章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
1. 集合中元素的三个特征：__确定性__、__互异性__、__无序性__．
2. 元素与集合的关系是__属于__或__不属于__，用符号__∈__或__ __表示．
3. 集合的表示法：__列举法__，__描述法__．
4. 子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A__ __B.
5. 真子集：若A B，且A≠B，则A____B.
6. 相等：若A B，且B A，则__A＝B__．
7. A∩B＝__{x|x∈A且x∈B}__．
8. A∪B＝__{x|x∈A或x∈B}__．
9. UA＝__{x|x∈U且x A}__．
10. 若p q且qp，则p是q的__充分不必要__条件．
11. 若pq且q p，则p是q的__必要不充分__条件．
12. 若p q，则p是q的__充要__条件．
13. 若pq且qp，则p是q的__既不充分又不必要__条件．
14. x∈M，p(x)的否定是：__ x∈M， p(x)__．
15. x∈M，p(x)的否定是：__ x∈M， p(x)__．
考法聚焦素养养成
考法1 集合间的基本关系及集合的运算
例1-1 (多选)下列命题中正确的有( BD )
A. 已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{x|y＝x2＋1}，则A＝B
B. 集合∈N}中有两个元素
C. 已知集合M＝{1，m，m2＋3}，且4∈M，则m的取值构成的集合为{－1，1，4}
D. 记A＝{x|x＝5k，k∈Z}，B＝{x|x＝10k，k∈Z}，则B A
【解析】对于A，A＝{y|y≥1}，B＝R，则A≠B，故A错误．对于B，因为集合∈N}＝{0，4}，所以它的元素有两个，故B正确．对于C，因为集合M＝，且4∈M，所以m＝4或m2＋3＝4.当m2＋3＝4时，解得m＝1或m＝－1.而m＝1不符合元素的互异性，故m＝4或m＝－1，故C错误．对于D，集合A是由能被5整除的整数组成的集合，集合B是由能被10整除的整数组成的集合，则B A，故D正确．
例1-2 已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{4}，求A∪B.
【解答】由( UA)∩B＝{2}，得2∈B且2 A.由A∩( UB)＝{4}，得4∈A且4 B.分别代入得解得p＝－7，q＝6，所以A＝{3，4}，B＝{2，3}，所以A∪B＝{2，3，4}．
【题组训练】
1. 已知集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|2x－7≥8－3x}，则A∩B＝( C )
A. {x|2≤x<3} B. {x|2≤x<5}
C. {x|3≤x<4} D. {x|3≤x<5}
【解析】已知集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|2x－7≥8－3x}＝{x|x≥3}，因此A∩B＝{x|3≤x<4}．
2. 已知全集U＝N，设A＝{x|x＝，k∈Z}，集合B＝{x|x>6，x∈N}，则A∩( UB)＝( C )
A. {1，4} B. {1，6}
C. {1，4，6} D. {4，6}
【解析】因为B＝{x|x>6，x∈N}，所以 UB＝{0，1，2，3，4，5，6}．又A＝{x|x＝，k∈Z}＝{1，4，6，…}，所以A∩( UB)＝{1，4，6}．
3. 已知集合A＝{－5，－1，1，5}，B＝{x|a
A. {a|－2B. {a|－2≤a≤－1}
C. {a|－2D. {a|－5≤a<－1}
【解析】因为B＝{x|a4. 已知集合A＝x＋＝5}，B＝{x|(a－1)x2＋ax＋a－1＝0}．
(1) 若B中恰有一个元素，用列举法表示a的值构成的集合；
【解答】若a－1＝0，即a＝1，则B＝{0}，符合题意．若a－1≠0，即a≠1，则由B中恰有一个元素，得Δ＝a2－4(a－1)2＝0，解得a＝2或a＝.综上所述，a的值构成的集合为.
(2) 若B A，求a的取值范围．
【解答】由x＋＝5，解得x＝1或x＝4，则A＝{1，4}．若B＝ ，符合B A，则解得a<或a>2.若1∈B，则3a－2＝0，解得a＝，则B＝，符合B A.若4∈B，则21a－17＝0，解得a＝，则B＝，不符合B A.综上所述，a的取值范围为a≤或a>2}.
考法2 充分条件与必要条件
例2 已知集合A＝{x|－m≤x－2≤m}，B＝{x|x≤－2或x≥4}．
(1) 若A∪B＝R，求实数m的取值范围；
【解答】由不等式－m≤x－2≤m，解得－m＋2≤x≤m＋2，则A＝{x|－m＋2≤x≤m＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}．由A∪B＝R，则解得m≥4，即实数m的取值范围为{m|m≥4}．
(2) 若“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，且A≠ ，求实数m的取值范围．
【解答】由B＝{x|x≤－2或x≥4}，则 RB＝{x|－2【题组训练】
1. 下列说法正确的是( A )
A. “x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
B. “a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
C. “m是实数”的必要不充分条件是“m是有理数”
D. “2x2－x－1＝0”是“x＝1”的充分不必要条件
【解析】对于A，因为x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)，所以x＝3或x＝－1，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，故A正确；对于B，a＝b ac＝bc，但当c＝0时，ac＝bca＝b，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故B错误；对于C，m是有理数 m是实数，m是实数m是有理数，故C错误；对于D，因为 2x2－x－1＝0，所以x＝1或x＝－，故“2x2－x－1＝0”是“x＝1”的必要不充分条件，故D错误．
2. 若不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是A. 或a<}
C. ≤a≤} D. a≥或a≤}
【解析】|x－a|<1 a－13. 设全集U＝R，集合A＝，集合B＝{x|－1－2a≤x≤a－2}．
(1) 若a＝4，求A∩B与( UA)∪B；
【解答】当a＝4时，集合B＝{x|－9≤x≤2}，因为集合A＝{x|1≤x≤5}，则A∩B＝{x|1≤x≤5}∩{x|－9≤x≤2}＝{x|1≤x≤2}．又 UA＝{x|x<1或x>5}，则( UA)∪B＝{x|x<1或x>5}∪{x|－9≤x≤2}＝{x|x≤2或x>5}．
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解答】由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得AB，则且等号不同时取到，解得a≥7，所以实数a的取值范围为{a|a≥7}．
考法3 全称量词与存在量词
例3-1 设有命题p1： x∈R，x2＋1<0；p2： x∈R，x＋|x|>0；p3： x∈Z，|x|∈N；p4： x∈R，x2－2x＋3＝0.其中真命题为( C )
A. p1 B. p2
C. p3 D. p4
【解析】显然p1为假命题；当x≤0时，x＋|x|＝0，所以p2为假命题；因为 x∈Z，|x|均为非负整数，所以p3为真命题；因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≠0，所以p4为假命题．
例3-2 已知命题p： x∈{x|2≤x≤3}，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2a＝0.
(1) 若命题 p为假命题，求实数a的取值范围；
【解答】若命题 p为假命题，则命题p为真命题，即a≤x2在x∈{x|2≤x≤3}上恒成立，所以a≤(x2)min＝4，即实数a的取值范围是{a|a≤4}．
(2) 若命题p和 q均为真命题，求实数a的取值范围．
【解答】当命题q为真命题时，因为 x∈R，x2＋2ax＋2a＝0，所以Δ＝4a2－8a≥0，解得a≤0或a≥2，因为 q为真命题，则0【题组训练】
1. (多选)下列存在量词命题是真命题的是( ACD )
A. 有的集合中不含有任何元素
B. 存在对角线不互相垂直的菱形
C. x∈R，满足3x2＋2>0
D. 有些整数只有两个正因数
【解析】对于A，空集中不含有任何元素，故A正确；对于B，所有菱形的对角线都互相垂直，故B错误；对于C， x∈R，3x2＋2>0，故C正确；对于D，由于存在整数3只有正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题，故D正确．
2. 已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，若命题“ m∈R，A∩B≠ ”为假命题，则实数a的取值范围为( C )
A. {a|0C. {a|a<3} D. {a|a<4}
【解析】命题“ m∈R，A∩B≠ ”为假命题，则命题的否定“ m∈R，A∩B＝ ”是真命题．因为A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，所以m2＋3>a.又因为m2＋3≥3，所以a<3.
3. 已知命题p： x∈R，2x≠－x2＋m；命题q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0.
(1) 写出命题 p；
【解答】 p： x∈R，2x＝－x2＋m.
(2) 若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．
【解答】因为命题p为假命题，所以 p： x∈R，2x＝－x2＋m为真命题，即x2＋2x－m＝0有实数根，所以Δ＝4＋4m≥0，解得m≥－1.因为命题q为真命题，所以x2＋2x－m－1＝0有实数根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，解得m≥－2，所以m≥－1，即m的取值范围是{m|m≥－1}．章复习 能力整合与素养提升
要点梳理系统整合
1. 集合中元素的三个特征： 、 、 ．
2. 元素与集合的关系是 或 ，用符号 或 表示．
3. 集合的表示法： ， ．
4. 子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A B.
5. 真子集：若A B，且A≠B，则A B.
6. 相等：若A B，且B A，则 _．
7. A∩B＝ ．
8. A∪B＝ ．
9. UA＝ ．
10. 若p q且qp，则p是q的 条件．
11. 若pq且q p，则p是q的 条件．
12. 若p q，则p是q的 条件．
13. 若pq且qp，则p是q的 条件．
14. x∈M，p(x)的否定是： ．
15. x∈M，p(x)的否定是： ．
考法聚焦素养养成
考法1 集合间的基本关系及集合的运算
例1-1 (多选)下列命题中正确的有( )
A. 已知集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{x|y＝x2＋1}，则A＝B
B. 集合∈N}中有两个元素
C. 已知集合M＝{1，m，m2＋3}，且4∈M，则m的取值构成的集合为{－1，1，4}
D. 记A＝{x|x＝5k，k∈Z}，B＝{x|x＝10k，k∈Z}，则B A
例1-2 已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{4}，求A∪B.
【题组训练】
1. 已知集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|2x－7≥8－3x}，则A∩B＝( )
A. {x|2≤x<3} B. {x|2≤x<5}
C. {x|3≤x<4} D. {x|3≤x<5}
2. 已知全集U＝N，设A＝{x|x＝，k∈Z}，集合B＝{x|x>6，x∈N}，则A∩( UB)＝( )
A. {1，4} B. {1，6}
C. {1，4，6} D. {4，6}
3. 已知集合A＝{－5，－1，1，5}，B＝{x|aA. {a|－2B. {a|－2≤a≤－1}
C. {a|－2D. {a|－5≤a<－1}
4. 已知集合A＝x＋＝5}，B＝{x|(a－1)x2＋ax＋a－1＝0}．
(1) 若B中恰有一个元素，用列举法表示a的值构成的集合；
(2) 若B A，求a的取值范围．
考法2 充分条件与必要条件
例2 已知集合A＝{x|－m≤x－2≤m}，B＝{x|x≤－2或x≥4}．
(1) 若A∪B＝R，求实数m的取值范围；
(2) 若“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，且A≠ ，求实数m的取值范围．
【题组训练】
1. 下列说法正确的是( )
A. “x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
B. “a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
C. “m是实数”的必要不充分条件是“m是有理数”
D. “2x2－x－1＝0”是“x＝1”的充分不必要条件
2. 若不等式|x－a|<1成立的充分不必要条件是A. 或a<}
C. ≤a≤} D. a≥或a≤}
3. 设全集U＝R，集合A＝，集合B＝{x|－1－2a≤x≤a－2}．
(1) 若a＝4，求A∩B与( UA)∪B；
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
考法3 全称量词与存在量词
例3-1 设有命题p1： x∈R，x2＋1<0；p2： x∈R，x＋|x|>0；p3： x∈Z，|x|∈N；p4： x∈R，x2－2x＋3＝0.其中真命题为( )
A. p1 B. p2
C. p3 D. p4
例3-2 已知命题p： x∈{x|2≤x≤3}，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2a＝0.
(1) 若命题 p为假命题，求实数a的取值范围；
(2) 若命题p和 q均为真命题，求实数a的取值范围．
【题组训练】
1. (多选)下列存在量词命题是真命题的是( )
A. 有的集合中不含有任何元素
B. 存在对角线不互相垂直的菱形
C. x∈R，满足3x2＋2>0
D. 有些整数只有两个正因数
2. 已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，若命题“ m∈R，A∩B≠ ”为假命题，则实数a的取值范围为( )
A. {a|0C. {a|a<3} D. {a|a<4}
3. 已知命题p： x∈R，2x≠－x2＋m；命题q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0.
(1) 写出命题 p；
(2) 若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．(共24张PPT)
第一章
集合与常用逻辑用语
章复习 能力整合与素养提升
要点梳理 系统整合
1. 集合中元素的三个特征：_________、_________、_________．
2. 元素与集合的关系是_______或_________，用符号_____或_____表示．
3. 集合的表示法：_________，_________．
4. 子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A_____B.
5. 真子集：若A B，且A≠B，则A_____B.
6. 相等：若A B，且B A，则_______．
7. A∩B＝____________________．
8. A∪B＝____________________．
9. UA＝____________________．
确定性
互异性
无序性
属于
不属于
∈
列举法
描述法
A＝B
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈U且x A}
充分不必要
必要不充分
充要
既不充分又不必要
x∈M， p(x)
x∈M， p(x)
考法聚焦 素养养成
集合间的基本关系及集合的运算
考法
1
1－1
【答案】BD
已知U＝R，A＝{x|x2＋px＋12＝0}，B＝{x|x2－5x＋q＝0}，若( UA)∩B＝{2}，( UB)∩A＝{4}，求A∪B.
1－2
【题组训练】
1. 已知集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|2x－7≥8－3x}，则A∩B＝ ( )
A. {x|2≤x<3} B. {x|2≤x<5}
C. {x|3≤x<4} D. {x|3≤x<5}
C
【解析】已知集合A＝{x|2≤x<4}，B＝{x|2x－7≥8－3x}＝{x|x≥3}，因此A∩B＝{x|3≤x<4}．
C
3. 已知集合A＝{－5，－1，1，5}，B＝{x|aA. {a|－2C. {a|－2A
已知集合A＝{x|－m≤x－2≤m}，B＝{x|x≤－2或x≥4}．
(1) 若A∪B＝R，求实数m的取值范围；
2
充分条件与必要条件
考法
2
已知集合A＝{x|－m≤x－2≤m}，B＝{x|x≤－2或x≥4}．
(2) 若“x∈A”是“x∈ RB”的充分不必要条件，且A≠ ，求实数m的取值范围．
【解答】由B＝{x|x≤－2或x≥4}，则 RB＝{x|－22
【题组训练】
1. 下列说法正确的是 ( )
A. “x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
B. “a＝b”是“ac＝bc”的充要条件
C. “m是实数”的必要不充分条件是“m是有理数”
D. “2x2－x－1＝0”是“x＝1”的充分不必要条件
【答案】A
C
(1) 若a＝4，求A∩B与( UA)∪B；
【解答】当a＝4时，集合B＝{x|－9≤x≤2}，因为集合A＝{x|1≤x≤5}，则A∩B＝{x|1≤x≤5}∩{x|－9≤x≤2}＝{x|1≤x≤2}．又 UA＝{x|x<1或x>5}，则( UA)∪B＝{x|x<1或x>5}∪{x|－9≤x≤2}＝{x|x≤2或x>5}．
(2) 若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
设有命题p1： x∈R，x2＋1<0；p2： x∈R，x＋|x|>0；p3： x∈Z，|x|∈N；p4： x∈R，x2－2x＋3＝0.其中真命题为 ( )
A. p1 B. p2
C. p3 D. p4
全称量词与存在量词
C
考法
3
【解析】显然p1为假命题；当x≤0时，x＋|x|＝0，所以p2为假命题；因为 x∈Z，|x|均为非负整数，所以p3为真命题；因为x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≠0，所以p4为假命题．
3－1
已知命题p： x∈{x|2≤x≤3}，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2a＝0.
(1) 若命题 p为假命题，求实数a的取值范围；
【解答】若命题 p为假命题，则命题p为真命题，即a≤x2在x∈{x|2≤x≤3}上恒成立，所以a≤(x2)min＝4，即实数a的取值范围是{a|a≤4}．
3－2
(2) 若命题p和 q均为真命题，求实数a的取值范围．
【解答】当命题q为真命题时，因为 x∈R，x2＋2ax＋2a＝0，所以Δ＝4a2－8a≥0，解得a≤0或a≥2，因为 q为真命题，则0【题组训练】
1. (多选)下列存在量词命题是真命题的是 ( )
A. 有的集合中不含有任何元素 B. 存在对角线不互相垂直的菱形
C. x∈R，满足3x2＋2>0 D. 有些整数只有两个正因数
ACD
【解析】对于A，空集中不含有任何元素，故A正确；对于B，所有菱形的对角线都互相垂直，故B错误；对于C， x∈R，3x2＋2>0，故C正确；对于D，由于存在整数3只有正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题，故D正确．
2. 已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，若命题“ m∈R，A∩B≠ ”为假命题，则实数a的取值范围为 ( )
A. {a|0C. {a|a<3} D. {a|a<4}
C
【解析】命题“ m∈R，A∩B≠ ”为假命题，则命题的否定“ m∈R，A∩B＝ ”是真命题．因为A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x≤m2＋4}，所以m2＋3>a.又因为m2＋3≥3，所以a<3.
3. 已知命题p： x∈R，2x≠－x2＋m；命题q： x∈R，x2＋2x－m－1＝0.
(1) 写出命题 p；
【解答】 p： x∈R，2x＝－x2＋m.
(2) 若命题p为假命题，命题q为真命题，求实数m的取值范围．
【解答】因为命题p为假命题，所以 p： x∈R，2x＝－x2＋m为真命题，即x2＋2x－m＝0有实数根，所以Δ＝4＋4m≥0，解得m≥－1.因为命题q为真命题，所以x2＋2x－m－1＝0有实数根，所以Δ＝4＋4(m＋1)≥0，解得m≥－2，所以m≥－1，即m的取值范围是{m|m≥－1}．