，a－2x≥－1”为假命题，则实数a的取值范围为__{a|a<1}__．
【解析】因为“ x∈{x|－2≤x≤1}，a－2x≥－1”为假命题，即a<2x－1在x∈{x|
－2≤x≤1}上有解，所以a<(2x－1)max.因为(2x－1)max＝2×1－1＝1，所以实数a的取值范围为{a|a<1}．
四、 解答题
9. 用符号语言表示下列含有量词的命题，并判断真假：
(1) 任意实数的平方大于0；
【解答】“任意实数的平方大于0”用符号语言表示为“ x∈R，x2>0”；当x＝0时，02＝0，不合题意，所以“ x∈R，x2>0”为假命题．
(2) 有的实数的平方等于它本身；
【解答】“有的实数的平方等于它本身”用符号语言表示为“ x∈R，x2＝x”；当x＝1时，12＝1，所以“ x∈R，x2＝x”为真命题．
(3) 两个有理数的乘积仍为有理数；
【解答】“两个有理数的乘积仍为有理数”用符号语言表示为“ x，y∈Q，xy∈Q”；当x，y∈Q时，根据有理数的性质知xy∈Q，所以“ x，y∈Q，xy∈Q”为真命题．
(4) 存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.
【解答】“存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0”用符号表示为“ x∈R，x2＋2x＋3＝0”．由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题．
10. 已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|3m≤x≤2m＋2}，且B≠ .
(1) 若命题p： x∈B，x∈A是真命题，求实数m的取值范围；
【解答】因为命题p是真命题，所以B A，B≠ ，所以解得－≤m≤2，即实数m的取值范围为{m|－≤m≤2}.
(2) 若命题q： x∈A，x∈B是真命题，求实数m的取值范围．
【解答】因为命题q为真命题，所以A∩B≠ .因为B≠ ，所以m≤2.所以解得－≤m≤2，即实数m的取值范围为－≤m≤2}.
11. (多选)已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论正确的是( ABC )
(第11题)
A. M∩N≠
B. “ x0∈M，使得x0∈N”是真命题
C. ( UM)∩( UN)＝ U(M∪N)
D. “ x∈ UN，x M”是真命题
【解析】对于A，由图可知集合M与集合N有公共部分，故A正确；对于B，当x0位于集合M与集合N的公共部分时，可知B正确；对于C，( UM)∩( UN)＝ U(M∪N)，C正确；对于D，易知 UN中含有一部分元素在M中，所以D错误．
12. 已知命题p： x∈{x|－1≤x≤3}，x2－a－2≥0，若p为真命题，则实数a的取值范围为__{a|a≤－2}__．
【解析】因为p为真命题，则a≤x2－2在{x|－1≤x≤3}上恒成立，又－2≤x2－2≤7，所以a≤－2.
13. 设命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q： x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为__【解析】若命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；若命题q： x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，即方程x2－2(m－5)x＋m2＋19＝0无实数根．因此Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)<0，解得m>.又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩m>}＝14. 已知1≤a≤2，且a，a2，ka3可作为一个三角形的三条边长，则实数k的取值范围是__【解析】当1≤a≤2时，a≤a2，故a，a2，ka3可作为三角形的三条边长等价于a＋a2>ka3且a＋ka3>a2.由a＋a2>ka3，1≤a≤2，得k<－，由≤≤1知－的最小值为，故k<.由a＋ka3>a2，1≤a≤2，得k>－＋，由≤≤1知－2＋的最大值为，故k>.综上所述，实数k的取值范围是第1课时 全称量词与存在量词
学习 目标 1. 理解全称量词、全称量词命题的概念． 2. 会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P26—P27，完成下列填空．
1. 全称量词与全称量词命题
(1) 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．
(2) 含有 的命题，叫做全称量词命题，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 ．
思考1：如何判断全称量词命题的真假？
2. 存在量词与存在量词命题
(1) 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做 ，并用符号“ ”表示．
(2) 含有 的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为 ．
思考2：如何判断存在量词命题的真假？
典例精讲能力初成
探究1 全称量词命题与存在量词命题的判断
例1 (多选)下列命题是全称量词命题的是( )
A. 至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立
B. 对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立
C. 对任意的x，x2＋2x＋1＝0不成立
D. 存在x，使x2＋2x＋1＝0成立
变式 下列语句中，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是 ．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
探究2 全称量词命题和存在量词命题的真假判断
例2-1 (课本P27例1)判断下列全称量词命题的真假：
(1) 所有的素数都是奇数；
(2) x∈R，|x|＋1≥1；
(3) 对任意一个无理数x，x2也是无理数．
例2-2 (课本P28例2)判断下列存在量词命题的真假：
(1) 有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0；
(2) 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
(3) 有些平行四边形是菱形．
(1) 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2) 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．
变式 判断下列命题的真假：
(1) x∈Z，x3<1；
(2) 存在一个四边形不是平行四边形；
(3) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4) x∈N，x2>0.
探究3 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1) 若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
(2) 若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
求解含有量词的命题中参数范围的策略：对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值).
变式 已知M＝{x|a≤x≤a＋1}．
(1) 若“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；
(2) 若“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围．
随堂内化及时评价
1. 下列语句不是存在量词命题的是( )
A. 有一个四边形x，x的对角线互相垂直平分
B. 存在一个平行四边形x，x的对角线互相垂直平分
C. 至少有一个梯形x，x的对角线互相垂直平分
D. 对于所有的正方形x，x的对角线互相垂直平分
2. (多选)下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是( )
A. 所有的正方形都是矩形
B. 有些梯形是平行四边形
C. x∈R，3x＋2>0
D. 至少有一个整数m，使得m2<1
3. 已知p： x∈R，(x＋1)2<(x＋2)2；q： x∈R，x＝1－x2，则( )
A. p假q假 B. p假q真
C. p真q真 D. p真q假
4. 已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．{ a|04}
C. {a|a<0} D. {a|a≥4}
5. 已知命题“ x∈{x|－3≤x≤2}，3a＋x－2＝0”为真命题，则实数a的取值范围为 ．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列语句不是全称量词命题的是( )
A. 任何一个实数乘以零都等于零
B. 自然数都是正整数
C. 高一(1)班绝大多数同学是团员
D. 每一个实数都有大小
2. 既是存在量词命题，又是真命题的是( )
A. 斜三角形的内角是锐角或钝角
B. 至少有一个x∈R，使x2≤0
C. 两个无理数的和是无理数
D. 存在一个负数x，使>2
3. 已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是( )
A. a≥4 B. a≤4
C. a≥5 D. a≤5
4. 已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是( )
A. {a|a≥－3} B. {a|a>－3}
C. {a|a≤－3} D. {a|a<－3}
二、 多项选择题
5. 下列命题是真命题的是( )
A. x∈R，x2＋2>0
B. x∈N，x4≥1
C. 在平面直角坐标系中，任意的有序实数对(x，y)都对应一点
D. 每一条线段的长度都能用正有理数表示
6. 下列结论正确的是( )
A. n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B. n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C. n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D. n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
三、 填空题
7. 若对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是 ．
8. 若“ x∈{x|－2≤x≤1}，a－2x≥－1”为假命题，则实数a的取值范围为 ．
四、 解答题
9. 用符号语言表示下列含有量词的命题，并判断真假：
(1) 任意实数的平方大于0；
(2) 有的实数的平方等于它本身；
(3) 两个有理数的乘积仍为有理数；
(4) 存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.
10. 已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|3m≤x≤2m＋2}，且B≠ .
(1) 若命题p： x∈B，x∈A是真命题，求实数m的取值范围；
(2) 若命题q： x∈A，x∈B是真命题，求实数m的取值范围．
11. (多选)已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论正确的是( )
(第11题)
A. M∩N≠
B. “ x0∈M，使得x0∈N”是真命题
C. ( UM)∩( UN)＝ U(M∪N)
D. “ x∈ UN，x M”是真命题
12. 已知命题p： x∈{x|－1≤x≤3}，x2－a－2≥0，若p为真命题，则实数a的取值范围为 ．
13. 设命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q： x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为 ．
14. 已知1≤a≤2，且a，a2，ka3可作为一个三角形的三条边长，则实数k的取值范围是 ．(共42张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词 第1课时 全称量词与存在量词
学习 目标 1. 理解全称量词、全称量词命题的概念．
2. 会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．
新知初探 基础落实
有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．”
有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们说他能不能给他自己刮脸呢？ 如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？ 他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．
这就是著名的“罗素理发师悖论”．
一、 生成概念
问题1：上文中理发师说：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有”这一词语，你还能用其他词语代替吗？
“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．
问题2：上述词语都有什么含义？
表示某个范围内的整体或全部．
问题3：下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1) x>3；
(2) 2x＋1是整数；
(3) 对所有的x∈R，x>3；
(4) 对任意一个x∈Z，2x＋1是整数．
略．
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．例如，命题“对任意的n∈Z，2n＋1是奇数”“所有的正方形都是矩形”都是全称量词命题．
通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为 x∈M，p(x).
请同学阅读课本P26—P27，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 全称量词与全称量词命题
(1) 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做__________，并用符号“____”表示．
(2) 含有___________的命题，叫做全称量词命题，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为_______________．
思考1：如何判断全称量词命题的真假？
全称量词
全称量词
x∈M，p(x)
2. 存在量词与存在量词命题
(1) 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做___________，并用符号“_____”表示．
(2) 含有___________的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为_______________．
思考2：如何判断存在量词命题的真假？
存在量词
存在量词
x∈M，p(x)
典例精讲 能力初成
探究
(多选)下列命题是全称量词命题的是 ( )
A. 至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立
B. 对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立
C. 对任意的x，x2＋2x＋1＝0不成立
D. 存在x，使x2＋2x＋1＝0成立
1
全称量词命题与存在量词命题的判断
1
BC
变式
下列语句中，是全称量词命题的是_______，是存在量词命题的是___．
①菱形的四条边相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有有理数都是实数吗？
①②③
④
探究
(课本P27例1)判断下列全称量词命题的真假：
(1) 所有的素数都是奇数；
2
全称量词命题和存在量词命题的真假判断
【解答】2是素数，但2不是奇数，所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题．
2－1
(2) x∈R，|x|＋1≥1；
【解答】 x∈R，|x|≥0，因而|x|＋1≥1，所以全称量词命题“ x∈R，|x|＋1≥1”是真命题．
(课本P27例1)判断下列全称量词命题的真假：
(3) 对任意一个无理数x，x2也是无理数．
(课本P28例2)判断下列存在量词命题的真假：
(1) 有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0；
【解答】由于Δ＝22－4×3＝－8<0，因此一元二次方程x2＋2x＋3＝0无实根，所以存在量词命题“有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0”是假命题．
2－2
(2) 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
【解答】由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线．所以存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题．
(3) 有些平行四边形是菱形．
【解答】 因为正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．
(1) 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).
(2) 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．
【解答】因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，所以“ x∈Z，x3<1”是真命题．
变式
判断下列命题的真假：
(1) x∈Z，x3<1；
【解答】真命题，如梯形．
(2) 存在一个四边形不是平行四边形；
【解答】由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(3) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
【解答】因为0∈N，02＝0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题．
(4) x∈N，x2>0.
探究
已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
(1) 若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
3
由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数
3
(2) 若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围．
【解答】因为q为真命题，所以A∩B≠ ，因为B≠ ，所以m≥2，所以3≤m＋1≤5，所以2≤m≤4，即实数m的取值范围为{m|2≤m≤4}．
求解含有量词的命题中参数范围的策略：对于全称(存在)量词命题为真的问题，实质就是不等式恒成立(能成立)问题，通常转化为求函数的最大值(或最小值).
【解答】“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1，所以实数a的取值范围是{a|a＞－1}．
变式
已知M＝{x|a≤x≤a＋1}．
(1) 若“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；
【解答】“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2，所以实数a的取值范围是{a|a＞－2}．
(2) 若“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围．
随堂内化 及时评价
1. 下列语句不是存在量词命题的是 ( )
A. 有一个四边形x，x的对角线互相垂直平分
B. 存在一个平行四边形x，x的对角线互相垂直平分
C. 至少有一个梯形x，x的对角线互相垂直平分
D. 对于所有的正方形x，x的对角线互相垂直平分
D
2. (多选)下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是 ( )
A. 所有的正方形都是矩形
B. 有些梯形是平行四边形
C. x∈R，3x＋2>0
D. 至少有一个整数m，使得m2<1
CD
3. 已知p： x∈R，(x＋1)2<(x＋2)2；q： x∈R，x＝1－x2，则 ( )
A. p假q假 B. p假q真
C. p真q真 D. p真q假
B
【解析】当x＝－2时，由(－2＋1)2>(－2＋2)2知p为假命题；因为方程x＋x2－1＝0有解，所以q为真命题．
4. 已知命题p： x∈R，x2＋4x＋a＝0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是
( )
A．{ a|04}
C. {a|a<0} D. {a|a≥4}
B
【解析】因为p是假命题，所以方程x2＋4x＋a＝0没有实数根，即Δ＝16－4a<0，即a>4.
5. 已知命题“ x∈{x|－3≤x≤2}，3a＋x－2＝0”为真命题，则实数a的取值范围为
___________．
配套新练案
一、 单项选择题
1. 下列语句不是全称量词命题的是 ( )
A. 任何一个实数乘以零都等于零
B. 自然数都是正整数
C. 高一(1)班绝大多数同学是团员
D. 每一个实数都有大小
C
2. 既是存在量词命题，又是真命题的是 ( )
A. 斜三角形的内角是锐角或钝角
B. 至少有一个x∈R，使x2≤0
C. 两个无理数的和是无理数
B
3. 已知A＝{x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是 ( )
A. a≥4 B. a≤4
C. a≥5 D. a≤5
C
4. 已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是
( )
A. {a|a≥－3} B. {a|a>－3}
C. {a|a≤－3} D. {a|a<－3}
D
【解析】因为x＋3≥0，所以A＝{x|x≥－3}．又因为对 a∈M，都有a A，所以
a<－3.
二、 多项选择题
5. 下列命题是真命题的是 ( )
A. x∈R，x2＋2>0
B. x∈N，x4≥1
C. 在平面直角坐标系中，任意的有序实数对(x，y)都对应一点
D. 每一条线段的长度都能用正有理数表示
AC
6. 下列结论正确的是 ( )
A. n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B. n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C. n∈N*，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D. n∈N*，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
CD
【解析】当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B错误，C，D正确．
三、 填空题
7. 若对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是______________．
【解析】对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.
{a|a≤3}
8. 若“ x∈{x|－2≤x≤1}，a－2x≥－1”为假命题，则实数a的取值范围为__________．
【解析】因为“ x∈{x|－2≤x≤1}，a－2x≥－1”为假命题，即a<2x－1在x∈{x|
－2≤x≤1}上有解，所以a<(2x－1)max.因为(2x－1)max＝2×1－1＝1，所以实数a的
取值范围为{a|a<1}．
{a|a<1}
四、 解答题
9. 用符号语言表示下列含有量词的命题，并判断真假：
(1) 任意实数的平方大于0；
【解答】“任意实数的平方大于0”用符号语言表示为“ x∈R，x2>0”；当x＝0时，02＝0，不合题意，所以“ x∈R，x2>0”为假命题．
(2) 有的实数的平方等于它本身；
【解答】“有的实数的平方等于它本身”用符号语言表示为“ x∈R，x2＝x”；当x＝1时，12＝1，所以“ x∈R，x2＝x”为真命题．
9. 用符号语言表示下列含有量词的命题，并判断真假：
(3) 两个有理数的乘积仍为有理数；
【解答】“两个有理数的乘积仍为有理数”用符号语言表示为“ x，y∈Q，xy∈Q”；当x，y∈Q时，根据有理数的性质知xy∈Q，所以“ x，y∈Q，xy∈Q”为真命题．
(4) 存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.
【解答】“存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0”用符号表示为“ x∈R，x2＋2x＋3＝0”．由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题．
10. 已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|3m≤x≤2m＋2}，且B≠ .
(1) 若命题p： x∈B，x∈A是真命题，求实数m的取值范围；
10. 已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|3m≤x≤2m＋2}，且B≠ .
(2) 若命题q： x∈A，x∈B是真命题，求实数m的取值范围．
11. (多选)已知集合M，N的关系如图所示，则下列结论正确的是 ( )
A. M∩N≠
B. “ x0∈M，使得x0∈N”是真命题
C. ( UM)∩( UN)＝ U(M∪N)
D. “ x∈ UN，x M”是真命题
ABC
【解析】对于A，由图可知集合M与集合N有公共部分，故A正确；对于B，当x0位于集合M与集合N的公共部分时，可知B正确；对于C，( UM)∩( UN)＝ U(M∪N)，C正确；对于D，易知 UN中含有一部分元素在M中，所以D错误．
12. 已知命题p： x∈{x|－1≤x≤3}，x2－a－2≥0，若p为真命题，则实数a的取值范围为_____________．
{a|a≤－2}
【解析】因为p为真命题，则a≤x2－2在{x|－1≤x≤3}上恒成立，又－2≤x2－2≤7，所以a≤－2.
13. 设命题p： x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q： x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋
19≠0.若p，q都为真命题，则实数m的取值范围为_______________．
14. 已知1≤a≤2，且a，a2，ka3可作为一个三角形的三条边长，则实数k的取值范围是____________．
