21.2 解一元二次方程 同步练习（含解析）-2025-2026学年九年级上册数学人教版

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21.2 解一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 沁源县期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1
C． D．且k≠1
2．（2024秋 裕华区校级期末）方程（x+3）（x﹣2）＝0的根是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝2 C．x＝3，x＝﹣2 D．x＝﹣3，x＝2
3．（2024秋 翠屏区期末）已知α和β是方程x2+2023x﹣2＝0的两个解，则α2+2024α+β的值为（　　）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣2021 D．2021
4．（2024秋 西青区期末）已知一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根为x1，x2，式子的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．
5．（2024秋 清丰县校级期末）【新考向】对一元二次方程x2+6x＝9．某学习小组给出了下列结论：
甲：这个方程有两个不相等的实数根；
乙：设这个方程的两个根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣6，x1x2＝9；
丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为x＝﹣3；
丁：这个方程的解为．
老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（　　）
A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁
6．（2024秋 江口县期末）若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2024秋 上犹县期末）通过一元二次方程x2﹣6x+3＝0配方后变形正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝6 B．（x﹣3）2＝9 C．（x+3）2＝6 D．（x+3）2＝9
8．（2024秋 丰满区期末）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
二．填空题（共5小题）
9．（2025 西宁）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值　 　 ．
10．（2025 惠州模拟）对于实数a，b，定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个相等的实数根，则k的值是　 　 ．
11．（2024秋 翠屏区期末）已知xy≠0，且x2+3xy﹣4y2＝0，则 　 　 ．
12．（2024秋 奈曼旗期末）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为 　 　 ．
13．（2024秋 枣阳市期末）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 乌拉特前旗校级期末）解方程：
（1）x2+2x﹣2＝0；
（2）4（x﹣2）＝﹣（2x﹣1）（x﹣2）．
15．（2024秋 翠屏区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2该方程的两个根，且（x1+1）（x2+1）＝7，求m的值．
21.2 解一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 沁源县期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1
C． D．且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝32﹣4×（k﹣1）×（﹣2）＝8k+1≥0且k﹣1≠0，
解得，且k≠1，
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时Δ＝0；当方程没有实数根时Δ＜0．
2．（2024秋 裕华区校级期末）方程（x+3）（x﹣2）＝0的根是（　　）
A．x＝﹣3 B．x＝2 C．x＝3，x＝﹣2 D．x＝﹣3，x＝2
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：依题意得：x+3＝0或x﹣2＝0
∴x＝﹣3或2
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
3．（2024秋 翠屏区期末）已知α和β是方程x2+2023x﹣2＝0的两个解，则α2+2024α+β的值为（　　）
A．﹣2023 B．2023 C．﹣2021 D．2021
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】由根与系数的关系可以求出α2+2023α＝2，α+β＝﹣2023，然后α2+2024α+β变形为α2+2023α+α+β，再整体代入可以求出其值．
【解答】解：由条件可知α2+2023α﹣2＝0，α+β＝﹣2023，
∴α2+2023α＝2，
∴α2+2024α+β
＝α2+2023α+α+β
＝2﹣2023
＝﹣2021，
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系的运用，熟练掌握该知识点是关键．
4．（2024秋 西青区期末）已知一元二次方程x2+3x﹣2＝0的两根为x1，x2，式子的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】求出x1+x2＝﹣3，x1 x2＝﹣2再整体代入计算即可．
【解答】解：由题意可知：x1+x2＝﹣3，x1 x2＝﹣2，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确，．
5．（2024秋 清丰县校级期末）【新考向】对一元二次方程x2+6x＝9．某学习小组给出了下列结论：
甲：这个方程有两个不相等的实数根；
乙：设这个方程的两个根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣6，x1x2＝9；
丙：这个方程利用因式分解法最简单，其根为x＝﹣3；
丁：这个方程的解为．
老师看后说只有两个同学的结论是错误的，则这两位同学是（　　）
A．甲和乙 B．甲和丁 C．乙和丙 D．丙和丁
【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣公式法；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝72＞0，可得出甲正确；利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣9，乙错误；利用公式法，可求出方程的两个实数根，进而可得出丙错误，丁正确．
【解答】解：∵x2+6x＝9，
∴x2+6x﹣9＝0，
∴Δ＝62﹣4×1×（﹣9）＝36+36＝72＞0，
∴这个方程有两个不相等的实数根，甲正确；
设这个方程的两个根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣9，乙错误；
∵x3±3，
∴，，丙错误，丁正确．
综上所述，不正确的同学是乙和丙．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及公式法解一元二次方程，逐一分析四个同学的结论是解题的关键．
6．（2024秋 江口县期末）若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别是a、b，则一次函数y＝abx+a+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】根与系数的关系；一次函数的性质．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系即可求出ab与a+b的值，然后根据一次函数的性质，即可得到该函数图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个实数根分别是a、b，
∴a+b＝4，ab＝﹣3，
∴一次函数解析式为y＝abx+a+b＝﹣3x+4，
∴该函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
7．（2024秋 上犹县期末）通过一元二次方程x2﹣6x+3＝0配方后变形正确的是（　　）
A．（x﹣3）2＝6 B．（x﹣3）2＝9 C．（x+3）2＝6 D．（x+3）2＝9
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据配方法的步骤求解即可．
【解答】解：原方程配方得x2﹣6x+32＝﹣3+32，
即（x﹣3）2＝6，
故选：A．
【点评】本题考查配方法，熟练掌握该方法是关键．
8．（2024秋 丰满区期末）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：x2﹣2x＝0，
因式分解得：x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，关键是掌握因式分解法解方程的方法．
二．填空题（共5小题）
9．（2025 西宁）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值　﹣1（答案不唯一）　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出k的取值范围，再在取值范围内取值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4﹣4k＞0，
∴k＜1且k≠0，
不妨令k＝﹣1，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键．
10．（2025 惠州模拟）对于实数a，b，定义新运算：a※b＝ab2﹣b，若关于x的方程1※x＝k有两个相等的实数根，则k的值是　　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据新运算定义，得到关于x的方程x2﹣x﹣k＝0，再根据方程有两个相等的实数根求解即可．
【解答】解：∵a※b＝ab2﹣b，
∴1※x＝x2﹣x，
∵1※x＝k，
∴x2﹣x＝k，
∴x2﹣x﹣k＝0，
∵关于x的方程1※x＝k有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣k）＝0，
解得：，
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；Δ＝0，方程有两个相等的实数根；Δ＜0，方程没有实数根是解题关键．
11．（2024秋 翠屏区期末）已知xy≠0，且x2+3xy﹣4y2＝0，则 　﹣4或1　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣4或1．
【分析】先判断出x≠0，且y≠0，再把已知等式化成，将看作一个整体，利用因式分解法解方程即可得．
【解答】解：∵xy≠0，
∴x≠0且y≠0，
∵x2+3xy﹣4y2＝0，
∴，即，
∴，
∴4＝0或1＝0，
∴或，
故答案为：﹣4或1．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法是解题关键．
12．（2024秋 奈曼旗期末）关于x的一元二次方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且以x1，x2，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则m的值为 　24或25　 ．
【考点】根的判别式；等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论；一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】24或25．
【分析】分6为底边和6为腰两种情况分类讨论即可确定m的值．
【解答】解：当6为底边时，则x1＝x2，
∴Δ＝100﹣4m＝0，
∴m＝25，
∴方程为x2﹣10x+25＝0，
∴x1＝x2＝5，
∵5+5＞6，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
当6为腰时，则设x1＝6，
∴36﹣60+m＝0，
∴m＝24，
∴方程为x2﹣10x+24＝0，
∴x1＝6，x2＝4，
∵6+4＞6，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：m＝24或25，
故答案为24或25．
【点评】本题考查了根的判别式，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
13．（2024秋 枣阳市期末）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】．
【分析】先解方程得出x1＝6，x2＝3，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝6，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为6，
∴菱形的边长为6，
∴菱形的另一条对角线为，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，通过解方程得到菱形的边长，再利用菱形的面积等于对角线的乘积得出结果．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 乌拉特前旗校级期末）解方程：
（1）x2+2x﹣2＝0；
（2）4（x﹣2）＝﹣（2x﹣1）（x﹣2）．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1），；
（2）x1＝2，．
【分析】（1）运用配方法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）x2+2x﹣2＝0，
x2+2x＝2，
x2+2x+1＝3，即（x+1）2＝3，
∴x+1或x+1，
∴，；
（2）4（x﹣2）＝﹣（2x﹣1）（x﹣2），
4（x﹣2）+（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（4+2x﹣1）＝0，
（x﹣2）（2x+3）＝0，
∴x﹣2＝0或2x+3＝0，
∴x1＝2，．
【点评】本题考查解一元二次方程，关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
15．（2024秋 翠屏区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；
（2）在（1）中，设x1、x2该方程的两个根，且（x1+1）（x2+1）＝7，求m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）﹣4．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再将（x1+1）（x2+1）＝7变形得到x1x2+x1+x2﹣6＝0，再整体代入得关于m的方程，由此解方程即可得到答案．
【解答】解：（1）由条件可知Δ＝[﹣2（m﹣1）]2﹣4m2≥0
解得，；
（2）∵x1、x2是方程x2﹣2（m﹣1）x+m2＝0的两个根，
∴，
又（x1+1）（x2+1）＝7，
整理得，x1x2+x1+x2﹣6＝0，
∴m2+2（m﹣1）﹣6＝0，
整理得，m2+2m﹣8＝0，
解得，m＝﹣4或m＝2（不合题意，舍去），
∴m的值为﹣4．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，灵活运用所学知识是解题的关键．
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