苏科版数学九年级下 第5章 二次函数 单元测试（含答案）

苏科版九年级下 第5章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（7，-5） B．（-7，-5） C．（7，5） D．（-7，5）
2．下列函数中，y关于x的二次函数是（　　）
A．y=2x+1 B．y=x（x-1）
C． D．y=（x-1）2-x2
3．将抛物线y=-2x2向下平移3个单位长度，所得抛物线为（　　）
A．y=-2（x-3）2 B．y=-2（x+3）2 C．y=-2x2+3 D．y=-2x2-3
4．抛物线y=-x2-2的顶点坐标是（　　）
A．（-2，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，-2）
5．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y,则y与x的函数关系式是（　　）
A．y=x2 B．y=x2 C．y=x2 D．y=x2
6．在下列函数中，其图象的对称轴条数最少的是（　　）
A．y=-x B． C．y=-x2+5 D．y=3x+2
7．若二次函数y=ax2的图象经过点A（3，-6），则该图象必经过点（　　）
A．（-3，6） B．（-3，-6） C．（6，-3） D．（6，3）
8．在同一坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2+bx（a≠0）的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
9．平面直角坐标系中，抛物线y=x2-bx+1+b与直线y=x+1交于点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1=1时，则以下结论错误的是（　　）
A．若x1+x2＞0，则y1y2＞0 B．若x1+x2＞0，则y1+y2＞0
C．若x1+x2＜0，则y1y2＜0 D．若x1+x2＜0，则y1+y2＜0
10．已知抛物线y=ax2-4ax+a（a＜0）的顶点为M，直线y=kx+b（k＜0）与该抛物线交于点M和N（m,n），若a＜n＜0，则直线y=kx+b与x轴交点的横坐标p的取值范围是（　　）
A．＜p＜2+ B．2＜p＜ C．2＜p＜2+ D．2-＜p＜2
11．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1，0），对称轴为直线x=-1，则下列结论中不正确的是（　　）
A．abc＜0 B．b2-4ac＞0
C．函数的最小值为a-b+c D．4a-2b+c＞0
12．如图，抛物线y=-x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点；
②若点M（-2，y1）、点、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y=-（x+1）2+m；
④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确的判断有（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．③④
二．填空题（共5小题）
13．若点B（-2，y1），C（0.5，y2），D（1.3，y3）在抛物线y=2x（x+2）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ______（用“＞”或“=”进行连接）．
14．平移抛物线 y=x2+2x+1，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是 ______.（只需写出一个符合条件的表达式）
15．已知抛物线y=x2-2x-2，则当0≤x≤4时，函数的最大值为 ______．
16．把二次函数：y=ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为：y=a（x+2）2+（a-1）2，若（b+c）取得最小值，则此时a=______．
17．定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的特征数．下面给出特征数为[m,l-m,2-m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m＞0时，函数有最小值：④若m＜0，则当x＞时，y随x的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 ______．
三．解答题（共4小题）
18．如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）P点是抛物线上一个动点，且△ABP的面积为8，求出点P的坐标．
19．一座拱桥的截面图如图①所示，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,桥洞与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．在平面直角坐标系中，拱桥的截面图如图②所示．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）求两盏景观灯之间的水平距离．
20．如图1，抛物线y=-（x-1）2+c与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），且OB=3．在x轴上有一动点E（m,0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求点A的坐标及抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AM，若∠MAB=60°，求此时点E的坐标；
（3）如图3，连接BM并延长交y轴于点N，连接OM，记△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1=S2，求此时点E的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-8ax+10a-1（a＜0）与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0），其中（0＜x2＜x1），且AB=4，与y轴的交点为C，直线CD∥x轴，在x轴上有一动点E（t,0），过点E作直线l⊥x轴，与抛物线、直线CD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以C、P、Q为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
苏科版九年级下 第5章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、D 4、D 5、D 6、C 7、B 8、A 9、D 10、A 11、D 12、B
二．填空题（共5小题）
13、y3＞y2＞y1； 14、y=（x-1）2-1（答案不唯一）； 15、6； 16、1； 17、①②③；
三．解答题（共4小题）
18、解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x+3），
把C（0，3）代入得-3a=3，
解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），
即y=-x2-2x+3．
（2）设P（m,n），
∵△ABP的面积为8，
∴，
解得：n=±4，
分两种情况讨论：
①当n=-4时，-m2-2m+3=-4，
解得：，
∴，；
②当n=4时，-m2-2m+3=4，
解得：m=-1，
∴P3（-1，4）；
综上，在这条抛物线上存在一点P，使△ABP的面积为8，且点P的坐标为，，P3（-1，4）．
19、解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），
设抛物线的解析式是y=a（x-5）2+5，
把（0，1）代入y=a（x-5）2+5，
∴a=-．
∴抛物线的解析式为y=-（x-5）2+5（0≤x≤10）．
（2）由题意，∵两景观灯的纵坐标都是4，
∴4=-（x-5）2+5，
∴（x-5）2=1，
∴x1=，x2=，
∴两景观灯间的距离为-=5（米）．
20、解：（1）将点B（3，0）代入抛物线表达式得：0=-（3-1）2+c,
解得：c=4，
则抛物线的表达式为：y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3；
令y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3=0，
则x=-1或3，
则点A（-1，0）；
（2）若∠MAB=60°，直线AM表达式中的k值为，
则直线AM的表达式为：y=（x+1），
联立上式和抛物线的表达式得：（x+1）=-x2+2x+3，
解得：x=-1（舍去）或3-，
即点E（3-，0）；
（3）∵E（m,0），
∴点M（m,-m2+2m+3），
由点B、M的坐标得，直线BM的表达式为y=（-m-1）x+3m+3，
在y=（-m-1）x+3m+3中，当x=0时，y=3m+3，
∴点N（0，3m+3），ON=3m+3；
∴S1=AE yM=（m+1） （-m2+2m+3），
S2=ON xM=（3m+3）×m,
∵S1=S2，
∴（m+1） （-m2+2m+3）=（3m+3）×m,
解得m=或m=舍去）或m=-1（舍去），
答：m的值为．
21、解：（1）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=4，
∵AB=4，
则点A、B的坐标分别为：（2，0）、（6，0）；
则抛物线的表达式为：y=a（x-2）（x-6）=a（x2-8x+12）=ax2-8ax+10a-1，
则12a=10a-1，
解得：a=-，
则抛物线的表达式为：y=-x2+4x-6；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，-6），
由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=x-6，
设PQ交AC于点H，
设点P（t,-t2+4t-6），则点H（t,t-6），
则△APC面积=PH×AO=6×|（-t2+4t-6-t+6）|=3|-t2+3t|，
当点P在x轴上方时，则△APC面积=-t2+9t,
∵＜0，故△APC面积有最大值，
当t=3时，△APC面积最大值为：；
当点P在x轴上方时，则△APC面积=t2-9t,
∵6＜t≤8，
在t＞3时，△APC面积随t的增大而增大，
∴当t=8时，△APC面积最大，最大值为24，
综上，△APC面最大值24．
（3）存在，理由：
设点P（t,-t2+4t-6），则点Q（t,6），
∵PQ∥Y轴（OC），
∴∠CPQ=∠PCO，∠PCO＞∠BCO，
∴∠CPO=∠OBC
在Rt△BCO中，tan∠OBC==，
则以C、P、Q为顶点的三角形与△OBC相似时，
tan∠PCQ=或3，
即tan∠PCQ===3或，
解得：t=2（舍去）或14或或．