第3节 动能和动能定理
1.（多选）关于物体的动能，下列说法不正确的是（ ）
A.质量相同的物体，速度大的动能一定大
B.动能相同的物体，质量相同时速度一定相同
C.质量不变的物体，速度变化，动能一定变化
D.动能不变的物体，一定处于平衡状态
2.（多选）改变汽车的质量和速度大小，都能使汽车的动能发生变化，则下列说法中正确的是（ ）
A.质量不变，速度增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍
B.速度不变，质量增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍
C.质量减半，速度增大到原来的4倍，动能增大为原来的2倍
D.速度减半，质量增大到原来的4倍，动能不变
3.如图所示，某同学用200 N的力将质量为0.44 kg的足球踢出。足球以10 m/s 的初速度沿水平草坪滚出60 m 后静止，则足球在水平草坪上滚动过程中克服阻力做的功是（ ）
A.4.4 J B.22 J
C.132 J D.12 000 J
4.如图所示，两个质量相同的物体a和b处于同一高度，a自由下落，b沿固定光滑斜面由静止开始下滑，不计空气阻力。两物体到达地面时，下列表述正确的是（ ）
A.a的速率大 B.b的速率大
C.动能相同 D.速度相同
5.两个物体A、B的质量之比mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们和水平桌面间的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止运动经过的距离之比为（ ）
A.sA∶sB＝2∶1 B.sA∶sB＝1∶2
C.sA∶sB＝4∶1 D.sA∶sB＝1∶4
6.如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定（ ）
A.小于拉力所做的功
B.等于拉力所做的功
C.等于克服摩擦力所做的功
D.大于克服摩擦力所做的功
7.在“探究恒力做功与动能改变的关系”实验中，某实验小组采用如图甲所示的实验装置。
（1）实验时为了保证小车受到的合外力与沙和沙桶的总重力大小基本相等，在沙和沙桶的总质量m与小车的质量M的关系必须满足m M的同时，实验时首先要做的步骤是 。
（2）图乙为实验中打出的一条纸带，选取纸带中的A、B两点来探究恒力做功与动能改变的关系，测出A、B两点间距s和速度大小vA、vB。已知沙和沙桶的总质量为m，小车的质量为M，重力加速度为g，则本实验要验证的数学表达式为 。（用题中的字母表示实验中测量得到的物理量）
8.在篮球比赛中，某位运动员获得罚球机会，他站在罚球线处用力将篮球投出，篮球以约为1 m/s的速度撞击篮筐。已知篮球质量约为0.8 kg，篮筐离地高度约为3 m，忽略篮球受到的空气阻力，则该运动员罚球时对篮球做的功最接近（ ）
A.1 J B.10 J
C.25 J D.50 J
9.如图所示，斜面高h，质量为m的物块，在沿固定斜面向上的恒力F作用下，能匀速沿斜面向上运动，已知重力加速度为g，若把此物块放在斜面顶端，在沿斜面向下同样大小的恒力F作用下物块由静止向下滑动，滑至底端时其动能为（ ）
A.mgh B.2mgh
C.2Fh D.Fh
10.将质量为m的物体，以初速度v0竖直向上抛出。已知抛出过程中阻力大小恒为重力大小的，重力加速度为g。求：
（1）物体上升的最大高度；
（2）物体落回抛出点时的速度大小。
11.如图所示，物体在距斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离。（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2）
第3节 动能和动能定理
1.BCD 根据Ek＝mv2知，质量相同的物体，速度大的动能一定大，故A正确；根据Ek＝mv2知，动能相同的物体，质量相同时速度大小一定相同，但方向可能不同，则速度可能不同，故B错误；质量不变的物体，速度变化，可能只是速度的方向发生变化，所以动能不一定变化，故C错误；动能不变的物体，其速度的大小不变，方向可能变化，不一定处于平衡状态，故D错误。
2.BD 因动能Ek ＝ mv2，所以质量m不变，速度v增大为原来的2倍时，动能Ek增大为原来的4倍，A错误；当速度不变，质量m增大为原来的2倍时，动能Ek也增大为原来的2倍，B正确；若质量减半，速度增大为原来的4倍，则动能增大为原来的8倍，C错误；速度v减半，质量增大为原来的4倍，则Ek' ＝ × 4m ＝mv2＝Ek，即动能不变，D正确。
3.B 根据动能定理得－Wf＝0－mv2，则Wf＝mv2＝×0.44×102 J＝22 J，B正确。
4.C 根据动能定理有mgh＝mv2－0，高度相同，所以末动能相等，速度的大小相等，但方向不同，故选C。
5.B 物体滑行过程中只有摩擦力做功，根据动能定理，对A，有－μmAgsA＝0－Ek，对B，有－μmBgsB＝0－Ek，故＝＝，B正确，A、C、D错误。
6.A 由题意知，W拉－W克阻＝ΔEk，则W拉＞ΔEk，A正确，B错误；W克阻与ΔEk的大小关系不确定，C、D错误。
7.（1）平衡摩擦力 （2）mgs＝M－M
解析：（1）小车受到自身重力、木板支持力、细绳拉力及木板摩擦力等力的作用，实验要求保证小车受到的合外力与沙和沙桶的总重力基本相等，由此可应用一段过程中沙和沙桶的重力做的功来表示外力对小车做的功，那就必须将木板的摩擦力排除，因此，实验时必须先平衡摩擦力。
（2）A、B两点间距s表示小车在细绳拉力作用下运动的位移，细绳拉力近似等于沙和沙桶的总重力，该过程中合外力对小车做的总功为W＝mgs，小车在A、B两点的速度大小分别为vA、vB，小车在该过程中的动能变化量为ΔEk＝M－M。因此，该实验要验证的数学表达式为mgs＝M－M。
8.B 由题知篮球上升的高度大约为h＝1.2 m，对篮球运动的整个过程，由动能定理得W－mgh＝mv2－0得W＝mgh＋mv2＝0.8×10×1.2 J＋×0.8×12 J＝10.0 J，故B正确，A、C、D错误。
9.B 物块匀速上滑时，根据动能定理得WF－mgh－Wf＝0，物块下滑时，根据动能定理得WF＋mgh－Wf＝Ek－0，联立两式解得Ek＝2mgh，选项B正确。
10.（1） （2）v0
解析：（1）上升过程，由动能定理得
－mgh－fh＝0－m
f＝mg
联立解得h＝。
（2）对物体上抛又落回抛出点的全过程，由动能定理得
－2fh＝mv2－m
解得v＝v0。
11.3.5 m
解析：对物体在斜面上和水平面上分别受力分析如图所示
解法一 分过程列方程
设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段
N1＝mgcos 37°，故f1＝μN1＝μmgcos 37°
由动能定理得
mgs1sin 37°－μmgs1cos 37°＝mv2－0
设物体在水平面上滑行的距离为s2，
摩擦力f2＝μN2＝μmg
由动能定理得－μmgs2＝0－mv2
联立以上各式可得s2＝3.5 m。
解法二 对全过程由动能定理列方程
mgs1sin 37°－μmgs1cos 37°－μmgs2＝0
解得s2＝3.5 m。
3 / 3第3节 动能和动能定理
核心素养目标 物理观念 1.知道动能的概念及定义式，会比较、计算物体的动能。 2.理解动能定理的推导过程、含义及适用范围，并能灵活应用动能定理分析问题。
科学思维 1.通过实验，复习动能大小与哪些因素有关，形成动能的概念，体会物理概念的形成源于生活。 2.能从理论上推导动能定理，体会科学思维的形成过程。
科学探究 1.能通过实验探究恒力做功与动能改变的关系。 2.通过实验探究，培养设计实验、收集数据、分析论证和交流评估的能力。
知识点一 动能
1.定义
物理学中把物体因 而具有的能量称为动能。
2.影响动能大小的因素
（1）动能的大小与运动物体的 有关，同一物体，速度越大，动能越大。
（2）动能的大小与运动物体的 有关，同样速度，质量越大，动能越大。
3.表达式：Ek＝mv2。
4.单位： ，符号为 。
知识点二 动能定理
1.内容：合外力对物体所做的功等于物体 。
2.表达式：W＝ 。
3.两种情况
（1）合外力对物体做正功，Ek2＞Ek1，动能 。
（2）合外力对物体做负功，Ek2＜Ek1，动能 。
4.动能定理在物体受到 作用或做 运动的情况下也是成立的。
【情景思辨】
如图所示为正在空中飞行的飞机。请判断下列说法的正误。
（1）运动的飞机具有的能量就是动能。（ ）
（2）飞机的速度发生变化时，动能也发生变化。（ ）
（3）飞机的动能发生变化时，速度一定发生了变化。（ ）
（4）速度越大的物体，具有的动能也越大。（ ）
（5）飞机由静止开始到起飞的过程，合外力对飞机做正功。（ ）
要点一 动能和动能定理的理解
【探究】
如图所示，光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一段距离s，速度由v1增加到v2。试推导出力F对物体做功的表达式。
【归纳】
1.动能的三个特性
（1）标矢性：只有大小，没有方向。
（2）瞬时性：动能是状态量，与物体的运动状态（或某一时刻的速度）相对应。
（3）相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
2.动能定理的理解
（1）在一个过程中合外力对物体做的功或者各个力对物体做的总功等于物体在这个过程中动能的变化。
（2）动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合外力对它做的功。
②因果关系：合外力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合外力做的功来度量。
【典例1】 一物体的速度大小为v0时，其动能为Ek，当它的动能为2Ek时，其速度大小为（ ）
A. B.2v0
C.v0 D.
尝试解答
1.下列关于运动物体所受合力做功和动能变化的关系正确的是（ ）
A.如果物体所受合力为0，则合力对物体做的功一定为0
B.如果合力对物体所做的功为0，则合力一定为0
C.物体在合力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D.物体的动能不变，所受合力一定为0
2.（多选）一质量为0.3 kg的弹性小球，在光滑的水平面上以6 m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（ ）
A.Δv＝0 B.Δv＝12 m/s
C.W＝0 D.W＝10.8 J
要点二 探究恒力做功与动能改变的关系
1.实验器材
小车、钩码、天平、打点计时器、低压交流电源、细绳、一端附有定滑轮的长木板等 。
2.实验原理
在钩码的拉动下，小车的速度大小发生了变化，则小车的动能发生了变化。钩码对小车的拉力对小车做了功，只要能求出小车动能的变化量、小车运动的位移以及钩码对小车的拉力（近似等于钩码的重力），就可以研究W＝Fs与ΔEk之间的关系。
3.数据测量
（1）拉力的测量：用钩码的重力作为小车所受拉力，由于钩码质量很小，可认为小车所受拉力F的大小等于钩码所受重力的大小。
（2）位移的测量：在纸带上记下第一个点O的位置，再在纸带上任意点开始选取n个点1、2、3、4……并量出各点到位置O的距离，即为小车运动的位移s。
4.数据处理
（1）速度的计算：依据匀变速直线运动特点计算各点的瞬时速度，即vn＝。
（2）功的计算：拉力所做的功W1＝mgs1，W2＝mgs2……
（3）动能增量的计算：物体动能的增量ΔEk1＝M，ΔEk2＝M……
5.实验结论
恒力对物体所做的功等于物体动能的改变量。
【典例2】 某学习小组做“探究恒力做功与动能改变的关系”实验，如图甲所示。
（1）实验中所用电磁打点计时器是一种使用 （选填“交流”或“直流”）电源的计时仪器，它的工作电压是4～6 V，当电源的频率为50 Hz时，它每隔 s打一次点；
（2）实验中，为了把重物所受的重力作为小车所受的牵引力，需要满足的条件是：
①在未挂重物时，通过垫木块使木板适当倾斜，目的是 ；
②已知小车质量为M，重物质量为m，则M m（选填“＞”“ ”“＝”“＜”或“ ”）；
（3）选出一条纸带如图乙所示，其中O点为打点计时器打下的第一个点，A、B、C为相邻的三个计数点。用刻度尺测得OA＝s1，OB＝s2，OC＝s3，已知相邻两计数点间时间间隔为T，重力加速度为g，则打下B点时小车的速度大小为v＝ ，与之对应小车所受的牵引力做功W＝ 。
尝试解答
在“探究恒力做功与动能改变的关系”实验中，某小组采用如图甲所示的装置。
（1）关于此次实验，下面说法合理的是 。
A.实验中若采取垫高木板一端作为平衡摩擦力的方法，改变小车质量重新做实验时必须重新平衡摩擦力
B.实验中要调节滑轮的高度，使滑轮和小车之间的细线保持水平
C.若使用沙桶和沙的总重力作为计算做功的恒力，用小车、沙桶和沙的总质量作为计算动能改变中的质量，实验中沙桶和沙的总质量必须远小于小车的质量
D.若在小车前端加装力传感器，用传感器的示数作为做功的恒力，实验中沙桶和沙的总质量可以不必远小于小车的质量
（2）某同学实验时测出了小车位移s，算出了与之对应的速度v，作出了v2-s图像如图乙所示，已知图线的斜率为k，则小车运动的加速度表达式为 。
要点三 动能定理的简单应用
【探究】
如图所示，质量为m的物块从固定斜面顶端由静止滑下，已知斜面倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高为h，重力加速度为g。
（1）物块在下滑过程中受哪些力的作用？各个力做的功分别为多少？
（2）物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时的速度为多大？
【归纳】
应用动能定理解题的一般步骤
（1）选取研究对象（通常是单个物体），明确它的运动过程。
（2）对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出各力做功的代数和。
（3）明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
（4）列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
【典例3】 如图所示，用与水平方向成37°的恒力F＝10 N将质量为m＝1 kg的物体由静止开始从A点拉到B点撤去力F，已知A、B间距L＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5。求撤去外力后物体还能滑行多远？
尝试解答
规律总结
做匀变速直线运动的物体，若研究的过程中不涉及时间，可用运动学公式结合牛顿第二定律解题，也可用动能定理解题。一般来说，用动能定理要比运动学公式简单。
1.人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为（ ）
A.－400 J B.－3 800 J
C.－50 000 J D.－4 200 J
2.质量m＝6.0×103 kg的客机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑行，当滑行距离l＝7.2×102 m 时，达到起飞速度v＝60 m/s。求：
（1）起飞时飞机的动能；
（2）若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多大；
（3）若滑行过程中受到的平均阻力大小为f＝3.0×103 N，牵引力与第（2）问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机的滑行距离应为多大。
要点回眸
1.下列关于动能的说法正确的是（ ）
A.两个物体中，速度大的动能也大
B.某物体的速度加倍，它的动能也加倍
C.某物体的动能发生变化，它的速度一定发生变化
D.某物体的动能保持不变，则速度一定不变
2.2024年4月25日，我国成功发射神舟十八号飞船，飞船在发射阶段竖直向上匀加速通过两段相同高度的过程中，下列物理量相同的是（ ）
A.运动时间 B.平均速度
C.速度的变化量 D.动能的变化量
3.有一种地下铁道，车站的路轨建得高些，车辆进站时要上坡，出站时要下坡，如图所示。已知坡高为h，车辆的质量为m，重力加速度为g，车辆与路轨间的摩擦力为f，进站车辆到达坡下A处时的速度为v0，此时切断电动机的电源，车辆冲上坡顶到达站台B处的速度恰好为0。车辆从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功是（ ）
A.fh B.mgh
C.mgh－m D.m－mgh
4.在距水平地面高12 m处，以12 m/s的水平速度抛出质量为0.5 kg的小球，其落地时速度大小为18 m/s，求小球在运动过程中克服阻力做的功。（g取10 m/s2）
第3节 动能和动能定理
【基础知识·准落实】
知识点一
1.运动 2.（1）速度 （2）质量 4.焦耳 J
知识点二
1.动能的变化量 2.Ek2－Ek1 3.（1）增大 减小 4.变力 曲线
情景思辨
（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）√
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】 提示：W＝Fs＝F·＝F·＝m－m。
【典例1】 C 设物体的质量为m，则其动能Ek＝m，当动能为2Ek时，有2Ek＝mv'2，解得v'＝v0，故C正确，A、B、D错误。
素养训练
1.A 由功的定义可知，选项A正确；合力做的功为0，但合力不一定为0，例如物体的合力和运动方向垂直，合力不做功，但合力不为0，选项B错误；物体做变速运动可能是速度方向变化而速度大小不变，所以做变速运动的物体，动能可能不变，选项C错误；物体动能不变，只能说合力不做功，但合力不一定为0，选项D错误。
2.BC 由于碰撞前后小球速度大小相等、方向相反，所以Δv＝v－（－v0）＝12 m/s，根据动能定理得W＝ΔEk＝mv2－m＝0。故B、C正确。
要点二
知识精研
【典例2】 （1）交流 0.02 （2）①平衡摩擦力 ②
（3） mgs2
解析：（1）实验中所用电磁打点计时器是一种使用交流电源的计时仪器，当电源的频率为50 Hz时，它每隔0.02 s打一次点。
（2）在未挂重物时，通过垫木块使木板适当倾斜，目的是平衡摩擦力；为了把重物所受的重力作为小车所受的牵引力，需要M m。
（3）打下B点时小车的速度大小v＝＝；把重物所受的重力作为小车所受的牵引力，则B点对应小车所受的牵引力做功W＝mgs2。
素养训练
（1）D （2）a＝
解析：（1）设小车的质量为M，此时木板与水平面的夹角为θ，当平衡摩擦力时重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力，即Mgsin θ＝μMgcos θ，改变小车的质量M后，等式依然成立，不需要重新平衡摩擦力，故A错误；调节滑轮的高度，使滑轮和小车之间的细线与长木板保持平行，否则拉力不会等于合力，故B错误；沙桶和沙的总重力做的功等于小车、沙桶和沙增加的动能之和，实验中不需要沙桶和沙的总质量必须远小于小车的质量，故C错误；在实验中可以用力传感器测出细线拉力大小，不是将沙桶和沙的重力作为小车的拉力，故不需要满足沙桶和沙的总质量远小于小车的质量 ，故D正确。
（2）根据速度与位移公式得v2－＝2as，解得v2＝2as＋，则斜率k＝2a，解得a＝。
要点三
知识精研
【探究】 提示：（1）受重力、支持力、摩擦力；重力做功为WG＝mgh，支持力做功为WN＝0，摩擦力做功为Wf＝－μmgcos θ·＝－μmg。
（2）物块动能增大，由动能定理得
WG＋WN＋Wf＝mv2－0，得物块到达斜面底端的速度
v＝ 。
【典例3】 2.4 m
解析：方法一 牛顿运动定律法
在A→B过程中，物体受力如图所示
其中：N＝mg－Fsin θ ①
Fcos θ－μN＝ma1 ②
设前进L＝2 m后的速度为v，则v2＝2a1L ③
撤去外力后有－μmg＝ma2 ④
设撤去外力后再前进的位移为s，则0－v2＝2a2s ⑤
联立①②③④⑤式得s＝2.4 m。
方法二 动能定理法
对全程利用动能定理，恒力F作用时，物体所受摩擦力f＝μ（mg－Fsin 37° ）＝2 N
撤去F后，物体受摩擦力为μmg
则FLcos 37°－fL－μmgs＝0
解得s＝2.4 m。
素养训练
1.B 下坡过程中运用动能定理得mgh＋Wf＝mv2－m，解得Wf＝－3 800 J，故选B。
2.（1）1.08×107 J （2）1.5×104 N （3）9.0×102 m
解析：（1）飞机起飞时的动能Ek＝mv2
代入数值得Ek＝1.08×107 J。
（2）设牵引力为F1，由动能定理得F1l＝Ek－0
代入数值得F1＝1.5×104 N。
（3）设滑行距离为l'，由动能定理得F1l'－fl'＝Ek－0
整理得l'＝
代入数值解得l'＝9.0×102 m。
【教学效果·勤检测】
1.C 根据Ek＝mv2，可知两个物体中，速度大的动能不一定大，故A错误；某物体的速度加倍，它的动能变为原来的4倍，故B错误；由Ek＝mv2可知，对某物体质量是确定的，动能发生变化时，物体的速度一定发生变化，故C正确；某物体的动能保持不变，则速度大小不变，方向不一定不变，则速度不一定不变，故D错误。
2.D 卫星在发射阶段竖直向上匀加速通过两段相同高度的过程中有s＝v0t＋at2，两段相同高度的初速度不同，所以匀加速运动通过相同高度的时间一定不相同，故A错误；因为卫星在做匀加速运动，所以其平均速度一定不相同，故B错误；根据A项，其运动时间不同，又因为Δv＝at，可知速度的变化量也不同，故C错误；因为物体在做匀加速运动，所以其受到的合力一定没有发生变化，根据W＝F合s可知合力做功相同，则其动能变化量相同，故D正确。
3.D 对车辆由A到B的过程运用动能定理得－mgh－Wf＝0－m，解得Wf＝m－mgh，故D正确。
4.15 J
解析：对小球自抛出至落地过程，由动能定理得
mgh－W克阻＝m－m
则小球克服阻力做功为W克阻＝
mgh－＝0.5×10×12 J－（×0.5×182－×0.5×122）J＝15 J。
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第3节 动能和动能定理
核心素 养目标 物理 观念 1.知道动能的概念及定义式，会比较、计算物体的
动能。
2.理解动能定理的推导过程、含义及适用范围，并
能灵活应用动能定理分析问题。
科学 思维 1.通过实验，复习动能大小与哪些因素有关，形成
动能的概念，体会物理概念的形成源于生活。
2.能从理论上推导动能定理，体会科学思维的形成
过程。
科学 探究 1.能通过实验探究恒力做功与动能改变的关系。
2.通过实验探究，培养设计实验、收集数据、分析
论证和交流评估的能力。
目 录
01.
基础知识·准落实
02.
核心要点·快突破
03.
教学效果·勤检测
04.
课时训练·提素能
基础知识·准落实
梳理归纳 自主学习
01
知识点一 动能
1. 定义
物理学中把物体因 而具有的能量称为动能。
2. 影响动能大小的因素
（1）动能的大小与运动物体的 有关，同一物体，速度越
大，动能越大。
（2）动能的大小与运动物体的 有关，同样速度，质量越
大，动能越大。
运动
速度
质量
3. 表达式：Ek＝mv2。
4. 单位： ，符号为 。
焦耳
J
知识点二 动能定理
1. 内容：合外力对物体所做的功等于物体 。
2. 表达式：W＝ 。
3. 两种情况
（1）合外力对物体做正功，Ek2＞Ek1，动能 。
（2）合外力对物体做负功，Ek2＜Ek1，动能 。
动能的变化量
Ek2－Ek1
增大
减小
4. 动能定理在物体受到 作用或做 运动的情况下也是
成立的。
变力
曲线
【情景思辨】
如图所示为正在空中飞行的飞机。请判断下列说法的正误。
（1）运动的飞机具有的能量就是动能。 （ × ）
（2）飞机的速度发生变化时，动能也发生变化。 （ × ）
（3）飞机的动能发生变化时，速度一定发生了变化。 （ √ ）
（4）速度越大的物体，具有的动能也越大。 （ × ）
（5）飞机由静止开始到起飞的过程，合外力对飞机做正功。
（ √ ）
×
×
√
×
√
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
02
要点一 动能和动能定理的理解
【探究】
如图所示，光滑水平面上的物体在水平恒力F的作用下向前运动了一
段距离s，速度由v1增加到v2。试推导出力F对物体做功的表达式。
提示：W＝Fs＝F·＝F·＝m－m。
【归纳】
1. 动能的三个特性
（1）标矢性：只有大小，没有方向。
（2）瞬时性：动能是状态量，与物体的运动状态（或某一时刻的
速度）相对应。
（3）相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不
同，一般以地面为参考系。
2. 动能定理的理解
（1）在一个过程中合外力对物体做的功或者各个力对物体做的总
功等于物体在这个过程中动能的变化。
（2）动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合外力对它做的功。
②因果关系：合外力对物体做功是引起物体动能变化的原
因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过
程，转化了多少由合外力做的功来度量。
【典例1】 一物体的速度大小为v0时，其动能为Ek，当它的动能为
2Ek时，其速度大小为（ ）
B. 2v0
解析：设物体的质量为m，则其动能Ek＝m，当动能为2Ek时，有
2Ek＝mv'2，解得v'＝v0，故C正确，A、B、D错误。
1. 下列关于运动物体所受合力做功和动能变化的关系正确的是
（ ）
A. 如果物体所受合力为0，则合力对物体做的功一定为0
B. 如果合力对物体所做的功为0，则合力一定为0
C. 物体在合力作用下做变速运动，动能一定发生变化
D. 物体的动能不变，所受合力一定为0
解析： 由功的定义可知，选项A正确；合力做的功为0，但合力
不一定为0，例如物体的合力和运动方向垂直，合力不做功，但合
力不为0，选项B错误；物体做变速运动可能是速度方向变化而速
度大小不变，所以做变速运动的物体，动能可能不变，选项C错
误；物体动能不变，只能说合力不做功，但合力不一定为0，选项
D错误。
2. （多选）一质量为0.3 kg的弹性小球，在光滑的水平面上以6 m/s的
速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，速度大小与碰撞
前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv和碰撞
过程中墙对小球做功的大小W为（ ）
A. Δv＝0 B. Δv＝12 m/s
C. W＝0 D. W＝10.8 J
解析： 由于碰撞前后小球速度大小相等、方向相反，所以Δv
＝v－（－v0）＝12 m/s，根据动能定理得W＝ΔEk＝mv2－m＝
0。故B、C正确。
要点二 探究恒力做功与动能改变的关系
1. 实验器材
小车、钩码、天平、打点计时器、低压交流电源、细绳、一端附有
定滑轮的长木板等 。
2. 实验原理
在钩码的拉动下，小车的速度大小发生了变化，则小车的动能发生
了变化。钩码对小车的拉力对小车做了功，只要能求出小车动能的
变化量、小车运动的位移以及钩码对小车的拉力（近似等于钩码的
重力），就可以研究W＝Fs与ΔEk之间的关系。
3. 数据测量
（1）拉力的测量：用钩码的重力作为小车所受拉力，由于钩码质
量很小，可认为小车所受拉力F的大小等于钩码所受重力的
大小。
（2）位移的测量：在纸带上记下第一个点O的位置，再在纸带上
任意点开始选取n个点1、2、3、4……并量出各点到位置O的
距离，即为小车运动的位移s。
4. 数据处理
（1）速度的计算：依据匀变速直线运动特点计算各点的瞬时速
度，即vn＝。
（2）功的计算：拉力所做的功W1＝mgs1，W2＝mgs2……
（3）动能增量的计算：物体动能的增量ΔEk1＝M，ΔEk2＝
M……
5. 实验结论
恒力对物体所做的功等于物体动能的改变量。
【典例2】 某学习小组做“探究恒力做功与动能改变的关系”实
验，如图甲所示。
（1）实验中所用电磁打点计时器是一种使用 （选填“交
流”或“直流”）电源的计时仪器，它的工作电压是4～6 V，
当电源的频率为50 Hz时，它每隔 s打一次点；
解析： 实验中所用电磁打点计时器是一种使用交流电源的
计时仪器，当电源的频率为50 Hz时，它每隔0.02 s打一次点。
（2）实验中，为了把重物所受的重力作为小车所受的牵引力，需要
满足的条件是：
①在未挂重物时，通过垫木块使木板适当倾斜，目的是
；
交流
0.02
平衡
摩擦力
②已知小车质量为M，重物质量为m，则M m（选填
“＞”“ ”“＝”“＜”或“ ”）；
解析： 在未挂重物时，通过垫木块使木板适当倾斜，目的
是平衡摩擦力；为了把重物所受的重力作为小车所受的牵引
力，需要M m。
解析： 打下B点时小车的速度大小v＝＝；把重物
所受的重力作为小车所受的牵引力，则B点对应小车所受的牵引
力做功W＝mgs2。
mgs2
在“探究恒力做功与动能改变的关系”实验中，某小组采用如图甲
所示的装置。
（1）关于此次实验，下面说法合理的是 。
A. 实验中若采取垫高木板一端作为平衡摩擦力的方法，改变小车质
量重新做实验时必须重新平衡摩擦力
B. 实验中要调节滑轮的高度，使滑轮和小车之间的细线保持水平
C. 若使用沙桶和沙的总重力作为计算做功的恒力，用小车、沙桶和
沙的总质量作为计算动能改变中的质量，实验中沙桶和沙的总质
量必须远小于小车的质量
D. 若在小车前端加装力传感器，用传感器的示数作为做功的恒力，
实验中沙桶和沙的总质量可以不必远小于小车的质量
D
解析： 设小车的质量为M，此时木板与水平面的夹角为
θ，当平衡摩擦力时重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力，即
Mgsin θ＝μMgcos θ，改变小车的质量M后，等式依然成立，不
需要重新平衡摩擦力，故A错误；调节滑轮的高度，使滑轮和小
车之间的细线与长木板保持平行，否则拉力不会等于合力，故B
错误；沙桶和沙的总重力做的功等于小车、沙桶和沙增加的动
能之和，实验中不需要沙桶和沙的总质量必须远小于小车的质
量，故C错误；在实验中可以用力传感器测出细线拉力大小，不
是将沙桶和沙的重力作为小车的拉力，故不需要满足沙桶和沙
的总质量远小于小车的质量 ，故D正确。
解析： 根据速度与位移公式得v2－＝2as，解得v2＝2as
＋，则斜率k＝2a，解得a＝。
a＝
要点三 动能定理的简单应用
【探究】
如图所示，质量为m的物块从固定斜面顶端由静止滑下，已知斜面
倾角为θ，物块与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面高为h，重力加速
度为g。
（1）物块在下滑过程中受哪些力的作用？各个力做的功分别为多
少？
提示： 受重力、支持力、摩擦力；重力做功为WG＝mgh，
支持力做功为WN＝0，摩擦力做功为Wf＝－μmgcos θ·＝－
μmg。
（2）物块的动能怎样变化？物块到达斜面底端时的速度为多大？
提示： 物块动能增大，由动能定理得
WG＋WN＋Wf＝mv2－0，得物块到达斜面底端的速度
v＝ 。
【归纳】
应用动能定理解题的一般步骤
（1）选取研究对象（通常是单个物体），明确它的运动过程。
（2）对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出各力做
功的代数和。
（3）明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
（4）列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求
解并验算。
【典例3】 如图所示，用与水平方向成37°的恒力F＝10 N将质量为
m＝1 kg的物体由静止开始从A点拉到B点撤去力F，已知A、B间距L＝
2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5。求撤去外力后物体还能滑
行多远？
答案：2.4 m
解析：方法一 牛顿运动定律法
在A→B过程中，物体受力如图所示
其中：N＝mg－Fsin θ ①
Fcos θ－μN＝ma1 ②
设前进L＝2 m后的速度为v，则v2＝2a1L ③
撤去外力后有－μmg＝ma2 ④
设撤去外力后再前进的位移为s，则0－v2＝2a2s ⑤
联立①②③④⑤式得s＝2.4 m。
方法二 动能定理法
对全程利用动能定理，恒力F作用时，物体所受摩擦力f＝μ（mg－
Fsin 37° ）＝2 N
撤去F后，物体受摩擦力为μmg
则FLcos 37°－fL－μmgs＝0
解得s＝2.4 m。
规律总结
做匀变速直线运动的物体，若研究的过程中不涉及时间，可用运
动学公式结合牛顿第二定律解题，也可用动能定理解题。一般来说，
用动能定理要比运动学公式简单。
1. 人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为
100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车
速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为（ ）
A. －400 J B. －3 800 J
C. －50 000 J D. －4 200 J
解析： 下坡过程中运用动能定理得mgh＋Wf＝mv2－m，解
得Wf＝－3 800 J，故选B。
2. 质量m＝6.0×103 kg的客机，从静止开始沿平直的跑道匀加速滑
行，当滑行距离l＝7.2×102 m时，达到起飞速度v＝60 m/s。求：
（1）起飞时飞机的动能；
答案： 1.08×107 J
解析： 飞机起飞时的动能Ek＝mv2
代入数值得Ek＝1.08×107 J。
（2）若不计滑行过程中所受的阻力，则飞机受到的牵引力为多
大；
答案： 1.5×104 N
解析：设牵引力为F1，由动能定理得F1l＝Ek－0
代入数值得F1＝1.5×104 N。
（3）若滑行过程中受到的平均阻力大小为f＝3.0×103 N，牵引力
与第（2）问中求得的值相等，则要达到上述起飞速度，飞机
的滑行距离应为多大。
答案： 9.0×102 m
解析：设滑行距离为l'，由动能定理得F1l'－fl'＝Ek－0
整理得l'＝
代入数值解得l'＝9.0×102 m。
要点回眸
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
03
1. 下列关于动能的说法正确的是（ ）
A. 两个物体中，速度大的动能也大
B. 某物体的速度加倍，它的动能也加倍
C. 某物体的动能发生变化，它的速度一定发生变化
D. 某物体的动能保持不变，则速度一定不变
解析： 根据Ek＝mv2，可知两个物体中，速度大的动能不一定
大，故A错误；某物体的速度加倍，它的动能变为原来的4倍，故B
错误；由Ek＝mv2可知，对某物体质量是确定的，动能发生变化
时，物体的速度一定发生变化，故C正确；某物体的动能保持不
变，则速度大小不变，方向不一定不变，则速度不一定不变，故D
错误。
2. 2024年4月25日，我国成功发射神舟十八号飞船，飞船在发射阶段
竖直向上匀加速通过两段相同高度的过程中，下列物理量相同的是
（ ）
A. 运动时间
B. 平均速度
C. 速度的变化量
D. 动能的变化量
解析： 卫星在发射阶段竖直向上匀加速通过两段相同高度
的过程中有s＝v0t＋at2，两段相同高度的初速度不同，所以匀
加速运动通过相同高度的时间一定不相同，故A错误；因为卫
星在做匀加速运动，所以其平均速度一定不相同，故B错误；
根据A项，其运动时间不同，又因为Δv＝at，可知速度的变化
量也不同，故C错误；因为物体在做匀加速运动，所以其受到
的合力一定没有发生变化，根据W＝F合s可知合力做功相同，则
其动能变化量相同，故D正确。
3. 有一种地下铁道，车站的路轨建得高些，车辆进站时要上坡，出站
时要下坡，如图所示。已知坡高为h，车辆的质量为m，重力加速
度为g，车辆与路轨间的摩擦力为f，进站车辆到达坡下A处时的速
度为v0，此时切断电动机的电源，车辆冲上坡顶到达站台B处的速
度恰好为0。车辆从A运动到B的过程中克服摩擦力做的功是（ ）
A. fh B. mgh
解析： 对车辆由A到B的过程运用动能定理得－mgh－Wf＝0－
m，解得Wf＝m－mgh，故D正确。
4. 在距水平地面高12 m处，以12 m/s的水平速度抛出质量为0.5 kg的
小球，其落地时速度大小为18 m/s，求小球在运动过程中克服阻力
做的功。（g取10 m/s2）
答案：15 J
解析：对小球自抛出至落地过程，由动能定理得
mgh－W克阻＝m－m
则小球克服阻力做功为
W克阻＝mgh－＝0.5×10×12 J－（×0.5×182
－×0.5×122）J＝15 J。
04
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. （多选）关于物体的动能，下列说法不正确的是（ ）
A. 质量相同的物体，速度大的动能一定大
B. 动能相同的物体，质量相同时速度一定相同
C. 质量不变的物体，速度变化，动能一定变化
D. 动能不变的物体，一定处于平衡状态
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解析： 根据Ek＝mv2知，质量相同的物体，速度大的动能一
定大，故A正确；根据Ek＝mv2知，动能相同的物体，质量相同时
速度大小一定相同，但方向可能不同，则速度可能不同，故B错
误；质量不变的物体，速度变化，可能只是速度的方向发生变化，
所以动能不一定变化，故C错误；动能不变的物体，其速度的大小
不变，方向可能变化，不一定处于平衡状态，故D错误。
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2. （多选）改变汽车的质量和速度大小，都能使汽车的动能发生变
化，则下列说法中正确的是（ ）
A. 质量不变，速度增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍
B. 速度不变，质量增大到原来的2倍，动能增大为原来的2倍
C. 质量减半，速度增大到原来的4倍，动能增大为原来的2倍
D. 速度减半，质量增大到原来的4倍，动能不变
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解析： 因动能Ek ＝ mv2，所以质量m不变，速度v增大为原来
的2倍时，动能Ek增大为原来的4倍，A错误；当速度不变，质量m
增大为原来的2倍时，动能Ek也增大为原来的2倍，B正确；若质量
减半，速度增大为原来的4倍，则动能增大为原来的8倍，C错误；
速度v减半，质量增大为原来的4倍，则Ek' ＝ × 4m ＝mv2＝
Ek，即动能不变，D正确。
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3. 如图所示，某同学用200 N的力将质量为0.44 kg的足球踢出。足球
以10 m/s 的初速度沿水平草坪滚出60 m 后静止，则足球在水平草
坪上滚动过程中克服阻力做的功是（ ）
A. 4.4 J
B. 22 J
C. 132 J
D. 12 000 J
解析： 根据动能定理得－Wf＝0－mv2，则Wf＝mv2＝
×0.44×102 J＝22 J，B正确。
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4. 如图所示，两个质量相同的物体a和b处于同一高度，a自由下落，b
沿固定光滑斜面由静止开始下滑，不计空气阻力。两物体到达地面
时，下列表述正确的是（ ）
A. a的速率大 B. b的速率大
C. 动能相同 D. 速度相同
解析： 根据动能定理有mgh＝mv2－0，高度相同，所以末动能
相等，速度的大小相等，但方向不同，故选C。
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5. 两个物体A、B的质量之比mA∶mB＝2∶1，二者初动能相同，它们
和水平桌面间的动摩擦因数相同，则二者在桌面上滑行到停止运动
经过的距离之比为（ ）
A. sA∶sB＝2∶1 B. sA∶sB＝1∶2
C. sA∶sB＝4∶1 D. sA∶sB＝1∶4
解析： 物体滑行过程中只有摩擦力做功，根据动能定理，对
A，有－μmAgsA＝0－Ek，对B，有－μmBgsB＝0－Ek，故＝＝
，B正确，A、C、D错误。
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6. 如图所示，某同学用绳子拉动木箱，使它从静止开始沿粗糙水平路
面运动至具有某一速度。木箱获得的动能一定（ ）
A. 小于拉力所做的功
B. 等于拉力所做的功
C. 等于克服摩擦力所做的功
D. 大于克服摩擦力所做的功
解析： 由题意知，W拉－W克阻＝ΔEk，则W拉＞ΔEk，A正确，B
错误；W克阻与ΔEk的大小关系不确定，C、D错误。
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7. 在“探究恒力做功与动能改变的关系”实验中，某实验小组采用如
图甲所示的实验装置。
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（1）实验时为了保证小车受到的合外力与沙和沙桶的总重力大小
基本相等，在沙和沙桶的总质量m与小车的质量M的关系必
须满足m M的同时，实验时首先要做的步骤是
。
解析： 小车受到自身重力、木板支持力、细绳拉力及木
板摩擦力等力的作用，实验要求保证小车受到的合外力与沙
和沙桶的总重力基本相等，由此可应用一段过程中沙和沙桶
的重力做的功来表示外力对小车做的功，那就必须将木板的
摩擦力排除，因此，实验时必须先平衡摩擦力。
平衡摩擦
力
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mgs＝
M－M
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解析： A、B两点间距s表示小车在细绳拉力作用下运动
的位移，细绳拉力近似等于沙和沙桶的总重力，该过程中合
外力对小车做的总功为W＝mgs，小车在A、B两点的速度大
小分别为vA、vB，小车在该过程中的动能变化量为ΔEk＝
M－M。因此，该实验要验证的数学表达式为mgs＝
M－M。
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8. 在篮球比赛中，某位运动员获得罚球机会，他站在罚球线处用力将
篮球投出，篮球以约为1 m/s的速度撞击篮筐。已知篮球质量约为
0.8 kg，篮筐离地高度约为3 m，忽略篮球受到的空气阻力，则该
运动员罚球时对篮球做的功最接近（ ）
A. 1 J B. 10 J
C. 25 J D. 50 J
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解析： 由题知篮球上升的高度大约为h＝1.2 m，对篮球运
动的整个过程，由动能定理得W－mgh＝mv2－0得W＝mgh＋
mv2＝0.8×10×1.2 J＋×0.8×12 J＝10.0 J，故B正确，
A、C、D错误。
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9. 如图所示，斜面高h，质量为m的物块，在沿固定斜面向上的恒力F
作用下，能匀速沿斜面向上运动，已知重力加速度为g，若把此物
块放在斜面顶端，在沿斜面向下同样大小的恒力F作用下物块由静
止向下滑动，滑至底端时其动能为（ ）
A. mgh B. 2mgh
C. 2Fh D. Fh
解析： 物块匀速上滑时，根据动能定理得WF－mgh－Wf＝0，
物块下滑时，根据动能定理得WF＋mgh－Wf＝Ek－0，联立两式解
得Ek＝2mgh，选项B正确。
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10. 将质量为m的物体，以初速度v0竖直向上抛出。已知抛出过程中阻
力大小恒为重力大小的，重力加速度为g。求：
（1）物体上升的最大高度；
答案：
解析： 上升过程，由动能定理得
－mgh－fh＝0－m
f＝mg 联立解得h＝。
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（2）物体落回抛出点时的速度大小。
答案： v0
解析：对物体上抛又落回抛出点的全过程，由动能定理得
－2fh＝mv2－m
解得v＝v0。
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11. 如图所示，物体在距斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上与
斜面平滑连接的水平面，若物体与斜面及水平面间的动摩擦因数
均为0.4，斜面倾角为37°，求物体能在水平面上滑行的距离。
（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2）
答案：3.5 m
解析：对物体在斜面上和水平面上分
别受力分析如图所示
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解法一 分过程列方程
设物体滑到斜面底端时的速度为v，物体下滑阶段
N1＝mgcos 37°，故f1＝μN1＝μmgcos 37°
由动能定理得
mgs1sin 37°－μmgs1cos 37°＝mv2－0
设物体在水平面上滑行的距离为s2，
摩擦力f2＝μN2＝μmg
由动能定理得－μmgs2＝0－mv2
联立以上各式可得s2＝3.5 m。
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解法二 对全过程由动能定理列方程
mgs1sin 37°－μmgs1cos 37°－μmgs2＝0
解得s2＝3.5 m。
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