22.1 一元二次方程 同步练习（含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版
文档属性
| 名称 | 22.1 一元二次方程 同步练习（含解析）-2025-2026学年九年级上册数学华东师大版 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 54.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-12 23:05:56 | ||
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文档简介
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21.1 一元二次方程
一．选择题（共7小题）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x+y＝1
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．
2．若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+3x+a2﹣9＝0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3
3．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
A．﹣m B． C．m D．
4．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的常数项是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
5．若一元二次方程x2+x﹣3＝0的一个根为m，则2025﹣m2﹣m的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a＝0的一个根为1，则（a，3）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（ ）
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
二．填空题（共8小题）
8．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的常数项是 ．
9．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式为 ．
10．已知x＝1是一元二次方程x2+2x﹣k＝0的一个根，则k的值为 ．
11．将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则一次项系数是 ．
12．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是﹣6；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可）
13．若关于x的方程（a+1）x2﹣x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
14．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
15．若关于x的方程是一元二次方程，则k＝ ．
三．解答题（共3小题）
16．已知x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一个根，求代数式3a2﹣15a﹣7的值．
17．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．
下面方程是“完美方程”的是 ．（填序号）①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0．
18．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果a、b、c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．已知关于x的波浪方程ax2﹣2x+c＝0的一个根是﹣1，求a，c的值．
21.1 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x+y＝1
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【解答】解：A、该方程没有规定a≠0，故本选项错误，不符合题意；
B、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意；
D、该方程不是整式方程，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+3x+a2﹣9＝0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3
【答案】C
【分析】也考查了一元二次方程的定义与解法．将x＝0代入方程，得到a2﹣9＝0，再利用一元二次方程根的定义得到a≠3，确定出a的值即可．
【解答】解：将x＝0代入得：a2﹣9＝0，
∴a＝±3，
∵a﹣3≠0，
∴a＝﹣3
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，正确计算是解题关键．
3．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
A．﹣m B． C．m D．
【答案】D
【分析】根据x＝m满足方程ax2+bx+c＝0，得到am2+bm+c＝0，两边同时除以m2可确定所求方程的一个根．
【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的一个根，
∴am2+bm+c＝0，
∴abc＝0，
∴c（）2﹣（）b+a＝0，
∴是方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）的一个根，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型．
4．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的常数项是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可．
【解答】解：由题意，，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键．
5．若一元二次方程x2+x﹣3＝0的一个根为m，则2025﹣m2﹣m的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】根据m是方程x2+x﹣3＝0的一个根，可得m2+m＝3，再代入代数式计算即可求．
【解答】解：由条件可知m2+m﹣3＝0，
∴m2+m＝3，
∴2025﹣m2﹣m＝2025﹣（m2+m）＝2025﹣3＝2022．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．
6．关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a＝0的一个根为1，则（a，3）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】把x＝1代入方程，求出a的值，再根据点的符号特征，求出点所在的象限即可．
【解答】解：由条件可得：2×1﹣3﹣a＝0，
∴a＝﹣1，
∴（﹣1，3）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解、判断点所在的象限，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．
7．将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（ ）
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的一般形式求解即可得．
【解答】解：将方程转化为一般形式得：，
∴常数项为﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．
二．填空题（共8小题）
8．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的常数项是 ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解．
【解答】解：一元二次方程的常数项是﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握该知识点是关键．
9．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式为 2x2﹣5x+3＝0 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
【解答】解：由2x2＝5x﹣3，得2x2﹣5x+3＝0．
所以将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式为2x2﹣5x+3＝0．
故答案为：2x2﹣5x+3＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
10．已知x＝1是一元二次方程x2+2x﹣k＝0的一个根，则k的值为 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0得1+2﹣k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0得1+2﹣k＝0，
解得k＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则一次项系数是 ﹣5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可．
【解答】解：2x2+1＝5x，
2x2﹣5x+1＝0，
所以一次项是﹣5x，一次项系数是﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程各项的系数是解题的关键．
12．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是﹣6；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 x2+x﹣6＝0（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【答案】x2+x﹣6＝0（答案不唯一）．
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，方程可以为：（x+3）（x﹣2）＝0，
即x2+x﹣6＝0．
故答案为：x2+x﹣6＝0（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程的一般形式，正确掌握相关定义是解题关键．
13．若关于x的方程（a+1）x2﹣x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 a≠﹣1 ．
【答案】a≠﹣1．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：根据一元二次方程的定义得a+1≠0，
解得a≠﹣1，
故答案为：a≠﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟记相关定义即可．
14．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】由关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，可得|m|+1＝2，m﹣1≠0，从而可得答案．
【解答】解：由题意得，|m|+1＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键．
15．若关于x的方程是一元二次方程，则k＝ ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴k﹣2≠0且k2﹣2＝2，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
16．已知x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一个根，求代数式3a2﹣15a﹣7的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝1代入已知方程求得a2﹣5a＝﹣1，然后整体代入所求的代数式中进行求解．
【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一个根，
∴1﹣5a+a2＝0．
∴a2﹣5a＝﹣1，
∴3a2﹣15a﹣7＝3（a2﹣5a）﹣7＝3×（﹣1）﹣7＝﹣10，即3a2﹣15a﹣7＝﹣10．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程解的定义，注意整体代入思想在代数求值中的应用．
17．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．
下面方程是“完美方程”的是 ③ ．（填序号）①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0．
【答案】③；
【分析】根据“完美方程”的定义进行求解即可；
【解答】解：（1）①x2﹣4x+3＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝3，
∴a+c＝4≠b，则方程x2﹣4x+3＝0不是“完美方程”；
②2x2+x+3＝0，
∵a＝2，b＝1，c＝3，
∴a+c＝5≠b，则方程2x2+x+3＝0不是“完美方程”；
③2x2﹣x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴a+c＝b，则方程2x2﹣x﹣3＝0是“完美方程”；
故答案为：③．
18．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果a、b、c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．已知关于x的波浪方程ax2﹣2x+c＝0的一个根是﹣1，求a，c的值．
【答案】a＝3，c＝﹣5．
【分析】根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为﹣1，得到关于a，c的方程组即可解决问题．
【解答】解：由已知得：，
解得，
∴a＝3，c＝﹣5．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是关键．
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21.1 一元二次方程
一．选择题（共7小题）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x+y＝1
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．
2．若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+3x+a2﹣9＝0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3
3．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
A．﹣m B． C．m D．
4．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的常数项是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
5．若一元二次方程x2+x﹣3＝0的一个根为m，则2025﹣m2﹣m的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a＝0的一个根为1，则（a，3）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（ ）
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
二．填空题（共8小题）
8．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的常数项是 ．
9．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式为 ．
10．已知x＝1是一元二次方程x2+2x﹣k＝0的一个根，则k的值为 ．
11．将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则一次项系数是 ．
12．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是﹣6；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可）
13．若关于x的方程（a+1）x2﹣x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 ．
14．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
15．若关于x的方程是一元二次方程，则k＝ ．
三．解答题（共3小题）
16．已知x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一个根，求代数式3a2﹣15a﹣7的值．
17．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．
下面方程是“完美方程”的是 ．（填序号）①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0．
18．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果a、b、c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．已知关于x的波浪方程ax2﹣2x+c＝0的一个根是﹣1，求a，c的值．
21.1 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x+y＝1
C．x2﹣2x﹣3＝0 D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【解答】解：A、该方程没有规定a≠0，故本选项错误，不符合题意；
B、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项错误，不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，符合题意；
D、该方程不是整式方程，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．若关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+3x+a2﹣9＝0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．0 B．3 C．﹣3 D．3或﹣3
【答案】C
【分析】也考查了一元二次方程的定义与解法．将x＝0代入方程，得到a2﹣9＝0，再利用一元二次方程根的定义得到a≠3，确定出a的值即可．
【解答】解：将x＝0代入得：a2﹣9＝0，
∴a＝±3，
∵a﹣3≠0，
∴a＝﹣3
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，正确计算是解题关键．
3．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（ ）
A．﹣m B． C．m D．
【答案】D
【分析】根据x＝m满足方程ax2+bx+c＝0，得到am2+bm+c＝0，两边同时除以m2可确定所求方程的一个根．
【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的一个根，
∴am2+bm+c＝0，
∴abc＝0，
∴c（）2﹣（）b+a＝0，
∴是方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）的一个根，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型．
4．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的常数项是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可．
【解答】解：由题意，，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键．
5．若一元二次方程x2+x﹣3＝0的一个根为m，则2025﹣m2﹣m的值是（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】A
【分析】根据m是方程x2+x﹣3＝0的一个根，可得m2+m＝3，再代入代数式计算即可求．
【解答】解：由条件可知m2+m﹣3＝0，
∴m2+m＝3，
∴2025﹣m2﹣m＝2025﹣（m2+m）＝2025﹣3＝2022．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键．
6．关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣a＝0的一个根为1，则（a，3）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】把x＝1代入方程，求出a的值，再根据点的符号特征，求出点所在的象限即可．
【解答】解：由条件可得：2×1﹣3﹣a＝0，
∴a＝﹣1，
∴（﹣1，3）在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解、判断点所在的象限，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．
7．将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（ ）
A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的一般形式求解即可得．
【解答】解：将方程转化为一般形式得：，
∴常数项为﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．
二．填空题（共8小题）
8．一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的常数项是 ﹣6 ．
【答案】﹣6．
【分析】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项，据此即可求解．
【解答】解：一元二次方程的常数项是﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握该知识点是关键．
9．将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式为 2x2﹣5x+3＝0 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．
【解答】解：由2x2＝5x﹣3，得2x2﹣5x+3＝0．
所以将一元二次方程2x2＝5x﹣3化成一般形式为2x2﹣5x+3＝0．
故答案为：2x2﹣5x+3＝0．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
10．已知x＝1是一元二次方程x2+2x﹣k＝0的一个根，则k的值为 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0得1+2﹣k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0得1+2﹣k＝0，
解得k＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
11．将一元二次方程2x2+1＝5x化为一般形式后，常数项是1，则一次项系数是 ﹣5 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可．
【解答】解：2x2+1＝5x，
2x2﹣5x+1＝0，
所以一次项是﹣5x，一次项系数是﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程各项的系数是解题的关键．
12．构造一个一元二次方程，要求：①常数项是﹣6；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 x2+x﹣6＝0（答案不唯一） ．（写出一个即可）
【答案】x2+x﹣6＝0（答案不唯一）．
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，方程可以为：（x+3）（x﹣2）＝0，
即x2+x﹣6＝0．
故答案为：x2+x﹣6＝0（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程的一般形式，正确掌握相关定义是解题关键．
13．若关于x的方程（a+1）x2﹣x﹣1＝0是一元二次方程，则a的取值范围是 a≠﹣1 ．
【答案】a≠﹣1．
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【解答】解：根据一元二次方程的定义得a+1≠0，
解得a≠﹣1，
故答案为：a≠﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．熟记相关定义即可．
14．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】由关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，可得|m|+1＝2，m﹣1≠0，从而可得答案．
【解答】解：由题意得，|m|+1＝2，m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟记定义是解本题的关键．
15．若关于x的方程是一元二次方程，则k＝ ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴k﹣2≠0且k2﹣2＝2，
解得k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共3小题）
16．已知x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一个根，求代数式3a2﹣15a﹣7的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】把x＝1代入已知方程求得a2﹣5a＝﹣1，然后整体代入所求的代数式中进行求解．
【解答】解：∵x＝1是方程x2﹣5ax+a2＝0的一个根，
∴1﹣5a+a2＝0．
∴a2﹣5a＝﹣1，
∴3a2﹣15a﹣7＝3（a2﹣5a）﹣7＝3×（﹣1）﹣7＝﹣10，即3a2﹣15a﹣7＝﹣10．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程解的定义，注意整体代入思想在代数求值中的应用．
17．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“完美方程”．
下面方程是“完美方程”的是 ③ ．（填序号）①x2﹣4x+3＝0；②2x2+x+3＝0；③2x2﹣x﹣3＝0．
【答案】③；
【分析】根据“完美方程”的定义进行求解即可；
【解答】解：（1）①x2﹣4x+3＝0，
∵a＝1，b＝﹣4，c＝3，
∴a+c＝4≠b，则方程x2﹣4x+3＝0不是“完美方程”；
②2x2+x+3＝0，
∵a＝2，b＝1，c＝3，
∴a+c＝5≠b，则方程2x2+x+3＝0不是“完美方程”；
③2x2﹣x﹣3＝0，
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴a+c＝b，则方程2x2﹣x﹣3＝0是“完美方程”；
故答案为：③．
18．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），如果a、b、c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．已知关于x的波浪方程ax2﹣2x+c＝0的一个根是﹣1，求a，c的值．
【答案】a＝3，c＝﹣5．
【分析】根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为﹣1，得到关于a，c的方程组即可解决问题．
【解答】解：由已知得：，
解得，
∴a＝3，c＝﹣5．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是关键．
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