2.2-2.4 一元二次方程的解法 同步练习（含解析）2025-2026学年九年级上册数学北师大版

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2.2-2.4一元二次方程的解法
一．选择题（共6小题）
1．（2024秋 丰满区期末）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
2．（2024秋 沁源县期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1
C． D．且k≠1
3．（2024秋 铜川期末）若关于x的方程x2+4x+m＝0有实数根，则m的值不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2024秋 巴东县期末）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N
5．（2024秋 翠屏区期末）若将一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0化成（x+m）2+n＝0的形式，则2m﹣n的值为（　　）
A．﹣15 B．﹣17 C．5 D．17
6．（2024秋 浉河区期末）方程x2＝2的根是（　　）
A． B．，
C． D．
二．填空题（共5小题）
7．（2024秋 尧都区期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2＝n的形式，则mn的值为 　 　 ．
8．（2025 西藏）关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 　 　 ．
9．（2024秋 枣阳市期末）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　 　 ．
10．（2025春 房山区期末）方程x2＝x的解是 　 　 ．
11．（2025 浦口区校级模拟）一元二次方程3x（x﹣1）＝x﹣1的解是　 　 ．
三．解答题（共2小题）
12．（2024秋 达州期末）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0都有两个不相等的实数根；
（2）若﹣1是此方程的一个根，求k的值．
13．（2025 市南区校级开学）按要求解下列方程：
（1）用配方法解方程：3x2＝6x﹣2；
公式法解方程：2x2﹣7x+3＝0．
2.2-2.4一元二次方程的解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2024秋 丰满区期末）一元二次方程x2﹣2x＝0的解为（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝﹣2
C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】解：x2﹣2x＝0，
因式分解得：x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，关键是掌握因式分解法解方程的方法．
2．（2024秋 沁源县期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且k≠1
C． D．且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝32﹣4×（k﹣1）×（﹣2）＝8k+1≥0且k﹣1≠0，
解得，且k≠1，
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac，当方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数根时Δ＝0；当方程没有实数根时Δ＜0．
3．（2024秋 铜川期末）若关于x的方程x2+4x+m＝0有实数根，则m的值不可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．据此得到Δ＝16﹣4m≥0，进而求解即可．
【解答】解：由条件可知Δ＝42﹣4m＝16﹣4m≥0，
解得m≤4，
选项A、B、C中的1、3、4满足m≤4，不符合题意，选项D中的5不满足m≤4，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情况与根的判别式Δ＝b2﹣4ac的关系．
4．（2024秋 巴东县期末）设M＝4a2﹣4a+3，N＝3a2﹣1，其中a为实数，则M与N的大小关系是（　　）
A．M≥N B．M＞N C．M≤N D．M＝N
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】利用作差法即可得出答案．
【解答】解：M﹣N＝（4a2﹣4a+3）﹣（3a2﹣1）
＝4a2﹣4a+3﹣3a2+1
＝a2﹣4a+4
＝（a﹣2）2，
∵（a﹣2）2≥0，
∴M≥N．
故选：A．
【点评】本题主要考查配方法的应用、非负数的性质：偶次方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．（2024秋 翠屏区期末）若将一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0化成（x+m）2+n＝0的形式，则2m﹣n的值为（　　）
A．﹣15 B．﹣17 C．5 D．17
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先利用配方法将方程化成（x﹣3）2﹣11＝0的形式，从而可得m，n的值，再代入计算即可得．
【解答】解：原方程配方可得：
x2﹣6x+9﹣9﹣2＝0，
（x﹣3）2﹣11＝0，
由条件可知m＝﹣3，n＝﹣11，
∴2m﹣n＝2×（﹣3）﹣（﹣11）＝﹣6+11＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
6．（2024秋 浉河区期末）方程x2＝2的根是（　　）
A． B．，
C． D．
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】等式两边同时开方即可求解．
【解答】解：∵x2＝2，
∴，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
7．（2024秋 尧都区期末）用配方法解方程x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2＝n的形式，则mn的值为 　21　 ．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】21．
【分析】利用配方法对所给方程进行变形即可解决问题．
【解答】解：由题知，
x2﹣6x+2＝0，
x2﹣6x+9＝﹣2+9，
（x﹣3）2＝7．
因为方程x2﹣6x+2＝0可变为（x﹣m）2＝n的形式，
所以m＝3，n＝7，
则mn＝3×7＝21．
故答案为：21．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键．
8．（2025 西藏）关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 　　 ．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】．
【分析】利用根的判别式解答．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣x+2m＝0有两个相等的实数根，
∴（﹣1）2﹣4×1×2m＝0，
m．
故答案为：．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式．
9．（2024秋 枣阳市期末）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 　　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】．
【分析】先解方程得出x1＝6，x2＝3，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为，再由面积公式计算即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝6，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为6，
∴菱形的边长为6，
∴菱形的另一条对角线为，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，通过解方程得到菱形的边长，再利用菱形的面积等于对角线的乘积得出结果．
10．（2025春 房山区期末）方程x2＝x的解是 　x1＝0，x2＝1　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝0，x2＝1．
【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2＝x，
x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．
11．（2025 浦口区校级模拟）一元二次方程3x（x﹣1）＝x﹣1的解是　x1＝1，x2　 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝1，x2．
【分析】移项后，左边提取公因式（x﹣1），将左边因式分解，再进一步求解即可．
【解答】解：∵3x（x﹣1）＝（x﹣1），
∴3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
则（x﹣1）（3x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2．
故答案为：x1＝1，x2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
12．（2024秋 达州期末）已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0．
（1）求证：无论k取何值，关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0都有两个不相等的实数根；
（2）若﹣1是此方程的一个根，求k的值．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】（1）∵x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（﹣2k﹣1）
＝4k2﹣4k+1+8k+4
＝4k2+4k+1+4
＝（2k+1）2+4；
∵（2k+1）2≥0，
∴Δ＝（2k+1）2+4＞0；
∴无论k取何值，关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0都有两个不相等的实数根；
（2）．
【分析】（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）把x＝﹣1代入方程，进行求解即可．
【解答】（1）证明：∵x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0，
∴Δ＝（2k﹣1）2﹣4（﹣2k﹣1）
＝4k2﹣4k+1+8k+4
＝4k2+4k+1+4
＝（2k+1）2+4；
∵（2k+1）2≥0，
∴Δ＝（2k+1）2+4＞0；
∴无论k取何值，关于x的方程x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0都有两个不相等的实数根；
（2）把x＝﹣1代入x2+（2k﹣1）x﹣2k﹣1＝0，得1+1﹣2k﹣2k﹣1＝0，
解得：．
【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，掌握其性质是解题的关键．
13．（2025 市南区校级开学）按要求解下列方程：
（1）用配方法解方程：3x2＝6x﹣2；
（2）公式法解方程：2x2﹣7x+3＝0．
【考点】解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）x1＝3，．
【分析】（1）先将方程二次项系数化为1，然后在等式两边加上一次项系数一半的平方进行配方求解．
（2）先确定一元二次方程的系数a、b、c，计算判别式Δ＝b2﹣4ac，再代入求根公式求解．
【解答】（1）解：∵3x2＝6x﹣2，
∴．
∴．
∴．
∴；
（2）解：2x2﹣7x+3＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×3＝49﹣24＝25＞0，
∴，即．
∴x1＝3；．
【点评】本题主要考查了用配方法和公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法和公式法的步骤．
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