第2课时 全称量词命题和存在量词命题的否定
学习 目标 1. 通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2. 能正确地写出一个含有全称量词或存在量词的命题的否定，并能判断其真假．
新知初探基础落实
问题1：下列各组语句是命题吗？它们之间有什么关系？并判断其真假．
(1) 56是7的倍数，
56不是7的倍数；
(2) 方程x2－4＝0有实根，
方程x2－4＝0无实根．
命题的否定与原命题真假的关系是对立的，一真一假．原命题为真，命题的否定为假．原命题为假，命题的否定为真．
从集合观点理解命题及其否定的关系(补集关系).
思考：如何正确地对全称量词命题及存在量词命题进行否定呢？这将是我们本节课需要探讨的问题，从而引出课题．
一、 生成概念
问题2：写出下列命题的否定：
(1) 所有的矩形都是平行四边形；
(2) 每一个素数都是奇数；
(3) x∈R，x＋|x|≥0.
(1) 存在一个矩形不是平行四边形；
(2) 存在一个素数不是奇数；
(3) x∈R，x＋|x|<0.
我们还可以从集合的角度理解这个问题：A＝{矩形}，B＝{平行四边形}，命题(1)可以表示为“A B”，命题(1)的否定就是“AB”，即“存在x∈A，x B”．
问题3：写出下列命题的否定：
(1) 存在一个实数的绝对值是正数；
(2) 有些平行四边形是菱形；
(3) x∈R，x2－2x＋3＝0.
它们与原命题在形式上有什么变化？
(1) 所有实数的绝对值都不是正数；
(2) 每一个平行四边形都不是菱形；
(3) x∈R，x2－2x＋3≠0.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题．
请同学阅读课本P28—P30，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 含量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) __ x∈M， p(x)__ 全称量词命题的否定是__存在量词命题__
存在量词命题 x∈M，p(x) __ x∈M， p(x)__ 存在量词命题的否定是__全称量词命题__
2. 对一些表述的否定
表述 否定 表述 否定
等于 __不等于__ 任意的 __某个__
大(小)于 __不大(小)于__ 所有的 __某些__
且 __或__ 有 没有
是 __不是__ 都是 __不都是__
至多一个 __至少两个__ 至多有n个 __至少有(n＋1)个__
至少有一个 __一个都没有__ 至少有n个 至多有(n－1)个
典例精讲能力初成
探究1 全称量词命题与存在量词命题的否定
例1-1 (课本P29例3)写出下列全称量词命题的否定：
(1) 所有能被3整除的整数都是奇数；
【解答】该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(2) 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
【解答】该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
(3) 对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
【解答】该命题的否定： x∈Z，x2的个位数字等于3.
例1-2 (课本P30例4)写出下列存在量词命题的否定：
(1) x∈R，x＋2≤0；
【解答】该命题的否定： x∈R，x＋2＞0.
(2) 有的三角形是等边三角形；
【解答】该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形．
(3) 有一个偶数是素数．
【解答】该命题的否定：任意一个偶数都不是素数．
变式 (1) 设命题p： n∈N，n2≤2n，则 p为( C )
A. n∈N，n2≤2n B. n∈N，n2>2n
C. n∈N，n2>2n D. n N，n2>2n
(2) 命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1>0”的否定是( B )
A. 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B. 存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C. 存在x∈R，x3－x2＋1>0
D. 对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
探究2 含有一个量词的命题的否定的真假判断
例2 (课本P31例5)写出下列命题的否定，并判断真假：
(1) 任意两个等边三角形都相似；
【解答】该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题．
(2) x∈R，x2－x＋1＝0.
【解答】该命题的否定： x∈R，x2－x＋1≠0.因为对任意x∈R，x2－x＋1＝＋>0，所以这是一个真命题．
(1) 求全称(存在)量词命题的否定命题，先将全称(存在)量词调整为存在(全称)量词，再将性质p(x)否定为 p(x).否定的规律是“改量词，否结论”．
(2) 由于命题与命题的否定一真一假，因此如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否定的真假，从而进行判断．
变式 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1) 存在某个整数a，使得a2＝a；
【解答】该命题的否定：对于任意的整数a，都有a2≠a.当a＝1时，a2＝a，所以原命题的否定为假命题．
(2) 任意实数都可以写成平方和的形式；
【解答】该命题的否定：存在一个实数不可以写成平方和的形式．因为负数不能写成平方和的形式，所以原命题的否定为真命题．
(3) 每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数；
【解答】该命题的否定：存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数．因为两个奇数之和一定为偶数，所以原命题的否定为假命题．
(4) m>0，方程x2＋x＋m＝0有实数根．
【解答】该命题的否定： m>0，方程x2＋x＋m＝0没有实数根．由Δ＝1－4m≥0，解得m≤，所以0
探究3 含有一个量词命题的否定的应用
例3 已知命题p：存在实数x，使不等式x2＋4x－1≤m成立．若p是假命题，求实数m的取值范围．
【解答】 p：对任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．由题可知 p为真，令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5.因为 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可，所以所求实数m的取值范围是{m|m<－5}．
变式 已知p： x∈R，mx2＋1≤0，q：集合{x|2m－1≤x≤3m＋1}可能是 ，若p和q均为假命题，求实数m的取值范围．
【解答】依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，其否定： x∈R，mx2＋1＞0为真命题，则有m≥0.当q是假命题时，其否定：{x|2m－1≤x≤3m＋1}≠ 为真命题，所以有2m－1≤3m＋1，解得m≥－2.综上可得，实数m的取值范围为{m|m≥0}．
随堂内化及时评价
1. 命题“ x∈R，x2＋1>0”的否定是( D )
A. x0∈R，x＋1>0
B. x∈R，x2＋1≤0
C. x0∈R，x＋1<0
D. x0∈R，x＋1≤0
2. 下列命题正确的是( A )
A. 命题“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”
B. “x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C. 命题“ x∈R，x2＋x＋1<1”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1≥1”
D. 命题“ x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1<0”
3. (多选)下列说法正确的是( AD )
A. 若p： x∈R，x>0，则 p： x∈R，x≤0
B. 若p： x∈R，x2≤－1，则 p： x∈R，x2>－1
C. 若p：如果x<2，那么x<1，则 p：如果x≥2，那么x≥1
D. 若p： x∈R，x2＋1≠0，则 p： x∈R，x2＋1＝0
4. (2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则( B )
A. p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C. p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
【解析】对于p，取x＝－1，则有＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．
5. 已知p： x∈{x|－1A. {a|a<－2} B. {a|a<－1}
C. {a|a<7} D. {a|a<0}
【解析】因为p为假命题，所以 p： x∈{x|－10为真命题，故当
－1配套新练案
一、 单项选择题
1. 命题： n∈N，n2>3n＋5的否定为( B )
A. n∈N，n2>3n＋5
B. n∈N，n2≤3n＋5
C. n∈N，n2≤3n＋5
D. n∈N，n2<3n＋5
2. 命题p： x∈R，x2≥1的否定是( B )
A. x∈R，x2<1 B. x∈R，x2<1
C. x R，x2≥1 D. x R，x2<1
3. 若命题“ x∈R，x2>a”为真命题，则实数a的取值范围是( B )
A. {a|a≤0} B. {a|a<0}
C. {a|a≥0} D. {a|a>0}
4. 已知命题“ x∈R，4x2－4ax＋5a＋3＝0”为假命题，则实数a的取值范围是( B )
A. a≤－或a≥3} B. －C. a<－或a>3} D. －≤a≤3}
【解析】因为“ x∈R，4x2－4ax＋5a＋3＝0”为假命题，所以“ x∈R，4x2－4ax＋5a＋3≠0”为真命题，所以方程4x2－4ax＋5a＋3＝0无实数根，所以Δ＝(－4a)2－16(5a＋3)<0，解得－二、 多项选择题
5. 下列命题的否定中，是真命题的有( BD )
A. 某些平行四边形是菱形
B. x∈R，x2－3x＋3<0
C. x∈R，|x|＋x2≥0
D. x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解
【解析】对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，因为Δ＝9－12＝－3<0，所以原命题是假命题；对于C， x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题；对于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，方程x2－ax＋1＝0有实数解，是假命题．根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项B，D中，原命题的否定是真命题．
6. 若“ x∈M，|x|≤－x”为假命题，“ x∈M，x≤3”为真命题，则集合M可以是( AB )
A. {x|0C. {x|x≤3} D. {x|x>0}
【解析】因为“ x∈M，|x|≤－x”为假命题，所以“ x∈M，|x|>－x”为真命题，所以x>0.又“ x∈M，x≤3”为真命题，所以x≤3.综上，0三、 填空题
7. 命题“对所有的实数x，满足x2－2小于0”用符号语言表示为__ x∈R，x2－2＜0__；该命题的否定为__ x∈R，x2－2≥0__．
8. 已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，a≥x＋1；命题q： x∈R，2x2＋5x＋a＝0.若p的否定是假命题，q是真命题，则实数a的取值范围是__3≤a≤}__．
【解析】由1≤x≤2，a≥x＋1，得a≥3.由p的否定是假命题，则p是真命题，于是得a≥3.由 x∈R，2x2＋5x＋a＝0，即方程2x2＋5x＋a＝0有实根，则Δ＝25－8a≥0，解得a≤，又q是真命题，则a≤.因此，由p是真命题，q也是真命题，可得3≤a≤，即实数a的取值范围是3≤a≤}.
四、 解答题
9. 对于下列命题p，写出命题 p，并判断p与 p的真假．
(1) p：所有自然数的平方是正数；
【解答】 p：存在自然数的平方是负数或0；p假， p真．
(2) p：有一个素数是偶数；
【解答】 p：每一个素数都不是偶数；p真， p假.
(3) p：任意正整数都是合数；
【解答】 p：存在正整数不是合数；p假， p真．
(4) p：三角形有且仅有一个外接圆．
【解答】 p：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆；p真， p假．
10. 已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x≤a2＋1；命题q： x∈{x|1≤x≤2}，一次函数y＝x＋a的图象在x轴下方．
(1) 若命题p的否定为真命题，求实数a的取值范围；
【解答】因为命题p的否定为： x∈{x|1≤x≤2}，x>a2＋1，其为真命题，所以a2＋1<2，解得－1(2) 若命题p为真命题，命题q的否定也为真命题，求实数a的取值范围．
【解答】若命题p为真命题，则a2＋1≥2，解得a≥1或a≤－1.因为命题q的否定为真命题，即“ x∈{x|1≤x≤2}，一次函数y＝x＋a的图象不在x轴下方”为真命题，所以1＋a≥0，即a≥－1.综上，a＝－1或a≥1，即实数a的取值范围为{a|a≥1或a＝－1}．
11. 已知命题p： x∈{x|－1≤x≤1}，x2－3x＋a>0.若命题 p为真命题，则实数a的最大值是__－4__．
【解析】因为命题p： x∈{x|－1≤x≤1}，x2－3x＋a>0，所以命题 p： x∈{x|－1≤x≤1}，x2－3x＋a≤0，因为命题 p为真命题，所以a≤－x2＋3x在x∈{x|－1≤x≤1}上恒成立，即a≤(－x2＋3x)min＝－4，即a≤－4，所以实数a的最大值为－4.
12. 已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．
【解答】假设三个方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0都没有实数根，则即解得－学习 目标 1. 通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律． 2. 能正确地写出一个含有全称量词或存在量词的命题的否定，并能判断其真假．
新知初探基础落实
请同学阅读课本P28—P30，完成下列填空．
1. 含量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是
存在量词命题 x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是
2. 对一些表述的否定
表述 否定 表述 否定
等于 __ __ 任意的 _ __
大(小)于 __ __ 所有的 __ __
且 _ _ 有 没有
是 _ __ 都是 __ __
至多一个 __ __ 至多有n个 __ __
至少有一个 _ __ 至少有n个 至多有(n－1)个
典例精讲能力初成
探究1 全称量词命题与存在量词命题的否定
例1-1 (课本P29例3)写出下列全称量词命题的否定：
(1) 所有能被3整除的整数都是奇数；
(2) 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
(3) 对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
例1-2 (课本P30例4)写出下列存在量词命题的否定：
(1) x∈R，x＋2≤0；
(2) 有的三角形是等边三角形；
(3) 有一个偶数是素数．
变式 (1) 设命题p： n∈N，n2≤2n，则 p为( )
A. n∈N，n2≤2n B. n∈N，n2>2n
C. n∈N，n2>2n D. n N，n2>2n
(2) 命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1>0”的否定是( )
A. 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B. 存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C. 存在x∈R，x3－x2＋1>0
D. 对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
探究2 含有一个量词的命题的否定的真假判断
例2 (课本P31例5)写出下列命题的否定，并判断真假：
(1) 任意两个等边三角形都相似；
(2) x∈R，x2－x＋1＝0.
(1) 求全称(存在)量词命题的否定命题，先将全称(存在)量词调整为存在(全称)量词，再将性质p(x)否定为 p(x).否定的规律是“改量词，否结论”．
(2) 由于命题与命题的否定一真一假，因此如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否定的真假，从而进行判断．
变式 写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1) 存在某个整数a，使得a2＝a；
(2) 任意实数都可以写成平方和的形式；
(3) 每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数；
(4) m>0，方程x2＋x＋m＝0有实数根．
探究3 含有一个量词命题的否定的应用
例3 已知命题p：存在实数x，使不等式x2＋4x－1≤m成立．若p是假命题，求实数m的取值范围．
变式 已知p： x∈R，mx2＋1≤0，q：集合{x|2m－1≤x≤3m＋1}可能是 ，若p和q均为假命题，求实数m的取值范围．
随堂内化及时评价
1. 命题“ x∈R，x2＋1>0”的否定是( )
A. x0∈R，x＋1>0
B. x∈R，x2＋1≤0
C. x0∈R，x＋1<0
D. x0∈R，x＋1≤0
2. 下列命题正确的是( )
A. 命题“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”
B. “x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C. 命题“ x∈R，x2＋x＋1<1”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1≥1”
D. 命题“ x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1<0”
3. (多选)下列说法正确的是( )
A. 若p： x∈R，x>0，则 p： x∈R，x≤0
B. 若p： x∈R，x2≤－1，则 p： x∈R，x2>－1
C. 若p：如果x<2，那么x<1，则 p：如果x≥2，那么x≥1
D. 若p： x∈R，x2＋1≠0，则 p： x∈R，x2＋1＝0
4. (2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则( )
A. p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C. p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
5. 已知p： x∈{x|－1A. {a|a<－2} B. {a|a<－1}
C. {a|a<7} D. {a|a<0}
配套新练案
一、 单项选择题
1. 命题： n∈N，n2>3n＋5的否定为( )
A. n∈N，n2>3n＋5
B. n∈N，n2≤3n＋5
C. n∈N，n2≤3n＋5
D. n∈N，n2<3n＋5
2. 命题p： x∈R，x2≥1的否定是( )
A. x∈R，x2<1 B. x∈R，x2<1
C. x R，x2≥1 D. x R，x2<1
3. 若命题“ x∈R，x2>a”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A. {a|a≤0} B. {a|a<0}
C. {a|a≥0} D. {a|a>0}
4. 已知命题“ x∈R，4x2－4ax＋5a＋3＝0”为假命题，则实数a的取值范围是( )
A. a≤－或a≥3} B. －C. a<－或a>3} D. －≤a≤3}
二、 多项选择题
5. 下列命题的否定中，是真命题的有( )
A. 某些平行四边形是菱形
B. x∈R，x2－3x＋3<0
C. x∈R，|x|＋x2≥0
D. x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解
6. 若“ x∈M，|x|≤－x”为假命题，“ x∈M，x≤3”为真命题，则集合M可以是( )
A. {x|0C. {x|x≤3} D. {x|x>0}
三、 填空题
7. 命题“对所有的实数x，满足x2－2小于0”用符号语言表示为 ；该命题的否定为 ．
8. 已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，a≥x＋1；命题q： x∈R，2x2＋5x＋a＝0.若p的否定是假命题，q是真命题，则实数a的取值范围是 ．
四、 解答题
9. 对于下列命题p，写出命题 p，并判断p与 p的真假．
(1) p：所有自然数的平方是正数；
(2) p：有一个素数是偶数；
(3) p：任意正整数都是合数；
(4) p：三角形有且仅有一个外接圆．
10. 已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x≤a2＋1；命题q： x∈{x|1≤x≤2}，一次函数y＝x＋a的图象在x轴下方．
(1) 若命题p的否定为真命题，求实数a的取值范围；
(2) 若命题p为真命题，命题q的否定也为真命题，求实数a的取值范围．
11. 已知命题p： x∈{x|－1≤x≤1}，x2－3x＋a>0.若命题 p为真命题，则实数a的最大值是 ．
12. 已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．(共38张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词 第2课时 全称量词命题和存在量词命题的否定
学习 目标 1. 通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．
2. 能正确地写出一个含有全称量词或存在量词的命题的否定，并能判断其真假．
新知初探 基础落实
问题1：下列各组语句是命题吗？它们之间有什么关系？并判断其真假．
(1) 56是7的倍数，
56不是7的倍数；
(2) 方程x2－4＝0有实根，
方程x2－4＝0无实根．
命题的否定与原命题真假的关系是对立的，一真一假．原命题为真，命题的否定为假．原命题为假，命题的否定为真．
从集合观点理解命题及其否定的关系(补集关系).
思考：如何正确地对全称量词命题及存在量词命题进行否定呢？这将是我们本节课需要探讨的问题，从而引出课题．
一、 生成概念
问题2：写出下列命题的否定：
(1) 所有的矩形都是平行四边形；
(2) 每一个素数都是奇数；
(3) x∈R，x＋|x|≥0.
(1) 存在一个矩形不是平行四边形；
(2) 存在一个素数不是奇数；
(3) x∈R，x＋|x|<0.
问题3：写出下列命题的否定：
(1) 存在一个实数的绝对值是正数；
(2) 有些平行四边形是菱形；
(3) x∈R，x2－2x＋3＝0.
它们与原命题在形式上有什么变化？
(1) 所有实数的绝对值都不是正数；
(2) 每一个平行四边形都不是菱形；
(3) x∈R，x2－2x＋3≠0.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题．
请同学阅读课本P28—P30，完成下列填空．
二、 概念表述
1. 含量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) _________________ 全称量词命题的否定是_______________
存在量词命题 x∈M，p(x) _________________ 存在量词命题的否定是_______________
x∈M， p(x)
存在量词命题
x∈M， p(x)
全称量词命题
2. 对一些表述的否定
表述 否定 表述 否定
等于 _________ 任意的 _______
大(小)于 _____________ 所有的 _______
且 _____ 有 没有
是 _______ 都是 _________
至多一个 ___________ 至多有n个 _________________
至少有一个 _____________ 至少有n个 至多有(n－1)个
不等于
某个
不大(小)于
某些
或
不是
不都是
至少两个
至少有(n＋1)个
一个都没有
典例精讲 能力初成
探究
(课本P29例3)写出下列全称量词命题的否定：
(1) 所有能被3整除的整数都是奇数；
1
全称量词命题与存在量词命题的否定
【解答】该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
1－1
(2) 每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；
【解答】该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上．
(3) 对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3.
【解答】该命题的否定： x∈Z，x2的个位数字等于3.
(课本P30例4)写出下列存在量词命题的否定：
(1) x∈R，x＋2≤0；
【解答】该命题的否定： x∈R，x＋2＞0.
1－2
(2) 有的三角形是等边三角形；
【解答】该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形．
(3) 有一个偶数是素数．
【解答】该命题的否定：任意一个偶数都不是素数．
变式
(1) 设命题p： n∈N，n2≤2n，则 p为 ( )
A. n∈N，n2≤2n B. n∈N，n2>2n
C. n∈N，n2>2n D. n N，n2>2n
(2) 命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1>0”的否定是 ( )
A. 不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B. 存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C. 存在x∈R，x3－x2＋1>0
D. 对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
C
B
探究
(课本P31例5)写出下列命题的否定，并判断真假：
(1) 任意两个等边三角形都相似；
2
含有一个量词的命题的否定的真假判断
2
【解答】该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似．因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似．因此这是一个假命题．
(2) x∈R，x2－x＋1＝0.
(1) 求全称(存在)量词命题的否定命题，先将全称(存在)量词调整为存在(全称)量词，再将性质p(x)否定为 p(x).否定的规律是“改量词，否结论”．
(2) 由于命题与命题的否定一真一假，因此如果判断一个命题的真假困难时，那么可以转化为判断命题的否定的真假，从而进行判断．
【解答】该命题的否定：对于任意的整数a，都有a2≠a.当a＝1时，a2＝a，所以原命题的否定为假命题．
变式
写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1) 存在某个整数a，使得a2＝a；
(2) 任意实数都可以写成平方和的形式；
【解答】该命题的否定：存在一个实数不可以写成平方和的形式．因为负数不能写成平方和的形式，所以原命题的否定为真命题．
【解答】该命题的否定：存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数．因为两个奇数之和一定为偶数，所以原命题的否定为假命题．
写出下列命题的否定，并判断其真假：
(3) 每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数；
(4) m>0，方程x2＋x＋m＝0有实数根．
探究
已知命题p：存在实数x，使不等式x2＋4x－1≤m成立．若p是假命题，求实数m的取值范围．
3
含有一个量词命题的否定的应用
3
【解答】 p：对任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．由题可知 p为真，令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5.因为 x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可，所以所求实数m的取值范围是{m|m<－5}．
【解答】依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，其否定： x∈R，mx2＋1＞0为真命题，则有m≥0.当q是假命题时，其否定：{x|2m－1≤x≤3m＋1}≠ 为真命题，所以有2m－1≤3m＋1，解得m≥－2.综上可得，实数m的取值范围为{m|m≥0}．
变式
已知p： x∈R，mx2＋1≤0，q：集合{x|2m－1≤x≤3m＋1}可能是 ，若p和q均为假命题，求实数m的取值范围．
随堂内化 及时评价
D
2. 下列命题正确的是 ( )
A. 命题“ x，y∈R，x2＋y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2＋y2<0”
B. “x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C. 命题“ x∈R，x2＋x＋1<1”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1≥1”
D. 命题“ x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“ x∈R，x2＋x＋1<0”
A
3. (多选)下列说法正确的是 ( )
A. 若p： x∈R，x>0，则 p： x∈R，x≤0
B. 若p： x∈R，x2≤－1，则 p： x∈R，x2>－1
C. 若p：如果x<2，那么x<1，则 p：如果x≥2，那么x≥1
D. 若p： x∈R，x2＋1≠0，则 p： x∈R，x2＋1＝0
AD
4. (2024·新高考Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x＋1|>1；命题q： x>0，x3＝x，则
( )
A. p和q都是真命题 B. p和q都是真命题
C. p和 q都是真命题 D. p和 q都是真命题
B
【解析】对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题， p是真命题；对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题， q是假命题．综上， p和q都是真命题．
5. 已知p： x∈{x|－1( )
A. {a|a<－2} B. {a|a<－1}
C. {a|a<7} D. {a|a<0}
A
【解析】因为p为假命题，所以 p： x∈{x|－10为真命题，故当－1配套新练案
一、 单项选择题
1. 命题： n∈N，n2>3n＋5的否定为 ( )
A. n∈N，n2>3n＋5
B. n∈N，n2≤3n＋5
C. n∈N，n2≤3n＋5
D. n∈N，n2<3n＋5
B
2. 命题p： x∈R，x2≥1的否定是 ( )
A. x∈R，x2<1 B. x∈R，x2<1
C. x R，x2≥1 D. x R，x2<1
B
3. 若命题“ x∈R，x2>a”为真命题，则实数a的取值范围是 ( )
A. {a|a≤0} B. {a|a<0}
C. {a|a≥0} D. {a|a>0}
B
B
二、 多项选择题
5. 下列命题的否定中，是真命题的有 ( )
A. 某些平行四边形是菱形 B. x∈R，x2－3x＋3<0
C. x∈R，|x|＋x2≥0 D. x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解
BD
【解析】对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，因为Δ＝9－12＝
－3<0，所以原命题是假命题；对于C， x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题；对于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，方程x2－ax＋1＝0有实数解，是假命题．根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项B，D中，原命题的否定是真命题．
6. 若“ x∈M，|x|≤－x”为假命题，“ x∈M，x≤3”为真命题，则集合M可以是
( )
A. {x|0C. {x|x≤3} D. {x|x>0}
AB
【解析】因为“ x∈M，|x|≤－x”为假命题，所以“ x∈M，|x|>－x”为真命题，所以x>0.又“ x∈M，x≤3”为真命题，所以x≤3.综上，0三、 填空题
7. 命题“对所有的实数x，满足x2－2小于0”用符号语言表示为_______________；该命题的否定为___________________．
x∈R，x2－2＜0
x∈R，x2－2≥0
8. 已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，a≥x＋1；命题q： x∈R，2x2＋5x＋a＝0.若p的否定是假命题，q是真命题，则实数a的取值范围是_______________．
四、 解答题
9. 对于下列命题p，写出命题 p，并判断p与 p的真假．
(1) p：所有自然数的平方是正数；
【解答】 p：存在自然数的平方是负数或0；p假， p真．
(2) p：有一个素数是偶数；
【解答】 p：每一个素数都不是偶数；p真， p假.
(3) p：任意正整数都是合数；
【解答】 p：存在正整数不是合数；p假， p真．
(4) p：三角形有且仅有一个外接圆．
【解答】 p：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆；p真， p假．
10. 已知命题p： x∈{x|1≤x≤2}，x≤a2＋1；命题q： x∈{x|1≤x≤2}，一次函数
y＝x＋a的图象在x轴下方．
(1) 若命题p的否定为真命题，求实数a的取值范围；
【解答】因为命题p的否定为： x∈{x|1≤x≤2}，x>a2＋1，其为真命题，所以a2＋1<2，解得－1(2) 若命题p为真命题，命题q的否定也为真命题，求实数a的取值范围．
【解答】若命题p为真命题，则a2＋1≥2，解得a≥1或a≤－1.因为命题q的否定为真命题，即“ x∈{x|1≤x≤2}，一次函数y＝x＋a的图象不在x轴下方”为真命题，所以1＋a≥0，即a≥－1.综上，a＝－1或a≥1，即实数a的取值范围为{a|a≥1或a＝－1}．
11. 已知命题p： x∈{x|－1≤x≤1}，x2－3x＋a>0.若命题 p为真命题，则实数a的最大值是______．
【解析】因为命题p： x∈{x|－1≤x≤1}，x2－3x＋a>0，所以命题 p： x∈{x|
－1≤x≤1}，x2－3x＋a≤0，因为命题 p为真命题，所以a≤－x2＋3x在x∈{x|－1
≤x≤1}上恒成立，即a≤(－x2＋3x)min＝－4，即a≤－4，所以实数a的最大值为
－4.
－4
12. 已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，其中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．