高二年级调研考试数学试卷
试卷满分 150分,时间:120分钟
一、单项选择题 (本大题共 8小题,第小题 5分,共 40分)
1. 已知直线 l的倾斜角为 60°,且经过点 0,1 ,则直线 l的方程为 ( )
A. y= 3x B. y= 3x- 2 C. y= 3x+ 1 D. y= 3x+ 3
2. 某圆锥的底面半径为 1,母线长为 5,则该圆锥的侧面积为 ( )
A. π B. 5π C. 8π D. 10π
2i20213. 复数 z= + (其中 i为虚数单位),则 z在复平面内对应的点位于 ( )1 i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知事件A和事件B独立,若P A =P B = 0.3,则P(A+B) = ( )
A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91
5. 已知平面 α和不重合的两条直线m,n,则下列说法正确的是 ( )
A. 若m⊥n,m∥ α,则n⊥ α B. 若m⊥n,m⊥ α,则n∥ α
C. 若m∥n,m∥ α,则n∥ α D. 若m∥n,m⊥ α,则n⊥ α
6. ⊙C :(x- 1)21 + y2= 4与⊙C2:(x+ 1)2+ (y- 3)2= 9相交弦所在直线为 l,则 l被⊙O:x2+ y2= 4
截得弦长为 ( )
A. 13 B. 4 C. 4 39 D. 8 39
13 13
7. 已知点A -1,1 ,B 3,3 ,线段AB为⊙M的一条直径.设过点C 2,-1 且与⊙M相切的两条直线
的斜率分别为 k1,k2,则 k1+ k2= ( )
A. - 3 B. - 2 C. 2 D. 3
2 3 3 2
8. a b c
已知平面向量 ,, 均为单位向量,若 a与 b的夹角为 60° ,则 c-a c -2b 的最大值为 ( )
A. 2+ 3 B. 4 C. 2+ 7 D. 5
二、多项选择题 (本大题共 3小题,第小题 6分,共 18分)
9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取 10位社区居民,
让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这 10位社区居民在讲座前和讲座后问卷
答题的正确率如下图:
·1·
则下列不正确的是 ( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
2 y2
10. x已知椭圆C :5x21 + y2= 5,C2: + = 1,则 ( )16 12
A. C1,C2的焦点都在 x轴上 B. C1,C2的焦距相等
C. C1,C2没有公共点 D. C2离心率 e2比C1离心率 e1小
11. a 已知向量 = 2,4 ,b= m, 1 ,c = 3,3 ,则下列说法正确的是 ( )m
A. 若m= 1,则 a -c ⊥ b B. a 若 b,则m= 22
C. a 在 c 上的投影向量为 c D. b-c 的最小值为 7
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分.
12. 把一个圆柱形水杯倾斜到与水平面成 45°角,水面形状是一个椭圆,则这个椭圆的离心率为 .
13. 记△ABC的内角A,B,C π的对边分别为 a,b,c,若B= ,c= 4,bsinA= 1,则 b= .
4
14. 已知函数 f x = sinx- 3cosx,f x0 =- 1 ,x0∈ 0,π ,则 sinx0的值为 .2
四、解答题
15. 在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线 l的方程为 a+1 x- y+ 4a= 0,a∈R.
(1)若 a= 1,求过点 1,0 且与直线 l平行的直线方程;
(2)求证:直线 l经过一个定点,并写出原点O到直线 l距离最大时直线 l的方程.
·2·
x2 y216. 已知椭圆 + = 1(a> b> 0) 1 3的离心率为 ,左、右焦点分别为F1,F2,且椭圆经过点 3,a2 b2 2 2
(1)求椭圆的方程;
(2)设P为椭圆上任意一点,求证:P到F2距离与P到直线 x= 4距离之比为定值;
(3)设P为椭圆上任意一点,当∠F1PF2最大时,求△F1PF2的面积.
17. 记△ABC是内角A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 b2= ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=
asinC.
(1)证明:BD= b;
(2)若AD= 2DC,求 cos∠ABC.
18. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,M ,N分别为AB和B1C1的中点.
(1)求证:MN 平面ACC1A1;
(2)若AC=BC=CC1,∠ACB= 90°,求二面角N-CM-B的正切值;
(3)若AC= 2 2,AB= 4,∠ACB= 90°,MN⊥A1C,求A1C与平面CMN所成角的正弦值.
·3·
19. 在平面直角坐标系 中,
已知圆C :(x+ 3)21 + (y- 1)2= 4和圆 C2:(x- 4)2+ (y- 5)2= 4.
(1)若直线 l过点 A(4,0),且被圆C1截得的弦长为 2 3,
求直线 l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 l1和 l2,
它们分别与圆C1和圆 C2相交,且直线 l1被圆 C1
截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
·4·高二年级调研考试数学试卷
试卷满分 150分,时间:120分钟
一、单项选择题 (本大题共 8小题,第小题 5分,共 40分)
1. 已知直线 l的倾斜角为 60°,且经过点 0,1 ,则直线 l的方程为 ( )
A. y= 3x B. y= 3x- 2 C. y= 3x+ 1 D. y= 3x+ 3
【答案】C
【详解】由题意知:直线 l的斜率为 3,则直线 l的方程为 y= 3x+ 1.
故选:C.
2. 某圆锥的底面半径为 1,母线长为 5,则该圆锥的侧面积为 ( )
A. π B. 5π C. 8π D. 10π
【答案】B
1
【详解】因为圆锥的底面半径为 1,母线长为 5,所以该圆锥的侧面积为 × 2π× 1× 5= 5π.
2
故选:B.
2i20213. 复数 z= + (其中 i为虚数单位),则 z在复平面内对应的点位于 ( )1 i
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【详解】因 i2021= i4×505+1= i,
2i2021 2i 2i 1- i= = = 故 z + + = 1+ i,1 i 1 i 1+ i 1- i
故 z在复平面内对应的点坐标为 1,1 ,位于第一象限.
故选:A.
4. 已知事件A和事件B独立,若P A =P B = 0.3,则P(A+B) = ( )
A. 0.21 B. 0.51 C. 0.79 D. 0.91
【答案】C
【详解】由题意可得,P AB =P A P B =P A 1-P B = 0.3× 1-0.3 = 0.21,
则P(A+B) =P A +P B -P AB = 0.3+ 0.7- 0.21= 0.79.
故选:C
5. 已知平面 α和不重合的两条直线m,n,则下列说法正确的是 ( )
A. 若m⊥n,m∥ α,则n⊥ α B. 若m⊥n,m⊥ α,则n∥ α
C. 若m∥n,m∥ α,则n∥ α D. 若m∥n,m⊥ α,则n⊥ α
【答案】D
【详解】对A:若m⊥n,m∥ α,则n⊥ α或n∥ α,或n α或n与 α相交,错误;
对B:若m⊥n,m⊥ α,则n∥ α或n α,错误;
·1·
对C:若m∥n,m∥ α,则n∥ α或n α,错误;
对D:若m∥n,m⊥ α,则n⊥ α,正确.
故选:D
6. ⊙C :(x- 1)2+ y21 = 4与⊙C2:(x+ 1)2+ (y- 3)2= 9相交弦所在直线为 l,则 l被⊙O:x2+ y2= 4
截得弦长为 ( )
A. 13 B. 4 C. 4 39 D. 8 39
13 13
【答案】D
【详解】解:由⊙C1与⊙C2的方程相减得 l:2x- 3y+ 2= 0.
圆心O(0,0)到 l 2 13的距离 d= ,⊙O的半径R= 2,
13
∴ 8 39截得弦长为 2 R2-d2= 2 4- 4 = .
13 13
故选:D
【点睛】此题考查两圆的位置关系,直线与圆的位置关系,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.
7. 已知点A -1,1 ,B 3,3 ,线段AB为⊙M的一条直径.设过点C 2,-1 且与⊙M相切的两条直线
的斜率分别为 k1,k2,则 k1+ k2= ( )
A. - 3 B. - 2 C. 2 D. 3
2 3 3 2
【答案】D
【详解】由于点A -1,1 ,B 3,3 ,线段AB为⊙M -1+3 1+3的一条直径,故圆心M ,2 2 ,即
M 1 1,2 ,圆的半径为 r= AB = 1 -1-3 2 + 1-3 2 = 5 ,
2 2
由题意可知两条切线的斜率均存在,故设切线方程为 y= k x-2 - 1,
-k-1-2
由相切可得 = r= 5,化简可得 2k2- 3k- 2= 0,
1+k2
故 k1,k 2 32是方程 2k - 3k- 2= 0 两个根,故 k1+ k2= 2
故选:D
8. a 已知平面向量 ,b,c a 均为单位向量,若 与 b 的夹角为 60°,则 c-a c -2b 的最大值为 ( )
A. 2+ 3 B. 4 C. 2+ 7 D. 5
【答案】C
【详解】由题意: a = b = c = 1 a , b= 1× 1× cos60° = 1 .2
c -a
因为 c -2b = c 2+ 2a b- c a +2b = 2- c a +2b .
c a
+2b = c a +2b cos c ,a +2b = a +2b cos c ,a +2b ≥- a
又 +2b ,
当 cos c
,a +2b = π时取“=”.
2 2
又 a+2b = a +2b = a 2+ 4a b+ 4b2= 1+ 4× 1 + 4= 7,所以 a +2b = 7 .2
c -a c
所以 -2b ≥ 2+ 7 .
·2·
故选:C
二、多项选择题 (本大题共 3小题,第小题 6分,共 18分)
9. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取 10位社区居民,
让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这 10位社区居民在讲座前和讲座后问卷
答题的正确率如下图:
则下列不正确的是 ( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70%
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】ACD
70%+75%
【详解】对于选项A,讲座前问卷答题的正确率的中位数为 = 72.5%> 70%,故A不正确;
2
对于选项B,在讲座后问卷答题的正确率中,1个 80%,4个 85%,剩下的 5个大于等于 90%,
所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85%,故B正确;
对于选项C,讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座
后正确率的标准差,故C不正确;
对于选项D,讲座后问卷答题的正确率的极差为 100%-80%= 20%,
而讲座前问卷答题的正确率的极差为 95%-60%= 35%> 20%,故D不正确.
故选:ACD.
2 y2
10. 已知椭圆C 2 2 x1:5x + y = 5,C2: + = 1,则 ( )16 12
A. C1,C2的焦点都在 x轴上 B. C1,C2的焦距相等
C. C1,C2没有公共点 D. C2离心率 e2比C1离心率 e1小
【答案】BCD
y2
【详解】因为椭圆C 的标准方程为 x21 + = 1,所以C1的焦点在 y上,所以A不正确;5
·3·
因为椭圆C1的焦距为 2 5-1= 4,椭圆C2的焦距为 2 16-12= 4,所以B正确;
5x2+y2=5
联立椭圆C1,C 2 22的方程 x2 y2 ,消除 y ,得-17x = 28,所以 x无解,故椭圆C+ =1 1,C2没有公共16 12
点,所以C正确;
C e = 5-1 = 2 5 C e = 16-12 1因为椭圆 1的离心率为 1 , 2的离心率为 2 = ,所以 e1> e5 2 2,所以5 16
D正确.
故选:BCD.
11. a = 2,4 ,b= m, 1 ,c 已知向量 = 3,3 ,则下列说法正确的是 ( )m
A.
若m= 1,则 a-c ⊥ b B. 若 a b,则m= 22
C. a c
在 上的投影向量为 c D. b-c 的最小值为 7
【答案】ACD
【详解】若m= 1,a- c = -1,1 ,b= 1,1 ,所以 a-c b=-1× 1+ 1× 1= 0,
所以 a-c ⊥ b,故A正确;
a
b 2 - 4m= 0 m=± 2若 ,则 ,解得 ,故B错误;
m 2
a a
c
c c = 2×3+4×3 c = 18 c 在 上的投影向量为 = c
,故C正确;
2
c 32+32 18
2 2
因为 b- c= m-3, 1 -3 ,所以m b-c = m-3
2 + 1 -3m = m+
1
m -6 m+
1 +16,m
令 t=m+ 1 ,当m> 0 1时,则由均值不等式,t=m+ ≥ 2 m 1 = 2,当且仅当m= 1时取等
m m m
号,
1
当m< 0时,t=m+ =- -m+ 1 ≤-2 -m 1- - =-2,当且仅当m=-1时取等号,m m m
则 b-c = t2-6t+16= t-3 2 +7 (t≥ 2或 t≤-2),
所以当 t= 3时, b-c 有最小值 7,故D正确.
故选:ACD
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分.
12. 把一个圆柱形水杯倾斜到与水平面成 45°角,水面形状是一个椭圆,则这个椭圆的离心率为 .
2 ## 1【答案】 2
2 2
【详解】如图可知,结合题意,θ= 45°,
设圆柱底面半径是 r,
2a= 2r则椭圆的长轴 = 2 2r,短轴 2b= 2r,
cos45°
故 a= 2r,b= r,则 c= a2-b2= r,
离心率 e= c = 2 .
a 2
·4·
2
故答案为:
2
13. 记△ABC的内角A,B,C π的对边分别为 a,b,c,若B= ,c= 4,bsinA= 1,则 b= .
4
【答案】 10
a b bsinA 1
【详解】由正弦定理 = 可得 a= = = 2,
sinA sinB sinB 2
2
b2= a2+ c2- 2accosB= 2+ 16- 8 2 × 2则 = 10,即 b= 10 .
2
故答案为: 10 .
14. 已知函数 f x = sinx- 3cosx,f x =- 10 ,x2 0∈ 0,π ,则 sinx0的值为 .
-1+3 5
【答案】
8
【详解】f(x) = sinx- 3cosx= 2sin x- π ,3
π 1 π 1
由题知,2sin x0- =- ,即 sin3 2 x0- =- ,3 4
x π π 2π由 0∈ 0,π 可得,x0- ∈3 - , ,3 3
注意到 sin x0- π < 0 π π,进而 x3 0- ∈3 - ,03 ,
cos x - π
2
于是 0 = 1- - 1 = 15 ,3 4 4
sinx0= sin x π π0- + = sin x π3 3 0- 3 cos
π + cos
3 x -
π sin π = -1+3 50 3 3 8
-1+3 5
故答案为:
8
四、解答题
15. 在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线 l的方程为 a+1 x- y+ 4a= 0,a∈R.
(1)若 a= 1,求过点 1,0 且与直线 l平行的直线方程;
(2)求证:直线 l经过一个定点,并写出原点O到直线 l距离最大时直线 l的方程.
【答案】(1)2x- y- 2= 0; (2)证明见解析,x+ y+ 8= 0.
小问 1详解】
当 a= 1时,直线 l 方程为 2x- y+ 4= 0,斜率为 k= 2,
则过点 1,0 且与直线 l平行的直线方程为 y= 2 x-1 ,
·5·
即 2x- y- 2= 0;
【小问 2详解】
由 a+1 x- y+ 4a= 0,
可得:a x+4 + x- y= 0,
x+4=0由 - = ,可得 x=-4,y=-4,x y 0
即直线 l经过一个定点M -4,-4 ;
由题意可得,当 l⊥OM时,原点O到直线 l的距离最大,
因为 kOM= 1,所以 kl=-1,
所以直线 l的方程为 y+ 4=- x+4 ,
即 x+ y+ 8= 0.
x2 y216. 1 3已知椭圆 + = 1(a> b> 0)的离心率为 ,左、右焦点分别为F1,F2,且椭圆经过点 3,a2 b2 2 2
(1)求椭圆的方程;
(2)设P为椭圆上任意一点,求证:P到F2距离与P到直线 x= 4距离之比为定值;
(3)设P为椭圆上任意一点,当∠F1PF2最大时,求△F1PF2的面积.
x2 y2
【答案】(1) + = 1 (2)证明见解析; (3) 3 .
4 3
【小问 1详解】
x2 y2 2 2
由椭圆 + = 1(a> b> 0) 1 e= a -b 1的离心率为 ,得 = ,则 b2= 3 a2,
a2 b2 2 a 2 4
由椭圆经过点 3, 3 3,得 + 3 = 1,于是 a2= 4,b2= 3,2 a2 4b2
x2 y2
所以所求椭圆的方程为 + = 1.
4 3
【小问 2详解】
由 (1)得F2(1,0),设P(x ,y ),则 y20 0 0= 3- 3 x20, -2≤ x0≤ 2,4
| 2PF | (x -1)2+y2 x0-2x0+1+3-
3 x20
令P到直线 x= 4 0距离为 d,则 2 = 0 4
d 4- =x0 4-x0
1
4 x
2 1 2
0-2x0+4
= = 2
(x0-4) 1
- - = ,4 x0 4 x0 2
所以P到F2距离与P到直线 x= 4距离之比为定值.
【小问 3详解】
由 (1)知,|PF1| +|PF2| = 4,|F1F2| = 2,
2 2 2
在△ |PF | +|PF | -|FF |F1PF2中,由余弦定理,得 cos∠F 1 2 1 21PF2= =
2|PF1||PF2|
·6·
(|PF1|+|PF2|)2-|FF |21 2 -2|PF1||PF2|
2|PF1||PF2|
= 6 - 1≥ 6 - 1= 1 ,当且仅当 |PF1| = |PF2| = 2时取等号,
PF PF PF + PF 21 2 1 2 22
由余弦函数 y= cosx在 (0,π) π上单调递减,得当 |PF1| = |PF2| = 2时,∠F1PF2取最大值 ,3
1 π 1 3
此时S△FPF = |PF1||PF2|sin = × 22× = 3,1 2 2 3 2 2
所以当∠F1PF2最大时,△F1PF2的面积为 3 .
17. 记△ABC是内角A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 b2= ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=
asinC.
(1)证明:BD= b;
(2)若AD= 2DC,求 cos∠ABC.
7
【答案】(1)证明见解析;(2)cos∠ABC= .
12
【详解】(1)设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理,
得 sin∠ABC= b ,sinC= c ,
2R 2R
BDsin∠ABC= asinC BD b c因为 ,所以 = a ,即BD b= ac.
2R 2R
又因为 b2= ac,所以BD= b.
(2) [方法一]【最优解】:两次应用余弦定理
2 2 2
因为AD= 2DC,如图,在△ABC cosC= a +b -c中, ,①
2ab
2 b 2a + -b2
在△BCD中,cosC= 3 .②
2a b3
2
由①②得 a2+ b2- c2= 3 2 b a + -b2 11 ,整理得 2a2- b2+ c2= 0.3 3
又因为 b2= ac,所以 6a2- 11ac+ 3c2= 0,解得 a= c 或 a= 3c ,
3 2
2
当 a= c ,b2= ac= c c 3c时,a+ b= + < c(舍去).
3 3 3 3
3c 2 2 3c2
a= 3c ,b2= ac= 3c
2 2 +c -当 时,cos∠ABC= 2 = 7 .
2 2 2 3c c 122
所以 cos∠ABC= 7 .
12
[方法二]:等面积法和三角形相似
如图,已知AD= 2DC,则S△ABD=
2 S
3 △ABC
,
·7·
1 × 2即 b2sin∠ADB= 2 × 1 ac× sin∠ABC,
2 3 3 2
而 b2= ac,即 sin∠ADB= sin∠ABC,
故有∠ADB=∠ABC,从而∠ABD=∠C.
b c CA BA
由 b2= ac,即 = ,即 = ,即△ACB∽△ABD,
a b CB BD
2b
AD = AB 3 = c故 ,即 ,
AB AC c b
又 b2= ac 2,所以 c= a,
3
cos∠ABC= c
2+a2-b2 7
则 = .
2ac 12
[方法三]:正弦定理、余弦定理相结合
由 (1)知BD= b=AC 2 1,再由AD= 2DC得AD= b,CD= b.
3 3
AD BD
在△ADB中,由正弦定理得 = .
sin∠ABD sinA
2 b
又∠ABD=∠C 3 = b sinC= 2,所以 ,化简得 sinA.
sinC sinA 3
2
在△ABC中,由正弦定理知 c= a,又由 b2= ac,所以 b2= 2 a2.
3 3
2 4 2 2 2
△ABC cos∠ABC= a
2+c2-b2 a + 9 a -在 中,由余弦定理,得 = 3
a
= 7 .
2ac 2× 23 a
2 12
7
故 cos∠ABC= .
12
[方法四]:构造辅助线利用相似的性质
如图,作DE∥AB,交BC于点E,则△DEC∽△ABC.
由AD= 2DC DE= c ,EC= a ,BE= 2a,得 .
3 3 3
2a 2 c 2 + -b2
在△BED中,cos∠BED= 3 3 .
2 2a c3 3
·8·
a2+c2-b2
在△ABC中 cos∠ABC= .
2ac
因为 cos∠ABC=-cos∠BED,
2a 2 2
a2+c2-b2 3 +
c
3 -b2所以 =- ,
2ac 2 2a c3 3
整理得 6a2- 11b2+ 3c2= 0.
又因为 b2= ac,所以 6a2- 11ac+ 3c2= 0,
c 3
即 a= 或 a= c.
3 2
下同解法 1.
[方法五]:平面向量基本定理
因为AD= 2DC,所以AD= 2DC.
2 BA,BC BD= BC + 1
以向量 为基底,有 BA.
3 3
2 4 2 4 1
所以BD = BC + BA BC + 2BA ,
9 9 9
即 b2= 4 a2+ 4 accos∠ABC+ 1 c2,
9 9 9
又因为 b2= ac,所以 9ac= 4a2+ 4ac cos∠ABC+ c2.③
由余弦定理得 b2= a2+ c2- 2accos∠ABC,
所以 ac= a2+ c2- 2accos∠ABC④
联立③④,得 6a2- 11ac+ 3c2= 0.
所以 a= 3 c或 a= 1 c.
2 3
下同解法 1.
[方法六]:建系求解
以D为坐标原点,AC所在直线为 x轴,过点D垂直于AC的直线为 y轴,
DC长为单位长度建立直角坐标系,
如图所示,则D 0,0 ,A -2,0 ,C 1,0 .
由 (1)知,BD= b=AC= 3,所以点B在以D为圆心,3为半径的圆上运动.
设B x,y -3由 b2= ac知, BA BC = AC 2,
即 (x+2)2+y2 (x-1)2+y2= 9.⑥
7 7 95
联立⑤⑥解得 x=- 或 x= ≥ 3(舍去),y2= ,
4 2 16
a= |BC| = 3 6代入⑥式得 ,c= |BA| = 6 ,b= 3,
2
·9·
2 2 2
由余弦定理得 cos∠ABC= a +c -b = 7 .
2ac 12
18. 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,M ,N分别为AB和B1C1的中点.
(1)求证:MN 平面ACC1A1;
(2)若AC=BC=CC1,∠ACB= 90°,求二面角N-CM-B的正切值;
(3)若AC= 2 2,AB= 4,∠ACB= 90°,MN⊥A1C,求A1C与平面CMN所成角的正弦值.
15
【答案】(1)证明见解析; (2)2 2; (3) .
5
【小问 1详解】
如图,取AC的中点P,连接PM、PC1,
1
因为M、P分别为AB、AC的中点,所以PM BC且PM= BC,
2
1
又因为直三棱柱ABC-A1B1C1中,N为B1C1的中点,所以BC C1N且 BC=C1N,2
所以PM C1N且PM=C1N,故四边形PMNC1是平行四边形,从而MN PC1,
因为PC1 平面ACC1A1, 平面ACC1A1,所以MN 平面ACC1A1.
【小问 2详解】
以C为原点,CA、CB、CC1所在直线分别为 x、y、z轴建立空间直角坐标系,
设AC=BC=CC1= 2,则C(0,0,0),M (1,1,0),N (0,1,2),B(0,2,0),
平面CMB的法向量为n1= (0,0,1),
设平面CMN的法向量为n2= (x,y,z),CM = (1,1,0),CN = (0,1,2),
n2 C M =x+y=0 则 ,令 z= 1,得 y=-2,x= 2,故n2= (2, -2,1),n2 CN=y+2z=0
|n n |
设二面角N-CM-B的平面角为 θ,则 cosθ= 1 2 = 1 ,则 sinθ= 2 2 ,
|n1||n2| 3 3
tanθ= sinθ所以 = 2 2;
cosθ
·10·
【小问 3详解】
由AC= 2 2,AB= 4,∠ACB= 90°,得BC= AB2-AC2= 2 2,
设CC1= h,则C(0,0,0),A(2 2 ,0,0),B(0,2 2 ,0),A1(2 2 ,0,h),M ( 2 , 2 ,0),N (0, 2 ,h),
MN = (- 2 ,0,h),A1C = (-2 2 ,0, -h),
由MN⊥A1C得MN A1C = 4- h2= 0,解得 h= 2 h>0 ,
CM = ( 2 , 2 ,0),CN = (0, 2 ,2) ,设平面CMN的法向量为n= a,b,c ,
n C M = 2a+ 2b=0则 ,令 b= 2,得 a=- 2 ,c=-1,故n
= (- 2 , 2 , -1),
n CN= 2b+2c=0
A1C = (-2 2 ,0, -2),
|A C n | |4+2|
设A1C
6 15
与平面CMN所成角为 α,则 sinα= 1 = = =
|A C||n | 8+4 2+2+1 2 3 5 51
19. 在平面直角坐标系 中,
已知圆C1:(x+ 3)2+ (y- 1)2= 4和圆 C :(x- 4)2+ (y- 5)22 = 4.
(1)若直线 l过点 A(4,0),且被圆C1截得的弦长为 2 3,
求直线 l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:
存在过点P的无穷多对互相垂直的直线 l1和 l2,
·11·
它们分别与圆C1和圆 C2相交,且直线 l1被圆 C1
截得的弦长与直线 l2被圆 C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
【答案】(1)y= 0或 y=- 7 (x- 4) 3 13,(2)点P坐标为 - , 或24 2 2
5 ,- 1 .
2 2
【详解】(1)设直线 l的方程为 y= k(x- 4),即 kx- y- 4k= 0.由垂径定理,得圆心C1到直线 l的距
2 -3k-1-4k
离 d= 22- 2 3 = 1,结合点到直线距离公式,得 = 1,化简得 24k2+ 7k= 0,解得2 k2+1
k= 0或 k=- 7 .
24
所求直线 l的方程为 y= 0 y=- 7或 (x- 4),即 y= 0或 7x+ 24y- 28= 0.
24
(2)设点P坐标为 (m,n),直线 l1、l2的方程分别为 y-n= k(x-m),y-n=- 1 (x-m),即 kx- yk
+n- km= 0,- 1 x- y+n+ 1 m= 0.
k k
因为直线 l1被圆C1截得的弦长与直线 l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等.由垂径定理,得圆
-3k-1+n-km - 4k -5+n+
1
km 心C1到直线 l1与圆心C2到直线 l2的距离相等.故有 = ,
k2+1 k2+1
化简得 (2-m-n)k=m-n- 3或 (m-n+ 8)k=m+n- 5.
2-m-n=0, m-n+8=0,
因为关于 k的方程有无穷多解,所以有 { 或 {
m-n-3=0 m+n-5=0,
P - 3 , 13 5 1解得点 坐标为 或 ,- .2 2 2 2
·12·