22.2二次函数与一元二次方程
【题型1】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 3
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解 6
【题型3】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系 9
【知识点1】抛物线与x轴的交点 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 1.（2025 盐城一模）已知二次函数y=ax2+bx+c,交x轴于（3，0）（7，0）两点，当x=5时，y＜0．则当4＜x1＜5，6＜x2＜7时，y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＞y2B．y1＜y2C．．y1≥y2D．y1≤y2
【答案】B 【分析】先求出抛物线的对称轴，确定抛物线的开口方向，再求出点（x1，y1）的对称点（10-x1，y1），根据二次函数的性质即可得出结果． 【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于（3，0）（7，0），
∴对称轴为：x==5，
即x=5，
∵当x=5时，y＜0，
∴抛物线的开口向上，
即a＞0；
∴当x＜5时，y随x的增大而减小；
当x＞5时，y随x的增大而增大；
∵点（x1，y1）的对称点为：（10-x1，y1），
而5＜10-x1＜6，
∴点（x2，y2）在点（10-x1，y1）的上方，
∴y1＜y2；
故选：B． 【知识点2】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 1.（2024 黄石模拟）下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项中正确的是（ ） x1.61.82.02.22.4y-0.80-0.54-0.200.220.72
A．1.6＜x1＜1.8B．1.8＜x1＜2.0C．2.0＜x1＜2.2D．2.2＜x1＜2.4
【答案】C 【分析】由-0.20＜0＜0.22，可求解． 【解答】解：∵-0.20＜0＜0.22，
∴2.0＜x1＜2.2．
故选：C． 2.（2024秋 台江区期中）根据表格中代数式ax2+bx+c=0与x的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围是（ ） x6.176.186.196.20ax2+bx+c-0.03-0.010.020.06
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
【答案】C 【分析】观察表中数据得到当x=6.18时，y=-0.01＜0；当x=6.19时，y=0.02＞0，则可判断当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2+bx+c=0，所以可确定方程ax2+bx+c=0的一个根的大致范围为6.18＜x＜6.19． 【解答】解：∵当x=6.18时，y=-0.01＜0；当x=6.19时，y=0.02＞0，
∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2+bx+c=0，
∴方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19．
故选：C．
【题型1】二次函数图象与一元二次方程之间的关系
【典型例题】二次函数y=a（x-3）2+4（a≠0）的图象在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，在5＜x＜6这一段位于x轴的下方，则a的值为（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】B
【解析】∵y=a（x-3）2+4（a≠0），∴抛物线的对称轴为x=3．
又∵当1＜x＜2时，函数图象位于x轴的上方，
∴当4＜x＜5时，函数图象位于x轴的上方．
又∵当5＜x＜6时，函数图象位于x轴的下方，
∴当x=5时，y=0．∴4a+4=0．∴a=-1．
【举一反三1】若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的是（ ）
A.当m=0时，x1=2，x2=3
B.m＞-
C.当m＞0时，2＜x1＜x2＜3
D.二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）
【答案】C
【解析】①∵m=0时，方程为（x-2）（x-3）=0，∴x1=2，x2=3，故A正确；
②设y=（x-2）（x-3）=x2-5x+6=（x-）2-，∴y的最小值为-，
③∵一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，
∴m＞-，故B正确；
∵m＞0时，y=（x-2）（x-3）＞0，函数y′=（x-2）（x-3）-m与x轴交于（x1，0），（x2，0）， ∴x1＜2＜3＜x2，故C错误；
④∵y=（x-x1）（x-x2）+m=（x-2）（x-3）-m+m=（x-2）（x-3），
∴函数与x轴交于点（2，0），（3，0）．故D正确．
【举一反三2】二次函数y=a（x-4）2-4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【答案】A
【解析】∵抛物线y=a（x-4）2-4（a≠0）的对称轴为直线x=4，
而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，
∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，
∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，
∴抛物线过点（2，0），
把（2，0）代入y=a（x-4）2-4（a≠0）得4a-4=0，解得a=1．
【举一反三3】若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_________．
【答案】m＜1
【解析】∵二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点，
∴Δ＞0，
∴4-4m＞0，
∴m＜1．
【举一反三4】抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），求这条抛物线的对称轴.
【答案】解：∵抛物线y=ax2+x+c与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），
∴该抛物线的对称轴是直线x==1，
即这条抛物线的对称轴是直线x=1．
【举一反三5】已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y=x2+mx+n的图象上，当x1=1，x2=3时，y1=y2．
（1）①求m的值；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值；
（2）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，且b1＞b2，求实数a的取值范围．
【答案】解：（1）①∵x1=1，x2=3时，y1=y2，
∴1+m+n=9+3m+n，∴m=-4；
②∵抛物线与x轴只有一个公共点，
∴Δ=m2-4n=0，即16-4n=0，∴n=4；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当P（a，b1），Q（3，b2）在对称轴的右侧，则a＞3时，b1＞b2；
当P（a，b1），Q（3，b2）在对称轴的两侧，
而当x1=1，x2=3时，y1=y2，则a＜1时，b1＞b2．
∴实数a的取值范围为a＜1或a＞3．
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解
【典型例题】二次函数y=-x2+mx的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A.t＞-5 B.-5＜t＜3 C.3＜t≤4 D.-5＜t≤4
【答案】D
【解析】如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，
当x=1时，y=3，
当x=5时，y=-5，
由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，
直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间包括直线y=4，
∴-5＜t≤4．
【举一反三1】根据下列表格，判断出方程8x2+9x﹣1＝0的一个近似解（结果精确到0.01）是（ ）
A.﹣1.43 B.﹣1.33 C.﹣1.23 D. ﹣1.13
【答案】C
【解析】解：由表格数据可知，当x＝﹣1.2时，8x2+9x﹣1的值为﹣0.28，最接近0，
故x＝﹣1.23是方程8x2+9x﹣1＝0的近似解，
故选：C．
【举一反三2】根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 .（精确到0.01）
【答案】1.65
【解析】解：根据题意得：
6﹣5.9696＝0.0304，
6.0225﹣6＝0.0225，
0.0304＞0.0225，
可见6.0225比5.9696更逼近6，
当精确度为0.01时，方程x2+2x＝6的一个解约是1.65；
故答案为：1.65．
【举一反三3】已知二次函数y=x2+px+q（p，q为常数，Δ=p2-4q＞0）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图象（如图），可得出表中第2行的相关数据．
（1）在表内的空格中填上正确的数；
（2）根据上述表内d与Δ的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
（3）对于函数y=x2+px+q（p，q为常数，Δ=p2-4q＞0）证明你的猜想．
【答案】（1）解：易得第三行q=0，x1=0，d=；第四行为p=1，Δ=9，x2=1；
（2）解：猜想：d2=Δ．
例如：y=x2-x-2中；p=-1，q=-2，Δ=9；
由x2-x-2=0得x1=2，x2=-1，d=3，d2=9，
∴d2=Δ；
（3）证明：令y=0，得x2+px+q=0，
∵Δ＞0，设x2+px+q=0的两根为x1，x2，
则x1+x2=-p，x1 x2=q，
d2=（|x1-x2|）2=（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1 x2 =（-p）2-4q=p2-4q=Δ.
【举一反三4】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=-x2+x+.
（1）画出上述函数的图象；（2）观察图象，指出铅球推出的距离.
【答案】解：（1）如图，
（2）当y=0时，-x2+x+=0，
解之得x1=10，x2=-2（不合题意，舍去），
所以推铅球的水平距离是10米.
【题型3】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系
【典型例题】已知函数y=x2-2x-2的图象如图，根据其中提供的信息，可求得使x2-2x-2≥1成立的x的取值范围是（ ）
A.-1≤x≤3 B.x≤-1或x≥3 C.x≥-3 D.-3≤x≤1
【答案】B
【解析】由图可知，x≤-1或x≥3时，x2-2x-2≥1．
【举一反三1】如图，已知二次函数y=-x2+2x，当-1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A.a＞1 B.-1＜a≤1 C.a＞0 D.-1＜a＜2
【答案】B
【解析】二次函数y=-x2+2x的对称轴为直线x=1，
∵-1＜x＜a时，y随x的增大而增大，∴a≤1，
∴-1＜a≤1．
【举一反三2】如图，二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=kx+c的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式ax2-kx＜0的解集为（ ）
A.0＜x＜1 B.-1＜x＜0 C.x＜0或x＞1 D.x＜-1或x＞0
【答案】A
【解析】ax2-kx＜0即ax2+c＜kx+c，即二次函数的值小于一次函数的值．
则x的范围是0＜x＜1．
【举一反三3】我们把a、b两个数中较小的数记作min{a，b}，直线y=kx-k-2（k＜0）与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为_____________．
【答案】2-2或-或-1
【解析】根据题意，x2-1＜-x+1，即x2+x-2＜0，
解得-2＜x＜1，故当-2＜x＜1时，y=x2-1；
当x≤-2或x≥1时，y=-x+1；
函数图象如下：
由图象可知，∵直线y=kx-k-2（k＜0）与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点，且k＜0，
①直线y=kx-k-2经过点（-2，3）时，3=-2k-k-2，k=-，此时直线y=-x-，与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点．
②直线y=kx-k-2与函数y=x2-1相切时，由消去y得x2-kx+k+1=0，
∵Δ=0，k＜0，∴k2-4k-4=0，
∴k=2-2（或2+2舍弃），此时直线y=（2-2）x-4+2与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点．
直线y=kx-k-2和直线y=-x+1平行，k=-1，直线为y=-x-1与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点．
综上，k=2-2或-或-1．
【举一反三4】自主学习，阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：x2﹣3x＞0
解：设x2﹣3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3，则二次函数y＝x2﹣3x的图象与x轴的交点坐标为（0，0）和（3，0），画出二次函数y＝x2﹣3x的大致图象如图（1）所示，由图象可知，当x＜0或x＞3时，函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣3x＞0，所以一元二次不等式x2﹣3x＞0的解集为x＜0或x＞3．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，主要渗透了下列数学思想中的 ；（选择1个，填写序号）
①分类讨论思想；②数形结合思想；
（2）一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集是 ；
（3）用类似的方法解一元二次不等式﹣x2﹣2x＜﹣3．（要求：在备用图中画出大致图象）
【答案】解：（1）从解答过程看，将不等式的求解和函数图象结合，故这种方法是数形结合思想，
故答案为：②；
（2）从图象看，符合条件的函数值为x轴下方的部分，
即0＜x＜3，
故答案为：0＜x＜3；
（3）设y＝﹣x2﹣2x+3，
画出函数的大致图象如下：
则不等式﹣x2﹣2x＜﹣3表示函数图象x轴下方的部分，
令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，则x＝﹣3或1，
故不等式﹣x2﹣2x＜﹣3的解集为：x＞1或x＜﹣3．
【举一反三5】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k取值范围．
【答案】解：（1）由图象可知，图象与x轴交于（1，0）和（3，0）点，
则方程ax2+bx+c=0的两个根为1和3；
（2）由图象可知当1＜x＜3时，不等式ax2+bx+c＞0；
（3）由图象可知，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴为x=2，开口向下，
即当x＞2时，y随x的增大而减小；
（4）由图象可知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2，
若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，
则k必须小于y=ax2+bx+c（a≠0）的最大值， 则k＜2．22.2二次函数与一元二次方程
【题型1】二次函数图象与一元二次方程之间的关系 2
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解 3
【题型3】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系 5
【知识点1】抛物线与x轴的交点 求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．
△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；
△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 1.（2025 盐城一模）已知二次函数y=ax2+bx+c,交x轴于（3，0）（7，0）两点，当x=5时，y＜0．则当4＜x1＜5，6＜x2＜7时，y1与y2的大小关系是（ ） A．y1＞y2B．y1＜y2C．．y1≥y2D．y1≤y2
【知识点2】图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 1.（2024 黄石模拟）下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c=0的一个解，则下列选项中正确的是（ ） x1.61.82.02.22.4y-0.80-0.54-0.200.220.72
A．1.6＜x1＜1.8B．1.8＜x1＜2.0C．2.0＜x1＜2.2D．2.2＜x1＜2.4
2.（2024秋 台江区期中）根据表格中代数式ax2+bx+c=0与x的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（其中a,b,c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围是（ ） x6.176.186.196.20ax2+bx+c-0.03-0.010.020.06
A．6＜x＜6.17B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19D．6.19＜x＜6.20
【题型1】二次函数图象与一元二次方程之间的关系
【典型例题】二次函数y=a（x-3）2+4（a≠0）的图象在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，在5＜x＜6这一段位于x轴的下方，则a的值为（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【举一反三1】若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，则下列结论中错误的是（ ）
A.当m=0时，x1=2，x2=3
B.m＞-
C.当m＞0时，2＜x1＜x2＜3
D.二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）
【举一反三2】二次函数y=a（x-4）2-4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
【举一反三3】若二次函数y=x2-2x+m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是_________．
【举一反三4】抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（-1，0），（3，0），求这条抛物线的对称轴.
【举一反三5】已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y=x2+mx+n的图象上，当x1=1，x2=3时，y1=y2．
（1）①求m的值；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值；
（2）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，且b1＞b2，求实数a的取值范围．
【题型2】利用二次函数图象求一元二次方程的解
【典型例题】二次函数y=-x2+mx的图象如图所示，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A.t＞-5 B.-5＜t＜3 C.3＜t≤4 D.-5＜t≤4
【举一反三1】根据下列表格，判断出方程8x2+9x﹣1＝0的一个近似解（结果精确到0.01）是（ ）
A.﹣1.43 B.﹣1.33 C.﹣1.23 D. ﹣1.13
【举一反三2】根据表格估计方程x2+2x＝6其中一个解的近似值．
根据上表，求方程x2+2x＝6的一个解大约是 .（精确到0.01）
【举一反三3】已知二次函数y=x2+px+q（p，q为常数，Δ=p2-4q＞0）的图象与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且A，B两点间的距离为d，例如，通过研究其中一个函数y=x2-5x+6及图象（如图），可得出表中第2行的相关数据．
（1）在表内的空格中填上正确的数；
（2）根据上述表内d与Δ的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
（3）对于函数y=x2+px+q（p，q为常数，Δ=p2-4q＞0）证明你的猜想．
【举一反三4】如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=-x2+x+.
（1）画出上述函数的图象；（2）观察图象，指出铅球推出的距离.
【题型3】二次函数图象与一元二次不等式之间的关系
【典型例题】已知函数y=x2-2x-2的图象如图，根据其中提供的信息，可求得使x2-2x-2≥1成立的x的取值范围是（ ）
A.-1≤x≤3 B.x≤-1或x≥3 C.x≥-3 D.-3≤x≤1
【举一反三1】如图，已知二次函数y=-x2+2x，当-1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A.a＞1 B.-1＜a≤1 C.a＞0 D.-1＜a＜2
【举一反三2】如图，二次函数y=ax2+c的图象与一次函数y=kx+c的图象在第一象限的交点为A，点A的横坐标为1，则关于x的不等式ax2-kx＜0的解集为（ ）
A.0＜x＜1 B.-1＜x＜0 C.x＜0或x＞1 D.x＜-1或x＞0
【举一反三3】我们把a、b两个数中较小的数记作min{a，b}，直线y=kx-k-2（k＜0）与函数y=min{x2-1，-x+1}的图象有且只有2个交点，则k的取值为_____________．
【举一反三4】自主学习，阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：x2﹣3x＞0
解：设x2﹣3x＝0，解得：x1＝0，x2＝3，则二次函数y＝x2﹣3x的图象与x轴的交点坐标为（0，0）和（3，0），画出二次函数y＝x2﹣3x的大致图象如图（1）所示，由图象可知，当x＜0或x＞3时，函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2﹣3x＞0，所以一元二次不等式x2﹣3x＞0的解集为x＜0或x＞3．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）上述解题过程中，主要渗透了下列数学思想中的 ；（选择1个，填写序号）
①分类讨论思想；②数形结合思想；
（2）一元二次不等式x2﹣3x＜0的解集是 ；
（3）用类似的方法解一元二次不等式﹣x2﹣2x＜﹣3．（要求：在备用图中画出大致图象）
【举一反三5】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出方程ax2+bx+c=0的两个根；
（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；
（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；
（4）若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，求k取值范围．
