苏科版数学九年级下 5.2 二次函数的图像和性质 课后巩固（含答案）

苏科版九年级下 5.2 二次函数的图像和性质 课后巩固
一．选择题（共10小题）
1．二次函数y=3（x-4）2-2的图象的顶点坐标是（　　）
A．（3，-2） B．（3，4） C．（-4，-2） D．（4，-2）
2．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2向下平移1个单位长度，得到的抛物线解析式是（　　）
A．y=x2+1 B．y=x2-1 C．y=（x+1）2 D．y=（x-1）2
3．若A（-4，y1），B（-1，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y1＜y3＜y2
4．抛物线y=（x+2）2+3的对称轴是直线（　　）
A．x=2 B．x=-2 C．x=3 D．x=-3
5．抛物线y=x2-4x-4的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（　　）
A．开口向上，对称轴是直线x=2，顶点是（2，8）
B．开口向上，对称轴是直线x=2，顶点是（2，-8）
C．开口向上，对称轴是直线x=-2，顶点是（2，-8）
D．开口向下，对称轴是直线x=2，顶点是（2，8）
6．把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线的解析式是（　　）
A．y=3（x-2）2+1 B．y=3（x-2）2-1
C．y=3（x+2）2+1 D．y=3（x+2）2-1
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx（a,b为常数，且a≠0）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（m,0），且1＜m＜2，有下列结论：①b＜0；②b=a+c；③a＞-c＞0；④a+b＞0．其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④
9．已知抛物线y=ax2-2ax（a＞0）经过点A（m,y1），B（m+1，y2），若y1＜y2＜0，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．1＜m＜2
10．已知二次函数y=mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a,p），B（b,p），C（c,q），D（d,q），其中p＜q,下列结论一定不正确的是（　　）
A．若m＞1，则a+b+c+d＜0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c
C．若m＜-1，则a+b+c+d＜0 D．若m＜-1，则c＜b＜a＜d
二．填空题（共5小题）
11．抛物线y=-（x-1）2+2的顶点坐标是______．
12．二次函数y=5x2+6x+7，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值都相等，当x取x1+x2时，函数值为______．
13．已知A（x1，2024），B（x2，2024）是二次函数y=ax2+bx（a≠0）的图象上两点，当x=x1+x2时，二次函数的值是 ______．
14．（2025 武侯区模拟）在平面直角坐标系中，已知M（a,b），N（a,2-3a-b）两点，连接MN，设线段MN的长为p,若点M在二次函数y=x2的图象上，则当时，p的取值范围是 ______．
15．如图，已知点A（2，0）、B（6，0）和C（4，2），平移△ABC得到△A′B′C′，顶点A、B、C分别与顶点A′、B′、C′对应．如果点A′、B′都在抛物线上，那么点C到点C′的距离是______．
三．解答题（共5小题）
16．在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，设该抛物线的对称轴为直线x=t.
（1）若x1=3时，y1=c,求t的值；
（2）若对于-1≤x1≤0，x2≥2，都有y1＜y2，已知点（2，m），（1，n）在该抛物线上，比较c,m,n的大小，并说明理由．
17．已知二次函数y=ax2+（1-4a）x+3．
（1）求证：不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点；
（2）A（2-m,y1）、B（2+m,y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，试用两种不同的方法证明y1＜y2；
（3）当3＜x＜4时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2tx+1．
（1）求抛物线的对称轴（用含t的式子表示）；
（2）若点M（t-2，m），N（t+3，n）在抛物线y=x2-2tx+1上，试比较m、n的大小；
（3）P（t+1，y1），Q（2t-4，y2）是抛物线y=x2-2tx+1上的两点，且均满足y1≥y2，求t的最大值．
19．在平面直角坐标系xOy中，将点P1（a,b-a）定义为点P（a,b）的“关联点”．
已知：点A（x,y）在函数y=x2的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点A1．
（1）请在如图的基础上画出函数y=x2-2的图象，简要说明画图方法；
（2）如果点A1在函数y=x2-2的图象上，求点A1的坐标；
（3）将点P2（a,b-na）称为点P（a,b）的“待定关联点”（其中，n≠0）．如果点A（x,y）的“待定关联点”A2在函数y=x2-n的图象上，试用含n的代数式表示点A2的坐标．
20．已知抛物线y=-x2+bx+c,其对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为A（-1，0），另一个交点为B，与y轴的交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，若点M为抛物线上第一象限内一动点，连接OM，交BC于点N，当最大时，求点M的坐标；
（3）如图2，点P为抛物线上一点，且在x轴上方，一次函数过点A，点Q是一次函数图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在？若存在，分别求出点P、Q的坐标；若不存在，说明理由．
苏科版九年级下 5.2 二次函数的图像和性质 课后巩固
(参考答案)
一．选择题（共10小题）
1、D 2、B 3、C 4、B 5、B 6、C 7、D 8、C 9、B 10、D
二．填空题（共5小题）
11、（1，2）； 12、7； 13、0； 14、＜p≤； 15、2；
三．解答题（共5小题）
16、解：（1）由题意得9a+3b+c=c,则b=-3a,
∵抛物线的对称轴为直线x=t,
∴，
则；
（2）∵抛物线的对称轴为直线x=t,
∴，则b=-2at,
由题意得，
则
=
=a（x2+x1）（x2-x1）-2at（x2-x1）
=a（x2-x1）（x2+x1-2t），
∵y1＜y2，
∴a（x2-x1）（x2+x1-2t）＞0，
∵-1＜x1＜0，x2＞2，
∴x2-x1＞0，x2+x1≥1，
∵a＞0，
∴x2+x1-2t＞0，
则1＞2t,解得t＜，
∵（2，m），（1，n），（0，c）
∴c＜n＜m.
17、解：（1）∵当x=0时，y=3；当x=4时，y=7，
∴不论a取何值时，该二次函数图象一定经过两个定点（0，3）、（4，7）；
（2）方法一、∵A（2-m,y1）、B（2+m,y2）（m＞0）是该函数图象上的两个点，
∴，，
∴
=a（-8m）+（1-4a）（-2m）
=-2m,
∵m＞0，
∴y1-y2＜0，即y1＜y2；
方法二、∵抛物线的对称轴为：直线，
，
当a＞0时，，此时，y1＜y2，
当a＜0时，，此时，y1＜y2，
综上所述：y1＜y2；
（3）∵当a＞0时，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为：直线，
∴3＜x＜4时，y随x的增大而增大，符合题意；
当a＜0且或时，y随x的增大而减小或y随x的增大而增大，
∴或a＜．
18、解：（1））∵y=x2-2tx+1=（x-t）2-t2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=t；
（2）∵点M（t-2，m），N（t+3，n）在抛物线y=x2-2tx+1上，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t,
又∵|t-（t-2）|=2，|t-（t+3）|=3，2＜3，
∴点N（t+3，n）离抛物线y=x2-2tx+1的对称轴距离较大，
∴n＞m；
（3）∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t,
∴点P在抛物线y=x2-2tx+1对称轴的右侧，
∵y1≥y2，
①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，
∴2t-4≥t且2t-4≤t+1，
解得4≤t≤5；
②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，
∴2t-4＜t,t-（2t-4）≤t+1-t,
解得3≤t＜4，
综上所述：当3≤t≤5时，满足题意．
∴t的最大值为5．
19、解：（1）将图中的抛物线y=x2向下平移2个单位长，可得抛物线y=x2-2，
如图：
（2）由题意，得点A（x,y）的“关联点”为A1（x,y-x），
由点A（x,y）在抛物线y=x2上，可得A（x,x2），
∴，
又∵A1（x,y-x）在抛物线y=x2-2上，
∴x2-x=x2-2，
解得x=2．
将x=2代入，得A1（2，2）；
（3）点A（x,y）的“待定关联点”为，
∵在抛物线y=x2-n的图象上，
∴x2-nx=x2-n,
∴n-nx=0，n（1-x）=0．又∵n≠0，∴x=1，
当x=1时，x2-nx=1-n,
故可得A2（1，1-n）．
20、解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=1，
∴，
解得b=2，
将A（-1，0）代入y=-x2+2x+c,
可得-（-1）2+2×（-1）+c=0，
解得c=3，
∴抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3；
（2）由（1）知抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3，
当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
当y=0时，-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b,
将C（0，3），B（3，0）代入，
可得，
解得，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
如图，过点M作MH⊥x轴于点H，交直线BC于点K，
设点M的坐标为（m,-m2+2m+3），则点K的坐标为（m,-m+3），
∴MK=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m,
∵MH⊥x轴，OC⊥x轴，
∴MH∥OC，
∴∠OCN=∠MKN，∠CON=∠KMN，
∴△OCN∽△MKN，
∴，
∴当最大时，
，，
∴点M的坐标为；
（3）∵一次函数过点A（-1，0），
∴，
解得，
∴点Q是一次函数图象上一点．
∵点P为抛物线上一点，且在x轴上方，
∴设点P的坐标为（t,-t2+2t+3），-t2+2t+3＞0，
∵四边形OAQP为平行四边形，
∴OA∥PQ，OA=PQ=1，
分两种情况，当点P在点Q的左侧时：
点Q的坐标为，
∵OA∥PQ，
∴点P与点Q的纵坐标相等，
∴-t2+2t+3=，
解得t=0或，
当t=0时，-t2+2t+3=3，
∴P（0，3），Q（1，3），
当时，，
∴，；
当点P在点Q的右侧时：
点Q的坐标为，
∴-t2+2t+3=，
解得t=2或，
当t=2时，-t2+2t+3=3，
∴P（2，3），Q（1，3），
当时，，不合题意；
综上可知，存在，P（0，3）、Q（1，3）或、．