湘教版数学九年级下 第1章 二次函数 单元测试（含答案）

湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．已知二次函数y=2025x2+2024x+2023的图象上有两点A（m,2025），B（n,2025），则当x=m+n时，二次函数的值为（　　）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
2．下列各点，在抛物线y=3（x-1）2-1的图象上的是（　　）
A．（1，1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（-1，-1）
3．若点（0，y1），（1，y2），（2，y3）都在二次函数y=x2图象上，则（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
4．＜已知二次函数y=ax2+3ax+4（a≠0）的部分图象如图，该抛物线的图象过点A（-4，0），B（1，0），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+3ax+4=0的两个根分别是x1=-4和x2=（　　）
A．1 B．-1 C．4 D．3
5．当ab＞0时，函数y=ax2-b与y=bx-a在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
6．将抛物线y=2x2向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线，其解析式是（　　）
A．y=2（x+3）2+1 B．y=2（x-3）2-1
C．y=2（x+3）2-1 D．y=2（x-3）2+1
7．点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y=x2-2ax+c（a,c为常数）图象上，若x1＜x2，则下列说法正确的是（　　）
A．当x1＜a时，y1＞y2 B．当x1＞a时，y1＜y2
C．当x2＜a时，y1＜y2 D．当x2＞a时，y1＞y2
8．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的T型线，点P为图形G的T型点，△PMN为图形G关于点P的T型三角形．若H（0，-2）是抛物线y=x2+n的T型点，则n的取值范围是（　　）
A．n≥-1 B．n≤-1 C．n≥- D．n≤-
9．将二次函数化为y=a（x-h）2+k的形式为（　　）
A． B．
C． D．
10．已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点C（0，-2）与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且-1＜x1＜0，2＜x2＜3，则下列结论：①a-b+c＞0；②方程ax2+bx+c+1=0有两个不相等的实数根；③3a-b＜0；④．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（　　）
A．MN+BN＜AB
B．∠BAC=∠BAE
C．∠ACB-∠ANM=∠ABC
D．四边形ACBM的最大面积为13
二．填空题（共5小题）
13．抛物线y=-3（x-4）2+5的顶点坐标是 ______．
14．将二次函数y=3x2的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的函数图象的表达式是______．
15．如图，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=-x的图象交于点A（-2，2）和原点O，则关于x的不等式ax2+bx＞-x的解集是______．
16．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，建立平面直角坐标系（如图），发现铅球与地面的高度y（m）和运动员出手点的水平距离x（m）之间的函数关系为，由此可知铅球的落地点与运动员出手点的水平距离是 ______m.
17．如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（-1，2）、（1，1）．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a-b+c的最小值是 ______．
三．解答题（共5小题）
18．已知二次函数y=ax2+bx-6（a≠0）的图象经过点A（4，-18），与y轴交于点B，顶点为C（m,n）．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：4a+b=-3；
（3）当a＞0时，判断n+6＜0是否成立？并说明理由．
19．如图，足球场上守门员徐杨在O处抛出一高球，球从离地面1m处的点A飞出，其飞行的最大高度是4m,最高处距离飞出点的水平距离是6m,且飞行的路线是抛物线一部分．以点O为坐标原点，竖直向上的方向为y轴的正方向，球飞行的水平方向为x轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．（参考数据：4≈7）
（1）求足球的飞行高度y（m）与飞行水平距离x（m）之间的函数关系式；
（2）在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？（精确到个位）
（3）若对方一名1.7m的队员在距落点C3m的点H处，跃起0.3m进行拦截，则这名队员能拦到球吗？
20．如图，抛物线过点C（0，1），与x轴交于点A、B，对称轴是x=-2，，矩形DEFG的边EF在线段AB上（点F在点E的左侧），点G，D在抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设E（n,0），矩形DEFG的周长为m,写出m与n的函数关系式，并求m的最大值；
（3）当矩形DEFG周长最大时，保持矩形不变，把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，直接写出k的取值范围．
21．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x=1．点M是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为m（0＜m＜3）．过点M作MN⊥x轴，与BC交于点N，连接CM，BM．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段MN的最大值；
（3）是否存在以CN为腰的等腰三角形CMN？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
22．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线+bx+c经过点A，B，且与x轴交于点C，连接BC．
（1）求b,c的值．
（2）点P为线段AC上一动点（不与点A，C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC=t,△PBD的面积为S．求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点M在抛物线的对称轴上运动，点N在x轴运动，当以点B，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，称这样的点N为“美丽点”．请直接写出“美丽点”N的坐标．
湘教版九年级下 第1章 二次函数 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、C 2、B 3、A 4、A 5、C 6、A 7、B 8、D 9、D 10、D 11、C 12、C
二．填空题（共5小题）
13、（4，5）； 14、y=3（x+2）2-4； 15、-2＜x＜0； 16、10； 17、-7；
三．解答题（共5小题）
18、（1）解：在y=ax2+bx-6中，令x=0得y=-6，
∴B（0，-6）；
（2）证明：将A（4，-18）代入y=ax2+bx-6得：
-18=16a+4b-6，
∴4a+b=-3；
（3）解：n+6＜0成立，理由如下：
∵二次函数y=ax2+bx-6（a≠0）的图象顶点为C（m,n），
∴n=，
由（2）知：4a+b=-3，
∴b=-4a-3，
∴n+6=+6=，
∵a＞0，
∴-（4a+3）2＜0，4a＞0，
∴＜0，即n+6＜0．
19、解：（1）当h=4时，y=a（x-6）2+4，又A（0，1）
∴1=a（0-6）2+4，
∴a=-，
∴y=-（x-6）2+4；
（2）令y=0，则0=-（x-6）2+4，
解得：x1=4+6≈13，x2=-4+6＜0（舍去）
∴球飞行的最远水平距离是13米；
（3）当x=13-3=10时，y=＞1.7+0.3=2，
∴这名队员不能拦到球．
20、解：（1）∵由题意，∵对称轴是直线，
∴，B（-2，0）．
∴设抛物线的函数表达式为y=a（x+2）2+c.
∵C（0，1），A（--2，0）在抛物线上，
∴．
∴．
∴y=-（x+2）2+3=-x2-2x+1．
∴抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+1．
（2）由题意，∵E（n,0），
∴F（-4-n,0），D（n,-n2-2n+1）．
∴DE=-n2-2n+1，EF=4+2n.
∴m=2（-n2-2n+1+4+2n）=-n2+10，即m与n的函数关系式是m=-n2+10．
∴当n=0时，m的值最大，m的最大值是10．
（3）2＜k＜3．理由如下：
当抛物线顶点在矩形内部时，抛物线与矩形只有两个交点，
又∵y=-x2-2x+1=-（x+2）2+3，
∴顶点坐标是（-2，3）．
由（2）可得D（0，1），
∴当抛物线的顶点在DG上时，抛物线与矩形恰好有3个交点，此时抛物线向下平移2个单位长度；当抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与矩形只有1个交点，此时抛物线向下平移3个单位长度．
又∵把抛物线向下平移k个单位（k≠0），要使抛物线与矩形只有两个交点，
∴当2＜k＜3时，抛物线顶点在矩形内部．即抛物线与矩形只有两个交点．
21、解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）由抛物线的表达式知，点A、B的坐标分别为：（-1，0）、（3，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=-x+3，
设点P（m,-m2+2m+3），则点N（m,-m+3），
则MN=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-（m-1.5）2+≤，
即MN的最大值为：；
（3）存在，理由：
由（2）中的点C、M、N的坐标得，CN=m,MN=-m2+3m,
当CN=MN时，即m=-m2+3m,则m=0（舍去）或3-，
当CN=CM时，则点C在MN的中垂线上，则3=[（-m2+2m+3）+（-m+3）]，
解得：m=0（舍去）或1，
综上，m=1或3-．
22、解：（1）令y=0，则-x+=0，
解得x=3，
∴A（3，0），
令x=0，则y=，
∴B（0，），
将点A（3，0），B（0，），代入+bx+c,
∴，
解得；
（2）由（1）可得+x+，
令y=0，则-x2+x+=0，
解得x=3或x=-2，
∴C（-2，0），
∵A（3，0），B（0，），
∴AC=5，OB=，
∴S△ABC=××5=，
S△PBC=××t=t,
∵PD∥AB，
∴△PDC∽△ABC，
∴=（）2，即=（）2，
∴S△PCD=t2，
∴S=S△PBC-S△PCD=t-t2，（0＜t＜5）；
∵S=t-t2=-（t-）2+，
∴当t=时，S的最大值为；
（3）∵+x+=-（x-）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x=，
设M（，m），N（n,0），B（0，），
①如图1，当∠BMN=90°，N点在x轴负半轴时，BM=MN，
过点M作KL∥y轴交x轴于点L，过点B作BK⊥KL交于K，
∴∠BMK+∠NML=90°，
∵∠BMK+∠MBK=90°，
∴∠NML=∠MBK，
∴△BMK≌△MNL（AAS），
∴BK=ML，NL=KM，
∵BK=，KM=-m,ML=m,NL=-n,
∴=m,-m=-n,
∴n=1-，
∴N（1-，0）；
②如图2，当∠BMN=90°，N点在x轴正半轴时，BM=MN，
过点M作EF⊥y轴交于点E，过点N作NF⊥EF交于点F，
∵∠BME+∠NMF=90°，∠BME+∠EBM=90°，
∴∠NMF=∠EBM，
∴△BEM≌△MFN（AAS），
∴EM=NF，BE=NF，
∵BE=-m,EM=，MF=n-，NF=-m,
∴-m=n-，=-m,
∴n=+1，
∴N（+1，0）；
③如图3，当∠BNM=90°，N点在x轴的负半轴上是，BN=MN，
过点N作ST⊥x轴，过点B作BS⊥ST交于S，过点M作MT⊥ST交ST于T，
∴∠SNB+∠TNM=90°，
∵∠SNB+∠SBN=90°，
∴∠TNM=∠SBN，
∴△SBN≌△TNM（AAS），
∴SB=NT，SN=TM，
∵SB=-n,SN=，NT=-m,MT=-n+，
∴-n=-m,=-n+，
∴n=-，
∴N（-，0）；
④如图4，当∠BNM=90°，N点在x轴的正半轴上是，BN=MN，
过点N作UV⊥x轴，过点B作BU⊥UV交于点U，过点M作MV⊥UV交于点V，
∴∠BNU+∠MNV=90°，
∵∠BNU+∠NBU=90°，
∴∠MNV=∠NBU，
∴△BNU≌△NMV（AAS），
∴BU=VN，UN=MV，
∵BU=n,UN=，NV=-m,MV=n-，
∴n=-m,=n-，
∴n=+，
∴N（+，0）；
综上所述；N点坐标为（1-，0）或（+1，0）或（-，0）或（+，0）．